ในทฤษฎีเซตและการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์คลาสคือกลุ่มของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (มักจะเป็นเซต ) ที่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนด้วยคุณสมบัติ ที่สมาชิกทั้งหมดมีร่วมกัน คลาสทำหน้าที่เป็นวิธีการสร้างกลุ่มที่มีลักษณะคล้าย เซตแต่แตกต่างจากเซตเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งความขัดแย้งของรัสเซลล์ (ดู§ ความขัดแย้ง ) นิยามที่แน่นอนของ "คลาส" ขึ้นอยู่กับบริบทพื้นฐาน ในงานเกี่ยวกับทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelแนวคิดของคลาสเป็นแบบไม่เป็นทางการ ในขณะที่ทฤษฎีเซตอื่นๆ เช่นทฤษฎีเซตของ von Neumann–Bernays–Gödelได้กำหนดสัจพจน์ของแนวคิด "คลาสที่แท้จริง" เช่น เอนทิตีที่ไม่ใช่สมาชิกของเอนทิตีอื่น

กลุ่มที่ไม่ใช่เซต (ในระบบ Zermelo–Fraenkel อย่างไม่เป็นทางการ) เรียกว่ากลุ่มแท้ (proper class ) และกลุ่มที่เป็นเซตบางครั้งเรียกว่ากลุ่มเล็ก (small class ) ตัวอย่างเช่น กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับ ทั้งหมด และกลุ่มของเซตทั้งหมด เป็นกลุ่มแท้ในระบบที่เป็นทางการหลายระบบ

ใน งานเขียนเชิงทฤษฎีเซตของ ไควน์ วลี "คลาสสุดท้าย" มักถูกใช้แทนวลี "คลาสที่แท้จริง" เพื่อเน้นย้ำว่าในระบบที่เขาพิจารณา คลาสบางคลาสไม่สามารถเป็นสมาชิกได้ และดังนั้นจึงเป็นพจน์สุดท้ายในห่วงโซ่สมาชิกใดๆ ที่คลาสเหล่านั้นสังกัดอยู่

นอกเหนือจากทฤษฎีเซตแล้ว บางครั้งคำว่า "คลาส" ก็ถูกใช้ในความหมายเดียวกับ "เซต" การใช้งานนี้มีมาตั้งแต่สมัยที่คลาสและเซตไม่ได้ถูกแยกแยะอย่างชัดเจนเหมือนในศัพท์เฉพาะของทฤษฎีเซตในปัจจุบัน^{[ 1 ]}การอภิปรายเกี่ยวกับ "คลาส" ในศตวรรษที่ 19 และก่อนหน้านั้นส่วนใหญ่หมายถึงเซต หรืออาจเกิดขึ้นโดยไม่ได้พิจารณาว่าคลาสบางคลาสอาจไม่ใช่เซต

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มของโครงสร้างพีชคณิต ทั้งหมด ที่มีประเภทที่กำหนดจะเป็นคลาสที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น คลาสของกลุ่ม ทั้งหมด คลาสของปริภูมิเวกเตอร์ ทั้งหมด และอื่นๆ อีกมากมาย ในทฤษฎีหมวดหมู่ หมวด หมู่ ที่ มีกลุ่มของวัตถุที่ประกอบเป็นคลาสที่เหมาะสม (หรือกลุ่มของมอร์ฟิซึมที่ประกอบเป็นคลาสที่เหมาะสม) เรียกว่า หมวด หมู่ ขนาดใหญ่

ตัวเลขเหนือจริงเป็นกลุ่มของวัตถุที่มีคุณสมบัติของสนาม อย่าง แท้จริง

ในทฤษฎีเซต กลุ่มของเซตจำนวนมากกลับกลายเป็นคลาสที่แท้จริง ตัวอย่างเช่น คลาสของเซตทั้งหมด (คลาสสากล) คลาสของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด และคลาสของจำนวนเชิงปริมาณทั้งหมด

วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ว่าคลาสหนึ่งเป็นคลาสแท้ คือการจับคู่คลาสนั้นกับคลาสของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดแบบหนึ่งต่อหนึ่ง วิธีนี้ถูกนำมาใช้ เช่น ในการพิสูจน์ว่าไม่มีแลตทิซสมบูรณ์อิสระ บน ตัวสร้างสามตัวขึ้นไป

ความขัดแย้งของทฤษฎีเซตแบบง่ายๆสามารถอธิบายได้ในแง่ของสมมติฐานโดยปริยายที่ ไม่สอดคล้องกัน ว่า "คลาสทั้งหมดเป็นเซต" ด้วยพื้นฐานที่เข้มงวด ความขัดแย้งเหล่านี้กลับชี้ให้เห็นถึงการพิสูจน์ว่าคลาสบางคลาสเป็นคลาสที่แท้จริง (กล่าวคือ พวกมันไม่ใช่เซต) ตัวอย่างเช่นความขัดแย้งของรัสเซลล์ชี้ให้เห็นถึงการพิสูจน์ว่าคลาสของเซตทั้งหมดที่ไม่บรรจุตัวเองเป็นคลาสที่แท้จริง และความขัดแย้งของบูราลี-ฟอร์ติชี้ให้เห็นถึงคลาสของจำนวนเชิงอันดับ ทั้งหมด เป็นคลาสที่แท้จริง ความขัดแย้งเหล่านี้ไม่เกิดขึ้นกับคลาสเพราะไม่มีแนวคิดเรื่องคลาสที่บรรจุคลาสอื่นๆ มิฉะนั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดคลาสของคลาสทั้งหมดที่ไม่บรรจุตัวเอง ซึ่งจะนำไปสู่ความขัดแย้งของรัสเซลล์สำหรับคลาสในทางกลับกันกลุ่มของ คลาสสามารถมีคลาสที่แท้จริงเป็นสมาชิกได้ ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีเซต ZFไม่ได้กำหนดแนวคิดของคลาสอย่างเป็นทางการ ดังนั้นสูตรแต่ละสูตรที่มีคลาสจะต้องถูกลดรูปทางไวยากรณ์ให้เป็นสูตรที่ไม่มีคลาส^{[ 3 ]} ตัวอย่างเช่น สามารถลดรูปสูตรเป็น ได้สำหรับคลาสและสัญลักษณ์ตัวแปรเซตจำเป็นต้องสามารถขยายสูตรแต่ละสูตร, , , และให้เป็นสูตรที่ไม่มีคลาสปรากฏ^{[ 4 ]หน้า 339}${\displaystyle A=\{x\mid x=x\}}$${\displaystyle \forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x=A}$${\displaystyle A\in x}$${\displaystyle A=x}$

ในเชิงความหมาย ในภาษาเมตาคลาสสามารถอธิบายได้ว่าเป็นคลาสสมมูลของสูตรตรรกะ : ถ้าเป็นโครงสร้างที่ตีความ ZF แล้ว "นิพจน์ตัวสร้างคลาส" ของภาษาวัตถุจะถูกตีความในโดยการรวบรวมองค์ประกอบทั้งหมดจากโดเมนของซึ่งเป็นจริง ดังนั้น คลาส สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของเพรดิเคตทั้งหมดที่เทียบเท่ากับ(ซึ่งรวมถึงตัวมันเองด้วย) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถระบุ "คลาสของเซตทั้งหมด" กับเซตของเพรดิเคตทั้งหมดที่เทียบเท่ากับได้ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x=x}$

เนื่องจากคลาสไม่มีสถานะอย่างเป็นทางการในทฤษฎี ZF ดังนั้นสัจพจน์ของ ZF จึงไม่สามารถนำมาใช้กับคลาสได้โดยตรง อย่างไรก็ตาม หาก สมมติว่ามี คาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ เซตที่มีอันดับ ต่ำกว่า จะก่อให้เกิดแบบจำลองของ ZF ( เอกภพของ Grothendieck ) และเซตย่อยของมันสามารถคิดได้ว่าเป็น "คลาส" ${\displaystyle \kappa }$

ใน ZF แนวคิดของฟังก์ชันสามารถขยายไปสู่คลาสได้เช่นกัน ฟังก์ชันคลาสไม่ใช่ฟังก์ชันในความหมายปกติ เนื่องจากไม่ใช่เซต แต่เป็นสูตรที่มีคุณสมบัติว่าสำหรับเซตใดๆจะมีเซตเพียงเซตเดียวเท่านั้นที่คู่ลำดับสอดคล้องกับเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลาสที่แมปแต่ละเซตไปยังพาวเวอร์เซตของมันอาจแสดงได้ด้วยสูตร ข้อเท็จจริงที่ว่าคู่ลำดับสอดคล้องกับเงื่อนไข อาจแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ย่อ ${\displaystyle \Phi (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (x)=y}$

อีกแนวทางหนึ่งคือการใช้สัจพจน์ของฟอน นอยมันน์-เบอร์เนย์ส-เกอเดล (NBG) โดยถือว่าคลาสเป็นวัตถุพื้นฐานในทฤษฎีนี้ และกำหนดให้เซตเป็นคลาสที่เป็นสมาชิกของคลาสอื่น อย่างไรก็ตาม สัจพจน์การมีอยู่ของคลาสใน NBG ถูกจำกัดไว้ว่าใช้ได้เฉพาะกับเซตเท่านั้น ไม่ใช่กับทุกคลาส ทำให้ NBG เป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ ZFC

ทฤษฎีเซตของมอร์ส-เคลลีย์ยอมรับคลาสที่เหมาะสมเป็นวัตถุพื้นฐาน เช่นเดียวกับ NBG แต่ยังอนุญาตให้มีการกำหนดปริมาณเหนือคลาสที่เหมาะสมทั้งหมดในสัจพจน์การดำรงอยู่ของคลาสด้วย ซึ่งทำให้ทฤษฎีเซตของมอร์ส-เคลลีย์มีความแข็งแกร่งกว่าทั้ง NBG และ ZFC อย่างเคร่งครัด

ทฤษฎีเซตอื่นๆ เช่นทฤษฎีรากฐานใหม่หรือทฤษฎีเซมิเซตก็ยังคงก่อให้เกิด "ชั้นที่แท้จริง" (ในแง่ที่ว่าทฤษฎีเหล่านั้นต้องการชั้นที่ไม่ใช่เซต) เพราะทฤษฎีเหล่านั้นไม่ได้ตั้งสมมติฐานว่าชั้นย่อยทั้งหมดของเซตนั้นเป็นเซตด้วย ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีเซตใดๆ ที่มีเซตสากลจะต้องมีชั้นที่แท้จริงที่เป็นชั้นย่อยของเซตอยู่ด้วย

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "เซตคลาส" , MathWorld