ในพีชคณิตนามธรรมพีชคณิตทางเลือกคือพีชคณิตที่การคูณไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติการสลับที่แต่สามารถสลับที่ได้กล่าวคือ ต้องมี

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

สำหรับค่า xและyทั้งหมดในพีชคณิต

พีชคณิตแบบสมาคมทุกตัวล้วนเป็นแบบทางเลือก เนื่องจากความเป็นทางเลือกเป็นเพียงรูปแบบอ่อนของความเป็นสมาคม อย่างไรก็ตามพีชคณิตที่ไม่เป็นสมาคม อย่างเคร่งครัดบางตัว เช่นอ็อกโทเนียน ก็เป็นแบบทางเลือกเช่น กัน

พีชคณิตทางเลือก (Alternative algebras) ได้ชื่อนี้เพราะเป็นพีชคณิตที่มีตัวเชื่อม โยง (associator) สลับกันตัวเชื่อมโยงคือแผนที่เชิงเส้นสามตัว (trilinear map)ที่กำหนดโดย

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)zx(yz)}$.

ตามคำจำกัดความแผนที่เชิงเส้นหลายตัวจะเป็นแบบสลับกันหากมันหายไปเมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์สองตัวของมันเท่ากัน เอกลักษณ์ทางเลือกซ้ายและขวาสำหรับพีชคณิตเทียบเท่ากับ^{[ 1 ]}

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0}$

อัตลักษณ์ทั้งสองนี้รวมกันบ่งชี้ว่า:

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]+}$

${\displaystyle -[x,x+y,x+y]=}$

${\displaystyle =[x,x+y,-y]=}$

${\displaystyle =[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

สำหรับทุก ๆและ. นี่เทียบเท่ากับเอกลักษณ์ที่ยืดหยุ่น^{[ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

ดังนั้น ตัวเชื่อมโยงของพีชคณิตทางเลือกจึงเป็นแบบสลับในทางกลับกันพีชคณิตใดๆ ที่มีตัวเชื่อมโยงเป็นแบบสลับ ย่อมเป็นพีชคณิตทางเลือกอย่างชัดเจน ด้วยสมมาตร พีชคณิตใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสองข้อใดๆ ต่อไปนี้:

• อัตลักษณ์ทางเลือกด้านซ้าย:${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• อัตลักษณ์ทางเลือกที่ถูกต้อง:${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• อัตลักษณ์ที่ยืดหยุ่น:${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

เป็นทางเลือกอื่นและดังนั้นจึงตรงตามเอกลักษณ์ทั้งสามประการ

ตัวเชื่อมโยงแบบสลับกันจะมีสมมาตรแบบเฉียงโดยสมบูรณ์เสมอ นั่นคือ

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน ใดๆ ส่วนข้อความกลับจะเป็นจริงตราบใดที่ค่าลักษณะเฉพาะ ของ ฟิลด์ฐานไม่ใช่ 2${\displaystyle \sigma }$

• พีชคณิตแบบสมาคมทุกรูปแบบล้วนเป็นทางเลือก
• อ็อกโทเนียนก่อตัวเป็นพีชคณิตทางเลือกที่ไม่เชื่อมโยงกัน ซึ่งเป็นพีชคณิตการหารแบบบรรทัดฐานที่มีมิติ 8 เหนือจำนวนจริง^{[ 3 ]}
• โดยทั่วไปแล้วพีชคณิตอ็อกโทเนียน ใดๆ ก็ ล้วนเป็นทางเลือก

ทฤษฎีบทของ Artinระบุว่าในพีชคณิตทางเลือกพีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบสองตัวใดๆ นั้นเป็นแบบสมาคม^{[ 4 ]}ในทางกลับกัน พีชคณิตใดๆ ที่เป็นจริงเช่นนี้ก็ถือเป็นพีชคณิตทางเลือกอย่างชัดเจน ดังนั้นจึงสรุปได้ว่านิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเพียงสองตัวสามารถเขียนได้อย่างชัดเจนโดยไม่ต้องใช้วงเล็บในพีชคณิตทางเลือก การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทของ Artin ระบุว่าเมื่อใดก็ตามที่องค์ประกอบสามตัวในพีชคณิตทางเลือกเป็นแบบสมาคม (เช่น) พีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเหล่านั้นจะเป็นแบบสมาคม${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle [x,y,z]=0}$

ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของ Artin คือพีชคณิตทางเลือกเป็นแบบเชื่อมโยงกำลัง นั่นคือพีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียวเป็นแบบเชื่อมโยง^{[ 5 ]}ในทางกลับกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริง: เซเดเนียนเป็นแบบเชื่อมโยงกำลังแต่ไม่ใช่แบบทางเลือก

อัตลักษณ์ของ ชาวมูฟาง

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

ถือไว้ในพีชคณิตทางเลือกใดๆ^{[ 2 ]}

ในพีชคณิตทางเลือกเอกลักษณ์ ตัวผกผันการคูณ จะมีเพียงหนึ่งเดียวเสมอเมื่อใดก็ตามที่มันมีอยู่ ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับองค์ประกอบที่ผกผันได้ใดๆและทุกสิ่งที่เรามี${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าตัวเชื่อมโยงหายไปสำหรับทุกสิ่งเช่นนั้นและ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ถ้าและสามารถผกผันได้แล้วก็สามารถผกผันได้เช่นกัน โดยมีตัวผกผันคือดังนั้น เซตของสมาชิกที่ผกผันได้ทั้งหมดจึงปิดภายใต้การคูณและก่อให้เกิดวงมูฟาง (Moufang loop ) วงของหน่วย ในริงหรือพีชคณิตแบบสลับ นี้คล้ายคลึงกับกลุ่มของหน่วยใน ริง หรือพีชคณิตแบบเชื่อมโยง${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

ทฤษฎีบทของ Kleinfeld ระบุว่าวงแหวนทางเลือกที่ไม่เชื่อมโยงแบบง่ายใดๆ ก็ตามเป็นพีชคณิตอ็อกโทเนียนทั่วไปเหนือศูนย์กลางของมัน[ 6 ^{]ทฤษฎีโครงสร้าง} ของวงแหวนทางเลือกมีอยู่ในหนังสือRings That Are Nearly Associativeโดย Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov และ Shirshov ^{[ 7 ]}

วงแหวนแบ่งทางเลือกจำกัดทุกวงเป็นฟิลด์จำกัดตามทฤษฎีบทอาร์ติน-ซอร์น

ระนาบเชิงฉายเหนือวงแหวนแบ่งทาง เลือกใดๆ ก็ คือระนาบมูฟาง (Moufang plane )

พีชคณิตองค์ประกอบทุกตัวเป็นพีชคณิตทางเลือก^{[ 8 ]}

• พีชคณิตเหนือฟิลด์
• พีชคณิตของมอลต์เซฟ
• แหวนซอร์น