กุมาราสวามี
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle a>0\,}$(จริง)${\displaystyle b>0\,}$(จริง)
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (0,1)\,}$
พีดี	${\displaystyle abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle 1-(1-x^{a})^{b}}$
ควอนไทล์	${\displaystyle (1-(1-u)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}}$
หมายถึง	${\displaystyle {\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}}$
โหมด	${\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}}$สำหรับ${\displaystyle a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)}$
ความแปรปรวน	(ซับซ้อน - โปรดดูรายละเอียดในเนื้อหา)
ความเบี่ยงเบน	(ซับซ้อน - โปรดดูรายละเอียดในเนื้อหา)
ความโค้งส่วนเกิน	(ซับซ้อน - โปรดดูรายละเอียดในเนื้อหา)
เอนโทรปี	${\displaystyle \left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

ในความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงแบบขอบเขตคู่ของ Kumaraswamyเป็นตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่กำหนดบนช่วง (0,1) คล้ายกับการแจกแจงเบต้าแต่ใช้งานง่ายกว่ามาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาการจำลอง เนื่องจากฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมและฟังก์ชันควอนไทล์สามารถแสดงในรูปแบบปิดได้การแจกแจงนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยPoondi Kumaraswamy ^{[ 1 ]}สำหรับตัวแปรที่มีขอบเขตล่างและขอบเขตบนด้วยการขยายตัวเป็นศูนย์ ในบทความแรกของการแจกแจงนี้ ขอบเขตล่างตามธรรมชาติของศูนย์สำหรับปริมาณน้ำฝนได้รับการจำลองโดยใช้ความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากปริมาณน้ำฝนในหลายพื้นที่ โดยเฉพาะในเขตร้อน มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์อย่างมีนัยสำคัญ ความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องนี้เรียกว่าการขยายตัวเป็นศูนย์ ต่อมาได้มีการขยายไปสู่การขยายตัวที่ปลายทั้งสองด้าน [0,1] ในงานของ Fletcher และ Ponnambalam ^{[ 2 ]}ตัวอย่างที่ดีสำหรับการขยายตัวที่ปลายทั้งสองด้านคือความน่าจะเป็นของอ่างเก็บน้ำที่เต็มและว่างเปล่า และมีความสำคัญต่อการออกแบบอ่างเก็บน้ำ

โมเมนต์ดิบของการกระจาย Kumaraswamy จะแสดงดังนี้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,}$

โดยที่Bคือฟังก์ชันเบต้าและ Γ(.) แทนฟังก์ชันแกมมาค่าความแปรปรวน ค่าความเบี่ยงเบนและค่าความโค้งส่วนเกินสามารถคำนวณได้จากค่าโมเมนต์ดิบเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ค่าความแปรปรวนคือ:

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

เอนโทรปีของแชนนอน (ในหน่วยนาโน) ของการแจกแจงคือ: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

ที่ไหน${\displaystyle H_{i}}$คือฟังก์ชันเลขฮาร์มอนิก

การแจกแจง Kumaraswamy เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแจกแจง Beta ^{[ 6 ]} สมมติว่าX เป็นตัวแปรสุ่มที่มี การแจกแจง Kumaraswamy โดยมีพารามิเตอร์aและbจากนั้นX จะเป็น รากที่ aของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจง Beta ที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ให้Y แทน ตัวแปรสุ่ม ที่มีการแจกแจง Betaโดยมีพารามิเตอร์${\displaystyle \alpha =1}$และ${\displaystyle \beta =b}$ความสัมพันธ์ระหว่าง X และY เป็นดังนี้

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

โดยมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกัน

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.}$

เราอาจนำเสนอการแจกแจงแบบ Kumaraswamy ทั่วไปได้โดยพิจารณาตัวแปรสุ่มในรูปแบบ ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$, กับ${\displaystyle \gamma >0}$และที่ไหน${\displaystyle Y_{\อัลฟา ,\เบต้า }}$ หมายถึงตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเบต้า โดยมีพารามิเตอร์${\displaystyle \alpha }$และ${\displaystyle \beta }$ค่าโมเมนต์ดิบของการแจกแจงทั่วไปของ Kumaraswamy มีดังนี้:

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}}$

โปรดทราบว่าเราสามารถเรียกคืนการตั้งค่าโมเมนต์ดั้งเดิมได้${\displaystyle \alpha =1}$,${\displaystyle \beta =b}$และ${\displaystyle \gamma =a}$อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันการกระจายสะสมไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด

• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$แล้ว${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$( การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ )
• ถ้า${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ แล้ว${\displaystyle {\left(1-X^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$^{[ 6 ]}
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$( การแจกแจงแบบเบต้า ) จากนั้น${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$( การแจกแจงแบบเบต้า ) จากนั้น${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$แล้ว${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$แล้ว${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$แล้ว${\displaystyle -\log(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$แล้ว${\displaystyle -\log(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,}$
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$แล้ว${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$การแจกแจงเบต้าทั่วไปชนิดแรก
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$แล้ว${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1-X}}\right\}\sim {\textrm {MK}}(a,b)\,}$การแจกแจงแบบดัดแปลงของกุมาราสวามี

ตัวอย่างการใช้การแจกแจง Kumaraswamy คือปริมาตรการจัดเก็บของอ่างเก็บน้ำที่มีความจุzซึ่งมีขอบเขตบนคือz และขอบเขตล่างคือ 0 ซึ่งเป็นตัวอย่างตามธรรมชาติสำหรับการมีเงินเฟ้อสองครั้ง เนื่องจากอ่างเก็บน้ำหลายแห่งมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับทั้งสถานะอ่างเก็บน้ำว่างและเต็ม^{[ 2 ]}