ทฤษฎีบทที่สามของลี
ในคณิตศาสตร์ทฤษฎีของลีทฤษฎีบทที่สามของลี กล่าวว่า พีชคณิตลี มิติจำกัดทุกตัวบนจำนวนจริงนั้นมีความสัมพันธ์กับกลุ่มลีทฤษฎีบทนี้เป็นส่วนหนึ่งของ ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มลีและ พีชคณิต ลี
ในทางประวัติศาสตร์ ทฤษฎีบทที่สามหมายถึงผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไปแต่มีความเกี่ยวข้องกัน ทฤษฎีบทสองข้อแรกของโซฟัส ลีเมื่อเขียนใหม่ในภาษาปัจจุบัน เกี่ยวข้องกับการแปลงแบบอนันต์ของการกระทำของกลุ่มบนแมนิโฟลด์เรียบทฤษฎีบทที่สามในรายการกล่าวถึงเอกลักษณ์ของจาโคบีสำหรับการแปลงแบบอนันต์ของกลุ่มลีเฉพาะ ที่ ในทางกลับกัน ในกรณีที่มีพีชคณิตลีของสนามเวกเตอร์การอินทิเกรตจะให้การกระทำของกลุ่มลีเฉพาะที่ ผลลัพธ์ที่รู้จักกันในปัจจุบันในชื่อทฤษฎีบทที่สามนั้นให้บทกลับที่แท้จริงและครอบคลุมของทฤษฎีบทดั้งเดิม
บันทึกทางประวัติศาสตร์
ความสมมูลระหว่างหมวดหมู่ของ กลุ่มลีจริง ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายและพีชคณิตลีจริงมิติจำกัด มักถูกเรียกว่า (ในเอกสารช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20) ทฤษฎีบทของคาร์ตัน หรือทฤษฎีบทคาร์ตัน-ลี ตามที่เอลี คาร์ตัน ได้พิสูจน์ไว้ โซฟัส ลี เคยพิสูจน์เวอร์ชันอนันต์เล็กมาก่อนแล้ว นั่นคือ ความสามารถในการแก้สม การเมารอร์-คาร์ตันในระดับท้องถิ่นหรือความสมมูลระหว่างหมวดหมู่ของพีชคณิตลีมิติจำกัดและหมวดหมู่ของกลุ่มลีในระดับท้องถิ่น
Lie ระบุผลลัพธ์ของเขาเป็นทฤษฎีบทโดยตรงสามข้อและทฤษฎีบทผกผันสามข้อ รูปแบบอนันต์เล็กของทฤษฎีบทของ Cartan นั้นโดยพื้นฐานแล้วคือทฤษฎีบทผกผันข้อที่สามของ Lie ในหนังสือที่มีอิทธิพลเล่มหนึ่ง[ 1 ] Jean-Pierre Serreเรียกมันว่าทฤษฎีบทข้อที่สามของ Lieชื่อนี้ในทางประวัติศาสตร์อาจทำให้เข้าใจผิดได้บ้าง แต่ก็มักใช้ในบริบทของการสรุปทั่วไป
Serre ได้นำเสนอบทพิสูจน์สองแบบในหนังสือของเขา แบบแรกอิงตามทฤษฎีบทของ Adoและแบบที่สองเล่าถึงบทพิสูจน์ของ Élie Cartan
หลักฐาน
มีวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สามของ Lie อยู่หลายวิธี โดยแต่ละวิธีใช้วิธีทางพีชคณิตและ/หรือเรขาคณิตที่แตกต่างกัน
การพิสูจน์ทางพีชคณิต
การพิสูจน์แบบคลาสสิกนั้นตรงไปตรงมา แต่ต้องอาศัยทฤษฎีบทของ Adoซึ่งการพิสูจน์เป็นแบบพีชคณิตและไม่ธรรมดาอย่างยิ่ง[ 2 ]ทฤษฎีบทของ Ado ระบุว่าพีชคณิต Lie มิติจำกัดใดๆ ก็สามารถแทนด้วยเมทริกซ์ได้ ผลที่ตามมาคือ การอินทิเกรตพีชคณิตของเมทริกซ์ดังกล่าวผ่านเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลจะให้กลุ่ม Lie ที่อินทิเกรตพีชคณิต Lie ดั้งเดิม
การพิสูจน์โคโฮโมโลจี
การพิสูจน์เชิงเรขาคณิตเพิ่มเติมเป็นผลงานของÉlie Cartanและตีพิมพ์โดยWillem van Est [ 3 ] การพิสูจน์นี้ใช้การเหนี่ยวนำบนมิติของศูนย์กลางและเกี่ยวข้องกับ คอมเพล็กซ์ Chevalley -Eilenberg [ 4 ]
การพิสูจน์ทางเรขาคณิต
ในปี 2000 Duistermaatและ Kolk ได้ค้นพบการพิสูจน์ทางเรขาคณิตที่แตกต่างออกไป[ 5 ]ซึ่งแตกต่างจากการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ตรงที่เป็นการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ กล่าวคือ กลุ่ม Lie ที่บูรณาการถูกสร้างขึ้นเป็นผลหารของกลุ่ม Lie Banach (มิติอนันต์) ของเส้นทางบนพีชคณิต Lie โดยกลุ่มย่อยที่เหมาะสม การพิสูจน์นี้มีอิทธิพลต่อทฤษฎี Lie [ 6 ]เนื่องจากเป็นการปูทางไปสู่การวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทที่สามของ Lie สำหรับกลุ่ม LieและพีชคณิตLie [ 7 ]