ในทฤษฎีระบบระบบเชิงเส้นคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้นระบบเชิงเส้นมักแสดงคุณลักษณะและคุณสมบัติที่เรียบง่ายกว่า กรณี ที่ไม่เป็นเชิงเส้น มาก ในฐานะที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์หรือการทำให้เป็นอุดมคติ ระบบเชิงเส้นมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติการประมวลผลสัญญาณและโทรคมนาคมตัวอย่างเช่น สื่อกลางการแพร่กระจายสำหรับระบบสื่อสารไร้สายมักสามารถจำลองได้ด้วยระบบเชิงเส้น

ระบบเชิงกำหนดทั่วไปสามารถอธิบายได้ด้วยตัวดำเนินการHซึ่งแปลงอินพุตx ( t )เป็นฟังก์ชันของtไปเป็นเอาต์พุตy ( t ) ซึ่ง เป็นการอธิบาย แบบกล่องดำชนิดหนึ่ง

ระบบจะเป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเป็นไปตามหลักการซ้อนทับหรือเทียบเท่ากับคุณสมบัติการบวกและความเป็นเอกรูปโดยไม่มีข้อจำกัด (นั่นคือ สำหรับอินพุตทั้งหมด ค่าคงที่การปรับขนาดทั้งหมด และเวลาทั้งหมด) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

หลักการซ้อนทับหมายความว่าการรวมเชิงเส้นของอินพุตไปยังระบบจะสร้างการรวมเชิงเส้นของเอาต์พุตสถานะศูนย์แต่ละรายการ (นั่นคือ เอาต์พุตที่กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) ที่สอดคล้องกับอินพุตแต่ละรายการ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ในระบบที่ตรงตามคุณสมบัติความเป็นเนื้อเดียวกัน การปรับขนาดอินพุตจะส่งผลให้การตอบสนองสถานะศูนย์ถูกปรับขนาดด้วยปัจจัยเดียวกันเสมอ^{[ 6 ]}ในระบบที่ตรงตามคุณสมบัติการบวก การเพิ่มอินพุตสองตัวจะส่งผลให้การตอบสนองสถานะศูนย์สองตัวที่สอดคล้องกันเนื่องจากอินพุตแต่ละตัวถูกบวกเข้าด้วยกันเสมอ^{[ 6 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ สำหรับระบบเวลาต่อเนื่อง เมื่อกำหนดอินพุตสองตัวใดๆ รวมถึงเอาต์พุตสถานะศูนย์ที่เกี่ยวข้อง ระบบเชิงเส้นจะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ สำหรับค่าสเกลาร์αและβ ใดๆ สำหรับสัญญาณอินพุตx ₁ ( t )และx ₂ ( t ) ใดๆ และสำหรับเวลาt ทั้งหมด$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}$$

จากนั้นระบบจะถูกกำหนดโดยสมการH ( x ( t )) = y ( t )โดยที่y ( t )เป็นฟังก์ชันใดๆ ของเวลา และx ( t )คือสถานะของระบบ เมื่อทราบy ( t )และHแล้วระบบสามารถหาค่าx ( t )ได้

พฤติกรรมของระบบที่เกิดขึ้นเมื่อได้รับอินพุตที่ซับซ้อนสามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลรวมของการตอบสนองต่ออินพุตที่เรียบง่ายกว่า ในระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น จะไม่มีความสัมพันธ์เช่นนั้น คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์นี้ทำให้การแก้สมการแบบจำลองง่ายกว่าระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นหลายระบบ สำหรับระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลานี่คือพื้นฐานของวิธีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นหรือ วิธี การตอบสนองต่อความถี่ (ดูทฤษฎีระบบ LTI ) ซึ่งอธิบายฟังก์ชันอินพุตทั่วไปx ( t )ในรูปของแรงกระตุ้นหน่วยหรือส่วนประกอบความถี่

สม การเชิงอนุพันธ์ทั่วไปของระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์โดยใช้การแปลงลาปลาสใน กรณี ต่อเนื่องและการแปลง Zใน กรณี ไม่ต่อเนื่อง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการใช้งานคอมพิวเตอร์)

อีกมุมมองหนึ่งคือ คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นประกอบด้วยระบบของฟังก์ชันซึ่งทำหน้าที่เหมือนเวกเตอร์ในเชิงเรขาคณิต

การใช้แบบจำลองเชิงเส้นที่พบได้ทั่วไปอย่างหนึ่งคือการอธิบายระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นโดยการแปลงเป็นเชิงเส้นซึ่งโดยปกติแล้วจะทำเพื่อความสะดวกทางคณิตศาสตร์

นิยามก่อนหน้านี้ของระบบเชิงเส้นใช้ได้กับระบบ SISO (อินพุตเดียว เอาต์พุตเดียว) สำหรับระบบ MIMO (อินพุตหลายตัว เอาต์พุตหลายตัว) จะพิจารณาเวกเตอร์สัญญาณอินพุตและเอาต์พุต ( , , , ) แทนสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต ( , , , .) ^{[ 2 ] [ 4 ]}${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{2}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)}$${\displaystyle {\mathbf {y} }_{2}(t)}$${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$${\displaystyle y_{1}(t)}$${\displaystyle y_{2}(t)}$

นิยามของระบบเชิงเส้นนี้คล้ายคลึงกับนิยามของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในแคลคูลัสและการแปลงเชิงเส้นในพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เป็นไป ตามสมการเชิงอนุพันธ์: $${\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}$$

ถ้า เช่นนั้นHเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น เมื่อกำหนดให้y ( t ) = 0 เรา สามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ใหม่ได้เป็นH ( x ( t )) = y ( t )ซึ่งแสดงให้เห็นว่าออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นระบบเชิงเส้น $${\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}$$

ตัวอย่างอื่นๆ ของระบบเชิงเส้น ได้แก่ ระบบที่อธิบายโดย, , , และระบบใดๆ ที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นธรรมดา^{[ 4 ]}ระบบที่อธิบายโดย, , , , , , , และระบบที่มีเอาต์พุตสมมาตรคี่ซึ่งประกอบด้วยบริเวณเชิงเส้นและบริเวณอิ่มตัว (คงที่) เป็นระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น เนื่องจากไม่เป็นไปตามหลักการซ้อนทับเสมอไป^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle y(t)=k\,x(t)}$${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$${\displaystyle y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle y(t)=k}$${\displaystyle y(t)=k\,x(t)+k_{0}}$${\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}$${\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}$${\displaystyle y(t)=x^{2}(t)}$${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$${\displaystyle y(t)=|x(t)|}$

กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเอาต์พุตและอินพุตของระบบเชิงเส้นไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดเสมอไป ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบที่อธิบายโดย(เช่นตัวเก็บประจุ ที่มีค่าความจุคงที่ หรือตัวเหนี่ยวนำ ที่มีค่าความเหนี่ยวนำคงที่ ) ระบบนี้เป็นเชิงเส้นเพราะเป็นไปตามหลักการซ้อนทับ อย่างไรก็ตาม เมื่ออินพุตเป็นสัญญาณไซน์ เอาต์พุตก็จะเป็นสัญญาณไซน์เช่นกัน ดังนั้นกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเอาต์พุตและอินพุตจึงเป็นวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด แทนที่จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$

นอกจากนี้ เอาต์พุตของระบบเชิงเส้นอาจมีฮาร์โมนิก (และมี ความถี่พื้นฐานน้อยกว่าอินพุต) แม้ว่าอินพุตจะเป็นไซน์ก็ตาม ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบที่อธิบายโดยมันเป็นเชิงเส้นเพราะมันสอดคล้องกับหลักการซ้อนทับ อย่างไรก็ตาม เมื่ออินพุตเป็นไซน์ในรูปแบบโดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแบบผลคูณเป็นผลบวกจะสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าเอาต์พุตคือนั่นคือ เอาต์พุตไม่ได้ประกอบด้วยเฉพาะไซน์ที่มีความถี่เดียวกันกับอินพุต ( 3 เรเดียน/วินาที ) เท่านั้น แต่ยังประกอบด้วยไซน์ที่มีความถี่2 เรเดียน/วินาทีและ4 เรเดียน/วินาทีด้วย ยิ่งไปกว่านั้น การหาตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของคาบพื้นฐานของไซน์ในเอาต์พุต จะสามารถแสดงได้ว่าความถี่เชิงมุมพื้นฐานของเอาต์พุตคือ1 เรเดียน/วินาทีซึ่งแตกต่างจากของอินพุต ${\displaystyle y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)}$${\displaystyle x(t)=\cos {(3t)}}$${\displaystyle y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}$

ฟังก์ชัน_การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบแปรผันตามเวลาh ( t2 , t1 )ของระบบเชิงเส้น ถูกกำหนดให้เป็นการตอบสนองของระบบ ณ เวลาt = t2 _ต่อแรงกระตุ้นเดี่ยว_ที่ใช้ ณ เวลาt = t1กล่าว อีกนัยหนึ่ง ถ้าอินพุตx ( t )ของระบบเชิงเส้นคือ โดยที่δ( t )แทนฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac _และการตอบสนองy ( t ) ที่สอดคล้องกัน ของระบบคือ แล้วฟังก์ชันh ( t2 , t1 ) คือการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบแปรผันตามเวลาของระบบ เนื่องจากระบบไม่สามารถตอบสนองได้ก่อนที่จะมีการป้อนอินพุต เงื่อนไขความเป็นเหตุเป็นผลต่อไปนี้จะต้องเป็นไปตามที่ _{กำหนด:}$${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})}$$$${\displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})}$$$${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$$

ผลลัพธ์ของระบบเชิงเส้นต่อเนื่องทั่วไปใดๆ จะมีความสัมพันธ์กับอินพุตโดยปริพันธ์ ซึ่งสามารถเขียนได้ในช่วงอนันต์สองเท่าเนื่องจากเงื่อนไขความเป็นเหตุเป็นผล: $${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}$$

ถ้าคุณสมบัติของระบบไม่ขึ้นอยู่กับเวลาที่ใช้งาน ระบบนั้นจะเรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและhจะเป็นฟังก์ชันของผลต่างเวลาτ = t − t' เท่านั้น ซึ่งจะเป็นศูนย์เมื่อτ < 0 (นั่นคือt < t' ) โดยการกำหนดนิยามใหม่ของhจะทำให้สามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตในรูปแบบใดก็ได้ $${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$$

ระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา มักถูกอธิบายด้วยการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันถ่ายโอนดังนี้: $${\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}$$

ในการใช้งานจริง มักจะเป็นฟังก์ชันพีชคณิตเชิง ตรรกะ ของsเนื่องจากh ( t )เป็นศูนย์สำหรับt ที่เป็นลบ อินทิก รัลจึงสามารถเขียนได้เช่นเดียวกันในช่วงอนันต์สองเท่า และการแทนค่าs = iωจะได้สูตรสำหรับฟังก์ชันการตอบสนองความถี่ : $${\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}$$

เอาต์พุตของระบบเชิงเส้นแบบเวลาไม่ต่อเนื่องใดๆ จะมีความสัมพันธ์กับอินพุตโดยผลรวมคอนโวลูชันที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา หรือเทียบเท่ากับระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาโดยการกำหนดhใหม่ โดยที่แทนเวลาหน่วงระหว่างสิ่งเร้า ณ เวลาmและการตอบสนอง ณเวลา n$${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}$$$${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$$$${\displaystyle k=n-m}$$

• ระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน
• การควบคุมเชิงเส้น
• ระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
• ระบบไม่เชิงเส้น
• การวิเคราะห์ระบบ
• ระบบสมการเชิงเส้น