ในทางคณิตศาสตร์ เอกฐาน เชิงแคนอนิก (canonical singularities)คือกลุ่มของเอกฐานที่ปรากฏบนแบบจำลองเชิงแคนอ นิกของวาไรตี้เชิงพีชคณิต (algebraic variety ) และเอกฐานปลายทาง (terminal singularities)คือกลุ่มที่แคบกว่าซึ่งเกิดขึ้นเป็นเอกฐานของแบบจำลองขั้นต่ำ (minimal model ) กลุ่มของเอกฐานเหล่านี้ได้รับการแนะนำโดย Miles Reid (1980)เอกฐานปลายทางมีความสำคัญในโครงการแบบจำลองขั้นต่ำเนื่องจากแบบจำลองขั้นต่ำที่ราบเรียบไม่มีอยู่จริงในระดับทั่วไปที่ต้องการ ดังนั้นจึงต้องอนุญาตให้มีเอกฐาน "อ่อนๆ" บางอย่าง

ให้Xเป็นวาไรตี้ปกติเหนือฟิลด์ที่มีคลาสแคนอนิกK คือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- คาร์เทียร์ (ตามที่กล่าวไว้ด้านล่าง) และปล่อยให้${\displaystyle f\colon Y\to X}$เป็นการแก้ปัญหาจุดเอกฐานของXโดยใช้หลักการที่ว่าตัวหารของคาร์เทียร์สามารถดึงกลับมาได้จึงสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle \displaystyle K_{Y}=f^{*}(K_{X})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}$

โดยผลรวมนั้นอยู่เหนือตัวหารพิเศษของf (ซับวาเรียตีที่มีมิติร่วม 1 ของYซึ่งไม่สามารถแยกย่อยได้ตามนิยาม และภาพของซับวาเรียตีเหล่านี้ในXมีมิติร่วมอย่างน้อย 2) a เป็นจำนวนตรรกยะ เรียกว่าความคลาดเคลื่อน

จากนั้น จึงกล่าวได้ว่า Xคือ

• เทอร์มินัลถ้า ${\displaystyle a_{i}>0}$สำหรับทุกๆฉัน
• เป็นไปตามหลักการถ้า ${\displaystyle a_{i}\geq 0}$สำหรับทุกi .

(อาจกล่าวได้ว่าXมี "จุดเอกฐานปลายทาง" หรือ "จุดเอกฐานมาตรฐาน") คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกความละเอียด^{[ 1 ]}

สมมติให้หนักแน่นยิ่งขึ้นว่า${\displaystyle f\colon Y\to X}$เป็นการแก้ปัญหาแบบลอการิทึมหมายความว่าYเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และโลคัสพิเศษของfเป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายในYจากนั้นXจะเรียกว่าเป็น

• เทอร์มินัลบันทึก Kawamata (klt) ถ้า ${\displaystyle a_{i}>-1}$สำหรับทุกๆฉัน
• ลอการิทึมแคนอนิก (lc) ถ้า ${\displaystyle a_{i}\geq -1}$สำหรับทุกi .

คุณสมบัติทั้งสองนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกความละเอียดของบันทึก^{[ 2 ]}พวกมันถูกนำเสนอในช่วงต้นทศวรรษ 1980 (ด้วยคำศัพท์ที่แตกต่างกันเล็กน้อย) โดยYujiro Kawamata

หากความละเอียดของลอการิทึมบางอย่างของXมีตัวหารพิเศษที่มีความคลาดเคลื่อน${\displaystyle a_{i}}$น้อยกว่า${\displaystyle -1}$จากนั้นXจะมีความละเอียดของลอการิทึมอื่นๆ ที่มีค่าความคลาดเคลื่อนติดลบตามอำเภอใจ${\displaystyle a_{j}}$[ ^{3 ]}ด้วยเหตุนี้ "log canonical" จึงเป็นเงื่อนไขทั่วไปที่สุดที่สามารถกำหนดได้ตามแนวทางเหล่านี้ โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกความละเอียดของ^log

คุณสมบัติเหล่านี้หมายความว่ารูปแบบเชิงอนุพันธ์บนXมีพฤติกรรมเหมือนกับรูปแบบบนวาไรตี้เรียบในระดับมากหรือน้อย^{[ 4 ​​]}เมื่อXเป็นวาไรตี้เรียบที่มีมิติnเหนือฟิลด์k บันเดิลเส้นแคนอนิกของมันถูกกำหนดให้เป็นชีฟของn-ฟอร์ม (หรือ "ฟอร์มปริมาตร") บนX${\displaystyle \omega _{X}:=\Omega _{X/k}^{n}}$สำหรับมอร์ฟิซึมใดๆ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ของการพับเรียบnครั้ง มีวิธีธรรมชาติในการดึงส่วนต่างๆ ออกมา${\displaystyle \omega _{X}}$กลับไปยังส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle \omega _{Y}}$ในพิกัดท้องถิ่น การดำเนินการดึงกลับนี้จะกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของfเมื่อ${\displaystyle f\colon Y\to X}$เป็นมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลของวาไรตี้เรียบ ซึ่งเป็นการดึงกลับของส่วนหนึ่งของ${\displaystyle \omega _{X}}$หายไปตามตัวหารพิเศษทุกตัวของfเนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเป็นศูนย์ ณ จุดนั้น

สำหรับวาไรตี้Xบนฟิลด์สมบูรณ์ซึ่งเป็นปกติแต่ไม่เรียบ ตำแหน่งเอกฐานของXจะมีมิติร่วมอย่างน้อย 2 ชีฟที่เกี่ยวข้องของ "รูปแบบปริมาตร" เรียกว่าชีฟแคนอนิ ก${\displaystyle \omega _{X}}$ถูกกำหนดโดย: ส่วนหนึ่งของ${\displaystyle \omega _{X}}$บนเซตย่อยเปิดUของXเป็นเพียงn-ฟอร์มบนโลคัสเรียบของU [ ^{5 ] ชีฟ}นี้ไม่จำเป็นต้องเป็นบันเดิลเส้น (ชีฟอิสระเฉพาะที่อันดับ 1) บนX (นั่นคือ ณ จุดเอกฐานpในXอาจไม่มีย่านเปิดUของp ใดๆ ที่มีn-ฟอร์มที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดบน${\displaystyle U^{\text{smooth}}}$แต่เงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle K_{X}}$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คาร์เทียร์ ในนิยามของ "เทอร์มินัล" และอื่นๆ หมายความว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก m บางจำนวนมัดเส้นกำลังเทนเซอร์ ลำดับ ที่m${\displaystyle \omega _{X}^{\otimes m}}$บน${\displaystyle X^{\text{smooth}}}$ขยายไปยังมัดเส้นบนXส่วนหลักของคำจำกัดความของ "เทอร์มินัล" กล่าวว่าสำหรับการแก้ปัญหาของจุดเอกฐาน${\displaystyle f\colon Y\to X}$แต่ละส่วนของ${\displaystyle \omega _{X}}$(บนเซตย่อยเปิดของX ) ดึงกลับไปยังส่วนหนึ่งของ${\displaystyle \omega _{Y}}$ซึ่งจะหายไปเมื่อหารด้วยf ด้วยตัวหารพิเศษทุกตัว และเช่นเดียวกันสำหรับผลคูณบวกทั้งหมดของ${\displaystyle \omega _{X}}$ดังนั้น รูปแบบปริมาตรบนพื้นผิวที่มีลักษณะเฉพาะจึงมีพฤติกรรม "เหมือนกันทุกประการ" กับรูปแบบปริมาตรบนพื้นผิวที่มีลักษณะเรียบ

ในทำนองเดียวกัน คำว่า "แคนอนิก" หมายความว่าส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle \omega _{X}}$ดึงกลับไปยังส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle \omega _{Y}}$และเช่นเดียวกันสำหรับตัวคูณบวก (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ในตัวหารพิเศษ) "Klt" หมายความว่าส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle \omega _{X}}$ดึงกลับไปยังส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle \omega _{Y}}$โดยไม่ต้องมีข้อกำหนดเดียวกันสำหรับผลคูณบวกของ${\displaystyle \omega _{X}}$สุดท้ายนี้ "log canonical" หมายความว่าส่วนต่างๆ ของ${\displaystyle \omega _{X}}$ถอยกลับไปสู่ส่วนที่เป็นเหตุเป็นผลของ${\displaystyle \omega _{Y}}$ซึ่งมีขั้วอันดับ 1 มากที่สุดตามแนวตัวหารพิเศษแต่ละตัว (คำว่า "log" มาจากแนวคิดของรูปแบบลอการิทึม เป็นหลัก ซึ่งก็คือเงื่อนไข "ขั้วอันดับ 1" นี้ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle dx/x}$(คือ 1-ฟอร์มบนเส้นตรงเชิงเส้นที่มี "ขั้วลอการิทึม" อยู่ที่จุดกำเนิด)

ผลที่ตามมาโดยตรงจากนิยามของเอกฐานเชิงแคนอนิกคือ ถ้า วาไร ตี้เชิงโปรเจคทีฟสองวาไรตี้ ที่มีเอกฐานเชิงแคนอนิกเป็นแบบไบราชันนัลแล้ว วาไรตี้ทั้งสองจะมี พลูริจีนาเดียวกัน ซึ่งก็คือมิติของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle H^{0}(X,O(mK_{X}))}$สำหรับทุกคน${\displaystyle m\geq 0}$โดยCaucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher HaconและJames McKernanวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบX ทุกตัวที่ มีประเภททั่วไปเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์นั้นเป็นไบราชันนัล กับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่ไม่ซ้ำ กันตัวหนึ่งที่มีเอกฐานเชิงแคนอนิกและชั้นแคนอนิก ที่ กว้างขวาง เรียกว่า แบบจำลองแคนอนิกของXยิ่งไปกว่านั้นX ยังเป็นไบราชันนัลกับวาไรตี้เชิงโปรเจก ที ฟ (โดยทั่วไปไม่ซ้ำกัน) ที่มีเอกฐานปลายทางและ ชั้นแคนอนิก nefเรียกว่าแบบจำลองขั้นต่ำของX ^{[ 6 ]}สิ่งเหล่านี้เป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการจำแนกประเภทไบราชันนัลของวาไรตี้พีชคณิต

แรงจูงใจในการกำหนดเอกลักษณ์เทอร์มินัลหรือเอกลักษณ์แคนอนิกคือเอกลักษณ์เหล่านี้เป็นคลาสที่เล็กที่สุดของเอกลักษณ์ที่คาดว่าจะสามารถมีแบบจำลองขั้นต่ำหรือแคนอนิกได้ แต่เทคนิคหลายอย่างของโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำกลับใช้งานได้กับเอกลักษณ์แคนอนิก klt หรือแม้แต่ log ที่มีความทั่วไปมากกว่า ส่งผลให้เราสามารถกล่าวได้มากขึ้นโดยพิจารณาคลาสของเอกลักษณ์ที่กว้างขึ้นเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทการหายไปของ Kodairaและทฤษฎีบท Coneขยายไปยังวาไรตี้แคนอนิก log เชิงโปรเจกทีฟ (และคู่ ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง ) ในลักษณะเฉพาะศูนย์^{[ 7 ]}หรืออีกครั้งวาไรตี้ Fano klt ในลักษณะเฉพาะศูนย์นั้นเชื่อมต่อกันอย่างมีเหตุผล^{[ 8 ]}

วาไรตี้เทอร์มินัลที่มีมิติไม่เกิน 2 บนฟิลด์สมบูรณ์นั้นเรียบ (บนฟิลด์ใดๆ ข้อความที่ถูกต้องคือวาไรตี้เทอร์มินัลที่มีมิติไม่เกิน 2 เป็นสกีมปกติ ) นี่อธิบายว่าทำไมแบบจำลองขั้นต่ำของพื้นผิวจึงถือว่าเรียบ โดยทั่วไปแล้ว ตำแหน่งเอกฐานของวาไรตี้เทอร์มินัลใดๆ จะมีมิติร่วมอย่างน้อย 3 ดังนั้น เอกฐานเทอร์มินัลในมิติ 3 จึงแยกตัวออกมา บนจำนวนเชิงซ้อนพวกมันถูกจำแนกโดย Shigefumi Mori (1985)และ Reid โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอกฐานเทอร์มินัล 3 เท่าคือผลหารของเอกฐานไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีมัลติ พลิซิตี้ 2 โดยกลุ่มวัฏจักรจำกัด^{[ 9 ]}ตัวอย่างง่ายๆ ของเอกฐานเทอร์มินัลในมิติ 3 คือโหนด 3 เท่า${\displaystyle xy=zw}$ใน${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{4}}$และเอกภาวะผลหาร${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{3}/\pm 1}$.

เอกภาวะมาตรฐานสองมิติยังเรียกว่าเอกภาวะ du Val ^{[ 10 ]}เหนือจำนวนเชิงซ้อน เอกภาวะเหล่านี้มีความสมมาตรเชิงวิเคราะห์ในระดับท้องถิ่นกับผลหารของระนาบแอฟฟิน${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}}$โดยกลุ่มย่อยจำกัดของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ${\displaystyle SL(2,{\mathbb {C} })}$ในมิติใดๆ ก็ตาม เอกภาวะผลหาร${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}/G}$ถือเป็นแบบแคนอนิกเมื่อGเป็นกลุ่มย่อยจำกัดของ${\displaystyle SL(n,{\mathbb {C} })}$.

ความผิดปกติ klt สองมิติเหนือ${\displaystyle \mathbb {C} }$มีความสมมาตรเชิงวิเคราะห์ในระดับท้องถิ่นกับผลหารของ${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}}$โดยกลุ่มย่อยจำกัดของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป${\displaystyle GL(2,{\mathbb {C} })}$[ ^{11 ]}ในมิติใดๆ เอกภาวะผลหาร^{ทั้งหมด}${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}/G}$(โดยที่Gเป็นกลุ่มย่อยจำกัดของ${\displaystyle GL(n,{\mathbb {C} })}$) คือ klt สำหรับตัวอย่างอื่น ๆวาไรตี้ทอริกXที่มี${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier คือ klt.

ความผิดปกติแบบลอการิทึมแคนอนิกสองมิติได้รับการจำแนกโดยKawamata (1988)ว่าเป็นแบบวงรีเรียบง่าย แบบแหลม หรือแบบเรียบ โดยแบ่งตามการกระทำของกลุ่มจำกัด^{[ 12 ]}ตัวอย่างเช่น พื้นผิว${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}=0}$ใน${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{3}}$เป็นปลายทาง (อันที่จริงคือเรียบ) สำหรับ${\displaystyle d=1}$แคนอนิก (หรือ klt) สำหรับ${\displaystyle d\leq 2}$และลอการิทึมแคนอนิกสำหรับ${\displaystyle d\leq 3}$. สำหรับ${\displaystyle d=2}$นี่คือกรวยเชิงเส้นบน เส้นโค้ง กรวย เรียบ ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{2}}$(เรียกว่าโหนดพื้นผิว) ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นผลหารเช่นกัน${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}/\pm 1}$. สำหรับ${\displaystyle d=3}$นี่คือกรวยเชิงเส้นบนเส้นโค้งวงรี

โดยสรุปจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ มีคำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับเงื่อนไขเหล่านี้สำหรับภาวะเอกฐานของกรวยในมิติใดๆ ก็ได้ ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบเหนือฟิลด์Aเป็นบันเดิลเส้นตรงที่กว้างขวางบนXและYเป็นกรวยเชิงเส้นเหนือXเทียบกับA :

${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\oplus _{m\geq 0}H^{0}(X,A^{\otimes m})).}$

จากนั้น^{[ 13 ]}

• Yเป็นจุดปลายก็ต่อเมื่อAเป็นจุดปลาย${\displaystyle \mathbb {Q} }$- เทียบเท่าเชิงเส้นกับ${\displaystyle c(-K_{X})}$สำหรับจำนวนตรรกยะ บางจำนวน${\displaystyle 0<c<1}$;
• Yเป็นแบบมาตรฐานก็ต่อเมื่อAเป็น แบบมาตรฐานเช่นกัน${\displaystyle \mathbb {Q} }$-เทียบเท่าเชิงเส้นกับ${\displaystyle c(-K_{X})}$สำหรับจำนวนตรรกยะบางจำนวน${\displaystyle 0<c\leq 1}$;
• Yจะเป็น klt ก็ต่อเมื่อAเป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$-เทียบเท่าเชิงเส้นกับ${\displaystyle c(-K_{X})}$สำหรับจำนวนตรรกยะบางจำนวน${\displaystyle c>0}$;
• และYเป็นลอการิทึมแคนอนิกก็ต่อเมื่อ${\displaystyle -K_{X}}$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$-เทียบเท่าเชิงเส้นกับ${\displaystyle bA}$สำหรับจำนวนตรรกยะบางจำนวน${\displaystyle b\geq 0}$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าYเป็น klt แล้วXต้องเป็นFano varietyซึ่งหมายความว่า${\displaystyle -K_{X}}$เพียงพอแล้ว ถ้าYเป็นลอการิทึมแคนอนิก แสดงว่าXเป็นวาไรตี้ฟาโนหรือวาไรตี้คาลาบี-ยาวซึ่งหมายความว่า${\displaystyle K_{X}}$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$-เทียบเท่าเชิงเส้นกับศูนย์ ตัวอย่างเช่น กรวยบนเส้นโค้งวงรีเป็นแบบลอการิทึมแคนอนิกแต่ไม่ใช่แบบ klt และกรวยบนเส้นโค้งที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 ไม่ใช่แบบลอการิทึมแคนอนิก

อีกตัวอย่างหนึ่ง: เนื่องจากบันเดิลแคนอนิกของเส้นโปรเจกทีฟ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$มีปริญญา${\displaystyle -2}$ผลลัพธ์เหล่านี้แสดงให้เห็นว่ากรวยเชิงเส้นบนเส้นโค้งปกติเชิงตรรกะระดับdใน${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$เป็นปลายทาง (อันที่จริงคือเรียบ) สำหรับ${\displaystyle d=1}$เป็นแบบมาตรฐานสำหรับ${\displaystyle d\leq 2}$และ klt สำหรับจำนวนเต็มบวกd ทั้งหมด (ในจำนวนเชิงซ้อน ความผิดปกติบนพื้นผิวเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นความผิดปกติแบบผลหารเช่นกัน)${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}/G}$โดยที่Gคือกลุ่มวัฏจักรลำดับdที่กระทำโดยสเกลาร์)

สำหรับจำนวนเต็มบวก${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$โดยที่nอย่างน้อย 2 ภาวะเอกฐานของพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซ${\displaystyle \{x_{1}^{a_{1}}+\cdots +x_{n}^{a_{n}}=0\}}$ใน${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}}$ถือเป็นหลักการก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}>1}$[ ^{14 ]​}

กลุ่มของภาวะเอกฐานเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเดิมเรื่องภาวะเอกฐานเชิงตรรกะ สมมติว่าฟิลด์พื้นฐานคือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$จากนั้นวาไรตี้ klt ทุกตัวXจะมีเอกฐานเชิงตรรกะ^{[ 15 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งXคือCohen-Macaulay (ข้อความเหล่านี้อาจล้มเหลวสำหรับวาไรตี้ log canonical ตัวอย่างเช่น กรวยแอฟฟินเหนือพื้นผิวอาเบลียนเป็น log canonical แต่ไม่ใช่ Cohen-Macaulay ดังนั้นจึงไม่มีเอกฐานเชิงตรรกะ^{[ 16 ]} )

ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle K_{X}}$ถ้าเป็น Cartier แล้ว "canonical", "klt" และ "rational singularities" ล้วนเทียบเท่ากัน และนั่นหมายความว่าXคือGorenstein ^{[ 17 ]}โดยทั่วไปแล้ว วาไรตี้ klt ทุกตัวX (ในบริเวณใกล้เคียงจุดp ที่กำหนด ) เป็นผลหารโดยกลุ่มวัฏจักรจำกัดGของเอกลักษณ์แบบ canonical Yที่มี${\displaystyle K_{Y}}$คาร์เทียร์เรียกว่าการปกคลุมดัชนี 1ของXใกล้pยิ่งไปกว่านั้นGกระทำการอย่างอิสระในมิติร่วม 1 (หมายความว่ามันกระทำการอย่างอิสระนอกเซตย่อยปิดที่มีมิติร่วมอย่างน้อย 2 ในY ) ส่งผลให้มีจุดเอกฐาน klt เหนือ${\displaystyle \mathbb {C} }$เป็นผลหารที่แน่นอนของเอกภาวะ Gorenstein เชิงตรรกะโดยกลุ่มวัฏจักรที่กระทำอย่างอิสระในมิติร่วม 1 ^{[ 18 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ตามแนวคิดของ Kawamata แนวคิดเหล่านี้สามารถนิยามได้สำหรับคู่ (หรือคู่ลอการิทึม )${\displaystyle (X,\Delta )}$กล่าวคือ ให้Xเป็นวาไรตี้ปกติ และให้${\displaystyle \Delta }$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$ตัวหารบนX (การรวมเชิงเส้นจำกัดของซับวาไรตี้ที่มีมิติร่วม 1 และสัมประสิทธิ์ตรรกยะ) โดยที่${\displaystyle K_{X}+\Delta }$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คาร์เทียร์ (คุณสมบัติต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับรายละเอียดเฉพาะ)${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร${\displaystyle \Delta }$ไม่ใช่แค่บนชั้นสมมูล เชิงเส้นเท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว นิยามเหล่านี้ทำงานในลักษณะเดียวกันสำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ตัวหาร) แนวคิดพื้นฐานคือการมองคู่หนึ่งเป็นการสรุปทั่วไปของความหลากหลาย โดยมี "ชั้นมาตรฐาน" ของคู่นั้น${\displaystyle (X,\Delta )}$สิ่งมีชีวิต${\displaystyle K_{X}+\Delta }$.

อนุญาต${\displaystyle f\colon Y\to X}$เป็นความละเอียดของบันทึก${\displaystyle (X,\Delta )}$หมายความว่าYเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และการรวมกันของโลคัสพิเศษของfกับการแปลงแบบเข้มงวดของ${\displaystyle \Delta }$เป็นตัวหารที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายบนY ( การแปลงที่เข้มงวด ของกลุ่มย่อย Sที่มีมิติร่วม 1 ของX (ซึ่งเข้าใจว่าไม่สามารถลดทอนได้) คือกลุ่มย่อยที่มีมิติร่วม 1 ที่ไม่ซ้ำกันของYที่แมปไปยังSซึ่งขยายไปสู่การรวมเชิงเส้นจำกัดของกลุ่มย่อยได้อย่างชัดเจน) มีนิยามที่ชัดเจน${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร${\displaystyle \Gamma }$บนYโดยที่

${\displaystyle K_{Y}+\Gamma =f^{*}(K_{X}+\Delta ).}$

(ในที่นี้คือการแปลงอย่างเข้มงวดของแต่ละองค์ประกอบของ${\displaystyle \Delta }$มีสัมประสิทธิ์เดียวกันใน${\displaystyle \Gamma }$เช่นเดียวกับ${\displaystyle \Delta }$ทั้งคู่${\displaystyle (X,\Delta )}$เรียกว่า^{[ 2 ]}

• เทอร์มินัลล็อกคาวามาตะ (klt) ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ${\displaystyle \Gamma }$เป็น${\displaystyle <1}$,
• ลอการิทึมแคนอนิก (lc) ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ${\displaystyle \Gamma }$เป็น${\displaystyle \leq 1}$.

คุณสมบัติเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องระบุความละเอียดของบันทึกข้อมูลที่เฉพาะเจาะจง${\displaystyle (X,\Delta )}$กล่าวคือ ให้${\displaystyle f\colon Y\to X}$เป็น มอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัล ที่เหมาะสม ใดๆ จากวาไรตี้ปกติYไปยังXมีนิยามที่ชัดเจน${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร${\displaystyle \Gamma }$บนY ดังที่กล่าวมาข้างต้น สำหรับแต่ละซับวาไรตี้ Eที่มีมิติร่วม 1 ในYให้กำหนดความคลาดเคลื่อนของEเทียบกับ${\displaystyle (X,\Delta )}$เนื่องจากเป็นค่าลบของสัมประสิทธิ์ของEใน${\displaystyle \Gamma }$. แล้ว${\displaystyle (X,\Delta )}$กล่าวได้ว่าklt คือ ถ้าตัวหารที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทุกตัวEเหนือX (นั่นคือ ในทุกวาไรตี้Y ดังกล่าว ) มีความคลาดเคลื่อน${\displaystyle >-1}$. เช่นเดียวกัน,${\displaystyle (X,\Delta )}$เรียกว่าลอการิทมิกแคนอนิกถ้าตัวหารที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทุกตัวEเหนือXมีค่าคลาดเคลื่อน${\displaystyle \geq -1}$[ ^{2 ] (สิ่งนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความก่อนหน้านี้หากมีการ แก้ไข}บันทึก เช่น เมื่อฟิลด์ฐานมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ คำจำกัดความในย่อหน้านี้เป็นคำจำกัดความที่ใช้เมื่อไม่ทราบว่ามีการแก้ไขบันทึก เช่น เมื่อฟิลด์ฐานมีลักษณะเฉพาะเป็นบวกและXมีมิติมากกว่า 3)

โดยใช้คำศัพท์นี้ เราสามารถกำหนดประเภทของคู่ที่เกี่ยวข้องได้หลายประเภทดังต่อไปนี้ กล่าวคือ คู่${\displaystyle (X,\Delta )}$เป็น

• เทอร์มินัลถ้า${\displaystyle \Delta }$มีสัมประสิทธิ์${\displaystyle <1}$และตัวหารพิเศษทุกตัวเหนือXมีค่าคลาดเคลื่อน${\displaystyle >0}$(ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle (X,\Delta )}$),
• เป็นไปตามหลักการถ้า${\displaystyle \Delta }$มีสัมประสิทธิ์${\displaystyle \leq 1}$และตัวหารพิเศษทุกตัวเหนือXมีค่าคลาดเคลื่อน${\displaystyle \geq 0}$,
• เทอร์มินัลบันทึกข้อมูลล้วนๆ (plt) ถ้า${\displaystyle \Delta }$มีสัมประสิทธิ์${\displaystyle \leq 1}$และตัวหารพิเศษทุกตัวเหนือXมีค่าคลาดเคลื่อน${\displaystyle >-1}$.

นี่คือตัวหารพิเศษเหนือ${\displaystyle X}$หมายถึงตัวหารที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้Eในรูปแบบปกติบางรูปแบบ${\displaystyle Y\to X}$ดังที่กล่าวมาข้างต้น ภาพของEในXจะมีมิติร่วมอย่างน้อย 2 เมื่อ${\displaystyle \Delta =0}$คำจำกัดความของ "เทอร์มินัล" และ "แคนอนิก" เหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นสำหรับวาไรตี้มากกว่าคู่ เมื่อXมีมิติอย่างน้อย 2 ข้อสมมติในคำจำกัดความเหล่านี้เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle \Delta }$สามารถละเว้นได้ (เป็นผลมาจากเงื่อนไขเกี่ยวกับตัวหารพิเศษ) ^{[ 19 ]}

คู่ประเภทสุดท้ายที่เกี่ยวข้องคือ:${\displaystyle (X,\Delta )}$คือเทอร์มินัลลอการิทึมตัวหาร (dlt) ถ้า${\displaystyle \Delta }$มีสัมประสิทธิ์ไม่เกิน 1 และความคลาดเคลื่อนคือ${\displaystyle >-1}$สำหรับตัวหารพิเศษทุกตัวบนXซึ่งภาพของตัวหารนั้นอยู่ในXและบรรจุอยู่ในเซตย่อยปิดที่คู่${\displaystyle (X,\Delta )}$ไม่มีการตัดกันปกติแบบง่าย^{[ 19 ]} (โดยคร่าวๆ หมายความว่า "dlt" เป็นคลาสคู่ที่เล็กที่สุดที่รวมคู่ klt เช่นเดียวกับคู่ตัดกันปกติแบบง่ายที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เกิน 1)

ในมิติอย่างน้อย 2 ถ้าเป็นคู่${\displaystyle (X,\Delta )}$ไม่ใช่ลอการิทึมแคนอนิก หมายความว่าตัวหารที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้บางตัวเหนือXมีค่าความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า${\displaystyle -1}$จากนั้นจะมีตัวหารที่ไม่สามารถแยกย่อยได้เหนือXที่มีความคลาดเคลื่อนเชิงลบตามอำเภอใจ^{[ 3 ]}นั่นอธิบายว่าทำไม "log canonical" จึงเป็นเงื่อนไขทั่วไปที่สุดที่สามารถกำหนดได้ตามแนวทางเหล่านี้สำหรับวาไรตี้ปกติ (มีการวางนัยทั่วไปที่เป็นประโยชน์ของ "log canonical" สำหรับแบบแผนที่ไม่ใช่ปกติ "semi-log canonical" หรือ "slc" ^{[ 20 ]}ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งเสถียรเป็น slc)

เหตุผลเชิงปฏิบัติประการหนึ่งสำหรับการศึกษาคู่คือ ผลลัพธ์หลายอย่างจากโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำได้รับการขยายจากวาไรตี้ไปสู่คู่ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระและทฤษฎีบทกรวยใช้ได้กับคู่ลอการิทึมแคนอนิกเชิงโปรเจกทีฟ (หรือแม้แต่คู่ slc)${\displaystyle (X,\Delta )}$กับ${\displaystyle \Delta }$มีประสิทธิภาพ (นั่นคือ มีสัมประสิทธิ์)${\displaystyle \geq 0}$). ^{[ 7 ]}หรืออีกครั้ง: สำหรับคู่ Fano dlt${\displaystyle (X,\Delta )}$(หมายความว่าXเป็นปริภูมิเชิงฉาย)${\displaystyle -(K_{X}+\Delta )}$มีพื้นที่เหลือเฟือ และ${\displaystyle \Delta }$มีประสิทธิภาพ) Xเชื่อมต่อกันอย่างมีเหตุผล^{[ 8 ]}ดังนั้น อาจเป็นไปได้ที่จะพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหลากหลายที่กำหนดXโดยการค้นหาสิ่งที่เหมาะสม${\displaystyle \Delta }$.

เช่นเดียวกับที่เอกภาวะปลายทางและเอกภาวะเชิงกฎเกณฑ์เกิดขึ้นในแบบจำลองขั้นต่ำและแบบจำลองเชิงกฎเกณฑ์ของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ คู่เชิงกฎเกณฑ์ dlt และ log เกิดขึ้นตามธรรมชาติในฐานะแบบจำลอง "ขั้นต่ำ" หรือ "เชิงกฎเกณฑ์ log" ของคู่${\displaystyle (X,D)}$โดยที่Xเป็นโปรเจคทีฟเรียบ และDเป็นตัวหารตัดกันปกติแบบง่ายที่มีสัมประสิทธิ์ 1 ^{[ 21 ]}แรงจูงใจแรกเริ่มในการศึกษาคู่ดังกล่าวคือการจำแนกวาไรตี้เรียบที่ไม่กระชับให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ อันที่จริง วาไรตี้กึ่งโปรเจคทีฟเรียบ ทุก ตัวเหนือ${\displaystyle \mathbb {C} }$สามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle X-D}$สำหรับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบX บางตัว และตัวหารD บางตัว ที่มีจุดตัดปกติแบบง่าย คู่ที่กำหนด${\displaystyle (X,D)}$จากนั้นจึงสามารถลดความซับซ้อนลงได้โดยใช้โปรแกรมโมเดลขั้นต่ำ

ในเชิงปรัชญา นิยามของภาวะเอกฐานปลายทาง (ตัวอย่างเช่น) แสดงให้เห็นแล้วว่า คุณสมบัติหลายอย่างของความหลากหลายXสามารถเข้ารหัสได้ด้วยการแก้ภาวะเอกฐาน${\displaystyle f\colon Y\to X}$ร่วมกับ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร${\displaystyle \Delta }$โดยที่${\displaystyle f^{*}(K_{X})=K_{Y}+\Delta }$สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าคู่ต่างๆ สามารถมองได้ว่าเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่เทียบได้กับความหลากหลาย: สำหรับบางวัตถุประสงค์Xสามารถแทนที่ด้วยคู่ได้${\displaystyle (Y,\Delta )}$กล่าวได้ว่าXเป็นจำนวนเชิงตรรกะ คู่ที่สัมพันธ์ กับคู่${\displaystyle (Y,\Delta )}$[ ^{22 ]​}

สำหรับคู่ (ตรงข้ามกับความหลากหลาย) เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดคือ "log canonical" และ "log terminal" ในรูปแบบต่างๆ เงื่อนไขเหล่านี้ใช้วัดความผิดปกติของความหลากหลายXร่วมกับความผิดปกติของ...${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร${\displaystyle \Delta }$โดยให้สัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle \Delta }$คำว่า "vary" ให้ค่าเชิงปริมาณที่บ่งบอกถึงความเป็นเอกลักษณ์ของส่วนประกอบต่างๆ${\displaystyle \Delta }$เช่น สำหรับCเส้นโค้งลูกบาศก์ปลายแหลม${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ในระนาบแอฟฟิน${\displaystyle A^{2}}$ทั้งคู่${\displaystyle (A^{2},bC)}$klt ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle b<5/6}$และมันเป็นลอการิทึมแคนอนิกก็ต่อเมื่อ${\displaystyle b\leq 5/6}$[ ^{23 ]}นั่นคือ เส้นโค้งแหลมในพื้นผิวเรียบมี^{เกณฑ์}ลอการิทึมแคนอนิก${\displaystyle 5/6}$(ดังตัวอย่างนี้แสดงให้เห็น การลดค่าสัมประสิทธิ์จะยังคงรักษา "klt" และเงื่อนไขอื่นๆ เหล่านี้ไว้สำหรับคู่เสมอ)${\displaystyle (X,\Delta )}$โดยสมมติว่าคุณสมบัติ "${\displaystyle K_{X}+\Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คำกล่าวที่ว่า "Cartier" ยังคงเป็นจริง)

ในกรณีง่ายๆ ให้Xเป็นวาไรตี้เรียบ และให้${\displaystyle \Delta }$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$ตัวหารบนXที่มีจุดตัดปกติแบบง่ายบนส่วนรองรับ (ตัวอย่างเช่นXอาจเป็นระนาบเชิงเส้นตรง)${\displaystyle A^{2}}$และ${\displaystyle \Delta }$อาจเป็นแกนพิกัดสองแกน โดยมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะที่กำหนดไว้ในแต่ละแกน) จากนั้นคู่${\displaystyle (X,\Delta )}$klt ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle \Delta }$มีค่าน้อยกว่า 1 ต่อไป "dlt" และ "log canonical" ต่างก็เทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle \Delta }$โดยมีค่าสูงสุดเพียง 1 เท่านั้น สุดท้าย "plt" หมายความว่าสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle \Delta }$มีค่าอย่างมากที่สุด 1 และไม่มีส่วนประกอบสองส่วนใดที่มีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 มาบรรจบกัน โดยทั่วไปแล้ว คู่หนึ่ง${\displaystyle (X,\Delta )}$plt จะเป็น plt ก็ต่อเมื่อ dlt เป็น dlt และไม่มีส่วนประกอบสองส่วนของ${\displaystyle \Delta }$โดยมีสัมประสิทธิ์ 1 พบกัน^{[ 24 ]}

เงื่อนไข "dlt" เป็นเงื่อนไขเฉพาะที่ในโทโพโลยี Zariskiแต่ไม่ใช่ในโทโพโลยีแบบคลาสสิกเหนือ${\displaystyle \mathbb {C} }$(หรือในโทโพโลยีแบบเอตาเลบนฟิลด์ทั่วไป) ตัวอย่างเช่น ให้Cเป็นเส้นโค้งลูกบาศก์แบบมีจุดศูนย์${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$ในระนาบแอฟฟิน${\displaystyle A^{2}}$เกิน${\displaystyle \mathbb {C} }$จากนั้นทั้งคู่ก็...${\displaystyle (A^{2},C)}$เป็นแบบลอการิทึมมาตรฐานแต่ไม่ใช่แบบ dlt แม้ว่าจุดเอกฐานของCจะสมมาตรเชิงวิเคราะห์ในระดับท้องถิ่นกับแกนพิกัดทั้งสองใน${\displaystyle A^{2}}$ประเด็นคือCมีจุดตัดปกติแต่ไม่ใช่จุดตัดปกติแบบง่าย^{[ 25 ]}การใช้ "จุดตัดปกติแบบง่าย" ในคำจำกัดความทำให้คู่ dlt ง่ายต่อการใช้งานมากขึ้น ในขณะที่ยังคงกว้างพอที่จะรวมแบบจำลองขั้นต่ำของคู่จุดตัดปกติแบบง่าย

สำหรับคู่หนึ่ง${\displaystyle (X,\Delta )}$ซึ่งส่งผลให้เกิดข้อสรุปดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\text{terminal}}\implies {\text{canonical}}\implies {\text{plt}}\implies {\text{dlt}}\implies {\text{lc}}.}$

นอกจากนี้ "terminal" ยังหมายถึง "klt" ซึ่งหมายถึง "plt" คู่แคนอนิกไม่จำเป็นต้องเป็น klt เสมอไป ดังที่แสดงโดยคู่ดังกล่าว${\displaystyle (X,D)}$โดยที่Xเป็นพันธุ์เรียบ และDเป็นพันธุ์ย่อยเรียบที่มีมิติร่วม 1 และสัมประสิทธิ์ 1

แนวคิดของ "plt" เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการให้เหตุผลโดยการอุปมานในมิติ ตัวอย่างเช่น ให้Sเป็นวาไรตีย่อยที่กำหนดโดยสมการเดียวในวาไรตีปกติX (ดังนั้นSจึงเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ในX ) จากนั้นสูตรการเชื่อมโยงจะกล่าวว่า${\displaystyle K_{S}=(K_{X}+S)|_{S}}$ด้วยเหตุนี้ จึงหวังได้ว่าจะสามารถส่งต่อข้อมูลเกี่ยวกับความหลากหลายมิติที่ต่ำกว่าSไปสู่ข้อมูลเกี่ยวกับคู่ดังกล่าวได้${\displaystyle (X,S)}$ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะศึกษาคู่ที่มีสัมประสิทธิ์ 1 แม้ว่าเป้าหมายคือการพิสูจน์สิ่งต่างๆ เกี่ยวกับวาไรตี้ก็ตาม เครื่องมือที่มีประโยชน์ในการโต้แย้งดังกล่าวคือทฤษฎีบทเกี่ยวกับการผกผันของการเชื่อมโยงเวอร์ชันที่เรียบง่ายกล่าวว่า: ถ้าSเป็น Cartier ในXและ${\displaystyle K_{X}}$เป็น${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คาร์เทียร์ จากนั้นก็เป็นคู่กัน${\displaystyle (X,S)}$plt บนย่านใกล้เคียงแบบเปิดของSก็ต่อเมื่อSเป็น klt ^{[ 26 ]}

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของเงื่อนไข dlt (และของเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าทั้งหมด) คือ: สำหรับคู่ dlt${\displaystyle (X,\Delta )}$เหนือสนามที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ด้วย${\displaystyle \Delta }$มีประสิทธิภาพXมีเอกฐานเชิงตรรกะ^{[ 15 ]}สิ่งนี้ล้มเหลวโดยทั่วไปสำหรับคู่แคนอนิกแบบลอการิทึม (และแม้แต่วาไรตี้แคนอนิกแบบลอการิทึม) ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

กล่าวกันว่า พันธุ์Xเป็นประเภท kltถ้าทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิด Zariski Uที่มีประสิทธิผลอยู่ภายใน${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ตัวหาร${\displaystyle \Delta }$โดยที่ทั้งคู่${\displaystyle (U,\Delta )}$คือ klt ^{[ 27 ]} (เหตุผลหนึ่งในการสร้างคำจำกัดความนี้คืออาจไม่มีทางเลือกตามธรรมชาติของ${\displaystyle \Delta }$ตัวอย่างเช่น วาไรตี้ทอริกทุกตัวเป็นประเภท klt อีกตัวอย่างหนึ่งคือ กรวยแอฟฟินYเหนือการฝังเซเกร${\displaystyle X={\mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {P} }^{2}\subset \mathbf {P} ^{5}}$หรือที่รู้จักกันในชื่อพันธุ์กำหนดของ${\displaystyle 2\times 3}$เมทริกซ์ที่มีอันดับไม่เกิน 1 เป็นประเภท klt แต่ไม่ใช่ klt ^{[ 13 ]} (อันที่จริง${\displaystyle K_{Y}}$ไม่ใช่${\displaystyle \mathbb {Q} }$-คาร์เทียร์ เพราะว่า${\displaystyle -K_{X}=O(2,3)}$ไม่ใช่ผลคูณตรรกยะของ${\displaystyle O_{{\mathbf {P} }^{5}}(1)|_{X}=O(1,1)}$ในกลุ่มของปิการ์ด${\displaystyle {\text{Pic}}({\mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {P} }^{2})\cong {\mathbb {Z} }^{2}}$จากย่อหน้าก่อนหน้า ประเภท klt บ่งชี้ถึงภาวะเอกฐานเชิงตรรกะที่ศูนย์ลักษณะเฉพาะ

• ตัวคูณในอุดมคติ