การถดถอยแบบโลคอลหรือการถดถอยพหุนามแบบโลคอล [ ^{1 ] หรือ}ที่รู้จักกันในชื่อการถดถอยแบบเคลื่อนที่ [ 2 ^{]เป็นการขยาย}ผลของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่และการถดถอยพหุนาม^{[ 3 ]} วิธีการที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ซึ่งพัฒนาขึ้นครั้งแรกสำหรับการปรับเรียบแผนภาพกระจายคือLOESS ( การปรับเรียบแผนภาพกระจายโดยประมาณแบบโล คอล ) และLOWESS ( การปรับเรียบแผนภาพกระจายแบบถ่วงน้ำหนักแบบ โล คอ ล ) ซึ่งทั้งสองคำออกเสียงว่า/ ˈ oʊ ɛ s / LOH -ess ทั้งสองเป็นวิธี การถดถอยแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกันอย่างมากซึ่งรวมแบบจำลองการถดถอยหลายแบบเข้าด้วยกันใน แบบจำลองเมตาแบบ k -nearest-neighborในบางสาขา LOESS เป็นที่รู้จักและเรียกกันทั่วไปว่าตัวกรอง Savitzky–Golay ^{[ 4 ] [ 5 ]} (เสนอเมื่อ 15 ปีก่อน LOESS)

LOESS และ LOWESS จึงสร้างขึ้นบนพื้นฐานวิธีการ "แบบดั้งเดิม"เช่นการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น วิธีการเหล่านี้แก้ปัญหาในสถานการณ์ที่วิธีการแบบดั้งเดิมไม่ได้ผลดี หรือไม่สามารถนำไปใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากเกินไป LOESS ผสมผสานความเรียบง่ายของการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นเข้ากับความยืดหยุ่นของการถดถอยไม่เชิงเส้นโดยการสร้างแบบจำลองอย่างง่ายให้กับชุดย่อยของข้อมูลเฉพาะที่ เพื่อสร้างฟังก์ชันที่อธิบายส่วนที่เป็นตัวกำหนดของความแปรผันในข้อมูลทีละจุด อันที่จริง หนึ่งในจุดเด่นหลักของวิธีนี้คือ นักวิเคราะห์ข้อมูลไม่จำเป็นต้องระบุฟังก์ชันโดยรวมในรูปแบบใดๆ เพื่อปรับแบบจำลองให้เข้ากับข้อมูล เพียงแต่ต้องปรับให้เข้ากับส่วนต่างๆ ของข้อมูลเท่านั้น

ข้อแลกเปลี่ยนสำหรับคุณสมบัติเหล่านี้คือการคำนวณที่เพิ่มขึ้น เนื่องจากต้องใช้การคำนวณอย่างมาก LOESS จึงแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะนำมาใช้ในยุคที่กำลังพัฒนาวิธีการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด วิธีการสร้างแบบจำลองกระบวนการสมัยใหม่ส่วนใหญ่ก็คล้ายกับ LOESS ในแง่นี้ วิธีการเหล่านี้ได้รับการออกแบบมาอย่างตั้งใจเพื่อใช้ประโยชน์จากความสามารถในการคำนวณในปัจจุบันของเราอย่างเต็มที่ที่สุด เพื่อบรรลุเป้าหมายที่ทำได้ยากด้วยวิธีการแบบดั้งเดิม

เส้นโค้งเรียบที่ลากผ่านชุดจุดข้อมูลที่ได้จากเทคนิคทางสถิตินี้เรียกว่าเส้นโค้งโลเอสโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อค่าที่เรียบแต่ละค่าได้มาจากการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบถ่วงน้ำหนักในช่วงค่าของ ตัวแปรเกณฑ์ของแผนภาพ กระจายแกนyเมื่อค่าที่เรียบแต่ละค่าได้มาจากการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นแบบถ่วงน้ำหนักในช่วงนี้ จะเรียกว่าเส้นโค้งโลเวสอย่างไรก็ตาม ผู้เชี่ยวชาญบางคนถือว่าโลเวสและโลเอสเป็นคำพ้องความหมาย^{[ 6 ] [ 7 ]}

การถดถอยแบบโลคอลและกระบวนการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดมีประวัติอันยาวนานและอุดมสมบูรณ์ โดยได้รับการค้นพบและค้นพบใหม่ในสาขาต่างๆ หลายครั้ง งานในช่วงแรกโดยRobert Henderson ^{[ 8 ]}ที่ศึกษาปัญหาการสำเร็จการศึกษา (คำศัพท์สำหรับการปรับให้เรียบที่ใช้ในวรรณกรรมด้านคณิตศาสตร์ประกันภัย) ได้แนะนำการถดถอยแบบโลคอลโดยใช้พหุนามลูกบาศก์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้${\displaystyle Y_{j}}$แสดงถึงลำดับการสังเกตที่ไม่มีการแบ่งระดับ ตามแนวคิดของเฮนเดอร์สัน สมมติว่ามีเพียงพจน์จาก${\displaystyle Y_{-h}}$ถึง${\displaystyle Y_{h}}$จะต้องนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณค่าระดับขั้นของ${\displaystyle Y_{0}}$, และ${\displaystyle W_{j}}$คือน้ำหนักที่จะกำหนดให้กับ${\displaystyle Y_{j}}$จากนั้นเฮนเดอร์สันจึงใช้การประมาณค่าพหุนามเฉพาะที่${\displaystyle a+bj+cj^{2}+dj^{3}}$และกำหนดสมการสี่สมการต่อไปนี้สำหรับสัมประสิทธิ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=-h}^{h}(a+bj+cj^{2}+dj^{3})W_{j}&=\sum _{j=-h}^{h}W_{j}Y_{j}\\\sum _{j=-h}^{h}(aj+bj^{2}+cj^{3}+dj^{4})W_{j}&=\sum _{j=-h}^{h}jW_{j}Y_{j}\\\sum _{j=-h}^{h}(aj^{2}+bj^{3}+cj^{4}+dj^{5})W_{j}&=\sum _{j=-h}^{h}j^{2}W_{j}Y_{j}\\\sum _{j=-h}^{h}(aj^{3}+bj^{4}+cj^{5}+dj^{6})W_{j}&=\sum _{j=-h}^{h}j^{3}W_{j}Y_{j}\end{aligned}}}$

การแก้สมการเหล่านี้เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามจะให้ค่าที่ไล่ระดับแล้ว${\displaystyle {\hat {Y}}_{0}=a}$.

เฮนเดอร์สันไปไกลกว่านั้น ในช่วงหลายปีก่อนหน้านี้ มีการพัฒนาวิธีการแบ่งระดับแบบ 'สูตรผลรวม' หลายวิธี ซึ่งได้มาจากกฎการแบ่งระดับโดยอาศัยสูตรผลรวม (การสังเคราะห์อนุกรมของการสังเกตด้วยชุดน้ำหนักที่เลือก) กฎดังกล่าวสองข้อคือกฎ 15 จุดและ 21 จุดของสเปนเซอร์ (1904) ^{[ 9 ]}กฎการแบ่งระดับเหล่านี้ได้รับการออกแบบอย่างระมัดระวังเพื่อให้มีคุณสมบัติการสร้างแบบกำลังสอง: หากค่าที่ยังไม่ได้แบ่งระดับเป็นไปตามสูตรกำลังสองอย่างแม่นยำ ค่าที่แบ่งระดับแล้วจะเท่ากับค่าที่ยังไม่ได้แบ่งระดับ นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญ: ในทางตรงกันข้าม ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบง่ายไม่สามารถจำลองจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดในข้อมูลได้อย่างเพียงพอ ความเข้าใจของเฮนเดอร์สันคือการแสดงให้เห็นว่า กฎการแบ่งระดับ ดังกล่าวสามารถแสดงได้เป็นค่าพอดีแบบลูกบาศก์ (หรือกำลังสอง) เฉพาะที่สำหรับการเลือกน้ำหนักที่เหมาะสม

การอภิปรายเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับการสำเร็จการศึกษาและการปรับพหุนามเฉพาะที่สามารถพบได้ในMacaulay (1931) ^{[ 10 ]} ClevelandและLoader (1995); ^{[ 11 ]}และMurrayและBellhouse (2019) ^{[ 12 ]}

ตัวกรอง Savitzky-Golayซึ่งแนะนำโดยAbraham SavitzkyและMarcel JE Golay (1964) ^{[ 13 ]}ได้ขยายวิธีการนี้อย่างมีนัยสำคัญ เช่นเดียวกับงานการไล่ระดับก่อนหน้านี้ พวกเขามุ่งเน้นไปที่ข้อมูลที่มีตัวแปรทำนายที่มีระยะห่างเท่ากัน ซึ่ง (ไม่รวมผลกระทบที่ขอบเขต) การถดถอยเฉพาะที่สามารถแสดงเป็นคอนโวลูชันได้ Savitzky และ Golay ได้เผยแพร่ชุดสัมประสิทธิ์คอนโวลูชันจำนวนมากสำหรับลำดับต่างๆ ของความกว้างของหน้าต่างพหุนามและหน้าต่างปรับเรียบ

วิธีการถดถอยเฉพาะที่เริ่มปรากฏให้เห็นอย่างแพร่หลายในวรรณกรรมทางสถิติในช่วงทศวรรษ 1970 ตัวอย่างเช่นCharles J. Stone (1977) ^{[ 14 ]} Vladimir Katkovnik (1979) ^{[ 15 ]}และWilliam S. Cleveland (1979) ^{[ 16 ]} Katkovnik (1985) ^{[ 17 ]}เป็นหนังสือเล่มแรกที่อุทิศให้กับวิธีการถดถอยเฉพาะที่เป็นหลัก

งานเชิงทฤษฎียังคงปรากฏออกมาอย่างต่อเนื่องตลอดช่วงทศวรรษ 1990 ผลงานสำคัญได้แก่Jianqing FanและIrène Gijbels (1992) ^{[ 18 ]}ที่ศึกษาคุณสมบัติประสิทธิภาพ และDavid RuppertและMatthew P. Wand (1994) ^{[ 19 ]}ที่พัฒนาทฤษฎีการกระจายแบบเชิงเส้นกำกับสำหรับการถดถอยเฉพาะที่แบบหลายตัวแปร

ส่วนขยายที่สำคัญของการถดถอยแบบโลคอลคือการประมาณค่าความน่าจะเป็นแบบโลคอล ซึ่งคิดค้นโดยRobert TibshiraniและTrevor Hastie (1987) ^{[ 20 ]}วิธีนี้แทนที่เกณฑ์กำลังสองน้อยที่สุดแบบโลคอลด้วยเกณฑ์ตามความน่าจะเป็น จึงขยายวิธีการถดถอยแบบโลคอลไปยัง การตั้ง ค่าแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปเช่น ข้อมูลไบนารี ข้อมูลการนับ หรือข้อมูลที่ถูกตัดทอน

การนำการถดถอยแบบโลคอลไปใช้ในทางปฏิบัติเริ่มปรากฏในซอฟต์แวร์ทางสถิติในช่วงทศวรรษ 1980 Cleveland (1981) ^{[ 21 ]}ได้แนะนำรูทีน LOWESS ซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อปรับความเรียบของแผนภาพกระจาย รูทีนนี้ใช้การปรับแบบเชิงเส้นแบบโลคอลด้วยตัวแปรทำนายตัวเดียว และยังแนะนำการลดน้ำหนักความทนทานเพื่อให้กระบวนการนี้ทนต่อค่าผิดปกติ การใช้งานแบบใหม่ทั้งหมด LOESS ได้รับการอธิบายไว้ใน Cleveland และSusan J. Devlin (1988) ^{[ 22 ]} LOESS เป็นตัวปรับความเรียบแบบหลายตัวแปร สามารถจัดการกับข้อมูลเชิงพื้นที่ที่มีตัวแปรทำนายสองตัว (หรือมากกว่า) และใช้การปรับแบบกำลังสองแบบโลคอล (โดยค่าเริ่มต้น) ทั้ง LOWESS และ LOESS ถูกนำไปใช้ใน ภาษาการเขียนโปรแกรม SและRดูซอฟต์แวร์การปรับแบบโลคอลของ Cleveland เพิ่มเติม^{[ 23 ]}

แม้ว่าบางครั้งคำว่า Local Regression, LOWESS และ LOESS จะถูกใช้สลับกันได้ แต่การใช้งานเช่นนั้นถือว่าไม่ถูกต้อง Local Regression เป็นคำทั่วไปสำหรับกระบวนการปรับให้เหมาะสม ในขณะที่ LOWESS และ LOESS เป็นการนำไปใช้ที่แตกต่างกันสองแบบ

การถดถอยเชิงโลคัล (Local regression) ใช้ชุดข้อมูลที่ประกอบด้วยข้อมูลสังเกตการณ์ ตัวแปรอิสระหรือตัวแปรทำนายอย่างน้อยหนึ่งตัว และตัวแปรตามหรือตัวแปรตอบสนอง ชุดข้อมูลจะประกอบด้วยจำนวนหนึ่ง${\displaystyle n}$การสังเกตการณ์ การสังเกตการณ์ของตัวแปรทำนายสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$และการสังเกตที่สอดคล้องกันของตัวแปรตอบสนองโดย${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$.

เพื่อความสะดวกในการนำเสนอ การพัฒนาต่อไปนี้จะถือว่ามีตัวแปรทำนายเพียงตัวเดียว การขยายไปสู่ตัวแปรทำนายหลายตัว (เมื่อ${\displaystyle x_{i}}$(ซึ่งเป็นเวกเตอร์) นั้นเข้าใจได้ง่ายในเชิงแนวคิด โดยถือว่ามีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรทำนายและตัวแปรตอบสนอง: $${\displaystyle Y_{i}=\mu (x_{i})+\epsilon _{i}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mu (x)}$คือฟังก์ชันการถดถอยแบบ 'เรียบ' ที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องได้รับการประมาณค่า และแสดงถึงค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของการตอบสนอง โดยกำหนดค่าของตัวแปรทำนาย ในงานทางทฤษฎี ความ 'เรียบ' ของฟังก์ชันนี้สามารถกำหนดลักษณะอย่างเป็นทางการได้โดยการวางขอบเขตบนอนุพันธ์อันดับสูงกว่า${\displaystyle \epsilon _{i}}$แสดงถึงความคลาดเคลื่อนแบบสุ่ม ซึ่งในการประมาณค่าจะถือว่ามี ค่า เฉลี่ยเป็นศูนย์อาจใช้สมมติฐานที่เข้มงวดกว่านี้ (เช่นความเป็นอิสระและความแปรปรวน เท่ากัน) เมื่อประเมินคุณสมบัติของการประมาณค่า

จากนั้นการถดถอยเฉพาะที่ก็จะประมาณค่าฟังก์ชัน${\displaystyle \mu (x)}$สำหรับค่าหนึ่งของ${\displaystyle x}$ในแต่ละครั้ง เนื่องจากถือว่าฟังก์ชันนั้นเรียบ ข้อมูลที่มีข้อมูลมากที่สุดจึงเป็นข้อมูลที่มีค่า ...${\displaystyle x_{i}}$ค่าต่างๆ ใกล้เคียงกับ${\displaystyle x}$สิ่งนี้ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการด้วยแบนด์วิดท์${\displaystyle h}$และ ฟังก์ชัน เคอร์เนลหรือฟังก์ชันน้ำหนัก${\displaystyle W(\cdot )}$โดยมีการกำหนดค่าน้ำหนักให้กับการสังเกตแต่ละครั้ง $${\displaystyle w_{i}(x)=W{\left({\frac {x_{i}-x}{h}}\right)}.}$$ ตัวเลือกทั่วไปของ${\displaystyle W}$ซึ่ง Cleveland ใช้ใน LOWESS คือ${\displaystyle W(u)=(1-|u|^{3})^{3}}$สำหรับ${\displaystyle |u|<1}$แม้ว่าฟังก์ชันที่คล้ายกันใดๆ (สูงสุดที่${\displaystyle u=0}$และมีค่าเล็กน้อยหรือเป็น 0 สำหรับค่ามากของ${\displaystyle u}$) สามารถนำมาใช้ได้ คำถามเกี่ยวกับการเลือกและการกำหนดคุณสมบัติของแบนด์วิดท์ (ควรมีขนาดเท่าใด)${\displaystyle h}$ควรมีค่าแตกต่างกันไปตามจุดติดตั้งหรือไม่${\displaystyle x}$?) ถูกเลื่อนออกไปก่อนในขณะนี้

แบบจำลองท้องถิ่น (โดยปกติจะเป็นพหุนามลำดับต่ำที่มีดีกรี )${\displaystyle p\leq 3}$) แสดงออกมาในรูปแบบ $${\displaystyle \mu (x_{i})\approx \beta _{0}+\beta _{1}(x_{i}-x)+\ldots +\beta _{p}(x_{i}-x)^{p}}$$ จากนั้นจึงทำการปรับให้เหมาะสมโดยใช้วิธีถ่วงน้ำหนักกำลังสองน้อยที่สุด : เลือกสัมประสิทธิ์การถดถอย ${\displaystyle ({\hat {\beta }}_{0},\ldots ,{\hat {\beta }}_{p})}$เพื่อลดให้น้อยที่สุด $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}(x)\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}(x_{i}-x)-\ldots -\beta _{p}(x_{i}-x)^{p}\right)^{2}.}$$ ค่าประมาณการถดถอยท้องถิ่นของ${\displaystyle \mu (x)}$ดังนั้น จึงเป็นเพียงค่าประมาณจุดตัด: $${\displaystyle {\hat {\mu }}(x)={\hat {\beta }__{0}}$$ ในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือสามารถตีความได้ (โดยมีปัจจัยไม่เกิน...)${\displaystyle p!}$) ในรูปของการประมาณค่าอนุพันธ์

ควรเน้นย้ำว่าขั้นตอนข้างต้นให้ผลลัพธ์เป็นการประมาณการ${\displaystyle {\hat {\mu }}(x)}$สำหรับค่าหนึ่งของ${\displaystyle x}$เมื่อพิจารณาค่าใหม่ของ${\displaystyle x}$ชุดตุ้มน้ำหนักใหม่${\displaystyle w_{i}(x)}$ต้องคำนวณค่าใหม่ และประมาณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยใหม่อีกครั้ง

การนำการถดถอยเชิงพื้นที่ไปใช้ จำเป็นต้องมีการระบุและเลือกส่วนประกอบหลายอย่าง:

1. แบนด์วิดท์ และโดยทั่วไปแล้วคือชุดย่อยของข้อมูลเฉพาะที่
2. ระดับของพหุนามเฉพาะที่ หรือโดยทั่วไปแล้ว รูปแบบของแบบจำลองเฉพาะที่
3. การเลือกฟังก์ชันน้ำหนัก${\displaystyle W(\cdot )}$.
4. การเลือกเกณฑ์การปรับให้เหมาะสม (วิธีกำลังสองน้อยที่สุด หรือวิธีอื่น)

ส่วนประกอบแต่ละอย่างเหล่านี้ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วน โดยมีบทสรุปอยู่ด้านล่างนี้

ดังที่กล่าวมาข้างต้น ข้อได้เปรียบที่สำคัญที่สุดของ LOESS เมื่อเทียบกับวิธีการอื่นๆ คือ กระบวนการปรับแบบจำลองให้เข้ากับข้อมูลตัวอย่างไม่ได้เริ่มต้นด้วยการกำหนดฟังก์ชัน แต่ผู้ทำการวิเคราะห์เพียงแค่ต้องระบุค่าพารามิเตอร์การปรับเรียบและระดับของพหุนามเฉพาะที่เท่านั้น นอกจากนี้ LOESS ยังมีความยืดหยุ่นสูง ทำให้เหมาะสำหรับการสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ซับซ้อนซึ่งไม่มีแบบจำลองทางทฤษฎีอยู่ ข้อได้เปรียบทั้งสองประการนี้ เมื่อรวมกับความเรียบง่ายของวิธีการ ทำให้ LOESS เป็นหนึ่งในวิธีการถดถอยสมัยใหม่ที่น่าสนใจที่สุดสำหรับการใช้งานที่เข้ากับกรอบทั่วไปของการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด แต่มีโครงสร้างเชิงกำหนดที่ซับซ้อน

แม้ว่าจะไม่ชัดเจนเท่ากับวิธีการอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น แต่ LOESS ก็มีข้อดีส่วนใหญ่ที่วิธีการเหล่านั้นมักมีร่วมกัน ข้อดีที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีสำหรับการคำนวณความไม่แน่นอนในการทำนายและการปรับเทียบ นอกจากนี้ การทดสอบและขั้นตอนอื่นๆ ที่ใช้ในการตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองกำลังสองน้อยที่สุดก็สามารถขยายไปใช้กับแบบจำลอง LOESS ได้เช่นกัน

LOESS ใช้ข้อมูลอย่างมีประสิทธิภาพน้อยกว่าวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดอื่นๆ จำเป็นต้องใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่และมีการสุ่มตัวอย่างอย่างหนาแน่นเพื่อให้ได้แบบจำลองที่ดี เนื่องจาก LOESS อาศัยโครงสร้างข้อมูลเฉพาะที่เมื่อทำการปรับให้เข้ากับข้อมูลเฉพาะที่ ดังนั้น LOESS จึงให้การวิเคราะห์ข้อมูลที่ซับซ้อนน้อยกว่า แต่แลกมาด้วยต้นทุนการทดลองที่สูงกว่า^{[ 7 ]}

ข้อเสียอีกประการหนึ่งของ LOESS คือการที่มันไม่สร้างฟังก์ชันการถดถอยที่สามารถแสดงด้วยสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอาจทำให้การถ่ายทอดผลการวิเคราะห์ไปยังผู้อื่นทำได้ยาก ในการถ่ายทอดฟังก์ชันการถดถอยไปยังผู้อื่น พวกเขาจะต้องมีชุดข้อมูลและซอฟต์แวร์สำหรับการคำนวณ LOESS ในทางกลับกัน ในการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นนั้น เพียงแค่เขียนรูปแบบฟังก์ชันก็เพียงพอแล้วสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าและความไม่แน่นอนที่ประมาณไว้ ขึ้นอยู่กับการใช้งาน นี่อาจเป็นข้อเสียที่สำคัญหรือเล็กน้อยของการใช้ LOESS โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปแบบที่เรียบง่ายของ LOESS ไม่สามารถใช้ได้กับการสร้างแบบจำลองเชิงกลที่พารามิเตอร์ที่ปรับให้เหมาะสมระบุคุณสมบัติทางกายภาพเฉพาะของระบบ

สุดท้ายนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น LOESS เป็นวิธีการที่ต้องใช้การคำนวณอย่างมาก (ยกเว้นข้อมูลที่มีระยะห่างเท่ากัน ซึ่งการถดถอยสามารถกำหนดเป็น ตัวกรอง การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด ที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล ได้) นอกจากนี้ LOESS ยังมีแนวโน้มที่จะได้รับผลกระทบจากค่าผิดปกติในชุดข้อมูล เช่นเดียวกับวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดอื่นๆ มี LOESS เวอร์ชัน ที่ทนทาน และทำซ้ำได้ [Cleveland (1979)] ที่สามารถใช้เพื่อลดความไวของ LOESS ต่อค่าผิดปกติได้แต่ค่าผิดปกติสุดขั้วจำนวนมากก็ยังสามารถเอาชนะวิธีการทนทานได้ แม้กระทั่งวิธีการดังกล่าว วิธีการถดถอยเฉพาะที่ที่ทนทานและไม่ทำซ้ำอื่นๆ ก็ได้รับการเสนอเช่นกัน^{[ 34 ]}

หนังสือที่ครอบคลุมเนื้อหาเกี่ยวกับการถดถอยในระดับท้องถิ่นและการขยายตัว:

• Macaulay (1931) "การปรับเรียบอนุกรมเวลา" ^{[ 10 ]}กล่าวถึงวิธีการแบ่งระดับด้วยบทต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการปรับพหุนามเฉพาะที่
• Katkovnik (1985) "การระบุและการปรับเรียบข้อมูลแบบไม่ใช้พารามิเตอร์" ^{[ 17 ]}ในภาษารัสเซีย
• Fan และ Gijbels (1996) "การสร้างแบบจำลองพหุนามท้องถิ่นและการประยุกต์ใช้" ^{[ 35 ]}
• Loader (1999) "การถดถอยท้องถิ่นและความน่าจะเป็น" ^{[ 31 ]}
• Fotheringham, Brunsdon และ Charlton (2002), "การถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์" ^{[ 36 ]} (การพัฒนาการถดถอยท้องถิ่นสำหรับข้อมูลเชิงพื้นที่)

บทต่างๆ ในหนังสือ, บทวิจารณ์:

• "การปรับให้เรียบด้วยการถดถอยเฉพาะที่: หลักการและวิธีการ" ^{[ 11 ]}
• "การถดถอยท้องถิ่นและความน่าจะเป็น" บทที่ 13 ของพลวัตสมองที่สังเกตได้ Mitra และ Bokil (2007) ^{[ 37 ]}
• Rafael Irizarry , "การถดถอยเฉพาะที่" บทที่ 3 ของ "สถิติเชิงไม่พาราเมตริกประยุกต์และสถิติสมัยใหม่" ^{[ 38 ]}

• ระดับความเป็นอิสระ (ทางสถิติ) #ในการถดถอยแบบไม่มาตรฐาน
• การถดถอยเคอร์เนล
• กำลังสองน้อยที่สุดแบบเคลื่อนที่
• ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่
• สปลายการถดถอยแบบปรับตัวหลายตัวแปร
• สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์
• ตัวกรอง Savitzky–Golay
• การถดถอยแบบแบ่งส่วน

• คู่มือสถิติทางวิศวกรรมของ NIST ส่วนที่เกี่ยวกับ LOESS
• R: การปรับความเหมาะสมของการถดถอยพหุนามเฉพาะที่ฟังก์ชัน Loess ในR
• R: การปรับเรียบแผนภาพกระจายจุดด้วยฟังก์ชัน Lowess ในR
• ฟังก์ชัน supsmu (Friedman's SuperSmoother) ใน R
• Quantile LOESS – วิธีการทำการถดถอยเชิงพื้นที่บน หน้าต่างเคลื่อนที่ แบบควอนไทล์ (พร้อมโค้ด R)
• เนท ซิลเวอร์, ความคิดเห็นเกี่ยวกับการแต่งงานของเพศเดียวกันกำลังเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร และนั่นหมายความว่าอย่างไร – ตัวอย่างการเปรียบเทียบ LOESS กับการถดถอยเชิงเส้น

 บทความนี้ได้นำเนื้อหาที่เป็นสาธารณสมบัติจากสถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ มาใช้