เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

คือสามเหลี่ยมบนสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}}$

สมการเมทริกซ์L x = bสามารถเขียนได้ในรูปของระบบสมการเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

โปรดสังเกตว่าสมการแรก (${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$) เกี่ยวข้องเท่านั้น${\displaystyle x_{1}}$และด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาคำตอบได้${\displaystyle x_{1}}$โดยตรง สมการที่สองเกี่ยวข้องเท่านั้น${\displaystyle x_{1}}$และ${\displaystyle x_{2}}$และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแก้ไขได้เมื่อแทนค่าที่แก้ไขแล้วลงไป${\displaystyle x_{1}}$. ดำเนินการต่อไปในลักษณะนี้${\displaystyle k}$สมการที่ 4 เกี่ยวข้องเท่านั้น${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$และสามารถหาคำตอบได้${\displaystyle x_{k}}$โดยใช้ค่าที่แก้ไขไว้ก่อนหน้านี้สำหรับ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$สูตรที่ได้มีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

สมการเมทริกซ์ที่มีเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนUสามารถแก้ได้ในทำนองเดียวกัน เพียงแต่ทำย้อนกลับเท่านั้น

การทดแทนล่วงหน้า (Forward substitution) ถูกนำมาใช้ในการสร้างเส้นโค้งผลตอบแทน ทางการเงิน (Financial Bootstrapping )

ถ้าค่าบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) เป็น 1 ทั้งหมด เมทริกซ์นั้นเรียกว่าเมทริกซ์เอกสามเหลี่ยม (ล่างหรือบน )

ชื่ออื่นที่ใช้เรียกเมทริกซ์เหล่านี้ ได้แก่ เมท ริกซ์สามเหลี่ยมหน่วย (ล่างหรือบน) หรือในบางกรณีที่ใช้น้อยมาก คือ เมทริก ซ์สามเหลี่ยมนอร์ม (ล่างหรือบน) อย่างไรก็ตาม เมทริกซ์สามเหลี่ยม หน่วยไม่เหมือนกับเมทริกซ์หน่วยและ เมทริกซ์สามเหลี่ยม นอร์มก็ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องนอร์มของเมทริกซ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์สามเหลี่ยมจำกัดทั้งหมดเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์กำลังหนึ่งเดียว

ถ้าค่าทั้งหมดในแนวทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) เป็น 0 เมทริกซ์นั้นจะเรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยม (ล่างหรือบน) อย่างเคร่งครัด

เมทริกซ์สามเหลี่ยมจำกัดทั้งหมดเป็นเมทริกซ์นิล โพ เทนต์ที่มีดัชนีไม่เกินnอันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมอะตอม (ล่างหรือบน) เป็นเมทริกซ์รูปแบบพิเศษของเมทริกซ์สามเหลี่ยมหน่วย โดยที่ องค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดเป็นศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบในคอลัมน์เดียว เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์ฟรอเบนิอุสเมทริกซ์เกาส์หรือเมทริกซ์การแปลงเกาส์

เมทริกซ์บล็อกสามเหลี่ยม คือเมทริกซ์บล็อก (เมทริกซ์แบ่งส่วน) ที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม

ชุดของเมทริกซ์${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$กล่าวกันว่าเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริก ซ์สามเหลี่ยมพร้อมกันได้หากมีฐานที่ทำให้เมทริกซ์เหล่านั้นเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากเมทริกซ์เหล่านั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนได้ด้วยเมทริกซ์ความคล้ายคลึงPชุดเมทริกซ์ดังกล่าวจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นโดยการพิจารณาพีชคณิตของเมทริกซ์ที่มันสร้างขึ้น กล่าวคือ พหุนามทั้งหมดใน${\displaystyle A_{i},}$ระบุ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$ความสามารถในการแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยมพร้อมกันหมายความว่าพีชคณิตนี้เป็นคู่สมกับพีชคณิตย่อยลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และเทียบเท่ากับพีชคณิตนี้เป็นพีชคณิตย่อยลีของพีชคณิตย่อยโบเรล

ผลลัพธ์พื้นฐานคือ (เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต) เมทริกซ์สลับกันได้${\displaystyle A,B}$หรือโดยทั่วไปแล้ว${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$เมทริกซ์เหล่านี้สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้พร้อมกัน สามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงให้เห็นก่อนว่าเมทริกซ์ที่สลับกันได้มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วมกัน จากนั้นจึงอุปมานตามมิติเช่นเดิม สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Frobenius ในปี 1878 สำหรับคู่เมทริกซ์ที่สลับกันได้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อเมทริกซ์ที่สลับกันได้เช่นเดียวกับเมทริกซ์เดี่ยว บนจำนวนเชิงซ้อน เมทริกซ์เหล่านี้สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมได้โดยใช้เมทริกซ์เอกลักษณ์

ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์สลับที่กันได้มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วมกันนั้น สามารถตีความได้ว่าเป็นผลมาจากทฤษฎีบทนัลส์เทลเลนแซทซ์ของฮิลเบิร์ตกล่าวคือ เมทริกซ์สลับที่กันได้ก่อให้เกิดพีชคณิตสลับที่กันได้${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$เกิน${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นความหลากหลายใน ปริภูมิเชิงเส้น kมิติ และการมีอยู่ของค่าลักษณะเฉพาะ (ร่วม) (และด้วยเหตุนี้จึงมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะร่วม) สอดคล้องกับความหลากหลายนี้ที่มีจุด (ที่ไม่ว่างเปล่า) ซึ่งเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบท Nullstellensatz (แบบอ่อน) ในทางพีชคณิต ตัวดำเนินการเหล่านี้สอดคล้องกับการแสดงพีชคณิตของพีชคณิตพหุนามในตัวแปรk ตัว

สิ่งนี้ได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดยทฤษฎีบทของ Lieซึ่งแสดงให้เห็นว่าการแสดงแทนใดๆ ของพีชคณิต Lie ที่แก้ได้นั้น สามารถทำให้เป็นสามเหลี่ยมบนได้พร้อมกัน โดยกรณีของเมทริกซ์ที่สลับกันได้คือ กรณีของ พีชคณิต Lie แบบอาเบล ซึ่งพีชคณิต แบบอาเบลนั้นแก้ได้โดยปริยาย

โดยทั่วไปและโดยละเอียดแล้ว คือ ชุดของเมทริกซ์${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$สามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมได้พร้อมกันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$เป็นจำนวนนิลโพเทนต์ สำหรับพหุนาม pทั้งหมดใน ตัวแปร k ที่ไม่สลับที่กัน โดยที่${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$คือตัวสลับการทำงานสำหรับการสลับการทำงาน${\displaystyle A_{i}}$ตัวสลับหายไป ดังนั้นสิ่งนี้จึงเป็นจริง สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Drazin, Dungey และ Gruenberg ในปี 1951 ^{[ 4 ]}มีการพิสูจน์โดยย่อโดย Prasolov ในปี 1994 ^{[ 5 ]}ทิศทางหนึ่งชัดเจน: ถ้าเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมพร้อมกันได้แล้ว${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$สามารถทำให้ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนได้ อย่างเคร่งครัด (ดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์) ซึ่งคุณสมบัตินี้จะคงอยู่เมื่อคูณด้วยจำนวนใดๆ${\displaystyle A_{k}}$หรือการผสมผสานกันของสิ่งเหล่านั้น – มันก็จะยังคงมีค่า 0 อยู่บนแนวทแยงมุมในฐานสามเหลี่ยมอยู่ดี

เซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมผกผันได้ชนิดใดชนิดหนึ่ง (สามเหลี่ยมล่างหรือสามเหลี่ยมบน) ก่อให้เกิดกลุ่ม ซึ่ง ก็ คือ กลุ่มลี (Lie group ) ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของเมทริกซ์ผกผันได้ทั้งหมด เมทริกซ์สามเหลี่ยมจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์นั้นผกผันได้ (ไม่เป็นศูนย์)

เมื่อพิจารณาจากตัวเลขที่แท้จริงแล้ว กลุ่มนี้ขาดการเชื่อมต่อ${\displaystyle 2^{n}}$ส่วนประกอบต่างๆ จะเป็นไปตามที่ค่าในแนวทแยงมุมแต่ละค่าเป็นบวกหรือลบ ส่วนประกอบเอกลักษณ์คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมผกผันที่มีค่าเป็นบวกบนแนวทแยงมุม และกลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมผกผันทั้งหมดเป็นผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มนี้กับกลุ่มของเมทริกซ์แนวทแยงมุมที่มี${\displaystyle \pm 1}$บนแนวทแยงมุม ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบต่างๆ

พีชคณิตลีของกลุ่มลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่ผกผันได้ คือเซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมด ซึ่งไม่จำเป็นต้องผกผันได้ และเป็นพีชคณิตลีที่แก้ได้ ซึ่งได้แก่ กลุ่มย่อยบอเรล มาตรฐาน Bของกลุ่มลี GL และพีชคณิตย่อยบอเรล มาตรฐาน ตามลำดับ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ของพีชคณิต Lie gl .

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเป็นเมทริกซ์ที่ทำให้แฟลกมาตรฐาน มี เสถียรภาพ เมทริกซ์ที่ผกผันได้ในกลุ่มนี้จะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งกลุ่มย่อยคู่ควบของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปนี้คือกลุ่มที่กำหนดให้เป็นตัวทำให้แฟลกสมบูรณ์บางกลุ่มมีเสถียรภาพ (กลุ่มอื่น) กลุ่มย่อยเหล่านี้คือกลุ่มย่อยบอเรลกลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่ผกผันได้ก็เป็นกลุ่มย่อยดังกล่าวเช่นกัน เนื่องจากมันเป็นตัวทำให้แฟลกมาตรฐานมีเสถียรภาพซึ่งเกี่ยวข้องกับฐานมาตรฐานในลำดับย้อนกลับ

ตัวรักษาเสถียรภาพของแฟล็กบางส่วนที่ได้จากการละทิ้งบางส่วนของแฟล็กมาตรฐาน สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนแบบบล็อก (แต่ไม่ใช่ ว่าองค์ประกอบ ทั้งหมดจะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม) กลุ่มสังยุคของกลุ่มดังกล่าวคือกลุ่มย่อยที่นิยามเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของแฟล็กบางส่วน กลุ่มย่อยเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มย่อยพาราโบลิก

กลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาคบนขนาด 2×2 นั้นมีโครงสร้างสมมาตรกับกลุ่มการบวกของฟิลด์สเกลาร์ ในกรณีของจำนวนเชิงซ้อน มันจะสอดคล้องกับกลุ่มที่เกิดจากการแปลงโมเบียส แบบพาราโบลิก และ เมทริกซ์สามเหลี่ยมเอกภาคบนขนาด 3×3 นั้นประกอบกันเป็นกลุ่มไฮเซนเบิร์ก