ในทางคณิตศาสตร์การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบไม่สลับที่ถือเป็นสาขาที่ขยาย ผลลัพธ์จาก การวิเคราะห์ฟูริเยร์ ไปยัง กลุ่มโทโพโลยีที่ไม่สลับที่ [ ^{1 ] เนื่องจาก}กลุ่มอาเบเลียนแบบกระชับเฉพาะที่นั้นมีทฤษฎีที่เข้าใจได้ดี คือทฤษฎีคู่ของปอนทรียาจินซึ่งรวมถึงโครงสร้างพื้นฐานของอนุกรมฟูริเยร์และการแปลงฟูริ เยร์ ดังนั้นภารกิจหลักของ การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบไม่สลับ ที่ จึงมักถือเป็นการขยายทฤษฎีไปยังกลุ่มG ทั้งหมด ที่กระชับเฉพาะที่กรณีของกลุ่มกระชับ นั้น เข้าใจได้ในเชิงคุณภาพและตามทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์จากช่วงทศวรรษ 1920 ว่าโดยทั่วไปแล้วคล้ายคลึงกับกรณีของกลุ่มจำกัดและทฤษฎีอักขระของ กลุ่มเหล่านั้น

ดังนั้น งานหลักจึงอยู่ที่กรณีของGที่เป็นทั้งกลุ่มกระชับเฉพาะที่ กลุ่มที่ไม่กระชับ และกลุ่มที่ไม่สลับที่ได้ ตัวอย่างที่น่าสนใจ ได้แก่กลุ่มลี จำนวนมาก และกลุ่มพีชคณิตเหนือฟิลด์ p-adicตัวอย่างเหล่านี้มีความน่าสนใจและถูกนำไปประยุกต์ใช้บ่อยครั้งในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวน ร่วมสมัย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแทน แบบ อัตโนมัติ

สิ่งที่คาดหวังได้นั้นเป็นที่รู้จักกันในฐานะผลลัพธ์จากงานพื้นฐานของจอห์น ฟอน นอยมันน์ เขาแสดงให้เห็นว่า ถ้าพีชคณิตกลุ่มฟอน นอยมันน์ของGเป็นประเภท I แล้วL ² ( G ) ในฐานะการแสดงแทนแบบเอกภาพของGจะเป็นปริพันธ์โดยตรงของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ ดังนั้นจึงมีการกำหนดพารามิเตอร์โดยคู่เอกภาพซึ่งเป็นเซตของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของการแสดงแทนดังกล่าว ซึ่งกำหนด โดย โทโพโลยีฮัลล์-เคอร์เนลอนาล็อกของทฤษฎีบทแพลนเชอเรลนั้นแสดงออกมาในเชิงนามธรรมโดยการระบุมาตรวัดบนคู่เอกภาพมาตรวัดแพลนเชอเรลซึ่งใช้ในการหาปริพันธ์โดยตรง (สำหรับทฤษฎีคู่ของ Pontryagin การวัด Plancherel คือการวัด Haar บางอย่างบนกลุ่มคู่ของGดังนั้นปัญหาเดียวจึงเป็นการทำให้เป็นมาตรฐาน) สำหรับกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่ทั่วไป หรือแม้แต่กลุ่มแบบแยกส่วนที่นับได้ พีชคณิตกลุ่ม von Neumann ไม่จำเป็นต้องเป็นประเภท I และการแสดงแทนปกติของGไม่สามารถเขียนได้ในรูปของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ แม้ว่าจะเป็นกลุ่มเอกภาพและลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างที่เกิดขึ้นคือกลุ่มสมมาตรอนันต์ ซึ่งพีชคณิตกลุ่ม von Neumann คือปัจจัยประเภท II ₁ ไฮเปอร์ไฟ ไนต์ ทฤษฎีเพิ่มเติมแบ่งการวัด Plancherel ออกเป็นส่วนแยกส่วนและส่วนต่อเนื่อง สำหรับกลุ่มกึ่งง่ายและคลาสของกลุ่ม Lie ที่แก้ได้มีทฤษฎีที่ละเอียดมาก^{[ 2 ]}

• สูตรร่องรอยเซลเบิร์ก
• โครงการแลงแลนด์ส
• ทฤษฎีวงโคจรของคิริลลอฟ
• การแสดงอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่อง
• ฟังก์ชันทรงกลมโซนัล