วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 12 นาที

รายการอินทิกรัลของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ต่อไปนี้คือรายการของ อินทิกรัล ( ฟังก์ชัน ปฏิอนุพันธ์ ) ของ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก สำหรับรายการฟังก์ชันอินทิกรัลทั้งหมด โปรดดู ที่ รายการอินทิกรั ล

รายการอินทิกรัลของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ต่อไปนี้คือรายการของอินทิกรัล ( ฟังก์ชัน ปฏิอนุพันธ์ ) ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกสำหรับรายการฟังก์ชันอินทิกรัลทั้งหมด โปรดดูที่ รายการอินทิกรัล

ในสูตรทั้งหมด ค่าคงที่aถือว่าไม่เป็นศูนย์ และC แทนค่าคงที่ของการอินทิเกรต

อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับฟังก์ชันไซน์ไฮเปอร์โบลิกเท่านั้น

  • ∫สินห์⁡เอxงx=1เอไม้กระบอง⁡เอx+ซี{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}
  • ∫สินห์2⁡เอxงx=14เอสินห์⁡2เอx−x2+ซี{\displaystyle \int \sinh ^{2}ขวาน\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax-{\frac {x}{2}}+C}
  • ∫สินห์n⁡เอxงx={1เอn(สินห์n−1⁡เอx)(ไม้กระบอง⁡เอx)−n−1n∫สินห์n−2⁡เอxงx,n>01เอ(n+1)(สินห์n+1⁡เอx)(ไม้กระบอง⁡เอx)−n+2n+1∫สินห์n+2⁡เอxงx,n<0,n≠−1{\displaystyle \int \sinh ^{n}ax\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{an}}(\sinh ^{n-1}ax)(\cosh ax)-{\frac {n-1}{n}}\displaystyle \int \sinh ^{n-2}ax\,dx,&n>0\\{\frac {1}{a(n+1)}}(\sinh ^{n+1}ax)(\cosh ax)-{\frac {n+2}{n+1}}\displaystyle \int \sinh ^{n+2}ax\,dx,&n<0,n\neq -1\end{cases}}}
  • ∫งxสินห์⁡เอx=1เอln⁡|ตันห์⁡เอx2|+ซี=1เอln⁡|ไม้กระบอง⁡เอx−1สินห์⁡เอx|+ซี=1เอln⁡|สินห์⁡เอxไม้กระบอง⁡เอx+1|+ซี=12เอln⁡|ไม้กระบอง⁡เอx−1ไม้กระบอง⁡เอx+1|+ซี{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sinh ax}}&={\frac {1}{a}}\ln \left|\tanh {\frac {ax}{2}}\right|+C\\&={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\sinh ax}}\right|+C\\&={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\sinh ax}{\cosh ax+1}}\right|+C\\&={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\cosh ax+1}}\right|+C\end{aligned}}}
  • ∫งxสินห์n⁡เอx=−ไม้กระบอง⁡เอxเอ(n−1)สินห์n−1⁡เอx−n−2n−1∫งxสินห์n−2⁡เอx(สำหรับ n≠1){\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh ^{n}ax}}=-{\frac {\cosh ax}{a(n-1)\sinh ^{n-1}ax}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\เอ็มบ็อกซ์{)}}}
  • ∫xสินห์⁡เอxงx=1เอxไม้กระบอง⁡เอx−1เอ2สินห์⁡เอx+ซี{\displaystyle \int x\sinh ขวาน\,dx={\frac {1}{a}}x\cosh ขวาน-{\frac {1}{a^{2}}}\sinh ขวาน+C}
  • ∫(สินห์⁡เอx)(สินห์⁡ขx)งx=1เอ2−ข2(เอ(สินห์⁡ขx)(ไม้กระบอง⁡เอx)−ข(ไม้กระบอง⁡ขx)(สินห์⁡เอx))+ซี(สำหรับ เอ2≠ข2){\displaystyle \int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh bx)(\cosh ax)-b(\cosh bx)(\sinh ax){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq ข^{2}{\mbox{)}}}

อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับฟังก์ชันโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกเท่านั้น

  • ∫ไม้กระบอง⁡เอxงx=1เอสินห์⁡เอx+ซี{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}
  • ∫ไม้กระบอง2⁡เอxงx=14เอสินห์⁡2เอx+x2+ซี{\displaystyle \int \cosh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax+{\frac {x}{2}}+C}
  • ∫ไม้กระบองn⁡เอxงx={1เอn(สินห์⁡เอx)(ไม้กระบองn−1⁡เอx)+n−1n∫ไม้กระบองn−2⁡เอxงx,n>0−1เอ(n+1)(สินห์⁡เอx)(ไม้กระบองn+1⁡เอx)+n+2n+1∫ไม้กระบองn+2⁡เอxงx,n<0,n≠−1{\displaystyle \int \cosh ^{n}ax\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{an}}(\sinh ax)(\cosh ^{n-1}ax)+{\frac {n-1}{n}}\displaystyle \int \cosh ^{n-2}ax\,dx,&n>0\\-{\frac {1}{a(n+1)}}(\sinh ax)(\cosh ^{n+1}ax)+{\frac {n+2}{n+1}}\displaystyle \int \cosh ^{n+2}ax\,dx,&n<0,n\neq -1\end{cases}}}
  • ∫งxไม้กระบอง⁡เอx=2เออาร์คตัน⁡อีเอx+ซี=1เออาร์คตัน⁡(สินห์⁡เอx)+ซี{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\cosh ax}}&={\frac {2}{a}}\arctan e^{ax}+C\\&={\frac {1}{a}}\arctan(\sinh ax)+C\end{aligned}}}
  • ∫งxไม้กระบองn⁡เอx=สินห์⁡เอxเอ(n−1)ไม้กระบองn−1⁡เอx+n−2n−1∫งxไม้กระบองn−2⁡เอx(สำหรับ n≠1){\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh ^{n}ax}}={\frac {\sinh ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(สำหรับ }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  • ∫xไม้กระบอง⁡เอxงx=1เอxสินห์⁡เอx−1เอ2ไม้กระบอง⁡เอx+ซี{\displaystyle \int x\cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\sinh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\cosh ax+C}
  • ∫x2ไม้กระบอง⁡เอxงx=−2xไม้กระบอง⁡เอxเอ2+(x2เอ+2เอ3)สินห์⁡เอx+ซี{\displaystyle \int x^{2}\cosh ax\,dx=-{\frac {2x\cosh ax}{a^{2}}}+\left({\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right)\sinh ax+C}
  • ∫(ไม้กระบอง⁡เอx)(ไม้กระบอง⁡ขx)งx=1เอ2−ข2(เอ(สินห์⁡เอx)(ไม้กระบอง⁡ขx)−ข(สินห์⁡ขx)(ไม้กระบอง⁡เอx))+ซี(สำหรับ เอ2≠ข2){\displaystyle \int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\cosh bx)-b(\sinh bx)(\cosh ax){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}
  • ∫งx1+ไม้กระบอง⁡(เอx)=2เอ11+อี−เอx+ซี{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cosh(ax)}}={\frac {2}{a}}{\frac {1}{1+e^{-ax}}}+C\quad }หรือ2เอ{\displaystyle {\frac {2}{a}}}ฟังก์ชันโลจิสติกส์ ครั้ง

อินทิกรัลอื่นๆ

อินทิกรัลของฟังก์ชันแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ และโคซีแคนต์

  • ∫ตันห์⁡xงx=ln⁡ไม้กระบอง⁡x+ซี{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C}
  • ∫ตันห์2⁡เอxงx=x−ตันห์⁡เอxเอ+ซี{\displaystyle \int \tanh ^{2}ax\,dx=x-{\frac {\tanh ax}{a}}+C}
  • ∫ตันห์n⁡เอxงx=−1เอ(n−1)ตันห์n−1⁡เอx+∫ตันห์n−2⁡เอxงx(สำหรับ n≠1){\displaystyle \int \tanh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\tanh ^{n-1}ax+\int \tanh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  • ∫เสื้อคลุม⁡xงx=ln⁡|สินห์⁡x|+ซี, สำหรับ x≠0{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
  • ∫เสื้อคลุมn⁡เอxงx=−1เอ(n−1)เสื้อคลุมn−1⁡เอx+∫เสื้อคลุมn−2⁡เอxงx(สำหรับ n≠1){\displaystyle \int \coth ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\coth ^{n-1}ax+\int \coth ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
  • ∫เซชxงx=อาร์คตัน(สินห์⁡x)+ซี{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
  • ∫ซีเอสเคxงx=ln⁡|ตันห์⁡x2|+ซี=ln⁡|เสื้อคลุม⁡x−ซีเอสเค⁡x|+ซี, สำหรับ x≠0{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C=\ln \left|\coth {x}-\operatorname {csch} {x}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}

อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก

  • ∫(ไม้กระบอง⁡เอx)(สินห์⁡ขx)งx=1เอ2−ข2(เอ(สินห์⁡เอx)(สินห์⁡ขx)−ข(ไม้กระบอง⁡เอx)(ไม้กระบอง⁡ขx))+ซี(สำหรับ เอ2≠ข2){\displaystyle \int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\sinh bx)-b(\cosh ax)(\cosh bx){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}
  • ∫ไม้กระบองn⁡เอxสินห์ม⁡เอxงx=ไม้กระบองn−1⁡เอxเอ(n−ม)สินห์ม−1⁡เอx+n−1n−ม∫ไม้กระบองn−2⁡เอxสินห์ม⁡เอxงx(สำหรับ ม≠n)=−ไม้กระบองn+1⁡เอxเอ(ม−1)สินห์ม−1⁡เอx+n−ม+2ม−1∫ไม้กระบองn⁡เอxสินห์ม−2⁡เอxงx(สำหรับ ม≠1)=−ไม้กระบองn−1⁡เอxเอ(ม−1)สินห์ม−1⁡เอx+n−1ม−1∫ไม้กระบองn−2⁡เอxสินห์ม−2⁡เอxงx(สำหรับ ม≠1){\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}\,dx&={\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(n-m)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\\&=-{\frac {\cosh ^{n+1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\&=-{\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\end{aligned}}}
  • ∫สินห์ม⁡เอxไม้กระบองn⁡เอxงx=สินห์ม−1⁡เอxเอ(ม−n)ไม้กระบองn−1⁡เอx+ม−1n−ม∫สินห์ม−2⁡เอxไม้กระบองn⁡เอxงx(สำหรับ ม≠n)=สินห์ม+1⁡เอxเอ(n−1)ไม้กระบองn−1⁡เอx+ม−n+2n−1∫สินห์ม⁡เอxไม้กระบองn−2⁡เอxงx(สำหรับ n≠1)=−สินห์ม−1⁡เอxเอ(n−1)ไม้กระบองn−1⁡เอx+ม−1n−1∫สินห์ม−2⁡เอxไม้กระบองn−2⁡เอxงx(สำหรับ n≠1){\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}\,dx&={\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(m-n)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-m}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\\&={\frac {\sinh ^{m+1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\\&=-{\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\end{aligned}}}

อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและตรีโกณมิติ

  • ∫สินห์⁡(เอx+ข)บาป⁡(ซีx+ง)งx=เอเอ2+ซี2ไม้กระบอง⁡(เอx+ข)บาป⁡(ซีx+ง)−ซีเอ2+ซี2สินห์⁡(เอx+ข)คอส⁡(ซีx+ง)+ซี{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C}
  • ∫สินห์⁡(เอx+ข)คอส⁡(ซีx+ง)งx=เอเอ2+ซี2ไม้กระบอง⁡(เอx+ข)คอส⁡(ซีx+ง)+ซีเอ2+ซี2สินห์⁡(เอx+ข)บาป⁡(ซีx+ง)+ซี{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C}
  • ∫ไม้กระบอง⁡(เอx+ข)บาป⁡(ซีx+ง)งx=เอเอ2+ซี2สินห์⁡(เอx+ข)บาป⁡(ซีx+ง)−ซีเอ2+ซี2ไม้กระบอง⁡(เอx+ข)คอส⁡(ซีx+ง)+ซี{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C}
  • ∫ไม้กระบอง⁡(เอx+ข)คอส⁡(ซีx+ง)งx=เอเอ2+ซี2สินห์⁡(เอx+ข)คอส⁡(ซีx+ง)+ซีเอ2+ซี2ไม้กระบอง⁡(เอx+ข)บาป⁡(ซีx+ง)+ซี{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C}

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ รายการอินทิกรัลของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

ต่อไปนี้คือรายการของ อินทิกรัล ( ฟังก์ชัน ปฏิอนุพันธ์ ) ของ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก สำหรับรายการฟังก์ชันอินทิกรัลทั้งหมด โปรดดู ที่ รายการอินทิกรั ล

อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับฟังก์ชันไซน์ไฮเปอร์โบลิกเท่านั้น

\\int\\sinh ax\\,dx = \\frac{1}{a}\\cosh ax+C \n* \\int\\sinh^2 ax\\,dx = \\frac{1}{4a}\\sinh 2ax - \\frac{x}{2}+C \n* \\int\\sinh^n ax\\,dx = \\begin{cases}\n \\frac{1}{an}(\\sinh^{n-1} ax)(\\cosh ax) - \\frac{n-1}{n}\\displaystyle\\int\\sinh^{n-2} ax\\,dx,...

อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับฟังก์ชันโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกเท่านั้น

\\int\\cosh ax\\,dx = \\frac{1}{a}\\sinh ax+C \n* \\int\\cosh^2 ax\\,dx = \\frac{1}{4a}\\sinh 2ax + \\frac{x}{2}+C \n* \\int\\cosh^n ax\\,dx = \\begin{cases}\n \\frac{1}{an}(\\sinh ax)(\\cosh^{n-1} ax) + \\frac{n-1}{n}\\displaystyle\\int\\cosh^{n-2} ax\\,dx,...

อินทิกรัลของฟังก์ชันแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ และโคซีแคนต์

\\int \\tanh x \\, dx = \\ln \\cosh x + C \n* \\int\\tanh^2 ax\\,dx = x - \\frac{\\tanh ax}{a}+C \n* \\int \\tanh^n ax\\,dx = -\\frac{1}{a(n-1)}\\tanh^{n-1} ax+\\int\\tanh^{n-2} ax\\,dx \\qquad\\mbox{(for }n\\neq 1\\mbox{)} \n* \\int \\coth x \\, dx = \\ln|...