ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มเทียม (pseudogroup)คือเซตของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างเซตเปิดของปริภูมิ ซึ่งมี คุณสมบัติคล้าย กลุ่มและ คล้าย ชีฟมันเป็นการขยายแนวคิดของกลุ่มการแปลง (transformation group ) โดยมีต้นกำเนิดมาจากแนวทางเรขาคณิตของSophus Lie ^{[ 1 ]}เพื่อตรวจสอบสมมาตรของสมการเชิงอนุพันธ์ มากกว่าที่จะมาจากพีชคณิตนามธรรม (เช่นกลุ่มกึ่ง (quasigroup ) เป็นต้น) ทฤษฎีกลุ่มเทียมสมัยใหม่ได้รับการพัฒนาโดยÉlie Cartanในช่วงต้นทศวรรษ 1900 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

กลุ่มเทียม (pseudogroup) กำหนดเงื่อนไขหลายประการให้กับเซตของโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (หรือดิฟเฟโอเมอร์ ฟิซึม) ที่ นิยามบนเซตเปิดU ของ ปริภูมิยุคลิดที่กำหนดหรือโดยทั่วไปแล้วของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ที่คงที่ (หรือแมนิโฟลด์เรียบ ) เนื่องจากโฮมีโอเมอร์ฟิซึมสองตัวh  : U → Vและg  : V → Wประกอบกันได้เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจากUไปยังWจึงจำเป็นต้องมีกลุ่มเทียมที่ปิดภายใต้การประกอบและการผกผัน อย่างไรก็ตาม แตกต่างจากกลุ่มทั่วไป สัจพจน์ที่กำหนดกลุ่มเทียมไม่ได้เป็นเพียงพีชคณิตเท่านั้น ข้อกำหนดเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ในการจำกัดและการเชื่อมต่อโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (คล้ายกับสัจพจน์การเชื่อมต่อสำหรับส่วนต่างๆ ของชีฟ)

กล่าวโดยละเอียดกลุ่มเทียมบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีSคือชุดΓของโฮมีโอมอร์ฟิซึมระหว่างเซตย่อยเปิดของSที่สอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

1. โดเมนขององค์ประกอบgในΓ ครอบคลุมS (" ครอบคลุม ")
2. การจำกัดสมาชิกgในΓให้อยู่ในเซตเปิดใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของมันก็อยู่ในΓ เช่นกัน (" การจำกัด ")
3. องค์ประกอบg ∘ hของสององค์ประกอบของΓเมื่อกำหนดแล้ว จะอยู่ในΓ (" องค์ประกอบ ")
4. ตัวผกผันขององค์ประกอบของgอยู่ในΓ (" ตัวผกผัน ")
5. คุณสมบัติของการอยู่ในΓนั้นเป็นแบบเฉพาะที่ กล่าวคือ ถ้าg  : U → Vเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างเซตเปิดSและUถูกปกคลุมด้วยเซตเปิดU โดยที่gจำกัดอยู่ในU ที่อยู่ในΓสำหรับแต่ละiแล้วgก็จะอยู่ในΓ ด้วย (" เฉพาะที่ ")

ดังนั้น โฮมีโอเมอ ร์ ฟิซึม เอกลักษณ์ของเซตย่อยเปิดใดๆ ของSจึงอยู่ในΓ

ในทำนองเดียวกัน กลุ่มเสมือนบนแมนิโฟลด์เรียบXถูกกำหนดให้เป็นชุดΓของดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมระหว่างเซตย่อยเปิดของXที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน (โดยที่เราแทนที่โฮมีโอเมอร์ฟิซึมด้วยดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึม) ^{[ 6 ]}

กล่าวได้ว่าจุดสองจุดในX อยู่ใน วงโคจร เดียวกัน ถ้าสมาชิกของΓส่งจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง วงโคจรของกลุ่มเทียม (pseudogroup) ก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของX อย่างชัดเจน กลุ่มเทียมเรียกว่ากลุ่มถ่ายทอด (transitive)ถ้ามีวงโคจรเพียงวงเดียว

ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปคือกลุ่มเทียมที่รักษาโครงสร้างทางเรขาคณิตที่กำหนดไว้ เช่น ถ้า( X , g )เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ เราจะมีกลุ่มเทียมของไอโซเมตรี เฉพาะที่ของมัน ถ้า( X , ω )เป็นแมนิโฟลด์แบบซิมเพ ล็กติก เราจะมีกลุ่มเทียมของซิ มเพล็กโตมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ของมันเป็นต้น ควรคิดว่ากลุ่มเทียมเหล่านี้เป็นเซตของสมมาตรเฉพาะที่ของโครงสร้างเหล่านี้

แมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมมักสามารถกำหนดได้โดยใช้กลุ่มเสมือนของสมมาตรของแบบจำลองเฉพาะที่คงที่ กล่าวคือ เมื่อกำหนดกลุ่มเสมือนΓแล้วΓ-แอตลาสบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีSจะประกอบด้วยแอตลาสมาตรฐานบนSซึ่งการเปลี่ยนแปลงของพิกัด (เช่น แผนที่การเปลี่ยนผ่าน) เป็นของΓ กลุ่มของ Γ-แอตลาส ที่เทียบเท่ากันนี้เรียกว่าΓ-โครงสร้างบนS เช่นกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อΓเป็นกลุ่มเทียมของดิฟเฟโอโมฟิซึมที่กำหนดขึ้นในท้องถิ่นทั้งหมดของR ⁿเราจะได้แนวคิดมาตรฐานของแอตลาสเรียบและโครงสร้างเรียบ กลับคืนมา โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนดวัตถุต่อไปนี้เป็น โครงสร้าง ΓบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีS ได้ :

• โครงสร้างรีมันน์แบบราบสำหรับ กลุ่มเสมือน ΓของไอโซเมตรีของR ⁿด้วยเมตริกยุคลิดแบบแคนอนิก
• โครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกสำหรับΓซึ่งเป็นกลุ่มเทียมของซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมของR ^{2 n}ที่มีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกแบบแคนอนิก
• โครงสร้างเชิงวิเคราะห์สำหรับΓซึ่งเป็นกลุ่มเทียมของ การ แปลงเชิงอนุพันธ์แบบวิเคราะห์ (จริง)ของR ⁿ
• พื้นผิวรีมันน์สำหรับΓซึ่งเป็นกลุ่มเสมือนของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกผกผันได้ ของตัวแปรเชิงซ้อน

โดยทั่วไปแล้วโครงสร้างG ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ และแมนิโฟลด์( G , X ) ใดๆ ล้วน เป็นกรณีพิเศษของ โครงสร้าง Γสำหรับกลุ่มเสมือนΓที่ เหมาะสม

โดยทั่วไป กลุ่มเทียม (pseudogroups) ถูกศึกษาในฐานะทฤษฎีที่เป็นไปได้ของกลุ่มลี (Lie groups ) ที่มีมิติอนันต์ แนวคิด ของกลุ่มลีเฉพาะที่ (local Lie group ) ซึ่งก็คือกลุ่มเทียมของฟังก์ชันที่กำหนดในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดของปริภูมิยุคลิดE นั้น แท้จริงแล้วใกล้เคียงกับแนวคิดดั้งเดิมของกลุ่มลีของ Lie มากกว่า ในกรณีที่การแปลงที่เกี่ยวข้องขึ้นอยู่กับ พารามิเตอร์จำนวนจำกัดมากกว่าคำจำกัดความร่วมสมัยผ่านทางแมนิโฟลด์ (manifolds ) หนึ่งในความสำเร็จของ Cartan คือการชี้แจงประเด็นที่เกี่ยวข้อง รวมถึงประเด็นที่ว่ากลุ่มลีเฉพาะที่ก่อให้เกิด กลุ่ม ทั่วโลก (global group) เสมอ ในความหมายปัจจุบัน (ซึ่งเป็นอนาล็อกของทฤษฎีบทที่สามของ Lieเกี่ยวกับพีชคณิตลีที่กำหนดกลุ่ม) กลุ่มเชิงรูปธรรม (formal group ) เป็นอีกแนวทางหนึ่งในการกำหนดกลุ่มลีในระดับอนันต์ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่ากลุ่มทางทอพอโลยีเฉพาะที่ไม่จำเป็นต้องมีคู่เทียบทั่วโลก เสมอไป

ตัวอย่างของกลุ่มเสมือนมิติอนันต์มีอยู่มากมาย เริ่มต้นจากกลุ่มเสมือนของการแปลงเชิงอนุพันธ์ ทั้งหมด ของEความสนใจส่วนใหญ่จะอยู่ที่กลุ่มเสมือนย่อยของการแปลงเชิงอนุพันธ์ และด้วยเหตุนี้จึงสนใจวัตถุที่มีพีชคณิตลีที่เทียบเคียงได้กับฟิลด์เวกเตอร์ วิธีการที่เสนอโดย Lie และ Cartan สำหรับการ ศึกษาวัตถุเหล่านี้ได้กลายเป็นสิ่งที่ใช้งานได้จริงมากขึ้นเนื่องจากความก้าวหน้าของพีชคณิตคอมพิวเตอร์

ในช่วงทศวรรษ 1950 ทฤษฎีของ Cartan ได้รับการปรับปรุงใหม่โดยShiing-Shen Chernและทฤษฎีการเปลี่ยนรูป ทั่วไป สำหรับกลุ่มเทียมได้รับการพัฒนาโดยKunihiko Kodaira ^{[ 7 ]}และDC Spencer [ ^{8 ] ใน}ช่วงทศวรรษ 1960 พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี ถูกนำไปใช้กับคำถาม PDEพื้นฐานของการกำหนดเกิน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เผยให้เห็นว่าพีชคณิตของทฤษฎีอาจมีน้ำหนักมาก ในทศวรรษเดียวกัน ความสนใจในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีของทฤษฎี Lie มิติอนันต์ปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรกในรูปแบบของพีชคณิตกระแส

โดยสัญชาตญาณแล้วกลุ่มเทียมของ Lieควรจะเป็นกลุ่มเทียมที่ "กำเนิด" มาจากระบบของ PDE มีแนวคิดที่คล้ายคลึงกันแต่ไม่เท่ากันมากมายในเอกสาร^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}แนวคิดที่ "ถูกต้อง" ขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้ที่เราต้องการ อย่างไรก็ตาม แนวทางต่างๆ เหล่านี้ล้วนเกี่ยวข้องกับกลุ่มเจ็ต (มิติจำกัดหรืออนันต์) ของ Γ ซึ่งถูกขอให้เป็นกลุ่มเทียมของ Lieโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มเทียมของ Lie เรียกว่ามีอันดับจำกัดkถ้าสามารถ "สร้างใหม่" ได้จากปริภูมิของk-เจ็ต

• Alekseevskii, DV (2001) [1994], "กลุ่มเทียม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press