เรขาคณิตพีชคณิตไม่สลับที่

Q: เรขาคณิตพีชคณิตอนุพันธ์

แนวทางล่าสุดอาจเป็นการใช้ ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป โดยวางเรขาคณิตพีชคณิตที่ไม่สลับที่ไว้ในขอบเขตของ เรขาคณิตพีชคณิต อนุพันธ์

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตไม่สลับที่เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นทิศทางหนึ่งในเรขาคณิตไม่สลับที่ซึ่งศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของคู่ทางรูปธรรมของวัตถุเชิงพีชคณิต ไม่สลับ ที่ เช่นริงตลอดจนวัตถุทางเรขาคณิตที่ได้มาจากวัตถุเหล่านั้น (เช่น โดยการเชื่อมต่อตามการกำหนดตำแหน่ง หรือการหาผลหารของสแต็ก ไม่สลับที่ )

ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่นั้นคาดว่าจะขยายแนวคิดของโครงร่างพีชคณิตโดยการเชื่อมต่อสเปกตรัมของวงแหวนแบบไม่สลับที่อย่างเหมาะสม ขึ้นอยู่กับว่าเป้าหมายนี้ (และแนวคิดของสเปกตรัม) ถูกเข้าใจอย่างตรงตัวและโดยทั่วไปเพียงใดในบริบทแบบไม่สลับที่ ซึ่งความสำเร็จนั้นแตกต่างกันไป วงแหวนแบบไม่สลับที่ในที่นี้เป็นการขยายวงแหวนแบบสลับที่ของฟังก์ชันปกติบนโครงร่างแบบสลับที่ ฟังก์ชันบนปริภูมิปกติในเรขาคณิตพีชคณิต แบบดั้งเดิม (แบบสลับที่) มีผลคูณที่กำหนดโดยการคูณแบบจุดต่อจุดเนื่องจากค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สลับที่กันได้ฟังก์ชันจึงสลับที่กันด้วย กล่าวคือaคูณbเท่ากับbคูณaเป็นที่น่าสังเกตว่าการมองพีชคณิตแบบเชื่อมโยงแบบไม่สลับที่ว่าเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันบนปริภูมิที่ "ไม่สลับที่" นั้นเป็นสัญชาตญาณทางเรขาคณิตที่กว้างไกล แม้ว่าในทางรูปแบบแล้วจะดูเหมือนเป็นความผิดพลาดก็ตาม

แรงจูงใจส่วนใหญ่สำหรับเรขาคณิตไม่สลับที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตพีชคณิตไม่สลับที่ มาจากฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากฟิสิกส์ควอนตัม ซึ่งพีชคณิตของปริมาณที่สังเกตได้ถูกมองว่าเป็นอนาล็อกไม่สลับที่ของฟังก์ชัน ดังนั้นการมีความสามารถในการสังเกตลักษณะทางเรขาคณิตของพวกมันจึงเป็นสิ่งพึงปรารถนา

คุณค่าประการหนึ่งของสาขานี้คือ มันยังนำเสนอเทคนิคใหม่ๆ ในการศึกษาวัตถุในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน เช่นกลุ่มบราวเออร์ (Brauer groups )

วิธีการของเรขาคณิตพีชคณิตไม่สลับที่นั้นเป็นอนาล็อกของวิธีการของเรขาคณิตพีชคณิตสลับที่ แต่โดยทั่วไปแล้วพื้นฐานจะแตกต่างกัน พฤติกรรมเฉพาะที่ในเรขาคณิตพีชคณิตสลับที่นั้นถูกอธิบายได้ด้วยพีชคณิตสลับ ที่ โดย เฉพาะอย่างยิ่งการศึกษาเรื่อง วงแหวน เฉพาะที่ ซึ่งไม่มีอนาล็อกในทฤษฎีวงแหวนในบริบทไม่สลับที่ แม้ว่าในการตั้งค่าเชิงหมวดหมู่ เราสามารถพูดถึงสแต็กของหมวดหมู่เฉพาะที่ของชีฟกึ่งสอดคล้องกันเหนือสเปกตรัมไม่สลับที่ได้ คุณสมบัติโดยรวม เช่น คุณสมบัติที่เกิดขึ้นจากพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและทฤษฎี Kมักจะถ่ายทอดไปยังบริบทไม่สลับที่ได้มากกว่า

ประวัติศาสตร์

แนวทางแบบคลาสสิก: ประเด็นเรื่องการกำหนดตำแหน่งที่ไม่สลับที่ได้

เรขาคณิตพีชคณิตเชิงสลับที่เริ่มต้นด้วยการสร้างสเปกตรัมของวงแหวนจุดของวาไรตี้พีชคณิต (หรือโดยทั่วไปคือสกีม ) คืออุดมคติเฉพาะของวงแหวน และฟังก์ชันบนวาไรตี้พีชคณิตคือองค์ประกอบของวงแหวน อย่างไรก็ตาม วงแหวนที่ไม่สลับที่อาจไม่มีอุดมคติเฉพาะสองด้านที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น นี่เป็นจริงสำหรับพีชคณิตเวล์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ พหุนาม บนปริภูมิแอฟฟิน: พีชคณิตเวล์เป็นวงแหวนแบบง่ายดังนั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถพยายามแทนที่สเปกตรัมเฉพาะด้วยสเปกตรัมดั้งเดิมได้ นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีการกำหนดตำแหน่งที่ไม่สลับที่และทฤษฎีการลงมาซึ่งใช้งานได้ในระดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่นพีชคณิตห่อหุ้มของDixmierอาจถูกมองว่าเป็นการทำงานเรขาคณิตพีชคณิตที่ไม่สลับที่สำหรับสเปกตรัมดั้งเดิมของพีชคณิตห่อหุ้มของพีชคณิตลีงานอีกชิ้นหนึ่งที่มีแนวคิดคล้ายกันคือบันทึกของMichael Artin ที่มีชื่อว่า “วงแหวนที่ไม่สลับที่” ^[¹^]ซึ่งส่วนหนึ่งเป็นการพยายามศึกษาทฤษฎีการแทนจากมุมมองของเรขาคณิตที่ไม่สลับที่ ความเข้าใจที่สำคัญของทั้งสองแนวทางคือการแทนแบบลดทอนไม่ได้หรืออย่างน้อยอุดมคติแบบดั้งเดิมสามารถคิดได้ว่าเป็น “จุดที่ไม่สลับที่”

มุมมองสมัยใหม่โดยใช้หมวดหมู่ของมัดฟาง

ปรากฏว่า การเริ่มต้นจากสเปกตรัมพื้นฐานนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพัฒนาทฤษฎีชีฟ ที่ใช้งานได้ จริง อาจจินตนาการได้ว่าความยากลำบากนี้เกิดจากปรากฏการณ์ควอนตัมบางอย่าง กล่าวคือ จุดในปริภูมิหนึ่งสามารถส่งผลกระทบต่อจุดที่อยู่ไกลออกไป (และในความเป็นจริง การพิจารณาจุดแต่ละจุดแยกกันและมองปริภูมิเป็นเพียงการรวมกลุ่มของจุดนั้นไม่เหมาะสม)

ด้วยเหตุผลข้างต้น จึงยอมรับแบบแผนที่แฝงอยู่ในวิทยานิพนธ์ของปิแอร์ กาเบรียล และได้รับการสนับสนุนบางส่วนจาก ทฤษฎีบทการสร้างใหม่ของกาเบรียล-โรเซนเบิร์ก (ตั้งชื่อตามปิแอร์ กาเบรียลและอเล็กซานเดอร์ แอล. โรเซนเบิร์ก ) ที่ว่า แผนผังแบบสลับที่ได้ สามารถสร้างขึ้นใหม่ได้ โดยพิจารณาถึงความเหมือนกันของแผนผัง จากหมวดหมู่แบบอาเบลของชีฟกึ่งสอดคล้องกันบนแผนผังนั้น เท่านั้น อเล็กซานเดอร์ โกรเทนดิคสอนว่า ในการทำเรขาคณิต ไม่จำเป็นต้องมีปริภูมิ เพียงแค่มีหมวดหมู่ของชีฟบนปริภูมิที่สมมติขึ้นก็เพียงพอแล้ว แนวคิดนี้ได้รับการถ่ายทอดไปยังพีชคณิตแบบไม่สลับที่โดยยูริ มานินนอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทการสร้างใหม่ที่อ่อนกว่าเล็กน้อยจากหมวดหมู่ที่ได้มาของชีฟ (กึ่ง) สอดคล้องกัน ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้กับเรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่ที่ได้มา (ดูด้านล่าง)

เรขาคณิตพีชคณิตอนุพันธ์

แนวทางล่าสุดอาจเป็นการใช้ทฤษฎีการเปลี่ยนรูปโดยวางเรขาคณิตพีชคณิตที่ไม่สลับที่ไว้ในขอบเขตของเรขาคณิตพีชคณิตอนุพันธ์

เพื่อเป็นตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดความเข้าใจมากขึ้น ลองพิจารณา พีชคณิตเวล์แบบหนึ่งมิติเหนือจำนวนเชิงซ้อนCซึ่งเป็นผลหารของวงแหวนอิสระC < x , y > โดยความสัมพันธ์

xy - yx = 1.

วงแหวนนี้แทนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์พหุนามในตัวแปรเดียวxโดยที่yแทนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงแหวนนี้เข้ากันได้กับตระกูลพารามิเตอร์เดียวที่กำหนดโดยความสัมพันธ์xy - yx = αเมื่อ α ไม่เป็นศูนย์ ความสัมพันธ์นี้จะกำหนดวงแหวนที่สมมาตรกับพีชคณิตเวล์ แต่เมื่อ α เป็นศูนย์ ความสัมพันธ์นี้จะเป็นความสัมพันธ์การสลับที่สำหรับxและyและวงแหวนผลหารที่ได้จะเป็นวงแหวนพหุนามในสองตัวแปรC [ x , y ] ในทางเรขาคณิต วงแหวนพหุนามในสองตัวแปรแทนปริภูมิแอฟฟิน สองมิติ A2 ดังนั้นการมี ^อยู่ของตระกูลพารามิเตอร์เดียวนี้บอกว่าปริภูมิแอฟฟินยอมรับการเปลี่ยนแปลงแบบไม่สลับที่ไปยังปริภูมิที่กำหนดโดยพีชคณิตเวล์ การ ^{เปลี่ยนแปลง}นี้เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และA2คือมัดโคแทนเจนต์ของเส้นแอฟฟิน (การศึกษาพีชคณิตเวล์สามารถนำไปสู่ข้อมูลเกี่ยวกับปริภูมิเชิงเส้นตรงได้: ข้อสันนิษฐานของดิกซ์เมียร์เกี่ยวกับพีชคณิตเวล์นั้นเทียบเท่ากับข้อสันนิษฐานของจาโคเบียนเกี่ยวกับปริภูมิเชิงเส้นตรง)

ในแนวทางนี้ แนวคิดเรื่องoperadซึ่งหมายถึงเซตหรือพื้นที่ของการดำเนินการ กลายเป็นสิ่งสำคัญ ดังที่ฟรานซิสได้เขียนไว้ในบทนำของ( Francis 2008 )ว่า:

เราเริ่มต้นการศึกษา เรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่มีคุณสมบัติการสลับ ที่น้อยกว่า บางประเภท ... เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหนือ ${\mathcal {E}}_{n}$ วงแหวนเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นการเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีที่ได้มาจากเรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่และแบบสลับที่ เมื่อnเพิ่มขึ้น สิ่งเหล่านี้ ${\mathcal {E}}_{n}$ -พีชคณิตลู่เข้าสู่เรขาคณิตพีชคณิตอนุพันธ์ของ Toën-Vezzosi และLurie

การฉายภาพของวงแหวนที่ไม่สลับที่

หนึ่งในโครงสร้างพื้นฐานในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนคือการสร้าง Projของวงแหวนเชิงสลับเปลี่ยนแบบมีระดับการสร้างนี้สร้างวาไรตี้พีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟพร้อมกับบันเดิลเส้นที่กว้างขวางมากซึ่งวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์คือวงแหวนดั้งเดิม การสร้างปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐานของวาไรตี้ต้องอาศัยการทำให้วงแหวนเป็นโลคัลไลเซชัน แต่การสร้างชีฟบนปริภูมินั้นไม่จำเป็น ตามทฤษฎีบทของJean-Pierre Serreชีฟกึ่งสอดคล้องกันบน Proj ของวงแหวนแบบมีระดับนั้นเหมือนกับโมดูลแบบมีระดับเหนือวงแหวนจนถึงปัจจัยมิติจำกัด ปรัชญาของทฤษฎีโทโพสที่ส่งเสริมโดยAlexander Grothendieckกล่าวว่าหมวดหมู่ของชีฟบนปริภูมิสามารถทำหน้าที่เป็นปริภูมิเองได้ ดังนั้น ในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงไม่สลับเปลี่ยน มักจะกำหนด Proj ในลักษณะต่อไปนี้: ให้Rเป็น พีชคณิต C แบบมีระดับ และให้ Mod- Rแทนหมวดหมู่ของโมดูล ขวา R แบบมีระดับ ให้Fแทนหมวดหมู่ย่อยของ Mod- Rที่ประกอบด้วยโมดูลทั้งหมดที่มีความยาวจำกัด Proj Rถูกนิยามให้เป็นผลหารของหมวดหมู่เชิงอาเบเลียน Mod- RโดยFหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นโลคัล ไลเซชัน ของ Mod- Rซึ่งโมดูลสองโมดูลจะสม isomorphic กันก็ต่อเมื่อ หลังจากนำผลรวมโดยตรงของโมดูลทั้งสองกับวัตถุที่เลือกอย่างเหมาะสมของFแล้ว โมดูลทั้งสองนั้นจะสม isomorphic กันใน Mod - R

แนวทางนี้จะนำไปสู่ทฤษฎีเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟที่ไม่สลับที่กันเส้นโค้งเชิงโปรเจคทีฟเรียบที่ไม่สลับที่กันจะกลายเป็นเส้นโค้งเรียบที่สลับที่กันได้ แต่สำหรับเส้นโค้งเอกฐานหรือปริภูมิหลายมิติเรียบ การตั้งค่าที่ไม่สลับที่กันจะทำให้เกิดวัตถุใหม่ขึ้น

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑เอ็ม. อาร์ติน,วงแหวนไม่สลับที่

อ่านเพิ่มเติม

A. Bondal, D. Orlov, การแยกส่วนกึ่งตั้งฉากสำหรับวาไรตี้พีชคณิต, เอกสารก่อนตีพิมพ์ MPI/95–15, alg-geom/9506006
Tomasz Maszczyk, เรขาคณิตไม่สลับที่ผ่านหมวดหมู่โมโนอิดัล, math.QA/0611806
S. Mahanta, เกี่ยวกับแนวทางบางประการสู่เรขาคณิตพีชคณิตที่ไม่สลับที่, math.QA/0501166
Ludmil Katzarkov , Maxim Kontsevich , Tony Pantev, Hodge theoretic aspects of mirror symmetry, arxiv/0806.0107
ดมิทรี คาเลดินบรรยายที่โตเกียว เรื่อง "วิธีการทางโฮโมโลยีในเรขาคณิตไม่สลับที่" ( ไฟล์ PDF , TeX ) และ บรรยายที่โซล (คล้ายกันแต่แตกต่างกัน)

ลิงก์ภายนอก

MathOverflow, ทฤษฎีเรขาคณิตไม่สลับที่
เรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่ ณห้องปฏิบัติการ n
เรขาคณิตพีชคณิตไม่สลับที่สมมาตรที่ห้องปฏิบัติการ n
แผนการไม่สลับที่ในห้องปฏิบัติการ n
เรขาคณิตแบบไม่สลับที่ของคาปรานอฟที่ห้องปฏิบัติการ n

[1] เอ็ม. อาร์ติน,วงแหวนไม่สลับที่

[