ในทางคณิตศาสตร์คู่ลำดับ ( a , b ) คือคู่ของวัตถุที่ลำดับมีความสำคัญ ถ้าaและbแตกต่างกันแล้ว ( a , b ) จะแตกต่างจาก ( b , a ) ในทางตรงกันข้ามคู่ไร้ลำดับ { a , b } จะเท่ากับคู่ไร้ลำดับ { b , a } เสมอ

คู่ลำดับเรียกอีกอย่างว่าทูเพิล 2 ตัวหรือลำดับ (บางครั้งเรียกว่า รายการ ในบริบทของวิทยาการคอมพิวเตอร์) ที่มีความยาว 2 คู่ลำดับของสเกลาร์ บางครั้งเรียกว่า เวกเตอร์ 2 มิติ(ในทางเทคนิคแล้ว นี่เป็นการใช้คำศัพท์ที่ไม่ถูกต้องเนื่องจากคู่ลำดับไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของปริภูมิเวกเตอร์ ) สมาชิกของคู่ลำดับสามารถเป็นคู่ลำดับอื่นได้ ทำให้สามารถ กำหนดนิยาม แบบเวียนซ้ำของทูเพิลnตัว (รายการลำดับของ วัตถุ nชิ้น) ได้ ตัวอย่างเช่น สามตัวเรียงลำดับ ( a , b , c ) สามารถกำหนดได้เป็น ( a , ( b , c )) กล่าวคือ เป็นคู่หนึ่งซ้อนอยู่ในอีกคู่หนึ่ง

ในคู่ลำดับ ( a , b ) นั้น วัตถุaเรียกว่ารายการแรกและวัตถุb เรียก ว่า รายการที่สอง ของคู่ลำดับ หรืออาจเรียกอีกอย่างว่า ส่วนประกอบแรกและส่วนประกอบที่สอง พิกัด แรกและพิกัด ที่สอง หรือ ภาพฉายด้านซ้ายและด้านขวาของคู่ลำดับก็ได้

ผลคูณคาร์ทีเซียนและความสัมพันธ์ ทวิภาค (และฟังก์ชัน ต่างๆ ) ถูกกำหนดโดยใช้คู่ลำดับ ดังแสดงในภาพ

ให้และเป็นคู่ลำดับ แล้ว คุณสมบัติ เฉพาะ (หรือคุณสมบัติกำหนด ) ของคู่ลำดับ คือ: ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$$${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){\text{ ก็ต่อเมื่อ }}a_{1}=a_{2}{\text{ และ }}b_{1}=b_{2}.}$$

เซตของคู่ลำดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวแรกอยู่ในเซตAและสมาชิกตัวที่สองอยู่ในเซตBเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของAและBและเขียนแทนด้วยA × B ความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างเซตA และBคือเซต ย่อยของA × B

สัญลักษณ์( a , b )อาจใช้เพื่อวัตถุประสงค์อื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อแสดงช่วงเปิดบนเส้นจำนวนจริงในสถานการณ์เช่นนี้ บริบทมักจะทำให้ชัดเจนว่าต้องการความหมายใด^{[ 1 ] [ 2 ]}เพื่อความกระจ่างเพิ่มเติม คู่ลำดับอาจแสดงด้วยสัญลักษณ์แบบแปรผันแต่สัญลักษณ์นี้ก็มีการใช้งานอื่นๆ ด้วย ${\textstyle \langle a,b\rangle }$

ซ้ายและขวาการฉายภาพของคู่ pมักจะแสดงด้วย π ₁ ( p ) และ π ₂ ( p ) หรือด้วย π _ℓ ( p ) และ π _r ( p ) ตามลำดับ ในบริบทที่พิจารณา n -tuple ใดๆ πⁿ _i( t ) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับ ส่วนประกอบ ที่ iของn -tuple t

ในตำราคณิตศาสตร์เบื้องต้นบางเล่ม จะมีการให้คำจำกัดความอย่างไม่เป็นทางการ (หรือโดยสัญชาตญาณ) ของคู่ลำดับไว้ เช่น

สำหรับวัตถุสองชิ้นใดๆaและbคู่ลำดับ( a , b )เป็นสัญลักษณ์ที่ระบุวัตถุสองชิ้นaและbตามลำดับ^{[ 3 ]}

โดยปกติแล้วจะมีการเปรียบเทียบกับเซตที่มีสององค์ประกอบ โดยชี้ให้เห็นว่าในเซตนั้นaและbต้องแตกต่างกัน แต่ในคู่ลำดับนั้น a และ b อาจเท่ากันได้ และในขณะที่ลำดับการเรียงลำดับขององค์ประกอบในเซตนั้นไม่สำคัญ แต่ในคู่ลำดับ การเปลี่ยนลำดับขององค์ประกอบที่แตกต่างกันจะทำให้คู่ลำดับนั้นเปลี่ยนแปลงไป

"คำจำกัดความ" นี้ไม่น่าพอใจเพราะเป็นเพียงคำอธิบายและอิงตามความเข้าใจเชิงสัญชาตญาณเกี่ยวกับลำดับอย่างไรก็ตาม ดังที่บางครั้งมีการชี้ให้เห็นว่าการพึ่งพาคำอธิบายนี้จะไม่ก่อให้เกิดอันตรายใดๆ และเกือบทุกคนก็คิดถึงคู่ลำดับในลักษณะนี้^{[ 4 ]}

แนวทางที่น่าพอใจกว่าคือการสังเกตว่าคุณสมบัติเฉพาะของคู่ลำดับที่กล่าวมาข้างต้นเป็นสิ่งเดียวที่จำเป็นในการทำความเข้าใจบทบาทของคู่ลำดับในทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น คู่ลำดับจึงสามารถถือได้ว่าเป็นแนวคิดพื้นฐานซึ่งสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องคือคุณสมบัติเฉพาะ นี่คือแนวทางที่ กลุ่ม N. Bourbaki ใช้ ในทฤษฎีเซตซึ่งตีพิมพ์ในปี 1954 อย่างไรก็ตาม แนวทางนี้ก็มีข้อเสียเช่นกัน เนื่องจากทั้งการมีอยู่ของคู่ลำดับและคุณสมบัติเฉพาะของคู่ลำดับจะต้องถูกสมมติขึ้นตามสัจพจน์^{[ 3 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการจัดการกับคู่ลำดับอย่างเข้มงวดคือการกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการในบริบทของทฤษฎีเซต วิธีนี้สามารถทำได้หลายวิธี และมีข้อดีคือสามารถพิสูจน์การมีอยู่และคุณสมบัติเฉพาะได้จากสัจพจน์ที่กำหนดทฤษฎีเซต หนึ่งในนิยามที่ถูกอ้างถึงมากที่สุดคือนิยามของ Kuratowski (ดูด้านล่าง) และนิยามของเขาถูกนำไปใช้ในหนังสือTheory of Sets ฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของ Bourbaki ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1970 แม้แต่ตำราคณิตศาสตร์ที่ให้นิยามอย่างไม่เป็นทางการของคู่ลำดับก็มักจะกล่าวถึงนิยามอย่างเป็นทางการของ Kuratowski ในแบบฝึกหัดด้วย

หากยอมรับว่าทฤษฎีเซตเป็นรากฐานที่น่าสนใจของคณิตศาสตร์วัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะต้องถูกนิยามว่าเป็นเซตประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังนั้น หากคู่ลำดับไม่ถือว่าเป็นค่าพื้นฐาน ก็จะต้องถูกนิยามว่าเป็นเซต^{[ 5 ]}นิยามเชิงเซตของคู่ลำดับมีดังต่อไปนี้ (ดู Diepert ด้วย) ^{[ 6 ]}

Norbert Wienerเสนอคำจำกัดความเชิงทฤษฎีเซตแรกของคู่ลำดับในปี พ.ศ. 2457: ^{[ 7 ]} เขาสังเกตว่าคำจำกัดความนี้ทำให้สามารถกำหนดประเภทของPrincipia Mathematicaเป็นเซตได้Principia Mathematicaได้ถือว่าประเภท และด้วยเหตุนี้ความสัมพันธ์ ของ อาร์ริตีทั้งหมดเป็นสิ่ง ดั้งเดิม$${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$

Wiener ใช้ {{ b }} แทน { b } เพื่อให้คำจำกัดความสอดคล้องกับทฤษฎีประเภทที่ระบุว่าองค์ประกอบทั้งหมดในคลาสจะต้องมี "ประเภท" เดียวกัน โดยที่bซ้อนอยู่ภายในเซตเพิ่มเติม ทำให้ประเภทของมันเท่ากับ's ${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$

ในเวลาเดียวกันกับ Wiener (1914) Felix Hausdorffได้เสนอนิยามของเขาว่า "โดยที่ 1 และ 2 เป็นวัตถุสองชิ้นที่แตกต่างกันจาก a และ b" ^{[ 8 ]}$${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$

ในปี พ.ศ. 2464 Kazimierz Kuratowskiได้เสนอคำจำกัดความที่ได้รับการยอมรับในปัจจุบัน^{[ 9 ] [ 10 ]} ของคู่ลำดับ ( a , b ): เมื่อพิกัดแรกและพิกัดที่สองเหมือนกัน คำจำกัดความจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$$${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

เมื่อกำหนดคู่ลำดับp มาแล้ว คุณสมบัติ " xคือพิกัดแรกของp " สามารถเขียนได้ดังนี้: คุณสมบัติ " xคือพิกัดที่สองของp " สามารถเขียนได้ดังนี้: ในกรณีที่พิกัดด้านซ้ายและด้านขวาเหมือนกันเงื่อนไข ด้านขวา จะเป็นจริงโดยปริยาย เนื่องจากเป็นเช่นนั้น $${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$$${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2}).}$$${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2})}$${\displaystyle Y_{1}=Y_{2}}$

ถ้าเช่นนั้น: ${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

นี่คือวิธีที่เราสามารถดึงพิกัดแรกของคู่หนึ่งออกมาได้ (โดยใช้สัญกรณ์การดำเนินการซ้ำสำหรับการตัดกันและการรวมกันแบบใดๆ ): $${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

นี่คือวิธีการดึงพิกัดที่สองออกมา: $${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

(ถ้าเป็นเช่นนั้น ชุดดังกล่าวสามารถหาได้ง่ายกว่านี้: แต่สูตรก่อนหน้านี้ยังคำนึงถึงกรณีที่ด้วย) ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$${\displaystyle x=y}$

โปรดทราบว่าและเป็นฟังก์ชันทั่วไปในแง่ที่ว่าโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นคลาสที่แท้จริง ${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi _{2}}$

นิยามคู่ลำดับของ Kuratowski ข้างต้นนั้น "เพียงพอ" ในแง่ที่ว่ามันตรงตามคุณสมบัติเฉพาะที่คู่ลำดับต้องมี นั่นคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันแสดงถึง 'ลำดับ' ได้อย่างเพียงพอ กล่าวคือเป็นเท็จเว้นแต่มีนิยามอื่นๆ ที่มีความซับซ้อนใกล้เคียงกันหรือน้อยกว่า ซึ่งก็เพียงพอเช่นกัน: ${\displaystyle (a,b)=(x,y)\leftrightarrow (a=x)\land (b=y)}$${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$${\displaystyle b=a}$

• ${\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\{1,b\}\}.}$^{[ 11 ]}

นิยาม ย้อน กลับเป็นเพียงรูปแบบที่ไม่สำคัญของนิยามของ Kuratowski และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีความน่าสนใจในตัวเอง นิยามshortเรียกว่าเช่นนั้นเพราะต้องใช้วงเล็บปีกกา 2 คู่แทนที่จะเป็น 3 คู่ การพิสูจน์ว่าshortเป็นไปตามคุณสมบัติลักษณะเฉพาะต้องใช้ สัจพจน์ ทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel เกี่ยวกับความสม่ำเสมอ [ ^{12 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น หากใช้การสร้างจำนวนธรรมชาติทางทฤษฎีเซตของ von Neumannแล้ว 2 จะถูกกำหนดให้เป็นเซต {0, 1} = {0, {0}} ซึ่งไม่สามารถแยกแยะได้จากคู่ (0, 0) _shortข้อเสียอีกประการหนึ่งของ คู่ shortคือข้อเท็จจริงที่ว่า แม้ว่าaและbจะเป็นประเภทเดียวกัน แต่องค์ประกอบของ คู่ shortก็ไม่เหมือนกัน (อย่างไรก็ตาม ถ้าa  =  bแล้ว เวอร์ชัน shortจะยังคงมีขนาด 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่อาจคาดหวังได้จาก "คู่" ใดๆ รวมถึง "คู่ลำดับ" ใดๆ ด้วย)

พิสูจน์ว่า ( a , b ) = ( c , d ) ก็ต่อเมื่อa = cและb = d

คุราตอฟสกี : ถ้า . ถ้าa = cและb = dแล้ว {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }} ดังนั้น ( a, b ) _K = ( c , d ) _K .

เฉพาะในกรณีที่ . มีสองกรณีคือ: a = bและa ≠ b .

ถ้าa = b :

( a, b ) _K = {{ a }, { a , b }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }}.

{{ c }, { c , d }} = ( c , d ) _K = ( a , b ) _K = {{ a }}.

ดังนั้น { c } = { c , d } = { a } ซึ่งหมายความว่าa = cและa = dตามสมมติฐานa = bดังนั้นb = d

ถ้าa ≠ bแล้ว ( a , b ) _K = ( c , d ) _Kหมายความว่า {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}

สมมติว่า { c , d } = { a } ดังนั้นc = d = aและด้วยเหตุนี้ {{ c }, { c , d }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }} แต่ถ้าเป็นเช่นนั้น {{ a } , { a, b }} ก็จะเท่ากับ {{ a }} ด้วย ดังนั้นb = aซึ่งขัดแย้งกับa ≠ b

สมมติว่า { c } = { a , b } แล้วa = b = cซึ่งขัดแย้งกับa ≠ bด้วย

ดังนั้น { c } = { a } ซึ่งทำให้c = aและ { c , d } = { a , b }

ถ้าd = aเป็นจริงแล้ว { c , d } = { a , a } = { a } ≠ { a , b }ซึ่งขัดแย้งกัน ดังนั้นd = bจึงเป็นจริง ทำให้a = cและb = d

ย้อนกลับ : ( a, b ) _{ย้อนกลับ} = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

ถ้า ( a, b ) _{กลับด้าน} = ( c, d ) _{กลับด้าน} , ( b, a ) _K = ( d, c ) _Kดังนั้นb = dและa = c

เฉพาะในกรณีที่ . ถ้าa = cและb = dแล้ว {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c , d }} ดังนั้น ( a, b ) _reverse = ( c, d ) _reverse

สั้น: ^{[ 13 ]}

ถ้า : ถ้าa = cและb = dแล้ว { a , { a , b }} = { c , { c, d }} ดังนั้น ( a, b ) _short = ( c, d ) _short

เฉพาะในกรณีที่ : สมมติว่า { a , { a, b }} = { c , { c, d }} แล้วaจะอยู่ทางด้านซ้ายมือ และดังนั้นจึงอยู่ทางด้านขวามือด้วย เนื่องจากเซตที่เท่ากันจะมีสมาชิกที่เท่ากัน ดังนั้นa = cหรือa = { c, d } จะต้องเป็นกรณีใดกรณี หนึ่ง

ถ้าa = { c, d } แล้วด้วยเหตุผลที่คล้ายกันข้างต้น { a, b } จะอยู่ทางด้านขวามือ ดังนั้น { a, b } = cหรือ { a, b } = { c, d }

ถ้า { a, b } = cแล้วcอยู่ใน { c, d } = aและaอยู่ในcซึ่งการรวมกันนี้ขัดแย้งกับสัจพจน์ของความสม่ำเสมอ เนื่องจาก { a, c } ไม่มีองค์ประกอบขั้นต่ำภายใต้ความสัมพันธ์ "องค์ประกอบของ"

ถ้า { a, b } = { c, d } แล้วaเป็นสมาชิกของaจากa = { c, d } = { a, b } ซึ่งขัดแย้งกับความสม่ำเสมออีกครั้ง

ดังนั้นa = cจึงต้องเป็นจริง

อีกครั้ง เราจะเห็นว่า { a, b } = cหรือ { a, b } = { c, d }

ตัวเลือก { a, b } = cและa = cหมายความว่าcเป็นสมาชิกของcซึ่งขัดแย้งกับหลักความสม่ำเสมอ

ดังนั้น เรามีa = cและ { a, b } = { c, d } และด้วยเหตุนี้: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d } ดังนั้นb = d

Rosser (1953) ^{[ 14 ]}ใช้คำจำกัดความของคู่ลำดับเนื่องจากQuineซึ่งต้องมีคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติ ก่อน ให้เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ และกำหนด ฟังก์ชัน ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์หากเป็นจำนวนธรรมชาติ และคงค่าไว้เช่นเดิมหากเป็นอย่างอื่น จำนวน 0 จะไม่ปรากฏในช่วงของเนื่องจากเป็นเซตขององค์ประกอบของ ที่ไม่ได้อยู่ในดำเนินการต่อด้วย นี่คือเซตภาพของเซตภายใต้บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์เช่นกัน การใช้ฟังก์ชันกับเซตxจะเพิ่มค่าจำนวนธรรมชาติทุกตัวในเซตนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะไม่ประกอบด้วยจำนวน 0 ดังนั้นสำหรับเซตxและy ใดๆ นอกจาก นี้ ให้กำหนด ด้วยเหตุนี้จึงประกอบด้วยจำนวน 0 เสมอ ${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ''x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x)}$$${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$$${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$${\displaystyle \psi (x)}$

สุดท้ายนี้ ให้กำหนดคู่ลำดับ ( A , B ) เป็นผลรวมที่ไม่ซ้ำกัน (ซึ่งเขียนด้วยสัญลักษณ์อื่น) $${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$

การแยกองค์ประกอบทั้งหมดของคู่ที่ไม่ประกอบด้วย 0 และการยกเลิกจะให้ผลลัพธ์เป็นAในทำนองเดียวกัน สามารถกู้คืน Bได้จากองค์ประกอบของคู่ที่ประกอบด้วย 0 ^{[ 15 ]}${\displaystyle \varphi }$

ตัวอย่างเช่น คู่ ดังกล่าว จะถูกเข้ารหัสตามที่ระบุไว้ ${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$

ในทฤษฎีประเภทและผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีประเภท เช่น ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์NFคู่ของ Quine–Rosser มีประเภทเดียวกับการฉายภาพของมัน ดังนั้นจึงเรียกว่าคู่ลำดับ "ระดับประเภท" ดังนั้นคำจำกัดความนี้จึงมีข้อดีที่ทำให้ฟังก์ชันซึ่งกำหนดเป็นเซตของคู่ลำดับ มีประเภทสูงกว่าประเภทของอาร์กิวเมนต์เพียง 1 เท่านั้น คำจำกัดความนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นกรณีในNFแต่ไม่ใช่ในทฤษฎีประเภทหรือในNFU J. Barkley Rosserแสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของคู่ลำดับระดับประเภทดังกล่าว (หรือแม้แต่คู่ลำดับ "เพิ่มประเภทขึ้น 1") บ่งบอกถึงสัจพจน์ของอนันต์สำหรับการอภิปรายอย่างละเอียดเกี่ยวกับคู่ลำดับในบริบทของทฤษฎีเซตแบบ Quinian โปรดดู Holmes (1998) ^{[ 16 ]}

ในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาทฤษฎีเซต ก่อนที่จะมีการค้นพบความขัดแย้ง แคนเตอร์ได้ปฏิบัติตามเฟรเกโดยกำหนดคู่ลำดับของเซตสองเซตเป็นคลาสของความสัมพันธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นระหว่างเซตเหล่านี้ โดยถือว่าแนวคิดของความสัมพันธ์เป็นแนวคิดพื้นฐาน: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

นิยามนี้ไม่สามารถยอมรับได้ในทฤษฎีเซตที่เป็นทางการสมัยใหม่ส่วนใหญ่ และมีลักษณะเชิงวิธีการคล้ายกับการกำหนดจำนวนสมาชิกของเซตเป็นคลาสของเซตทั้งหมดที่มีศักยภาพเท่ากับเซตที่กำหนด^{[ 18 ]}

ทฤษฎีเซตของ Morse–Kelleyใช้คลาสที่เหมาะสม ได้อย่าง อิสระ^{[ 19 ]} Morseกำหนดคู่ลำดับเพื่อให้การฉายภาพของมันเป็นคลาสที่เหมาะสมเช่นเดียวกับเซต (คำจำกัดความของ Kuratowski ไม่อนุญาตให้ทำเช่นนี้) เขากำหนดคู่ลำดับที่มีการฉายภาพเป็นเซตในลักษณะของ Kuratowski ก่อน จากนั้นเขากำหนดคู่ใหม่โดย ที่ผลคูณคาร์ทีเซียนที่เป็นส่วนประกอบเป็นคู่เซตของ Kuratowski และโดยที่ $${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$$${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

สิ่งนี้ทำให้ได้คู่ที่เป็นไปได้ซึ่งการฉายภาพเป็นคลาสที่เหมาะสม นิยามของ Quine–Rosser ข้างต้นยังยอมรับคลาสที่เหมาะสมเป็นการฉายภาพด้วย ในทำนองเดียวกัน สามสิ่งถูกกำหนดให้เป็น 3-tuple ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

การใช้เซตซิงเกิลตันที่มีเซตว่างแทรกอยู่ ช่วยให้ทูเพิลมีคุณสมบัติเฉพาะตัว กล่าวคือ ถ้าaเป็น ทูเพิล nตัว และ b เป็น ทูเพิล mตัว และa = bแล้วn = mส่วนทริปเปิลลำดับที่นิยามว่าเป็นคู่ลำดับ จะไม่มีคุณสมบัตินี้เมื่อเทียบกับคู่ลำดับอื่นๆ ${\displaystyle s(x)}$

ผล คูณเชิงหมวดหมู่A × Bในหมวดหมู่ของเซตแสดงถึงเซตของคู่ลำดับ โดยที่สมาชิกตัวแรกมาจากAและสมาชิกตัวที่สองมาจากBในบริบทนี้ คุณสมบัติเฉพาะข้างต้นเป็นผลมาจากคุณสมบัติสากลของผลคูณ และข้อเท็จจริงที่ว่าสมาชิกของเซตXสามารถระบุได้ด้วยมอร์ฟิซึมจาก 1 (เซตที่มีสมาชิกเดียว) ไปยังX แม้ว่าวัตถุที่แตกต่างกันอาจมีคุณสมบัติสากล แต่ โดยธรรมชาติแล้ววัตถุเหล่านั้นก็สม isomorphicกัน ทั้งหมด

• ผลคาร์ทีเซียน
• แอ็บซิสซาและออร์ดิเนต
• ทฤษฎีเซตของทาร์สกี-โกรเทนดิค
• Trybulec, Andrzej, 1989, " ทฤษฎีเซต Tarski–Grothendieck ", วารสารคณิตศาสตร์เชิงรูปธรรม (นิยาม Def5 ของ "คู่ลำดับ" คือ { { x,y }, { x } })