วงแหวนไม่สลับที่

ในทางคณิตศาสตร์วงแหวนไม่สลับที่คือวงแหวนที่การคูณไม่เป็นไปตามกฎ การสลับ ที่ กล่าวคือ มีสมาชิกaและbในวงแหวนนั้นที่ทำให้abและbaแตกต่างกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งวงแหวนไม่สลับที่คือ วงแหวนที่ไม่ใช่วงแหวนสลับที่

พีชคณิตไม่สลับที่คือส่วนหนึ่งของทฤษฎีวงแหวนที่อุทิศให้กับการศึกษาคุณสมบัติของวงแหวนไม่สลับที่ รวมถึงคุณสมบัติที่ใช้ได้กับวงแหวนสลับที่ด้วย

บางครั้งมีการใช้คำว่า"วงแหวนไม่สลับที่"แทน คำว่า "วงแหวน"เพื่ออ้างถึงวงแหวนที่ไม่ระบุประเภท ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นวงแหวนสลับที่ และดังนั้นจึงอาจเป็นวงแหวนสลับที่ก็ได้ โดยทั่วไปแล้ว การใช้คำนี้มีจุดประสงค์เพื่อเน้นว่าคุณสมบัติที่ศึกษาไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะวงแหวนสลับที่เท่านั้น เนื่องจากในหลายบริบท คำว่า"วงแหวน"ถูกใช้เป็นคำย่อของ" วงแหวนสลับที่"

แม้ว่าผู้เขียนบางท่านจะไม่ถือว่าวงแหวนมีเอกลักษณ์การคูณ แต่ในบทความนี้เราจะถือว่าวงแหวนมีเอกลักษณ์การคูณ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ตัวอย่าง

ตัวอย่างของวงแหวนที่ไม่สลับที่กัน:

วงแหวนเมทริกซ์ของ เมทริกซ์ขนาด n x nบนจำนวนจริงโดยที่n > 1
ควอเทอร์เนียนของแฮมิลตัน
กลุ่มวงแหวนใดๆที่สร้างขึ้นจากกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน

ตัวอย่างของริงที่ไม่เป็นสมบัติการสลับที่โดยทั่วไป (แต่อาจเป็นสมบัติการสลับที่ได้ในกรณีง่ายๆ):

แหวนฟรี $\mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ สร้างขึ้นจากเซตจำกัด ตัวอย่างเช่น สมาชิกสองตัวที่ไม่เท่ากัน $2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}$
พีชคณิตเวล์ $A_{n}(\mathbb {C} )$ ซึ่งเป็นวงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์พหุนามที่กำหนดบนปริภูมิเชิงเส้นตรง ตัวอย่างเช่น $A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)$ โดยที่อุดมคติจะสอดคล้องกับคอมมิวเทเตอร์
วงแหวนผลหาร $\mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})$ เรียกว่าระนาบควอนตัมซึ่ง $q_{ij}\in \mathbb {C}$
พีชคณิตคลิฟฟอร์ดใดๆก็สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนโดยใช้การนำเสนอแบบพีชคณิต: เมื่อกำหนด $\mathbb {F}$ -ปริภูมิเวกเตอร์ $V$ มีมิติ $n$ และมีรูปแบบกำลังสอง $q:V\otimes V\to \mathbb {F}$ พีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่เกี่ยวข้องมีรูปแบบการนำเสนอดังนี้ $\mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))$ ไม่ว่าจะด้วยเหตุผลใดก็ตาม $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ของ $V$ ,
ซูเปอร์อัลเจบราเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของวงแหวนไม่สลับที่ ซึ่งสามารถนำเสนอได้ดังนี้ $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})$
มีวงแหวนไม่สลับที่จำกัด เช่น เมท ริกซ์ $n$ x $n$ เหนือฟิลด์จำกัดสำหรับ $n > 1$ วงแหวนไม่สลับที่เล็กที่สุดคือวงแหวนของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเหนือฟิลด์ที่มีสององค์ประกอบ มีแปดองค์ประกอบ และวงแหวนไม่สลับที่ทั้งหมดที่มีแปดองค์ประกอบจะสมสัณฐานกับวงแหวนนี้หรือกับวงแหวนตรงข้าม^{[ 1 ]}

ประวัติศาสตร์

การศึกษาเกี่ยวกับวงแหวนไม่สลับ ที่เริ่มต้นจากวงแหวนการหารซึ่งมาจากเรขาคณิต ได้เติบโตขึ้นเป็นสาขาสำคัญของพีชคณิตสมัยใหม่ ทฤษฎีและการอธิบายเกี่ยวกับวงแหวนไม่สลับที่ได้รับการพัฒนาและปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นในศตวรรษที่ 19 และ 20 โดยผู้เขียนจำนวนมาก รายชื่อผู้มีส่วนร่วมที่ไม่ครบถ้วน ได้แก่E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Ore , J. Wedderburnและอื่นๆ

ความแตกต่างระหว่างพีชคณิตแบบสลับที่ได้และพีชคณิตแบบไม่สลับที่ได้

เนื่องจากวงแหวนไม่สลับที่ซึ่งมีความสำคัญทางวิทยาศาสตร์นั้นซับซ้อนกว่าวงแหวนสลับที่ โครงสร้าง คุณสมบัติ และพฤติกรรมของพวกมันจึงยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้ มีการศึกษาค้นคว้ามากมายที่ประสบความสำเร็จในการขยายผลลัพธ์บางอย่างจากวงแหวนสลับที่ไปยังวงแหวนไม่สลับที่ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างวงแหวนที่เป็นและไม่สลับที่คือความจำเป็นที่จะต้องพิจารณาอุดมคติทางขวาและอุดมคติทางซ้ายแยกกัน นักทฤษฎีวงแหวนไม่สลับที่มักจะกำหนดเงื่อนไขสำหรับอุดมคติประเภทหนึ่งโดยไม่กำหนดให้เงื่อนไขนั้นเป็นจริงสำหรับอีกด้านหนึ่ง สำหรับวงแหวนสลับที่นั้น ความแตกต่างระหว่างซ้ายและขวาไม่มีอยู่จริง

ชั้นเรียนที่สำคัญ

วงแหวนแบ่งส่วน

วงแหวนหาร หรือที่เรียกว่าฟิลด์เฉียง คือวงแหวนที่สามารถหาร ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือ วงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 2 ]}ซึ่งสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวaมีตัวผกผันการคูณ กล่าวคือ สมาชิกxที่มีa · x = x · a = 1กล่าวอีกนัยหนึ่ง วงแหวนจะเป็นวงแหวนหารก็ต่อเมื่อกลุ่มของหน่วย ของมัน คือเซตของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด

วงแหวนการหารแตกต่างจากฟิลด์เพียงแค่การคูณของวงแหวนการหารไม่จำเป็นต้องเป็นการสลับที่ได้อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีบทเล็กของเวดเดอร์เบิร์น วงแหวนการหารจำกัดทั้งหมดเป็นการสลับที่ได้ และดังนั้นจึงเป็นฟิลด์จำกัดในอดีต บางครั้งวงแหวนการหารถูกเรียกว่าฟิลด์ ในขณะที่ฟิลด์ถูกเรียกว่า "ฟิลด์สลับที่ได้"

วงแหวนกึ่งง่าย

โมดูลเหนือริง (ไม่จำเป็นต้องเป็นริงสลับที่) ที่มีเอกลักษณ์ จะเรียกว่าเป็นโมดูลกึ่งง่าย (หรือลดรูปได้อย่างสมบูรณ์) ถ้ามันเป็นผล รวมโดยตรงของ โมดูลย่อย แบบง่าย (ลดรูปไม่ได้)

กล่าวกันว่าวงแหวนเป็นวงแหวนกึ่งง่าย (ซ้าย) ถ้ามันเป็นวงแหวนกึ่งง่ายในฐานะโมดูลซ้ายเหนือตัวมันเอง ที่น่าประหลาดใจคือ วงแหวนกึ่งง่ายซ้ายก็เป็นวงแหวนกึ่งง่ายขวาด้วย และในทางกลับกัน ดังนั้นการแบ่งแยกซ้าย/ขวาจึงไม่จำเป็น

วงแหวนกึ่งดั้งเดิม

วงแหวนกึ่งดั้งเดิม หรือวงแหวนกึ่งเรียบง่ายของจาคอบสัน หรือวงแหวนกึ่งเรียบง่ายแบบเจ (J-semisimple ring) คือวงแหวนที่มีรากของจาคอบสันเป็นศูนย์ วงแหวนชนิดนี้มีความทั่วไปมากกว่าวงแหวนกึ่งเรียบง่ายแต่โมดูลเรียบง่ายยังคงให้ข้อมูลเกี่ยวกับวงแหวนได้เพียงพอ วงแหวนเช่นวงแหวนของจำนวนเต็มเป็นวงแหวนกึ่งดั้งเดิม และ วงแหวนกึ่งดั้งเดิมแบบอาร์ ทิเนียนก็คือวงแหวนกึ่งเรียบง่ายนั่นเอง วงแหวนกึ่งดั้งเดิมสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลคูณโดยตรงย่อยของวงแหวนดั้งเดิมซึ่งอธิบายได้ด้วยทฤษฎีบทความหนาแน่นของจาคอบสัน

แหวนเรียบง่าย

วงแหวนเชิงเดี่ยว (simple ring) คือ วงแหวนที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งไม่มีอุดมคติ สองด้านอื่น นอกจากอุดมคติศูนย์และตัวมันเอง วงแหวนเชิงเดี่ยวสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นพีชคณิตเชิงเดี่ยว เสมอ วงแหวนที่เชิงเดี่ยวในฐานะวงแหวนแต่ไม่ใช่เชิงเดี่ยวในฐานะโมดูลนั้นมีอยู่จริง เช่นวงแหวนเมทริกซ์ เต็ม เหนือฟิลด์ไม่มีอุดมคติที่ไม่เป็นศูนย์ (เนื่องจากอุดมคติใดๆ ของ M( n , R ) อยู่ในรูป M( n , I ) โดยที่Iเป็นอุดมคติของR ) แต่มีอุดมคติซ้ายที่ไม่เป็นศูนย์ (กล่าวคือ เซตของเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ศูนย์คงที่บางคอลัมน์)

ตามทฤษฎีบทอาร์ติน-เวดเดอร์เบิร์นวงแหวนเชิงเดี่ยวทุกวงที่เป็นอาร์ติน ซ้ายหรือขวา จะเป็นวงแหวนเมทริกซ์เหนือวงแหวนหาร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนเชิงเดี่ยวเพียงวงเดียวที่เป็น ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือจำนวนจริงคือ วงแหวนของเมทริกซ์เหนือจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนหรือควอเทอร์เนียน

วงแหวนใดๆ ที่เป็นผลหารของวงแหวนด้วยอุดมคติสูงสุดจะเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยว โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิลด์จะเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยว วงแหวนRจะเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยวก็ต่อเมื่อ วงแหวนตรงข้าม R ^{o เป็น}วงแหวน เชิงเดี่ยว

ตัวอย่างหนึ่งของวงแหวนอย่างง่ายที่ไม่ใช่วงแหวนเมทริกซ์เหนือวงแหวนหารคือพีชคณิตเวล์ (Weyl algebra )

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของเวดเดอร์เบิร์น

ทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของเวดเดอร์เบิร์นกล่าวว่าโดเมน จำกัด ทุกโดเมน เป็นฟิลด์กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับวงแหวนจำกัดไม่มีข้อแตกต่างระหว่างโดเมนวงแหวนหารและฟิลด์

ทฤษฎีบท Artin –Zornขยายทฤษฎีบทไปสู่วงแหวนทางเลือก : วงแหวนทางเลือกแบบง่ายจำกัดทุกวงเป็นฟิลด์^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทอาร์ติน-เวดเดอร์เบิร์น

ทฤษฎีบท Artin–Wedderburn เป็นทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสำหรับวงแหวนกึ่งเรียบง่ายและพีชคณิตกึ่งเรียบง่ายทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าวงแหวนกึ่งเรียบง่าย (Artinian) ^{[ 4 ]} Rนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลคูณของวงแหวนเมทริก ซ์ n -by- n จำนวนจำกัด เหนือวงแหวนการหารD สำหรับจำนวนเต็มn บางจำนวน ซึ่งทั้งสองอย่างถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงการเรียงสับเปลี่ยนของดัชนีi โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวน Artinianซ้ายหรือขวาแบบเรียบง่ายใดๆ ก็เป็นไอโซมอร์ฟิกกับวงแหวนเมทริกซ์n -by- nเหนือวงแหวนการหารDโดยที่ทั้งnและDถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน^[⁵^]

โดยผลลัพธ์โดยตรง ทฤษฎีบท Artin–Wedderburn บ่งชี้ว่าวงแหวนเชิงเดี่ยวทุกวงที่มีมิติจำกัดเหนือวงแหวนหาร (พีชคณิตเชิงเดี่ยว) เป็นวงแหวนเมทริกซ์นี่คือผลลัพธ์ดั้งเดิมของ Joseph Wedderburn ต่อมา Emil Artinได้ขยายผลลัพธ์นี้ไปยังกรณีของวงแหวน Artinian

ทฤษฎีความหนาแน่นของเจคอบสัน

ทฤษฎีความหนาแน่นของเจคอบสัน^เป็นทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับโมดูลแบบง่ายเหนือวงแหวน $R$ [ ^{6 ]}

ทฤษฎีบทนี้สามารถนำไปใช้เพื่อแสดงว่าวงแหวนดั้งเดิม ใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นวงแหวนย่อย "หนาแน่น" ของวงแหวนของการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}ทฤษฎีบทนี้ปรากฏครั้งแรกในเอกสารในปี พ.ศ. 2488 ในบทความที่มีชื่อเสียงเรื่อง "ทฤษฎีโครงสร้างของวงแหวนแบบง่ายโดยไม่ต้องมีข้อสมมติเกี่ยวกับความจำกัด" โดยNathan Jacobson [ ^{9 ] สิ่ง}นี้สามารถมองได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของ ข้อสรุปของ ทฤษฎีบท Artin-Wedderburnเกี่ยวกับโครงสร้างของวงแหวน Artinianแบบง่าย

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ทฤษฎีบทนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ทฤษฎีบทความหนาแน่นของเจคอบสันให้

U

เป็น โมดูล

R

ขวาแบบง่าย

D = End(U)

และ

X \subset U

เป็นเซตจำกัดและเป็นอิสระเชิงเส้น

D ถ้า

A

เป็นการ^แปลง

เชิงเส้น D

บน

U

แล้วจะมี

r \in R

อยู่ เช่นนั้น

A (x) = x \cdot r

สำหรับทุก

x

ใน

X

^[¹⁰ ]

บทพิสูจน์ของนาคายามะ

ให้ J( R ) เป็นรากของจาคอบสันของRถ้าUเป็นโมดูลขวาเหนือริงRและIเป็นอุดมคติขวาในRแล้วให้กำหนดU · Iเป็นเซตของผลรวม (จำกัด) ทั้งหมดของสมาชิกในรูปแบบu · iโดยที่·คือการกระทำของRบนU อย่าง แน่นอนU · Iเป็นโมดูลย่อยของU

ถ้าVเป็นซับโมดูลสูงสุดของUแล้วU / Vจะเป็นโมดูลแบบง่ายดังนั้นU ·J( R ) จะต้องเป็นซับเซตของVตามคำนิยามของ J( R ) และข้อเท็จจริงที่ว่าU / Vเป็นโมดูลแบบง่าย^{[ 11 ]}ดังนั้น ถ้าUมีซับโมดูลสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งตัว (ที่เหมาะสม) U ·J( R ) จะเป็นซับโมดูลที่เหมาะสมของUอย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับโมดูลU ใดๆ บนRเพราะUไม่จำเป็นต้องมีซับโมดูลสูงสุดใดๆ^{[ 12 ]}โดยธรรมชาติแล้ว ถ้าUเป็น โมดูลแบบ Noetherianสิ่งนี้จะเป็นจริง ถ้าRเป็น Noetherian และUถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดแล้วUจะเป็นโมดูลแบบ Noetherian บนRและข้อสรุปก็เป็น ไปตามที่ต้องการ ^{[ 13 ]}สิ่งที่น่าทึ่งเล็กน้อยคือสมมติฐานที่อ่อนกว่า กล่าวคือUถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะ โมดูล R (และไม่มีสมมติฐานเรื่องความจำกัดบนR ) ก็เพียงพอที่จะรับประกันข้อสรุปได้ นี่คือข้อความหลักของบทพิสูจน์ของนาคายามะ^{[ 14 ]}

กล่าวคือ มีสิ่งต่อไปนี้

บทตั้งของ Nakayama : ให้Uเป็น โมดูลขวา ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนRถ้าUเป็นโมดูลที่ไม่เป็นศูนย์ แล้วU ·J( R ) เป็นโมดูลย่อยที่เหมาะสมของU ^{[ 14 ]}

เวอร์ชันของบทพิสูจน์ย่อยนี้ใช้ได้กับโมดูลขวาเหนือวงแหวนเอกภาพ ที่ไม่สลับ ที่ Rทฤษฎีบทที่ได้นี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทJacobson–Azumaya ^{[ 15 ]}

โลคัลไลเซชันแบบไม่สลับที่

การหาโลคัลไลเซชันเป็นวิธีการที่เป็นระบบในการเพิ่มตัวผกผันการคูณให้กับริงและมักใช้กับริงสลับที่ เมื่อกำหนดริงRและเซตย่อยSแล้ว เราต้องการสร้างริงR * และโฮโมมอร์ฟิซึม ของริง จากRไปยังR * โดยที่ภาพของSประกอบด้วยหน่วย (องค์ประกอบที่ผกผันได้) ในR * นอกจากนี้ เรายังต้องการให้R * เป็นวิธีที่ 'ดีที่สุด' หรือ 'ทั่วไปที่สุด' ในการทำเช่นนี้ซึ่งโดยปกติแล้วควรแสดงด้วยคุณสมบัติสากลการหาโลคัลไลเซชันของRโดยSมักจะเขียนแทนด้วยS ⁻¹Rอย่างไรก็ตาม มีการใช้สัญลักษณ์อื่นในกรณีพิเศษที่สำคัญบางกรณี ถ้าSเป็นเซตขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของโดเมนจำนวนเต็มการหาโลคัลไลเซชันจะเป็นฟิลด์ของเศษส่วนและมักจะเขียนแทนด้วย Frac( R )

การหาตำแหน่งเฉพาะที่ของวงแหวนที่ไม่สลับที่กันนั้นยากกว่า การหาตำแหน่งเฉพาะที่นั้นไม่มีอยู่จริงสำหรับทุกเซตSของหน่วยที่คาดหวัง เงื่อนไขหนึ่งที่รับประกันว่าการหาตำแหน่งเฉพาะที่นั้นมีอยู่จริงคือเงื่อนไข Ore

กรณีหนึ่งของวงแหวนที่ไม่สลับที่ซึ่งการหาตำแหน่งเฉพาะที่ (localization) มีความสำคัญอย่างชัดเจนคือ วงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น การหาตำแหน่งเฉพาะที่มีความหมายคือ การเพิ่มตัวผกผันเชิงรูปธรรมD ^{− 1}ให้กับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Dซึ่งทำกันในหลายบริบทในวิธีการสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ปัจจุบันมีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เกี่ยวกับเรื่องนี้ เรียกว่า ไมโครโลคา ไลเซชัน (microlocalization ) ซึ่งเชื่อมโยงกับสาขาอื่นๆ อีกมากมาย คำว่า "ไมโคร"นั้นเกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงกับทฤษฎีฟูริเยร์โดยเฉพาะ

ความเทียบเท่าโมริตะ

ความสมมูลของโมริตะเป็นความสัมพันธ์ที่กำหนดขึ้นระหว่างริงซึ่งรักษาคุณสมบัติทางทฤษฎีริงหลายประการไว้ ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของคิอิติ โมริตะ นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น ผู้ซึ่งนิยามความสมมูลและแนวคิดที่คล้ายคลึงกันอย่างความเป็นคู่ในปี 1958

กล่าวได้ว่าวงแหวนสองวงRและS (แบบสมาคม โดยมี 1) เทียบเท่ากัน ( ตามแนวคิดของโมริตะ ) ถ้ามีความเทียบเท่ากันของหมวดหมู่ของโมดูล (ซ้าย) เหนือR , R-Modและหมวดหมู่ของโมดูล (ซ้าย) เหนือS , S-Modสามารถแสดงได้ว่าหมวดหมู่โมดูลซ้ายR-ModและS-Modเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อหมวดหมู่โมดูลขวาMod-RและMod-Sเทียบเท่ากัน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันใดๆ จากR-ModไปยังS-Modที่ให้ความเทียบเท่ากันนั้น จะเป็นฟังก์ชันบวก โดย อัตโนมัติ

กลุ่มบราวเออร์

กลุ่มบราวเออร์ของฟิลด์Kคือกลุ่มอาเบเลียนที่มีสมาชิกเป็น ชั้น สมมูลโมริตะของพีชคณิตเชิงเดี่ยวศูนย์กลางที่มีอันดับจำกัดเหนือKและการบวกเกิดขึ้นจากผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต กลุ่มนี้เกิดขึ้นจากความพยายามในการจำแนกพีชคณิตการหารเหนือฟิลด์ และตั้งชื่อตามนักพีชคณิตริชาร์ด บราวเออร์กลุ่มนี้ยังสามารถนิยามได้ในแง่ของโคฮอโมโลยีของกาลัวส์โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มบราวเออร์ของสกีมจะถูกนิยามในแง่ของพีชคณิตอะซูมายะ

สภาพแร่

เงื่อนไข Ore เป็นเงื่อนไขที่Øystein Ore นำเสนอ โดยเกี่ยวข้องกับคำถามเกี่ยวกับการขยายการสร้างฟิลด์เศษส่วน ออกไปนอก วงแหวนสลับที่หรือโดยทั่วไปแล้วการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของวงแหวนเงื่อนไขOre ที่ถูกต้องสำหรับเซตย่อยแบบคูณSของวงแหวนRคือ สำหรับa ∈ Rและs ∈ SการตัดกันaS ∩ sR ≠ ∅ [ ¹⁶^]^{โดเมน}ที่ตรงตามเงื่อนไข Ore ที่ถูกต้องเรียกว่าโดเมน Ore ที่ถูก ต้อง กรณีด้านซ้ายกำหนดไว้ในทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีของโกลดี้

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของโกลดีเป็นผลลัพธ์เชิงโครงสร้างพื้นฐานในทฤษฎีริงซึ่งพิสูจน์โดยอัลเฟรด โกลดีในช่วงทศวรรษ 1950 สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าริงโกลดี ขวา คือริงRที่มีมิติสม่ำเสมอ จำกัด (หรือเรียกว่า "อันดับจำกัด") ในฐานะโมดูลขวาเหนือตัวมันเอง และสอดคล้องกับเงื่อนไขลูกโซ่ขึ้น บน ตัวทำลายขวา ของ เซตย่อยของR

ทฤษฎีบทของโกลดีกล่าวว่า วงแหวนโกลดีขวาที่ เป็นเซมิไพรม์นั้นคือวงแหวนที่มีวงแหวนผลหารคลาส สิ กขวาแบบ อาร์ทิเนียนที่เป็น เซมิซิม เพิล โครงสร้างของวงแหวนผลหารนี้จะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยทฤษฎีบทอาร์ทิน-เวดเดอร์เบิร์น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของโกลดีใช้ได้กับวงแหวนโนเธอร์เรียน ขวาที่เป็นเซมิไพรม์ เนื่องจากตามคำนิยาม วงแหวนโนเธอร์เรียนขวามีเงื่อนไขลูกโซ่ขึ้นบน อุดมคติขวา ทั้งหมดซึ่งเพียงพอที่จะรับประกันว่าวงแหวนโนเธอร์เรียนขวาเป็นวงแหวนโกลดีขวา แต่บทกลับไม่เป็นจริง: โดเมนโอเรข วาทุกโดเมน เป็นโดเมนโกลดีขวา และด้วยเหตุนี้ โดเมนอินทิกรั ลสลับที่ทุกโดเมนก็เป็นโดเมน โกลดีขวาเช่น กัน

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของโกลดี ซึ่งเป็นผลงานของโกลดีเองอีกประการหนึ่ง คือวงแหวนอุดมคติขวาหลัก กึ่งไพรม์ทุก วงสมสัณฐานกับผลรวมโดยตรงจำกัดของ วงแหวนอุดมคติขวา หลักไพรม์ วงแหวนอุดมคติขวาหลักไพรม์ทุกวงสมสัณฐานกับวงแหวนเมทริกซ์เหนือโดเมนออร์ขวา

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Sloane, N. J. A. (บรรณาธิการ). "ลำดับA127708 (จำนวนวงแหวนที่ไม่สลับที่กันที่มี 1)"สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มูลนิธิ OEIS
↑ในบทความนี้ แหวนมี 1.
↑ Shult, Ernest E. (2011). จุดและเส้น การกำหนดลักษณะเฉพาะของเรขาคณิตแบบคลาสสิก Universitext. เบอร์ลิน: Springer-Verlag . หน้า123. ISBN 978-3-642-15626-7. Zbl 1213.51001 .
↑วงแหวนกึ่งง่ายจำเป็นต้องเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียนผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "กึ่งง่าย" ในความหมายว่าวงแหวนนั้นมีรากศัพท์เจคอบสัน ที่ไม่สำคัญ สำหรับวงแหวนอาร์ทิเนียน แนวคิดทั้งสองนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน ดังนั้นจึงรวมคำว่า "อาร์ทิเนียน" ไว้ในที่นี้เพื่อขจัดความกำกวมดังกล่าว
↑ John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules . Cambridge University Press. หน้า156. ISBN 978-0-521-64407-5.
↑ไอแซคส์, หน้า 184
↑วงแหวนของการแปลงเชิงเส้นดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าวงแหวนเชิงเส้นสมบูรณ์
↑ไอแซคส์, บทสรุป 13.16, หน้า 187
↑เจคอบสัน 1945
↑ไอแซคส์, ทฤษฎีบท 13.14, หน้า 185
↑ไอแซคส์ 1993 หน้า182
↑ไอแซคส์ 1993 หน้า183
↑ไอแซคส์ 1993 ทฤษฎีบท 12.19 หน้า 172
1 2ไอแซคส์ 1993 ทฤษฎีบท 13.11 หน้า 183
↑นากาตะ 1962 , §A2
↑ Cohn, PM (1991). "บทที่ 9.1". พีชคณิต . เล่ม3 ( ฉบับที่ 2). หน้า351.

อ่านเพิ่มเติม

Herstein, IN (1968), วงแหวนไม่สลับที่ , สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา , ISBN 0-88385-015-X
แลม, ทีวาย (2001), หลักสูตรเบื้องต้นเกี่ยวกับวงแหวนไม่สลับที่ , สปริงเกอร์-เวอร์แลก

[1] Sloane, N. J. A. (บรรณาธิการ). "ลำดับA127708 (จำนวนวงแหวนที่ไม่สลับที่กันที่มี 1)"สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มูลนิธิ OEIS

[2] ในบทความนี้ แหวนมี 1.

[3] Shult, Ernest E. (2011). จุดและเส้น การกำหนดลักษณะเฉพาะของเรขาคณิตแบบคลาสสิก Universitext. เบอร์ลิน: Springer-Verlag . หน้า123. ISBN 978-3-642-15626-7. Zbl 1213.51001 .

[4] วงแหวนกึ่งง่ายจำเป็นต้องเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียนผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "กึ่งง่าย" ในความหมายว่าวงแหวนนั้นมีรากศัพท์เจคอบสัน ที่ไม่สำคัญ สำหรับวงแหวนอาร์ทิเนียน แนวคิดทั้งสองนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน ดังนั้นจึงรวมคำว่า "อาร์ทิเนียน" ไว้ในที่นี้เพื่อขจัดความกำกวมดังกล่าว

[Beachy1999-5] John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules . Cambridge University Press. หน้า156. ISBN 978-0-521-64407-5.

[6] ไอแซคส์, หน้า 184

[7] วงแหวนของการแปลงเชิงเส้นดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าวงแหวนเชิงเส้นสมบูรณ์

[Isaacs187-8] ไอแซคส์, บทสรุป 13.16, หน้า 187

[9] เจคอบสัน 1945

[10] ไอแซคส์, ทฤษฎีบท 13.14, หน้า 185

[11] ไอแซคส์ 1993 หน้า182

[12] ไอแซคส์ 1993 หน้า183

[13] ไอแซคส์ 1993 ทฤษฎีบท 12.19 หน้า 172

[Isaacs-14] 1 2ไอแซคส์ 1993 ทฤษฎีบท 13.11 หน้า 183

[15] นากาตะ 1962 , §A2

[16] Cohn, PM (1991). "บทที่ 9.1". พีชคณิต . เล่ม3 ( ฉบับที่ 2). หน้า351.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

เป็น

[ 7 ]

[ 8 ]

9 ] สิ่ง

แปลง

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

16