พื้นที่ฉายภาพจริง${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$คือปริภูมิโมดูลัสของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ในทำนองเดียวกันพื้นที่ฉายภาพเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$คือปริภูมิของเส้นเชิงซ้อนทั้งหมดที่ผ่านจุดกำเนิดใน${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$.

โดยทั่วไปแล้วชาวกราสส์มันน์${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle V}$คือปริภูมิโมดูลัสของทั้งหมด${\displaystyle k}$ปริภูมิย่อยเชิงเส้นมิติ - ของV

วาไรตี้Chow (d, P ³ ) เป็นวาไรตี้พีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟซึ่งกำหนดพารามิเตอร์ของ เส้นโค้ง ดีกรีdในP ³โดยสร้างขึ้นดังนี้ ให้Cเป็นเส้นโค้งดีกรีdในP ³จากนั้นพิจารณาเส้นตรงทั้งหมดในP ³ที่ตัดกับเส้นโค้งCนี่คือตัวหารดีกรีd D ในG (2, 4) ซึ่งเป็นกราสส์มันเนียนของเส้นตรงในP ³เมื่อCเปลี่ยนแปลง โดยการเชื่อมโยงCกับD เราจะได้ปริภูมิพารามิเตอร์ของเส้นโค้งดีกรีdเป็นเซตย่อยของปริภูมิของตัวหารดีกรีdของกราสส์มันเนียน: Chow (d, P ³ )

ฮิลเบิร์ตสกีมHilb ( X ) เป็นสกีมโมดูลัสจุดปิด ทุกจุด ของHilb ( X ) สอดคล้องกับซับสกีมปิดของสกีมX ที่กำหนดไว้ และซับสกีมปิดทุกอันจะถูกแทนด้วยจุดดังกล่าว ตัวอย่างง่ายๆ ของฮิลเบิร์ตสกีมคือพารามิเตอร์ระดับของฮิลเบิร์ตสกีม${\displaystyle d}$พื้นผิวไฮเปอร์ของปริภูมิเชิงฉาย${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$สิ่งนี้กำหนดโดยบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ

${\displaystyle {\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$

โดยมีครอบครัวสากลเป็นผู้มอบให้

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}}$

ที่ไหน${\displaystyle V(f)}$คือแผนผังการฉายภาพที่เกี่ยวข้องสำหรับระดับปริญญา${\displaystyle d}$พหุนามเอกพันธุ์${\displaystyle f}$.

นี่คือแนวคิดมาตรฐาน โดยหลักการแล้ว ถ้าเรามีปริภูมิMซึ่งแต่ละจุดm ∊ Mสอดคล้องกับวัตถุเชิงพีชคณิตเรขาคณิตU แล้ว เราสามารถประกอบวัตถุเหล่านี้เข้าด้วยกันเป็นบันเดิลเชิงสัจพจน์UบนMได้ (ตัวอย่างเช่น กราสส์มันน์G ( k , V ) มีบันเดิลอันดับkซึ่งไฟเบอร์ที่จุดใดๆ [ L ] ∊ G ( k , V ) ก็คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นL ⊂ V นั่นเอง ) Mเรียกว่าปริภูมิฐานของตระกูลUเรากล่าวว่าตระกูลดังกล่าวเป็นสากลถ้าตระกูลใดๆ ของวัตถุเชิงพีชคณิตเรขาคณิตTบนปริภูมิฐานใดๆBเป็นการดึงกลับของUตามแผนที่B → M ที่ไม่ซ้ำกัน ปริภูมิโมดูลัสละเอียดคือปริภูมิMซึ่งเป็นฐานของตระกูลสากล

กล่าวโดยละเอียด สมมติว่าเรามีฟังก์ชันFจากสกีมไปยังเซต ซึ่งกำหนดให้กับสกีมBเซตของตระกูลวัตถุที่เหมาะสมทั้งหมดที่มีฐานเป็นBปริภูมิMเป็นปริภูมิโมดูลัสละเอียดสำหรับฟังก์ชันFถ้าM แทน F กล่าว คือ มีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ τ : F → Hom (−, M ) โดยที่Hom (−, M ) เป็นฟังก์ชันของจุด ซึ่งหมายความว่าMมีตระกูลสากล ตระกูลนี้คือตระกูลบนMที่สอดคล้องกับแผนที่เอกลักษณ์1 ∊ Hom ( M , M ) 

ปริภูมิโมดูลัสละเอียดเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา แต่ก็ไม่ได้มีอยู่เสมอไปและมักสร้างได้ยาก ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงบางครั้งใช้แนวคิดที่อ่อนกว่า นั่นคือแนวคิดของปริภูมิโมดูลัสหยาบ ปริภูมิMเป็นปริภูมิโมดูลัสหยาบสำหรับฟังก์ชันF ก็ต่อ เมื่อมีการแปลงธรรมชาติ τ  : F → Hom (−, M ) และ τ เป็นการแปลงสากลในบรรดาการแปลงธรรมชาติดังกล่าว กล่าวโดยละเอียดกว่านั้นMเป็นปริภูมิโมดูลัสหยาบสำหรับFก็ต่อเมื่อตระกูลT ใดๆ บนฐานBก่อให้เกิดแผนที่ φ   : B → Mและวัตถุสองชิ้นใดๆVและW (ถือว่าเป็นตระกูลบนจุดหนึ่ง) สอดคล้องกับจุดเดียวกันของMก็ต่อเมื่อVและWเป็นไอโซมอร์ฟิก ดังนั้นMจึงเป็นปริภูมิที่มีจุดสำหรับทุกวัตถุที่อาจปรากฏในตระกูล และเรขาคณิตของมันสะท้อนให้เห็นถึงวิธีที่วัตถุสามารถเปลี่ยนแปลงได้ในตระกูล อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าปริภูมิโมดูลัสหยาบไม่จำเป็นต้องมีตระกูลของวัตถุที่เหมาะสมใดๆ เลย ไม่ต้องพูดถึงตระกูลสากลด้วยซ้ำ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิโมดูลัสละเอียดจะประกอบด้วยทั้งปริภูมิฐานMและตระกูลสากลU → Mในขณะที่ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีเพียงปริภูมิฐานMเท่านั้น

บ่อยครั้งที่วัตถุทางเรขาคณิตที่น่าสนใจมักมาพร้อมกับออโตมอร์ฟิซึม ตามธรรมชาติมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ทำให้การมีอยู่ของปริภูมิโมดูลัสละเอียดเป็นไปไม่ได้ (โดยสัญชาตญาณแล้ว แนวคิดคือ ถ้าLเป็นวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง ตระกูลL × [0,1] ที่ไม่สำคัญ สามารถสร้างเป็นตระกูลบิดเบี้ยวบนวงกลมS ^{1 ได้}โดยการระบุL × {0} กับL × {1} ผ่านออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ไม่สำคัญ ทีนี้ ถ้าปริภูมิโมดูลัสละเอียดXมีอยู่จริง แผนที่S ¹ → Xไม่ควรเป็นค่าคงที่ แต่จะต้องเป็นค่าคงที่บนเซตเปิดที่เหมาะสมใดๆ โดยอาศัยความไม่สำคัญ) บางครั้งเรายังคงสามารถหาปริภูมิโมดูลัสหยาบได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่เหมาะสม เนื่องจากปริภูมิเหล่านี้ไม่รับประกันว่าจะมีอยู่จริง บ่อยครั้งก็เป็นปริภูมิเอกฐานเมื่อมีอยู่จริง และขาดรายละเอียดเกี่ยวกับตระกูลของวัตถุที่ไม่ไม่สำคัญบางตระกูลที่พวกมันจำแนก

แนวทางที่ซับซ้อนกว่าคือการเสริมการจำแนกประเภทโดยการจดจำไอโซมอร์ฟิซึม กล่าวคือ บนฐานB ใดๆ เราสามารถพิจารณาหมวดหมู่ของตระกูลบนBโดยมีเพียงไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างตระกูลเท่านั้นที่ถือเป็นมอร์ฟิซึม จากนั้นเราพิจารณาหมวดหมู่ไฟเบอร์ซึ่งกำหนดให้กับปริภูมิB ใดๆ กลุ่มตระกูลเหนือBการใช้หมวดหมู่เหล่านี้ที่มีไฟเบอร์ในกลุ่มตระกูลเพื่ออธิบายปัญหาโมดูลัสมีมาตั้งแต่สมัย Grothendieck (1960/61) โดยทั่วไปแล้ว หมวดหมู่เหล่านี้ไม่สามารถแสดงด้วยสกีมหรือแม้แต่ปริภูมิพีชคณิตได้ แต่ในหลายกรณี พวกมันมีโครงสร้างตามธรรมชาติของ สแต็ กพีชคณิต

แนวคิดเรื่อง สแต็กเชิงพีชคณิตและการนำไปใช้ในการวิเคราะห์ปัญหาโมดูลัส ปรากฏในงานของ Deligne-Mumford (1969) ในฐานะเครื่องมือในการพิสูจน์ความไม่สามารถลดทอนได้ของปริภูมิโมดูลัส (แบบหยาบ) ของเส้นโค้งที่มีจีนัสที่กำหนด ภาษาของสแต็กเชิงพีชคณิตโดยพื้นฐานแล้วให้วิธีการที่เป็นระบบในการมองหมวดหมู่ไฟเบอร์ที่ประกอบขึ้นเป็นปัญหาโมดูลัสในฐานะ "ปริภูมิ" และสแต็กโมดูลัสของปัญหาโมดูลัสจำนวนมากมีพฤติกรรมที่ดีกว่า (เช่น เรียบ) กว่าปริภูมิโมดูลัสแบบหยาบที่สอดคล้องกัน

สแต็กโมดูลัส${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$จำแนกกลุ่มของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสgพร้อมด้วยไอโซมอร์ฟิซึมของพวกมัน เมื่อg > 1 สแต็กนี้สามารถทำให้กระชับขึ้นได้โดยการเพิ่มจุด "ขอบเขต" ใหม่ซึ่งสอดคล้องกับเส้นโค้งปมที่เสถียร (พร้อมด้วยไอโซมอร์ฟิซึมของพวกมัน) เส้นโค้งจะเสถียรก็ต่อเมื่อมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจำกัดเท่านั้น สแต็กที่ได้จะถูกแสดงด้วย${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ทั้งสแต็กโมดูลัสต่างก็บรรจุตระกูลเส้นโค้งสากล นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดปริภูมิโมดูลัสแบบหยาบที่แสดงถึงชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเรียบหรือเส้นโค้งเสถียรได้อีกด้วย ปริภูมิโมดูลัสแบบหยาบเหล่านี้ได้รับการศึกษามาก่อนที่แนวคิดของสแต็กโมดูลัสจะถูกคิดค้นขึ้น อันที่จริง แนวคิดของสแต็กโมดูลัสถูกคิดค้นโดยเดลิญและมัมฟอร์ดในความพยายามที่จะพิสูจน์ความเป็นโปรเจคติวิตีของปริภูมิโมดูลัสแบบหยาบ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ปรากฏชัดว่าสแต็กของเส้นโค้งนั้นเป็นวัตถุพื้นฐานมากกว่า

สแต็กทั้งสองข้างต้นมีมิติ 3 g −3 ดังนั้นเส้นโค้งโหนดที่เสถียรสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยการเลือกค่าของพารามิเตอร์ 3 g −3 เมื่อg > 1 ในจีนัสที่ต่ำกว่า จะต้องคำนึงถึงการมีอยู่ของตระกูลออโตมอร์ฟิซึมที่เรียบ โดยการลบจำนวนของพวกมัน มีเส้นโค้งเชิงซ้อนของจีนัสศูนย์เพียงเส้นเดียว คือทรงกลมรีมันน์ และกลุ่มไอโซมอร์ฟิซึมของมันคือ PGL(2) ดังนั้น มิติของ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$เป็น

dim(space of genus zero curves) − dim(group of automorphisms) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

ในทำนองเดียวกัน ในจีนัส 1 จะมีปริภูมิเส้นโค้งหนึ่งมิติ แต่เส้นโค้งทุกเส้นจะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมหนึ่งมิติ ดังนั้น สแต็กจึงเป็นเช่นนั้น${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$มีมิติเป็น 0 ปริภูมิโมดูลัสหยาบมีมิติเป็น3g − 3 เหมือนกับสแต็กเมื่อg > 1 เพราะเส้นโค้งที่มีจีนัส g > 1 จะมีเพียงกลุ่มจำกัดเป็นออโตมอร์ฟิซึมเท่านั้น กล่าวคือ dim(กลุ่มของออโตมอร์ฟิซึม) = 0 ในที่สุด ในจีนัสศูนย์ ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีมิติเป็นศูนย์ และในจีนัสหนึ่งจะมีมิติเป็นหนึ่ง

เราสามารถเพิ่มความซับซ้อนให้กับปัญหาได้โดยการพิจารณาโมดูลัสสแต็กของเส้นโค้งปมที่มีจีนัส g และมีจุด ทำเครื่องหมาย nจุด เส้นโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ดังกล่าวจะเรียกว่าเสถียรได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยของออโตมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งที่ตรึงจุดทำเครื่องหมายไว้นั้นมีจำนวนจำกัด โมดูลัสสแต็กที่ได้ของเส้นโค้ง เรียบ (หรือเสถียร) ที่มีจีนัส g และมีจุดทำเครื่องหมาย nจุด จะถูกแทนด้วย${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$(หรือ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$) และมีมิติ 3 g  −  3  + n 

กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือสแต็กโมดูลัส${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$ของเส้นโค้งจีนัส 1 ที่มีจุดทำเครื่องหมายหนึ่งจุด นี่คือกลุ่มของเส้นโค้งวงรีและเป็นแหล่งกำเนิดตามธรรมชาติของรูปแบบโมดูลาร์ที่ ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ซึ่งเป็นส่วนตัดเมโรเมอร์ฟิกของกลุ่มบนกลุ่มนี้

ในมิติที่สูงขึ้น การสร้างและศึกษาโมดูลัสของวาไรตี้เชิงพีชคณิตนั้นยากขึ้น ตัวอย่างเช่น อนาล็อกในมิติที่สูงขึ้นของปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งวงรีที่กล่าวถึงข้างต้น คือ ปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้อาเบเลียนเช่นวาไรตี้โมดูลัสของซีเกลนี่คือปัญหาพื้นฐานของ ทฤษฎี รูปแบบโมดูลัสของซีเกลดูเพิ่มเติม ที่ วาไรตี้ชิมูระ

János KollárและNicholas Shepherd-Barronใช้เทคนิคที่เกิดขึ้นจากโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำเพื่อสร้างพื้นที่โมดูลัสของวาไรตี้ประเภททั่วไปซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อพื้นที่โมดูลัส KSB ^{[ 4 ]}

เป็นที่ทราบกันดีว่าทฤษฎีโมดูลัสที่มีพฤติกรรมที่ดีนั้นไม่สามารถสร้างขึ้นได้สำหรับวาไรตี้ฟาโนทั้งหมด ภายใต้การนำของเฉินหยาง ซูการสร้างปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้ฟาโน ได้สำเร็จโดยการจำกัดเฉพาะวาไรตี้ K-เสถียรกลุ่มพิเศษ กล่าวคือมีโครงร่างเชิงโปรเจคทีฟที่กำหนดพารามิเตอร์วาไรตี้ฟาโน K-โพลีสเตเบิล ซึ่งเป็นปริภูมิโมดูลัสที่ดีของสแต็กโมดูลัสที่กำหนดพารามิเตอร์วาไรตี้ฟาโน K-เซมิสเตเบิล

การสร้างพื้นที่โมดูลัสของ วาไรตี้ Calabi-Yauเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญ และมีเพียงกรณีพิเศษ เช่น พื้นที่โมดูลัสของพื้นผิว K3หรือวาไรตี้อาเบล เท่านั้น ที่เข้าใจ^{[ 5 ]}

ปัญหาโมดูลัสที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือการ ทำความเข้าใจเรขาคณิตของ (สแต็กย่อยต่างๆ ของ) สแต็กโมดูลัส Vect ( X ) ของบันเดิลเวกเตอร์ อันดับ n บนวาไรตีพีชคณิตX ที่กำหนดไว้ ^{[ 6 ]}สแต็กนี้ได้รับการศึกษามากที่สุดเมื่อXเป็นมิติเดียว และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ n เท่ากับหนึ่ง ในกรณีนี้ พื้นที่โมดูลัสหยาบคือแผนผัง Picardซึ่งเช่นเดียวกับพื้นที่โมดูลัสของเส้นโค้ง ได้รับการศึกษามาก่อนที่สแต็กจะถูกคิดค้นขึ้น เมื่อบันเดิลมีอันดับ 1 และดีกรีศูนย์ การศึกษาพื้นที่โมดูลัสหยาบคือการศึกษา วาไร ตีJacobian

ในการประยุกต์ใช้กับฟิสิกส์พบว่าจำนวนโมดูลัสของเวกเตอร์บันเดิลและปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับจำนวนโมดูลัสของจีบันเดิลหลัก มีความสำคัญใน ทฤษฎีเกจ

เส้นทาง จีโอเดสิกอย่างง่ายและปริมาตรไวล์-ปีเตอร์สันของปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิวรีมันน์ที่มีขอบเขต

• แผนการของฮิลเบิร์ต
• โครงการโควต้า
• ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป
• ดัชนี GIT
• เกณฑ์ของ Artinเกณฑ์ทั่วไปสำหรับการสร้างปริภูมิโมดูลัสเป็นสแต็กพีชคณิตจากฟังก์ชันโมดูลัส

• ค่าสัมบูรณ์ของเส้นโค้งพีชคณิต
• สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรี
• ปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้ฟาโนที่มีเสถียรภาพ K
• เส้นโค้งแบบโมดูลาร์
• ฟังก์ชัน Picard
• ค่าสัมบูรณ์ของชีฟกึ่งเสถียรบนเส้นโค้ง
• ปริภูมิโมดูลัสของ Seiberg–Witten
• คอนต์เซวิช โมดูลี สเปซ
• โมดูลัสของชีฟกึ่งเสถียร