ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น การแจกแจง Kumaraswamy ที่ปรับปรุงแล้ว (MK)เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่องแบบสองพารามิเตอร์ที่กำหนดบนช่วง (0,1) โดยทำหน้าที่เป็นทางเลือกแทนการแจกแจงเบต้าและการแจกแจง Kumaraswamy สำหรับการสร้างแบบจำลองตัวแปรสุ่มที่มีขอบเขตสองด้าน การแจกแจง MK ได้รับการเสนอครั้งแรกโดย Sagrillo, Guerra และ Bayer ^{[ 1 ]}ผ่านการแปลงการแจกแจง Kumaraswamyความหนาแน่นของมันแสดงรูปร่างที่เพิ่มขึ้น-ลดลง-เพิ่มขึ้น ซึ่งไม่ใช่ลักษณะเฉพาะของการแจกแจงเบต้าหรือการแจกแจง Kumaraswamy แรงจูงใจสำหรับข้อเสนอนี้มาจากการประยุกต์ใช้ในปัญหาด้านอุทกสิ่งแวดล้อม

Sagrillo, Guerra และ Bayer ^{[ 1 ]}แนะนำให้ใช้วิธีความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจง MK ฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจง MK เมื่อกำหนดตัวอย่าง${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, เป็น:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ({\boldsymbol {\theta }})=&\,n\alpha +n\log \left(\alpha \right)+n\log \left(\beta \right)-\alpha \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}-2\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})\\&+(\beta -1)\sum _{i=1}^{n}\log(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x_{i}}).\end{aligned}}}$

ส่วนประกอบของเวกเตอร์คะแนน${\displaystyle U\left({\boldsymbol {\theta }}\right)=\left[{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \alpha }},{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \beta }}\right]}$เป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \alpha }}=n+{\frac {n}{\alpha }}+(\beta -1)\mathrm {e} ^{\alpha }\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}-1}{x_{i}(\mathrm {e} ^{\alpha }-\mathrm {e} ^{\alpha /x_{i}})}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\end{aligned}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell ({\boldsymbol {\theta }})}{\partial \beta }}={\frac {n}{\beta }}+\sum _{i=1}^{n}\log(1-\mathrm {e} ^{\alpha -\alpha /x_{i}})\end{aligned}}}$

MLE ของ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\left({\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}\right)^{\top }}$ได้มาจากการแก้ปัญหาพร้อมกันของ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {\theta }})={\boldsymbol {0}}}$, ที่ไหน${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$เป็นเวกเตอร์ว่างสองมิติ

• ถ้า ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$, แล้ว ${\displaystyle \left\{1-{\frac {1}{X}}\right\}\sim {\textrm {K}}(\alpha ,\beta )}$( การแจกจ่ายโดยกุมาราสวามี )
• ถ้า ${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$, แล้ว ${\displaystyle {\frac {1}{X}}-1\sim }$การแจกแจงเลขชี้กำลังแบบเอกซ์โพเนนเชียล (EE) ^{[ 2 ]}
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(1,\beta )}$, แล้ว${\displaystyle \exp \left\{1-{\frac {1}{X}}\right\}\sim {\textrm {Beta}}(1,\beta )}$( การแจกแจงแบบเบต้า )
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,1)}$, แล้ว${\displaystyle \exp \left\{1-{\frac {1}{X}}\right\}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,1)}$.
• ถ้า${\displaystyle X\sim {\textrm {MK}}(\alpha ,\beta )}$, แล้ว${\displaystyle {\frac {1}{X}}-1\sim {\textrm {Exp}}(\alpha )}$( การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล )

การกระจายแบบ Kumaraswamy ที่ได้รับการปรับปรุงถูกนำมาใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองข้อมูลอุทกสิ่งแวดล้อม มีการแสดงให้เห็นว่ามีประสิทธิภาพเหนือกว่าการกระจายแบบ Beta และ Kumaraswamy สำหรับปริมาตรน้ำที่มีประโยชน์ของอ่างเก็บน้ำในบราซิล^{[ 1 ]}นอกจากนี้ยังใช้ในการประมาณค่าทางสถิติของความน่าเชื่อถือของความแข็งแรงของระบบ^{[ 3 ]}

• การแจกจ่ายของกุมาราสวามี

• Github ที่มีฟังก์ชันการแจกจ่ายในภาษา R