บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม กรณีที่ไม่มีฐานกำกับ ควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่าหรือ เช่น กัน${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \log _{e}(x)}$

ค่าคงที่ของเลอจองเดอร์เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่ปรากฏในสูตรที่เอเดรียน-มารี เลอจองเดอร์ สร้างขึ้น เพื่อประมาณพฤติกรรมของฟังก์ชันนับจำนวน เฉพาะ ปัจจุบันทราบกัน แล้ว ว่า ค่าที่สอดคล้องกับพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติก อย่างแม่นยำ คือ  1${\displaystyle \pi (x)}$

จากการตรวจสอบข้อมูลตัวเลขที่มีอยู่สำหรับค่าที่ทราบแล้วLegendre จึงได้สูตรประมาณค่าขึ้นมา ${\displaystyle \pi (x)}$

ในปี พ.ศ. 2351 เลอฌองเดรได้เสนอสูตร ( OEIS :  A228211 ) ซึ่งให้ค่าประมาณด้วย "ความแม่นยำที่น่าพอใจมาก" ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},}$$${\displaystyle y=\pi (x)}$

อย่างไรก็ตาม หากเรากำหนดฟังก์ชันจริงโดย และหากลู่เข้าสู่ค่าคงที่จริงเมื่อเข้าสู่ค่าอนันต์ ค่าคงที่นี้จะสอดคล้องกับ ${\displaystyle B(x)}$$${\displaystyle \pi (x)={\frac {x}{\log(x)-B(x)}},}$$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle B=\lim _{x\to \infty }\left(\log(x)-{x \over \pi (x)}\right).}$$

ไม่เพียงแต่เป็นที่ทราบกันว่าลิมิตมีอยู่จริงเท่านั้น แต่ยังทราบด้วยว่าค่าของลิมิตนั้นเท่ากับ 1 ซึ่งน้อยกว่าค่าของเลอจองเดอร์เล็กน้อย1.08366ไม่ว่าค่าที่แท้จริงจะเป็นเท่าใด การมีอยู่ของลิมิตก็บ่งชี้ถึงทฤษฎีบท จำนวนเฉพาะ${\displaystyle B}$

Pafnuty Chebyshevพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2392 ^{[ 3 ]}ว่าถ้าลิมิตBมีอยู่จริง จะต้องเท่ากับ 1 Pintz ได้ให้การพิสูจน์ที่ง่ายกว่าในปี พ.ศ. 2523 ^{[ 4 ]}

นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะภายใต้รูปแบบที่แม่นยำพร้อมการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนอย่างชัดเจน

$${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

(สำหรับค่าคงที่บวกa บางค่า โดยที่O (...) คือสัญลักษณ์ O ใหญ่ ) ดังที่พิสูจน์ในปี พ.ศ. 2442 โดยCharles de La Vallée Poussin [ ^{5 ] ว่า} B มีค่าเท่ากับ 1 จริง ๆ (ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2439 โดยอิสระโดยJacques Hadamard ^{[ 6 ]}และ La Vallée Poussin ^{[ 7 ] : 183–256, 281–361} แต่ไม่มีการประมาณค่าเทอมความคลาดเคลื่อนที่เกี่ยวข้อง)

เนื่องจากค่าคงที่ของเลอจองเดอร์ถูกประเมินค่าเป็นตัวเลขที่เรียบง่ายเช่นนี้ ทำให้คำว่า "ค่าคงที่ของเลอจองเดอร์" จึงมีคุณค่าทางประวัติศาสตร์เป็นส่วนใหญ่ โดยมักถูกนำไปใช้ (อย่างไม่ถูกต้องในทางเทคนิค) เพื่ออ้างถึงค่าประมาณครั้งแรกของเลอจองเดอร์คือ 1.08366... ​​แทน

เมื่อใช้ค่าที่ทราบสำหรับ เรา${\displaystyle \pi (x)}$สามารถคำนวณค่าสำหรับค่าที่อยู่นอกเหนือขอบเขตที่เลอจองเดอร์มีอยู่ได้: ${\displaystyle B(x)=\log x-{\frac {x}{\pi (x)}}}$${\displaystyle x}$

ค่าคงที่ของเลอจองเดอร์เข้าใกล้ 1 อย่างไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับค่าขนาดใหญ่ของ${\displaystyle x}$

x	บี ( x )		x	บี ( x )		x	บี ( x )		x	บี ( x )
10 2	0.605170		10 16	1.029660		10:30 น.	1.015148		10 44	1.010176
10 3	0.955374		10 17	1.027758		10 31	1.014637		10:45 น .	1.009943
10 4	1.073644		10 18	1.026085		10 32	1.014159		10 46	1.009720
10 5	1.087571		10 19	1.024603		10 33	1.013712		10 47	1.009507
10 6	1.076332		10 20	1.023281		10 34	1.013292		10 48	1.009304
10 7	1.070976		10 21	1.022094		10 35	1.012897		10 49	1.009108
10 8	1.063954		10 22	1.021022		10 36	1.012525		10 50	1.008921
10 9	1.056629		10 23	1.020050		10 37	1.012173		10 51	1.008742
10 10	1.050365		10 24	1.019164		10 38	1.011841		10 52	1.008569
10 11	1.045126		10 25	1.018353		10 39	1.011527		10 53	1.008403
10 12	1.040872		10 26	1.017607		10 40	1.011229		10 54	1.008244
10 13	1.037345		10 27	1.016921		10 41	1.010946		10 55	1.008090
10 14	1.034376		10 28	1.016285		10 42	1.010676		10 56	1.007942
10 15	1.031844		10 29	1.015696		10 43	1.010420		10 57	1.007799

ค่าในสองคอลัมน์แรกเป็นที่ทราบแน่ชัด ส่วนค่าในคอลัมน์ที่สามและสี่เป็นการประมาณค่าโดยใช้ฟังก์ชัน Riemann R ${\displaystyle \pi (10^{29})}$

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ความคงที่ของตำนาน" . แมทเวิลด์ .