ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบันเดิลหลักที่มีเสถียรภาพเป็นการขยายแนวคิดของบันเดิลเวกเตอร์ที่มีเสถียรภาพไปยังบริบทของบันเดิลหลักแนวคิดเรื่องเสถียรภาพสำหรับบันเดิลหลักได้รับการแนะนำโดยAnnamalai Ramanathanเพื่อวัตถุประสงค์ในการกำหนดปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลหลัก G บนพื้นผิวรีมันน์ ซึ่งเป็นการขยายงานก่อนหน้านี้โดยDavid Mumfordและคนอื่นๆ เกี่ยวกับปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลเวกเตอร์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ข้อความมากมายเกี่ยวกับเสถียรภาพของเวกเตอร์บันเดิลสามารถแปลเป็นภาษาของบันเดิลหลักที่มีเสถียรภาพได้ ตัวอย่างเช่น อนาล็อกของการจับคู่ Kobayashi–Hitchinสำหรับบันเดิลหลัก ซึ่งบันเดิลหลักโฮโลมอร์ฟิกเหนือแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัด ยอมรับการเชื่อมต่อ Hermite–Einstein ก็ต่อเมื่อมันมีเสถียรภาพหลายค่า ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงในกรณีของแมนิโฟลด์เชิงโปรเจกทีฟโดย Subramanian และ Ramanathan และสำหรับแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัดใดๆ โดย Anchouche และBiswas ^{[ 4 ] [ 5 ]}

นิยามที่สำคัญของความเสถียรสำหรับบันเดิลหลักนั้นสร้างขึ้นโดย Ramanathan แต่ใช้ได้เฉพาะกับกรณีของพื้นผิว Riemann เท่านั้น^{[ 2 ]}ในส่วนนี้ เราจะกล่าวถึงนิยามที่ปรากฏในงานของ Anchouche และ Biswas ซึ่งใช้ได้กับแมนิโฟลด์ Kähler ใดๆ และมีความหมายโดยทั่วไปมากกว่าสำหรับวาไรตี้พีชคณิต [ ^{5 ] ซึ่ง}จะลดลงเหลือนิยามของ Ramanathan ในกรณีที่แมนิโฟลด์เป็นพื้นผิว Riemann

ให้เป็นกลุ่มพีชคณิตลดรูปที่เชื่อมต่อกันเหนือจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ขนาดกะทัดรัดที่มีมิติเชิงซ้อนสมมติว่าเป็นบันเดิลหลักแบบโฮโลมอร์ฟิกเหนือ คำว่าโฮโลมอร์ฟิกในที่นี้หมายความว่าฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านสำหรับแปรผันแบบโฮโลมอร์ฟิก ซึ่งสมเหตุสมผลเนื่องจากกลุ่มโครงสร้างเป็นกลุ่มลีเชิงซ้อนบันเดิลหลักเรียกว่าเสถียร (หรือกึ่งเสถียร ) ถ้าสำหรับการลดรูปทุก ๆ ของกลุ่มโครงสร้างสำหรับกลุ่มย่อยพาราโบลิกสูงสุดโดยที่เป็นเซตเปิดบางเซตที่มีมิติร่วม เรามี ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \sigma :U\to P/Q}$${\displaystyle Q\subset G}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \operatorname {codim} (X\backslash U)\geq 2}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q>0\quad ({\text{resp. }}\geq 0).}$

นี่คือกลุ่มเส้นสัมผัสสัมพัทธ์ของกลุ่มเส้นใยหรือที่รู้จักกันในชื่อกลุ่มเส้นแนวตั้งของโปรดจำไว้ว่าระดับของกลุ่มเส้นเวกเตอร์ (หรือชีฟที่สอดคล้องกัน ) ถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle T_{\operatorname {rel} }P/Q}$${\displaystyle \left.P/Q\right|_{U}\to U}$${\displaystyle T(\left.P/Q\right|_{U})}$${\displaystyle F\to X}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (F):=\int _{X}c_{1}(F)\wedge \omega ^{n-1},}$

โดยที่ชั้นเชิร์นแรกของ คือ ในการตั้งค่าข้างต้น ดีกรีจะถูกคำนวณสำหรับบันเดิลที่กำหนดบนภายในแต่เนื่องจากโคไดเมนชันของส่วนเติมเต็มของมีค่ามากกว่าสอง ค่าของอินทิกรัลจึงจะสอดคล้องกับค่าบนทั้งหมดของ ${\displaystyle c_{1}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

โปรดสังเกตว่าในกรณีที่นั่นคือที่เป็นพื้นผิวรีมันน์โดยสมมติฐานเกี่ยวกับมิติร่วมของเราจะต้องมีว่า ดังนั้นจึงเพียงพอที่ จะ พิจารณาการลดกลุ่มโครงสร้างเหนือทั้งหมดของ${\displaystyle \dim X=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U=X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma :X\to P/Q}$

เมื่อกำหนดบันเดิลหลักสำหรับกลุ่มลีเชิงซ้อนแล้วจะมีบันเดิลเวกเตอร์ธรรมชาติหลายแบบที่สามารถเชื่อมโยงกับบันเดิลหลักนั้นได้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ประการแรก ถ้าเป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปแล้วการแสดงมาตรฐานของบนอนุญาตให้สร้างบันเดิลที่เกี่ยวข้อง ได้ นี่คือบันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกเหนือและนิยามข้างต้นของเสถียรภาพของบันเดิลหลักเทียบเท่ากับเสถียรภาพความชันของจุดสำคัญคือกลุ่มย่อยพาราโบลิกสูงสุดสอดคล้องกับการเลือกแฟล็กโดยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มย่อยเนื่องจากกลุ่มโครงสร้างของถูกลดรูปเป็นและรักษาส่วนย่อยเวกเตอร์ไว้จึงสามารถเลือกบันเดิลที่เกี่ยวข้องได้ซึ่งเป็นบันเดิลย่อยของเหนือเซตย่อยที่กำหนดการลดรูปของกลุ่มโครงสร้าง และดังนั้นจึงเป็นชีฟย่อยของเหนือทั้งหมดของ จากนั้นสามารถคำนวณได้ว่า ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Q\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 0\subset W\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle W\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle F=P\times _{Q}W}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\ชื่อผู้ดำเนินการ {rel} }P/Q=\mu (E)-\mu (F)}$

โดยที่แสดงถึงความชันของกลุ่มเวกเตอร์ ${\displaystyle \mu }$

เมื่อกลุ่มโครงสร้างไม่มีอยู่ ก็ยังคงมีเวกเตอร์บันเดิลที่เกี่ยวข้องตามธรรมชาติสำหรับบันเดิลแอดจอยต์โดยมีไฟเบอร์ที่กำหนดโดยพีชคณิตลีของ บันเดิ ลหลักจะกึ่งเสถียรก็ต่อเมื่อบันเดิลแอดจอยต์เป็นกึ่งเสถียรแบบความชัน และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเสถียรแล้ว ก็จะเป็นโพลีสเตเบิลแบบความชัน^{[ 5 ]}อีกครั้ง จุดสำคัญในที่นี้คือสำหรับกลุ่มย่อยพาราโบลิกจะได้พีชคณิตย่อยพาราโบลิกและสามารถใช้บันเดิลย่อยที่เกี่ยวข้องได้ ในกรณีนี้ต้องระมัดระวังมากขึ้นเพราะการแสดงแอดจอยต์ของบนไม่ได้ซื่อสัตย์หรือลดทอนไม่ได้ เสมอ ไป เงื่อนไขหลังนี้ชี้ให้เห็นว่าเหตุใดความเสถียรของบันเดิลหลักจึงนำไปสู่โพลีสเตเบิลของบันเดิลแอดจอยต์เท่านั้น (เพราะการแสดงที่แยกออกเป็นผลรวมโดยตรงจะนำไปสู่การแยกบันเดิลที่เกี่ยวข้องเป็นผลรวมโดยตรง) ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ad} P}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ad} P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ad} P}$${\displaystyle Q\subset G}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

เช่นเดียวกับที่สามารถสรุปแนวคิดของเวกเตอร์บันเดิลไปสู่แนวคิดของฮิกส์บันเดิลได้ ก็สามารถกำหนดนิยามของฮิกส์บันเดิลหลักได้เช่นกัน นิยามข้างต้นของความเสถียรสำหรับบันเดิลหลักสามารถสรุปไปยังวัตถุเหล่านี้ได้โดยการกำหนดให้การลดกลุ่มโครงสร้างเข้ากันได้กับฟิลด์ฮิกส์ของฮิกส์บันเดิลหลัก Anchouche และ Biswas ได้แสดงให้เห็นว่าอนาล็อกของการสอดคล้องกันของ Hodge แบบไม่เชิง อะเบเลียน สำหรับเวกเตอร์บันเดิลฮิกส์นั้นเป็นจริงสำหรับฮิกส์บันเดิลหลักในกรณีที่แมนิโฟลด์ฐานเป็นวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน^{[ 5 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X,\omega )}$