ทฤษฎีวงแหวนเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับวงแหวน ซึ่งก็คือโครงสร้างที่รองรับทั้งการ บวกและการคูณนี่คือคำศัพท์บางส่วนในสาขานี้

สำหรับคำศัพท์ในพีชคณิตเชิงสลับที่ (ทฤษฎีวงแหวนเชิงสลับที่) โปรดดูที่ อภิธานศัพท์พีชคณิตเชิงสลับที่สำหรับแนวคิดทางทฤษฎีวงแหวนในภาษาของโมดูล โปรดดูที่ อภิธานศัพท์ทฤษฎีโมดูลด้วย

สำหรับพีชคณิตประเภทเฉพาะ โปรดดูที่: อภิธานศัพท์ทฤษฎีฟิลด์และอภิธานศัพท์กลุ่มลีและพีชคณิตลีเนื่องจากปัจจุบันยังไม่มีอภิธานศัพท์เกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิตที่ไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติการสลับที่โดยทั่วไป อภิธานศัพท์นี้จึงรวมถึงแนวคิดบางอย่างที่ไม่ต้องการคุณสมบัติการสลับที่ เช่น การอนุพันธ์

อามิตสุระ คอมเพล็กซ์

คอมเพล็กซ์ Amitsurของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนคือคอมเพล็กซ์โคเชนที่วัดขอบเขตที่โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนล้มเหลวที่จะแบนราบอย่างซื่อสัตย์

อาร์ติเนียน

วงแหวนอาร์ทิเนียนซ้ายคือวงแหวนที่ตรงตามเงื่อนไขสายโซ่ลงสำหรับอุดมคติซ้าย วงแหวนอาร์ทิเนียนขวาคือวงแหวนที่ตรงตามเงื่อนไขสายโซ่ลงสำหรับอุดมคติขวา ถ้าวงแหวนใดเป็นทั้งวงแหวนอาร์ทิเนียนซ้ายและขวา จะเรียกว่าวงแหวนอาร์ทิเนียนวงแหวนอาร์ทิเนียนเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน

เชื่อมโยง

ในริงสลับที่ สมาชิกaเรียกว่าสมาชิกร่วมของสมาชิกbถ้าa หาร bลงตัวและbหารaลงตัว

ออโตมอร์ฟิซึม

ออโตมอร์ฟิซึมของริงคือ ไอโซมอร์ฟิซึมของริงระหว่างริงเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของเอนโดมอร์ฟิซึมริงของริงที่มีคุณสมบัติการคูณและรักษาเอกลักษณ์การคูณไว้

ออโตมอร์ฟิซึมของพีชคณิตเหนือริงสลับที่Rคือไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตระหว่างพีชคณิตเดียวกัน เป็นออโตมอร์ฟิซึมของริงที่เป็นเชิงเส้นR ด้วย

อาซูมายะ

พีชคณิตอะซูมายะเป็นการขยายความของพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางไปสู่ริงฐานที่ไม่ใช่ฟิลด์

สองมิติ

มิติคู่ของพีชคณิตสมาคมAเหนือวงแหวนสลับที่RคือมิติเชิงโปรเจกทีฟของAในฐานะ โมดูล ( A ^op ⊗ _R A )ตัวอย่างเช่น พีชคณิตจะมีมิติคู่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพีชคณิตนั้นสามารถแยกได้

บูลีน

วงแหวนบูลีนคือวงแหวนที่สมาชิกทุกตัวมีคุณสมบัติเป็นตัวผกผัน การคูณ (multiplicatively idempotent )

บราวเออร์

กลุ่มบราวเออร์ของฟิลด์ คือกลุ่มอาเบเลียนที่ประกอบด้วยชั้นสมมูลทั้งหมดของพีชคณิตเชิงเดี่ยวศูนย์กลางเหนือฟิลด์นั้น

หมวดหมู่

หมวดหมู่ของวงแหวนเป็นหมวดหมู่ที่วัตถุคือวงแหวนทั้งหมด และมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนทั้งหมด

ศูนย์

1. สมาชิกrของริงRเรียกว่าสมาชิกศูนย์กลางถ้าxr = rxสำหรับทุกxในRเซตของสมาชิกศูนย์กลางทั้งหมดประกอบกันเป็นริงย่อยของRซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของR

2. พีชคณิตศูนย์กลาง (Central algebra)คือพีชคณิตแบบสมาคม (associative algebra) บนศูนย์กลาง (centre)

3. พีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางคือ พีชคณิตแบบศูนย์กลางที่เป็นวงแหวนเชิงเดี่ยวด้วย

ตัวรวมศูนย์

1. ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของเซตย่อยSของริง คือ ซับริงของริงที่ประกอบด้วยสมาชิกที่สลับที่กันได้กับสมาชิกของSตัวอย่างเช่น ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของริงเองก็คือศูนย์กลางของริงนั้น

2. ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางสองเท่าของเซตหนึ่ง คือตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของเซตนั้น ดูทฤษฎีบทตัวทำให้เป็นศูนย์กลางสองเท่าประกอบ

ลักษณะเฉพาะ

1. ลักษณะเฉพาะของริงคือจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดnที่สอดคล้องกับเงื่อนไขnx = 0 สำหรับทุกสมาชิกx ของริงนั้น ถ้าหากมี nดังกล่าวอยู่ มิฉะนั้น ลักษณะเฉพาะจะเป็น 0

2. วงแหวนย่อยลักษณะเฉพาะของRคือวงแหวนย่อยที่เล็กที่สุด (กล่าวคือ วงแหวนย่อยขั้นต่ำสุดที่ไม่ซ้ำกัน) จำเป็นต้องมีภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนที่ไม่ซ้ำกันZ → R และดังนั้นจึงเป็นไอโซมอ ร์ฟิกกับZ / nโดยที่nคือลักษณะเฉพาะของR

เปลี่ยน

การเปลี่ยนวงแหวนคือฟังก์ชัน (ระหว่างหมวดหมู่ที่เหมาะสม) ที่เกิดจากการโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน

พีชคณิตคลิฟฟอร์ด

พีชคณิตคลิฟฟอร์ดเป็นพีชคณิตแบบสมาคมชนิดหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรขาคณิตและฟิสิกส์

สอดคล้องกัน

วงแหวนโคฮีเรนต์ซ้ายคือ วงแหวนที่อุดมคติซ้ายที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกตัวของวงแหวนนั้นเป็นโมดูลที่นำเสนออย่างจำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ วงแหวนนั้นโคฮีเรนต์ในฐานะโมดูลซ้ายเหนือตัวมันเอง

สลับที่ได้

1. ริงRเป็น ริงสลับ ที่ได้ถ้าการคูณเป็นริงสลับที่ได้ กล่าวคือrs = srสำหรับทุกr , s ∈ R

2. วงแหวนRเป็นวงแหวนสลับที่แบบเฉียงถ้าxy = (−1) ^{ε ( x ) ε ( y )} yxโดยที่ε ( x ) แทนพาริตีของสมาชิกx

3. พีชคณิตสลับที่ (commutative algebra) คือพีชคณิตเชื่อมโยง (associative algebra) ที่เป็นวงแหวนสลับที่ (commutative ring)

4.   พีชคณิตเชิงสลับที่คือ ทฤษฎีของวงแหวนเชิงสลับที่

อนุพันธ์

1. การอนุมานของพีชคณิตA ที่อาจไม่เป็นแบบสมาคม เหนือวงแหวนสลับที่ Rคือ เอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้น Rที่สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิซ

2. พีชคณิตอนุพันธ์ของพีชคณิตAคือพีชคณิตย่อยของพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึมของAซึ่งประกอบด้วยอนุพันธ์ต่างๆ

ความแตกต่าง

พีชคณิตเชิงอนุพันธ์คือ พีชคณิตที่รวมเข้ากับการอนุพันธ์

โดยตรง

ผลคูณโดยตรงของกลุ่มวงแหวน คือ วงแหวนที่ได้จากการนำผลคูณคาร์ทีเซียนของวงแหวนที่กำหนดให้ และกำหนดการดำเนินการทางพีชคณิตตามแต่ละส่วนประกอบ

ตัวหาร

1. ในโดเมนจำนวนเต็มRสมาชิกaเรียกว่าตัวหารของสมาชิกb (และเรากล่าวว่าa หารb ลงตัว ) ถ้ามีสมาชิกxในRที่ax = b

2. สมาชิกrของRเป็นตัวหารศูนย์ซ้ายก็ต่อเมื่อมีสมาชิกx ที่ไม่ใช่ศูนย์ ในRที่ทำให้rx = 0และเป็นตัวหารศูนย์ขวาหรือถ้ามีสมาชิกy ที่ไม่ใช่ศูนย์ ในRที่ทำให้yr = 0สมาชิกrของRเรียกว่าเป็นตัวหารศูนย์สองด้านก็ต่อเมื่อมันเป็นทั้งตัวหารศูนย์ซ้ายและตัวหารศูนย์ขวา

แผนก

วงแหวนหารหรือฟิลด์เฉียงคือวงแหวนที่สมาชิกทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นหน่วย และ1 ≠ 0

โดเมน

โดเมนคือริงที่ไม่เป็นศูนย์และไม่มีตัวหารศูนย์อื่นใดนอกจาก 0 ด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ โดเมนสลับที่จึงเรียกว่าโดเมนเชิงจำนวนเต็ม

เอนโดมอร์ฟิซึม

วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมคือวงแหวนที่เกิดจากเอนโดมอร์ฟิซึมของวัตถุที่มีโครงสร้างแบบบวก โดยการคูณถือเป็นการประกอบฟังก์ชันในขณะที่การบวกเป็นการบวกแบบจุดต่อจุดของภาพ

พีชคณิตห่อหุ้ม

พีชคณิตห่อหุ้ม สากลEของพีชคณิตA ที่ไม่จำเป็นต้องเป็นพีชคณิตเชื่อมโยง คือพีชคณิตเชื่อมโยงที่ถูกกำหนดโดยAในลักษณะสากลบางอย่าง ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตลี

ส่วนขยาย

วงแหวนEเป็นส่วนขยายของวงแหวนR ก็ ต่อเมื่อRเป็นวงแหวนย่อยของE

พีชคณิตภายนอก

พีชคณิตภายนอกของปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลVคือผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ของVด้วยไอเดียลที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบในรูปแบบx ⊗ x

สนาม

ฟิลด์คือวงแหวนหารสลับที่ กล่าวคือ วงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์แต่ละตัวสามารถหาตัวผกผันได้

วงแหวนกรอง

แหวนกรองคือ แหวนที่มีตัวกรองอยู่ภายใน

สร้างขึ้นอย่างจำกัด

1. ไอเดียลซ้ายIถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดถ้ามีสมาชิกa ₁ , ..., a _nจำนวนจำกัดที่ทำให้I = Ra ₁ + ... + Ra _nไอเดียลขวาIถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดถ้ามีสมาชิกa ₁ , ..., a _nจำนวนจำกัดที่ทำให้I = a ₁ R + ... + a _n Rไอเดียลสองด้านIถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดถ้ามีสมาชิกa ₁ , ..., a _n จำนวนจำกัด ที่ทำให้I = Ra ₁ R + ... + Ra _n R

2. วงแหวนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดคือ วงแหวนที่ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะพีชคณิตZ

นำเสนออย่างจำกัด

พีชคณิตที่นำเสนออย่างจำกัดเหนือวงแหวนสลับที่Rคือพีชคณิตแบบเชื่อมโยง (สลับที่) ที่เป็นผลหารของวงแหวนพหุนามเหนือRในตัวแปรจำนวนจำกัดโดย อุดมคติ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด^{[ 1 ]}

ฟรี

1. วงแหวนอุดมคติอิสระหรือเฟอร์ คือวงแหวนที่อุดมคติเชิงสิทธิทุกตัวเป็นโมดูลอิสระที่มีอันดับคงที่

2. เซมิเฟอร์ คือ ริงที่ซึ่งไอเดียลขวาที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทุกตัวเป็นโมดูลอิสระที่มีอันดับคงที่

3. ผลคูณอิสระของตระกูลพีชคณิตแบบสมาคม คือ พีชคณิตแบบสมาคมที่ได้มาโดยประมาณจากตัวสร้างและความสัมพันธ์ของพีชคณิตในตระกูลนั้น แนวคิดนี้ขึ้นอยู่กับว่าพิจารณาพีชคณิตแบบสมาคมประเภทใด ตัวอย่างเช่น ในประเภทของวงแหวนสลับที่ ผลคูณอิสระคือผลคูณเทนเซอร์

4. วงแหวนอิสระคือ วงแหวนที่เป็นพีชคณิตอิสระเหนือจำนวนเต็ม

เกรด

วงแหวนแบบมีระดับ (Graded ring)คือวงแหวนที่มีระดับหรือการแบ่งระดับ กล่าวคือ เป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มย่อยแบบบวกที่มีการคูณซึ่งเคารพระดับนั้น ตัวอย่างเช่น วงแหวนพหุนาม (Polynomial ring) เป็นวงแหวนแบบมีระดับตามดีกรีของพหุนาม

สร้าง

พีชคณิตเชิงสมาคมAบนริงเชิงสลับที่Rกล่าวได้ว่าถูกสร้างขึ้นโดยเซตย่อยSของAถ้าพีชคณิตย่อยที่เล็กที่สุดที่บรรจุSคือAเอง และSเรียกว่าเซตก่อกำเนิดของAถ้ามีเซตก่อกำเนิดจำกัดAจะเรียกว่า พีชคณิตที่ถูกสร้าง ขึ้น โดยเซต จำกัด

กรรมพันธุ์

วงแหวนจะเรียกว่าเป็นวงแหวนสืบทอดทางซ้ายก็ต่อเมื่ออุดมคติทางซ้ายของวงแหวนนั้นเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด ส่วนวงแหวนสืบทอดทางขวาจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ในอุดมคติ

ไอเดียลซ้ายIของRคือกลุ่มย่อยแบบบวกของRโดยที่aI ⊆ Iสำหรับทุกa ∈ Rไอเดียลขวาคือกลุ่มย่อยของRโดยที่Ia ⊆ Iสำหรับทุกa ∈ Rไอเดียล (บางครั้งเรียกว่าไอเดียลสองด้านเพื่อเน้น) คือกลุ่มย่อยที่เป็นทั้งไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวา

ไอเดมโพเทนต์

สมาชิกrของริงเรียกว่าสมาชิกเอกลักษณ์ถ้าr² ⁼ r

โดเมนอินทิกรัล

" โดเมนอินทิกรัล " หรือ " วงแหวนทั้งหมด " เป็นอีกชื่อหนึ่งของโดเมนสลับที่ กล่าวคือวงแหวนสลับที่ ที่ไม่ใช่ศูนย์ โดยไม่มีตัวหารศูนย์อื่นใดนอกจาก 0

คงที่

วงแหวนRมีจำนวนฐานไม่แปรเปลี่ยนถ้าR m ^สม isomorphic กับR ⁿในฐานะโมดูลR แล้ว m = n

ไม่สามารถลดทอนได้

สมาชิกxในโดเมนจำนวนเต็มจะเรียกว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ถ้ามันไม่ใช่หน่วย และสำหรับสมาชิกaและb ใดๆ ที่ทำให้x = ab จะต้องเป็นหน่วย อย่างใดอย่างหนึ่งระหว่างaหรือbโปรดทราบว่าสมาชิกเฉพาะทุกตัวไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นเสมอไป

เจคอบสัน

1. ราดิคัลของเจคอบสันของวงแหวน คือ จุดตัดของไอเดียลซ้ายสูงสุดทั้งหมด

2. วงแหวนเจคอบสัน (Jacobson ring)คือวงแหวนที่อุดมคติเฉพาะตัวแต่ละตัวเป็นผลตัดกันของอุดมคติดั้งเดิม (primitive ideals)

เคอร์เนล

เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมของริงf  : R → Sคือเซตของสมาชิกx ทั้งหมด ของRที่ทำให้f ( x ) = 0 ทุกไอเดียลเป็นเคอร์เนลของโฮโม มอร์ฟิซึมของริง และในทางกลับกัน

โคเธ่

ข้อสันนิษฐานของ Kötheกล่าวว่า ถ้าวงแหวนมีอุดมคติขวาที่เป็นศูนย์และไม่เป็นศูนย์ วงแหวนนั้นก็จะมีอุดมคติขวาที่เป็นศูนย์และไม่เป็นศูนย์เช่นกัน

ท้องถิ่น

1. วงแหวนที่มีอุดมคติซ้ายสูงสุดเพียงหนึ่งเดียวเรียกว่าวงแหวนเฉพาะที่วงแหวนเหล่านี้ยังมีอุดมคติขวาสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว และอุดมคติซ้ายและขวาสูงสุดเพียงหนึ่งเดียวจะตรงกัน วงแหวนสลับที่บางวงสามารถฝังตัวในวงแหวนเฉพาะที่ได้โดยการทำให้เกิดการเฉพาะที่ ณอุดมคติเฉพาะ

2. การทำให้เป็นโลคัลไลเซชันของริง : สำหรับริงสลับที่กันได้ การทำให้เป็น โลคัลไล  เซชันเป็นเทคนิคในการเปลี่ยนเซตของสมาชิกในริงที่กำหนดให้เป็นหน่วย เรียกว่า การทำให้เป็นโลคัลไลเซชัน เพราะสามารถใช้ทำให้ริงใดๆ ก็ตามเป็น ริง โลคัล ไลเซชันได้ ในการทำให้ริงR เป็นโลคัลไลเซ ชัน ให้เลือกเซตย่อยS ที่ปิดการคูณได้ ซึ่งไม่มีตัวหารศูนย์และกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการของตัวผกผันการคูณของเซตย่อยเหล่านั้น จากนั้นจึงเพิ่มตัวผกผันการคูณเหล่านั้นเข้าไปในRการทำให้เป็นโลคัลไลเซชันในริงไม่สลับที่กันได้นั้นซับซ้อนกว่า และมีการกำหนดนิยามไว้หลายวิธีที่แตกต่างกัน

ขั้นต่ำและขั้นสูงสุด

1. ไอเดียลซ้ายMของริงRเป็นไอเดียลซ้ายสูงสุด (หรือไอเดียลซ้ายต่ำสุด) ถ้ามันเป็นไอเดียลซ้ายสูงสุด (หรือต่ำสุด) ในบรรดาไอเดียลซ้ายแท้ (หรือไอเดียลซ้ายที่ไม่เป็นศูนย์) ไอเดียลขวาสูงสุด (หรือต่ำสุด) ก็มีนิยามในทำนองเดียวกัน

2. วงแหวนย่อยสูงสุด (maximal subring)คือวงแหวนย่อยที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาวงแหวนย่อยแท้ (proper subrings) ส่วน "วงแหวนย่อยต่ำสุด" (minimal subring) สามารถนิยามได้ในทำนองเดียวกัน คือมีเพียงหนึ่งเดียวและเรียกว่าวงแหวนย่อยลักษณะเฉพาะ (characteristic subring )

เมทริกซ์

1. วงแหวนเมทริกซ์เหนือวงแหวนRคือวงแหวนที่มีสมาชิกเป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาดคงที่ โดยที่สมาชิกอยู่ในRวงแหวนเมทริกซ์หรือวงแหวนเมทริกซ์เต็มเหนือRคือวงแหวนเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเมทริกซ์จัตุรัสขนาดคงที่ทั้งหมด โดยที่สมาชิกอยู่ในRเมื่อโครงสร้างทางไวยากรณ์ใช้งานไม่ได้ คำว่า "วงแหวนเมทริกซ์" มักหมายถึง "วงแหวนเมทริกซ์เต็ม" เมื่อบริบทไม่ก่อให้เกิดความสับสน ตัวอย่างเช่น เมื่อกล่าวว่าวงแหวนกึ่งง่ายเป็นผลคูณของวงแหวนเมทริกซ์ของวงแหวนการหาร จะถือว่าโดยปริยายว่า "วงแหวนเมทริกซ์" หมายถึง "วงแหวนเมทริกซ์เต็ม" ทุกวงแหวนเป็น (ไอโซมอร์ฟิกกับ) วงแหวนเมทริกซ์เต็มเหนือตัวมันเอง

2. วงแหวนของเมทริกซ์ทั่วไปคือ วงแหวนที่ประกอบด้วยเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นตัวแปรเชิงรูปธรรม

โมโนอิด

วงแหวนโมโนอิด

โมริตะ

กล่าวกันว่าวงแหวนสองวงนั้นเทียบเท่ากันตามแนวคิดของโมริตะหากหมวดหมู่ของโมดูลเหนือวงแหวนวงหนึ่งเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของโมดูลเหนืออีกวงหนึ่ง

ใกล้เข้ามา

เนียร์ริง (Nearing)คือโครงสร้างที่เป็นกลุ่มภายใต้การบวก เป็นเซมิกรุปภายใต้การคูณ และการคูณของโครงสร้างนี้สามารถกระจายไปทางขวาภายใต้การบวกได้

ไม่มี

1. ไอเดียลนิลคือไอเดียลที่ประกอบด้วยองค์ประกอบนิลโพเทนต์

2. รากนิลบน (Baer) คือผลรวมของไอเดียลนิลทั้งหมด

3. รากนิลล่าง (ของแบร์) คือจุดตัดของไอเดียลเฉพาะทั้งหมด สำหรับวงแหวนสลับที่ได้ รากนิลบนและรากนิลล่างจะตรงกัน

นิลโพเทนต์

1. สมาชิกrของRเรียกว่าสมาชิกนิลโพเทนต์ถ้ามีจำนวนเต็มบวกn อยู่จริง โดยที่r ⁿ = 0

2. อุดมคติที่เป็นศูนย์คืออุดมคติที่มีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบที่เป็นศูนย์

3. ไอเดียลนิลโพเทนต์คือไอเดียลที่มีกำลังI ^kเป็น {0} สำหรับจำนวนเต็มบวกk บางตัว ไอเดียลนิลโพเทนต์ทุกตัวเป็นไอเดียลนิล แต่โดยทั่วไปแล้วข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง

4. นิลราดิคัลของริงสลับที่คือไอเดียลที่ประกอบด้วยสมาชิกนิลโพเทนต์ทั้งหมดของริง มันเท่ากับจุดตัดของไอเดียลเฉพาะ ทั้งหมดของริง และบรรจุอยู่ใน แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากับ จาคอบสันราดิคัลของริง

โนเอเธเรียน

วงแหวนโนเธอร์เรียนซ้ายคือวงแหวนที่ตรงตามเงื่อนไขสายโซ่ขึ้นสำหรับอุดมคติซ้ายวงแหวนโนเธอร์เรียนขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน และวงแหวนที่เป็นทั้งโนเธอร์เรียนซ้ายและขวาเรียกว่า วงแหวนโน เธอร์เรียน วงแหวนจะเป็นโนเธอร์เรียนซ้ายก็ต่อเมื่ออุดมคติซ้ายทั้งหมดของวงแหวนนั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด ในทำนองเดียวกันสำหรับวงแหวนโนเธอร์เรียนขวา

โมฆะ

วงแหวนศูนย์ : ดูrng ของศูนย์กำลังสอง

ตรงข้าม

กำหนดให้ริงRหนึ่ง ๆ และริงตรงข้ามR ^opมีเซตพื้นฐานเดียวกันกับRการดำเนินการบวกจะถูกกำหนดเป็น ในRแต่ผลคูณของsและrในR ^opคือrsในขณะที่ผลคูณคือsrในR

คำสั่ง

ลำดับของพีชคณิต (โดยประมาณ) คือพีชคณิตย่อยที่เป็นแลตทิซสมบูรณ์ด้วย

แร่

โดเมน Oreด้านซ้ายคือโดเมน (ที่ไม่สลับที่กัน) ซึ่งเซตของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์นั้นสอดคล้องกับเงื่อนไข Ore ด้านซ้าย โดเมน Ore ด้านขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน

สมบูรณ์แบบ

วงแหวนสมบูรณ์ด้านซ้ายคือวงแหวนที่ตรงตามเงื่อนไขสายโซ่ลงของ อุดมคติหลัก ด้านขวานอกจากนี้ยังจำแนกได้ว่าเป็นวงแหวนที่มีโมดูลด้านซ้ายแบนราบเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด วงแหวนสมบูรณ์ด้านขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน วงแหวนอาร์ทิเนียนเป็นวงแหวนสมบูรณ์

พหุนาม

1. วงแหวนพหุนามเหนือวงแหวนสลับที่ R คือวงแหวนสลับที่ซึ่งประกอบด้วยพหุ นามทั้งหมดในตัวแปรที่กำหนด โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ใน  R

2. วงแหวนพหุนามเฉียง

กำหนดให้ริงRและเอนโดมอร์ฟิซึมσ ∈ End( R )ของRริงพหุนามเฉียงR [ x ; σ ]ถูกกำหนดให้เป็นเซต{ a _n x ⁿ + a _{n −1} x ^{n −1} + ... + a ₁ x + a ₀ | n ∈ N , a _n , a _{n −1} , ..., a ₁ , a ₀ ∈ R }โดยมีการบวกที่นิยามไว้ตามปกติ และการคูณที่นิยามโดยความสัมพันธ์xa = σ ( a ) x ∀ a ∈ R

ควาซี-โฟรเบนิอุส

วงแหวนควาซี-ฟรอเบนิอุส (Quasi-Frobenius ring  ): วงแหวนอาร์ทิเนียนชนิดพิเศษที่เป็นวงแหวนแบบฉีดตัวเอง ได้ ทั้งสองด้าน วงแหวนกึ่งง่ายทุกวงเป็นวงแหวนควาซี-ฟรอเบนิอุส

วงแหวนผลหารหรือวงแหวนตัวประกอบ  : กำหนดให้วงแหวน Rและอุดมคติ Iของ Rวงแหวนผลหารคือวงแหวนที่เกิดจากเซต R / Iของโคเซต{ a + I  : a ∈ R }ร่วมกับการดำเนินการ ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + Iและ ( a + I )( b + I ) = ab + Iความสัมพันธ์ระหว่างอุดมคติ โฮโมมอร์ฟิซึม และวงแหวนตัวประกอบนั้นสรุปได้ในทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับโฮโมมอร์ฟิซึม

หัวรุนแรง

รากของไอเดียลIในริงสลับที่ประกอบด้วยสมาชิกริงทั้งหมดที่มีกำลังอยู่ในIและเท่ากับจุดตัดของไอเดียลเฉพาะทั้งหมดที่ประกอบด้วยI

แหวน

1. เซตR ที่มี โอเปอเรชันทวิภาคสองอย่างซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าการบวก (+) และการคูณ (×) โดยที่Rเป็นกลุ่มอาเบเลียนภาย ใต้การบวก Rเป็นโมโนอิด ภายใต้การคูณ และการคูณมี การกระจายแบบซ้ายและขวาเหนือการบวก โดยทั่วไปแล้ววงแหวนจะมีเอกลักษณ์การคูณ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น เอกลักษณ์การบวกใช้สัญลักษณ์ 0 และเอกลักษณ์การคูณใช้สัญลักษณ์ 1 ( คำเตือน : หนังสือบางเล่ม โดยเฉพาะหนังสือเก่าๆ ใช้คำว่า "วงแหวน" ในความหมายที่ในที่นี้จะเรียกว่าrng กล่าว คือ พวกเขาไม่กำหนดให้วงแหวนต้องมีเอกลักษณ์การคูณ)

2. โฮโมมอร์ฟิซึมของริง  : ฟังก์ชันf  : R → Sระหว่างริง( R , +, ∗)และ( S , ⊕, ×)จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )

f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )

f (1) = 1

สำหรับองค์ประกอบaและb ทั้งหมด ของR

การฉีดด้วยตนเอง

วงแหวนRจะเป็นวงแหวนที่ฉีดตัวเองได้ทางซ้ายถ้าโมดูล_{R →} Rเป็นโมดูลที่ฉีดได้ในขณะที่วงแหวนที่มีเอกลักษณ์จะเป็นโมดูลเชิงฉายเสมอ แต่ก็ไม่ได้เป็นโมดูลที่ฉีดได้เสมอไป

กึ่งสมบูรณ์แบบ

วงแหวนกึ่งสมบูรณ์คือวงแหวนRซึ่งสำหรับราก Jacobson J( R ) ของR (1) R /J( R ) เป็นกึ่งเรียบง่ายและ (2) ตัวประกอบเอกลักษณ์ยกโมดูล J( R )

กึ่งประถมศึกษา

วงแหวนกึ่งปฐมภูมิคือวงแหวนRซึ่งสำหรับราก Jacobson J( R ) ของR (1) R /J( R ) เป็นกึ่งเรียบง่ายและ (2) J( R ) เป็นอุดมคตินิลโพเทนต์

เซมิไพรม์

1. วงแหวนกึ่งไพรม์คือ วงแหวนที่อุดมคตินิลโพเทนต์ เพียงอันเดียว คืออุดมคติที่ไม่สำคัญ {0} วงแหวนสลับที่ถือเป็นวงแหวนกึ่งไพรม์ก็ต่อเมื่อเป็นวงแหวนลดรูป

2. ไอเดียลIของริงRเป็นไอเดียลกึ่งไพรม์ก็ต่อเมื่อสำหรับไอเดียลA ใดๆ ของRแล้วA ⁿ ⊆ Iหมายความว่าA ⊆ I หรือกล่าว อีกนัยหนึ่ง คือ Iเป็นไอเดียลกึ่งไพรม์ก็ต่อเมื่อR / Iเป็นริงกึ่งไพรม์

กึ่งดั้งเดิม

วงแหวนกึ่งดั้งเดิมหรือวงแหวนกึ่งง่ายของเจคอบสัน คือวงแหวนที่มีรากของเจคอบสันเป็นศูนย์ วงแหวนปกติของฟอน นอยมันน์และวงแหวนดั้งเดิมเป็นวงแหวนกึ่งดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม วงแหวนกึ่งฟรอเบนิอุสและวงแหวนเฉพาะที่มักจะไม่ใช่วงแหวนกึ่งดั้งเดิม

เซมิริง

เซมิริง (Semiring  ): โครงสร้างทางพีชคณิตที่มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับริง (Ring) ยกเว้นว่าการบวกไม่จำเป็นต้องเป็นการดำเนินการแบบอะเบเลียนโมโนอิด (Abelian Monoid) เท่านั้น แต่เป็นการดำเนินการแบบอะเบเลียนกรุ๊ป (Abelian Group) กล่าวคือ สมาชิกในเซมิริงไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันการบวก

เซมิซิมเพิล

วงแหวนกึ่งง่าย (semisimple ring ) คือวงแหวนอาร์ทีเนียนRที่เป็นผลคูณจำกัดของวงแหวนอาร์ทีเนียนแบบง่าย (simple artinian rings) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นโมดูลซ้ายกึ่งง่าย ของ R

แยกออกจากกันได้

พีชคณิตแบบแยกส่วนได้คือ พีชคณิตแบบสมาคมที่มีกำลังสองของเทนเซอร์ซึ่งยอมรับเอกลักษณ์แบบแยกส่วนได้

ซีเรียล

ริงอนุกรมขวาคือ ริงที่เป็นโมดูลอนุกรมขวาครอบตัวมันเอง

เซเวรี–บราวเออร์

วาไรตี้เซเวรี-บราวเออร์เป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิตที่สัมพันธ์กับพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางที่กำหนดให้

เรียบง่าย

1. วงแหวนเชิงเดี่ยวคือวงแหวนที่ไม่ใช่วงแหวนศูนย์ ซึ่งมีเพียงอุดมคติสองด้านที่ไม่สำคัญ (อุดมคติศูนย์ วงแหวนเอง และไม่มีอย่างอื่น)

2. พีชคณิตเชิงเดี่ยวคือ พีชคณิตแบบสมาคมที่เป็นริงเชิงเดี่ยว

โมดูลย่อยเอกพจน์

โมดูลRขวา (หรือซ้าย) Mมีโมดูลย่อยเอกฐานก็ต่อเมื่อมันประกอบด้วยสมาชิกที่มีตัวทำลายเป็น อุดมคติ ขวา (หรือซ้าย) ที่สำคัญในRในสัญกรณ์เซต มักจะเขียนแทนด้วยZ ( M ) = { m ∈ M | ann( m ) ⊆ _e R }

ซับริง

ซับริงคือเซตย่อยSของริง( R , +, ×)ที่ยังคงเป็นริงเมื่อ + และ × ถูกจำกัดให้อยู่ในSและมีเอกลักษณ์การคูณ 1 ของR

พีชคณิตสมมาตร

1. พีชคณิตสมมาตรของปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลVคือผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ของVด้วยไอเดียลที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบในรูปแบบx ⊗ y − y ⊗ x

2. พีชคณิตสมมาตรแบบแบ่งระดับของปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลVเป็นรูปแบบหนึ่งของพีชคณิตสมมาตรที่สร้างขึ้นโดยคำนึงถึงการแบ่งระดับ

โดเมนซิลเวสเตอร์

โดเมนซิลเวสเตอร์คือ วงแหวนที่กฎแห่งความว่างเปล่าของซิลเวสเตอร์ใช้ได้

เทนเซอร์

พีชคณิตผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตแบบเชื่อมโยง คือ ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตในฐานะโมดูลที่มีการคูณส่วนประกอบ

พีชคณิตเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลVคือผลรวมโดยตรงของกำลังเทนเซอร์ทั้งหมดV ^{⊗ n}โดยการคูณกำหนดโดยผลคูณเทนเซอร์

เรื่องเล็กน้อย

1. ไอเดียลที่ไม่สำคัญ คือ ไอเดียลศูนย์ หรือ ไอเดียลหน่วย

2. วงแหวนที่ไม่สำคัญหรือวงแหวนศูนย์คือวงแหวนที่ประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียว0 = 1

หน่วย

เอกลักษณ์หรือองค์ประกอบผกผัน  : องค์ประกอบ rของริง Rเป็นเอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อมีองค์ประกอบ r ⁻¹ที่ทำให้ rr ⁻¹ = r ⁻¹ r = 1องค์ประกอบ r ⁻¹ นี้ ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดย rและเรียกว่าตัวผกผันการคูณของ rเซตของเอกลักษณ์เหล่านี้ประกอบกันเป็นกลุ่มภายใต้การคูณ

เอกภาพ

คำว่า "เอกภาพ" เป็นอีกชื่อหนึ่งของเอกลักษณ์การคูณ

มีเอกลักษณ์

โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะหรือวงแหวนแฟกทอเรียลคือโดเมนจำนวนเต็มRซึ่งสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์และไม่เป็นหน่วย ทุกตัว สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของสมาชิกเฉพาะของR

ยูนิซีเรียล

วงแหวนยูนิซีเรียลขวาคือ วงแหวนที่เป็นโมดูลยูนิซีเรียลขวาเหนือตัวมันเอง วงแหวนยูนิซีเรียลสลับที่เรียกอีกอย่างว่าวงแหวนประเมินค่า

องค์ประกอบปกติของฟอน นอยมันน์

1.   สมาชิกปกติของฟอน นอยมันน์  : สมาชิกrของริงRเป็นสมาชิกปกติของฟอน นอยมันน์ถ้ามีสมาชิกxของRที่ทำให้r = rxr

2. วงแหวนปกติแบบฟอน นอยมันน์ (Von Neumann regular ring ): วงแหวนที่สมาชิกแต่ละตัวaสามารถแสดงได้เป็นa = axaสำหรับสมาชิกอีกตัวxในวงแหวนนั้น วงแหวนกึ่งง่าย (Semisimple rings) เป็นวงแหวนปกติแบบฟอน นอยมันน์

ทฤษฎีบทเวดเดอร์เบิร์น-อาร์ติน

ทฤษฎีบท เวดเดอร์เบิร์น-อาร์ตินกล่าวว่า วงแหวนกึ่งง่ายเป็นผลคูณจำกัดของวงแหวนเมทริกซ์ (แบบเต็ม) เหนือวงแหวนหาร

ศูนย์

วงแหวนศูนย์ : วงแหวนที่ประกอบด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ0 = 1หรือเรียกอีกอย่างว่าวงแหวนที่ไม่สำคัญบางครั้ง "วงแหวนศูนย์" ก็ถูกใช้ในความหมายอื่นเพื่อหมายถึงวงแหวนของกำลังสองของศูนย์

• คำศัพท์เกี่ยวกับทฤษฎีโมดูล