ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์บันเดิลเสถียรคือเวกเตอร์บัน เดิล ( โฮโลมอร์ฟิกหรือพีชคณิต ) ที่เสถียรในแง่ของทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตเวกเตอร์บันเดิลโฮโลมอร์ฟิกใดๆ ก็สามารถสร้างได้จากเวกเตอร์บันเดิลเสถียรโดยใช้การกรองของฮาร์เดอร์-นาราซิมฮานเวกเตอร์บันเดิลเสถียรได้รับการนิยามโดยเดวิด มัมฟอร์ดใน งานของ มัมฟอร์ด (1963)และต่อมาได้รับการพัฒนาต่อยอดโดยเดวิด กีเซเกอร์เฟดอร์ โบโกโมล อฟ โทมัส บริดจ์แลนด์และอีกหลายคน

บนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ เส้นบันเดิลของค่าคงที่เชิงตัวเลขที่กำหนดจะถูกกำหนดพารามิเตอร์บนปริภูมิโมดูลัส ที่มีพฤติกรรมดี (สมมาตรกับวาไรตี้ของ Picard) ปริภูมินี้เป็นแบบแผนที่ เหมาะสมและแยกออกจากกันของประเภทจำกัดโดยเฉพาะจึงเอื้อต่อการวิเคราะห์เชิงพีชคณิตเรขาคณิต การพิจารณาที่คล้ายกันนี้ล้มเหลวเมื่อกำหนดพารามิเตอร์ให้กับเวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับสูงกว่าอย่างง่ายๆ

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาโมดูลัสของเวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับและชั้นเชิร์น แรก บนเส้นโปรเจกทีฟเชิงซ้อนถ้าหากพวกมันก่อตัวเป็นปริภูมิโมดูลัสที่แยกจากกันเกณฑ์การประเมินค่าจะบ่งชี้ว่าตระกูลใดๆ บนเส้นที่เจาะรูสามารถเติมเต็มได้มากที่สุดเพียงตระกูลเดียวบนแต่การสร้างตระกูลที่ยอมรับการเติมเต็มที่ไม่สมมาตรสองแบบนั้นทำได้ง่าย ${\displaystyle r=2}$${\displaystyle c_{1}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

พิจารณาตระกูลคงที่ที่กำหนดแต่ละให้กับบันเดิลการเทนเซอร์ลำดับออยเลอร์ของโดยให้ลำดับที่แน่นอนที่ไม่แยกส่วน[ ^{1 ] และ}ด้วยเหตุนี้ตระกูลนี้จึงสามารถอธิบายได้โดยการกล่าวว่าเป็นส่วนขยายที่สอดคล้องกับ ในทำนองเดียวกัน การกำหนดให้กับส่วนขยายที่สอดคล้องกับจะให้ตระกูลอื่นตระกูลทั้งสองเป็นไอโซมอร์ฟิก โดยที่ไอโซมอร์ฟิซึมถูกเหนี่ยวนำโดยออโตมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดยการคูณด้วยนั่นคือ เรามีคำอธิบายที่เทียบเท่ากันสองแบบของตระกูลเดียวกัน ${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$${\displaystyle V_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$${\displaystyle V_{t}}$${\displaystyle 1\in \mathbb {C} \simeq \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{\ast }}$${\displaystyle t\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$${\displaystyle W_{t}\simeq {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$${\displaystyle V_{t}\to W_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)}$${\displaystyle t}$

เมื่อดำเนินการเสร็จสมบูรณ์ตามธรรมชาติเหนือคำอธิบายแรกจะยังคงให้ส่วนขยายที่สอดคล้องกับ ในทางกลับกัน คำอธิบายที่สองจะให้ส่วนขยายแบบแยกส่วนที่สอดคล้องกับบันเดิลทั้งสอง และด้วยเหตุนี้ การดำเนินการเสร็จสมบูรณ์ทั้งสอง จึงไม่สมมาตรกัน ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V_{0}={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}}$${\displaystyle 1\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$${\displaystyle W_{0}\simeq {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle t=0\in \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))}$

แนวคิดเรื่องเสถียรภาพช่วยแก้ไขปัญหานี้โดยการจำกัดกลุ่มของบันเดิลที่อาจปรากฏในปริภูมิโมดูลัส ซึ่งส่งผลให้รักษาคุณสมบัติทางพีชคณิตเรขาคณิตที่พึงประสงค์ไว้ได้

ความชันของเวกเตอร์บันเดิลโฮโลมอร์ฟิกWบนเส้นโค้งพีชคณิต ที่ไม่เอกฐาน (หรือบนพื้นผิวรีมันน์ ) คือจำนวนตรรกยะμ(W) = deg( W )/rank( W ) บันเดิ ล Wมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่อ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

สำหรับซับบันเดิล Vที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของW และมีเสถียรภาพกึ่งเสถียรหาก

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

สำหรับกลุ่มย่อย Vที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของWโดยทั่วไปแล้วหมายความว่า กลุ่มข้อมูลจะมีเสถียรภาพหาก "มีขนาด ใหญ่กว่า " กลุ่มย่อยใดๆ และจะไม่มีเสถียรภาพหากประกอบด้วยกลุ่มย่อยที่ "มีขนาดใหญ่กว่า"

ถ้าWและVเป็นเวกเตอร์บันเดิลกึ่งเสถียร และμ(W) > μ(V)แล้ว จะไม่มีแผนที่W → V ที่ไม่มีค่า เป็น ศูนย์

มัมฟอร์ด พิสูจน์ว่า ปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลเสถียรที่มีอันดับและดีกรีที่กำหนดเหนือเส้นโค้งที่ไม่เอกฐานเป็นวาไรตี้พีชคณิต กึ่งโปรเจคทีฟ โคฮอโม โลยีของปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลเวกเตอร์เสถียรเหนือเส้นโค้งได้รับการอธิบายโดยฮาร์เดอร์และนาราซิมฮาน (1975)โดยใช้เรขาคณิตพีชคณิตเหนือฟิลด์จำกัดและอาติยาห์และบอตต์ (1983)โดยใช้วิธีการของนาราซิมฮาน-เซชาดรี

ถ้าXเป็นวา ไร ตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ ที่มีมิติmและHเป็นส่วนตัดของระนาบไฮเปอร์เพลนแล้วเวกเตอร์บันเดิล (หรือ ชีฟ ที่ปราศจากทอร์ชั่น ) Wเรียกว่าเสถียร (หรือบางครั้ง เรียกว่าเสถียร แบบกีเซเกอร์ )ถ้า

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}}$

สำหรับซับบันเดิล (หรือซับชีฟ) Vที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของWโดยที่ χ แทนลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของบันเดิลเวกเตอร์เชิงพีชคณิต และบันเดิลเวกเตอร์V(nH)หมายถึงการบิดครั้งที่nของVโดยH W เรียกว่ากึ่งเสถียร หากเงื่อนไขข้างต้นเป็น จริงโดยแทนที่ < ด้วย ≤

สำหรับกลุ่มบนเส้นโค้ง ความเสถียรที่กำหนดโดยความชันและการเติบโตของพหุนามฮิลเบิร์ตจะตรงกัน ในมิติที่สูงกว่า แนวคิดทั้งสองนี้แตกต่างกันและมีข้อดีที่แตกต่างกัน ความเสถียรของกีเซเกอร์มีการตีความในแง่ของทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิตในขณะที่ความเสถียรแบบ μ มีคุณสมบัติที่ดีกว่าสำหรับผลคูณเทนเซอร์การดึงกลับฯลฯ

ให้Xเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีมิติnและH เป็น ส่วนตัดระนาบไฮ เปอร์ ของ X ความชันของบันเดิลเวกเตอร์ (หรือโดยทั่วไป คือ ชีฟโคฮีเรนต์ที่ปราศจากทอร์ชั่น ) EเทียบกับHคือจำนวนตรรกยะที่กำหนดโดย

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

โดยที่c _{1 คือ} ชั้นเชิร์นแรกการพึ่งพาHมักถูกละเว้นจากสัญลักษณ์

ชีฟโคherent ที่ปราศจากแรงบิดEจะมีเสถียรภาพแบบ μ-semistableถ้าสำหรับซับชีฟF ⊆ E ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ค่าความชันเป็นไปตามอสมการ μ(F) ≤ μ(E) และจะมีเสถียรภาพแบบμ-stableถ้าเพิ่มเติมคือ สำหรับซับชีฟF ⊆ E ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ และมีอันดับต่ำกว่า อสมการแบบเข้มงวด μ(F) < μ(E) เป็นจริง แนวคิดเรื่องเสถียรภาพนี้อาจเรียกว่าเสถียรภาพความชัน เสถียรภาพแบบ μ หรือบางครั้งเรียกว่าเสถียรภาพแบบ Mumford หรือเสถียรภาพแบบ Takemoto

สำหรับกลุ่มเวกเตอร์Eจะมีความสัมพันธ์แบบลำดับขั้นดังต่อไปนี้: Eมีเสถียรภาพแบบ μ ⇒ Eมีเสถียรภาพ ⇒ Eมีเสถียรภาพกึ่งเสถียร ⇒ Eมีเสถียรภาพกึ่งเสถียรแบบ μ

ให้Eเป็นเวクターบันเดิลเหนือเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบXแล้วจะมีฟิลเทรชัน ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว โดยใช้ซับบันเดิล

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

โดยที่ส่วนประกอบแบบไล่ระดับที่เกี่ยวข้องF _i  := E _{i +1} / E _iเป็นกลุ่มเวกเตอร์กึ่งเสถียร และความชันจะลดลง μ( F _i ) > μ( F _{i +1} ) การกรองนี้ได้รับการแนะนำในHarder & Narasimhan (1975)และเรียกว่าการกรอง Harder-Narasimhanกลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่มที่มีระดับที่เกี่ยวข้องแบบไอโซมอร์ฟิกเรียกว่าS-เทียบเท่า

ในวาไรตี้ที่มีมิติสูงกว่า การกรองก็ยังคงมีอยู่เสมอและมีเอกลักษณ์ แต่ส่วนประกอบแบบไล่ระดับที่เกี่ยวข้องอาจไม่ใช่บันเดิลอีกต่อไป สำหรับเสถียรภาพของ Gieseker ความไม่เท่าเทียมกันระหว่างความชันควรถูกแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันระหว่างพหุนาม Hilbert

ทฤษฎีบทนาราซิมฮาน-เสชาดรีกล่าวว่า บันเดิลเสถียรบนเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่เอกฐานนั้นเหมือนกับบันเดิลที่มีการเชื่อมต่อ แบบเอกภาพที่แบนราบเชิงโปร เจกทีฟ สำหรับบันเดิลที่มีดีกรี 0 การเชื่อมต่อแบบแบนราบเชิงโปรเจกทีฟจะแบนราบ ดังนั้นบันเดิลเสถียรที่มีดีกรี 0 จึง สอดคล้องกับการแสดงแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ ของกลุ่มพื้นฐาน

โคบายาชิและฮิทชิน ตั้งข้อสันนิษฐานถึงสิ่งที่คล้ายคลึงกันนี้ในมิติที่สูงกว่า โดนัลด์สัน (1985)ได้พิสูจน์สิ่งนี้สำหรับพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่เอกฐาน โดยแสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้ เวกเตอร์บันเดิลจะเสถียรก็ต่อเมื่อมีการเชื่อมต่อเฮอร์มิเชียน-ไอน์สไตน์ที่ไม่สามารถลดทอน ได้

เป็นไปได้ที่จะขยายเสถียรภาพ (μ-) ไปยังแผนผังเชิงโปรเจคทีฟที่ไม่เรียบ และ ชีฟโคฮีเรนต์ทั่วไปโดยใช้พหุนามฮิลเบิร์ตให้Xเป็นแผนผังเชิงโปรเจคที ฟ dเป็นจำนวนธรรมชาติ และE เป็นชีฟโคฮีเรนต์บนXที่มี dim Supp( E ) = dเขียนพหุนามฮิลเบิร์ตของEเป็นP _E ( m ) = Σ^d _{i =0}α _i ( E )/( i !) m ⁱ . กำหนดพหุนามฮิลเบิร์ตลดรูปp _E  := P _E /α _d ( E )

ชีฟที่สอดคล้องกันEมีเสถียรภาพกึ่งเสถียรหากเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 3 ]}

• Eเป็นจำนวนเฉพาะบริสุทธิ์ที่มีมิติdกล่าวคือจำนวนเฉพาะที่เกี่ยวข้อง ทั้งหมด ของEมีมิติd
• สำหรับซับชีฟF ⊆ E ที่เป็นศูนย์และเหมาะสมใดๆ พหุนามฮิลเบิร์ตแบบลดรูปจะสอดคล้องกับp _F ( m ) ≤ p _E ( m ) สำหรับmที่ มีค่ามาก

ชีฟจะเรียกว่าเสถียรก็ต่อเมื่ออสมการที่เข้มงวดp _F ( m ) < p _E ( m ) เป็นจริงสำหรับmที่ มีค่ามาก

ให้ Coh _d (X) เป็นหมวดหมู่ย่อยแบบเต็มของชีฟที่สอดคล้องกันบนXที่มีมิติรองรับ ≤ dความชันของวัตถุFใน Coh _dอาจถูกกำหนดโดยใช้สัมประสิทธิ์ของพหุนามฮิลเบิร์ตเป็น α d ( F ) ถ้า α _d ( F ) ≠ 0 และเป็น 0 ในกรณีอื่น ๆ โดยปกติแล้ว การพึ่งพาของ α d ( F ) ต่อdจะถูกละเว้นจากสัญลักษณ์ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}}$

ชีฟที่สอดคล้องกันEเรียกว่าμ-กึ่งเสถียรหากเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 4 ]}${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$

• การบิดของEอยู่ในมิติ ≤ d -2;
• สำหรับซับออบเจกต์F ⊆ E ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ในหมวดหมู่ผลหาร Coh _d (X)/Coh _d-1 (X) เรามี${\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$

Eมีเสถียรภาพแบบ μถ้าอสมการที่เข้มงวดเป็นจริงสำหรับวัตถุย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดของ E

โปรดทราบว่า Coh _dเป็นหมวดหมู่ย่อยของ Serreสำหรับd ใดๆ ดังนั้นหมวดหมู่ผลหารจึงมีอยู่จริง โดยทั่วไปแล้ว วัตถุย่อยในหมวดหมู่ผลหารไม่ได้มาจากชีฟย่อย แต่สำหรับชีฟที่ปราศจากแรงบิด นิยามดั้งเดิมและนิยามทั่วไปสำหรับd = nนั้นเทียบเท่ากัน

นอกจากนี้ยังมีแนวทางอื่นๆ สำหรับการสรุปทั่วไป เช่นเงื่อนไขเสถียรภาพของบริดจ์แลนด์เป็นต้น

เราอาจนิยามบันเดิลหลักที่มีเสถียรภาพได้โดยเปรียบเทียบกับบันเดิลเวกเตอร์ที่มีเสถียรภาพ

• จดหมายโต้ตอบระหว่างโคบายาชิและฮิตชิน
• การติดต่อสื่อสารระหว่างคอร์เล็ตต์และซิมป์สัน
• โครงการโควต้า

• Atiyah, Michael Francis ; Bott, Raoul (1983), "สมการ Yang-Mills บนพื้นผิว Riemann", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences , 308 (1505): 523– 615, Bibcode : 1983RSPTA.308..523A , doi : 10.1098/rsta.1983.0017 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  37156 , MR  0702806
• Donaldson, SK (1985), "การเชื่อมต่อ Yang-Mills แบบต่อต้านตัวเองเหนือพื้นผิวพีชคณิตเชิงซ้อนและบันเดิลเวกเตอร์เสถียร", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 50 (1): 1– 26, doi : 10.1112/plms/s3-50.1.1 , ISSN  0024-6115 , MR  0765366
• ฟรีดแมน, โรเบิร์ต (1998), พื้นผิวเชิงพีชคณิตและกลุ่มเวกเตอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิก , Universitext, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5, MR  1600388
• Harder, G.; Narasimhan, MS (1975), "เกี่ยวกับกลุ่มโคฮอโมโลยีของปริภูมิโมดูลัสของเวกเตอร์บันเดิลบนเส้นโค้ง", Mathematische Annalen , 212 (3): 215– 248, doi : 10.1007/BF01357141 , ISSN  0025-5831 , MR  0364254
• Huybrechts, Daniel (18 พฤศจิกายน 2547). เรขาคณิตเชิงซ้อน: บทนำ . Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904.{{cite book}}: CS1 maint: year (link)
• Huybrechts, Daniel ; Lehn, Manfred (2010), เรขาคณิตของปริภูมิโมดูลีของชีฟ , ห้องสมุดคณิตศาสตร์เคมบริดจ์ (ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 978-0521134200
• มัมฟอร์ด, เดวิด (1963), "ตัวแปรเชิงโปรเจคทีฟของโครงสร้างเชิงโปรเจคทีฟและการประยุกต์ใช้", รายงานการประชุมนานาชาติว่าด้วยนักคณิตศาสตร์ (สตอกโฮล์ม, 1962) , ดยูร์สโฮล์ม: สถาบันมิตแทก-เลฟเฟลอร์, หน้า  526–530 , MR  0175899
• มัมฟอร์ด, เดวิด ; โฟการ์ตี เจ.; Kirwan, F. (1994), ทฤษฎีไม่แปรเปลี่ยนทางเรขาคณิต , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [ผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์และสาขาที่เกี่ยวข้อง (2)], ฉบับที่ 34 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3), เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, MR  1304906โดยเฉพาะภาคผนวก 5C
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965), "กลุ่มเวกเตอร์ที่เสถียรและเอกภาพบนพื้นผิวรีมันน์ขนาดกะทัดรัด", Annals of Mathematics , ชุดที่สอง, 82 (3), The Annals of Mathematics, Vol. 82, No. 3: 540– 567, doi : 10.2307/1970710 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970710 , MR  0184252