ในทางสถิติการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบหลายตัวแปร ( MANOVA ) เป็นกระบวนการสำหรับการเปรียบเทียบ^ค่า เฉลี่ยตัวอย่าง แบบหลายตัวแปรในฐานะที่เป็นกระบวนการแบบหลายตัวแปร จึงใช้เมื่อมีตัวแปรตาม สองตัวขึ้นไป [ ^{1 ]}และมักจะตามด้วยการทดสอบนัยสำคัญที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตามแต่ละตัวแยกกัน^{[ 2 ]}

หากไม่เกี่ยวข้องกับภาพ ตัวแปรตามอาจเป็นคะแนนความพึงพอใจในชีวิต k คะแนนที่วัด ณจุดเวลา ต่อเนื่องกัน และคะแนนความพึงพอใจในงาน p คะแนนที่วัด ณ จุดเวลาต่อเนื่องกัน ในกรณีนี้จะมีตัวแปรตาม k+p ตัว ซึ่งการรวมกันเชิงเส้น ของตัวแปรเหล่านี้ เป็นไปตามการแจกแจงปกติ แบบหลาย ตัวแปร ความเป็นเอกรูปของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบหลายตัวแปร และความสัมพันธ์เชิงเส้น ไม่มีภาวะความสัมพันธ์ร่วมเชิงเส้น และแต่ละตัวไม่มีค่าผิดปกติ

สมมติว่ามีการสังเกตการณ์แบบ n มิติ โดยการสังเกตการณ์ที่'th ถูกกำหนดให้กับกลุ่มและกระจายอยู่รอบจุดศูนย์กลางของกลุ่มด้วย สัญญาณรบกวน แบบเกาส์เซียนหลายตัวแปร : โดยที่คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม จากนั้นเรากำหนด สมมติฐานว่างของเราเป็น ${\textstyle n}$${\textstyle q}$${\textstyle i}$${\textstyle y_{i}}$${\textstyle g(i)\in \{1,\dots ,m\}}$${\textstyle \mu ^{(g(i))}\in \mathbb {R} ^{q}}$$${\displaystyle y_{i}=\mu ^{(g(i))}+\varepsilon _{i}\quad \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}_{q}(0,\Sigma )\quad {\text{ สำหรับ }}i=1,\dots ,n,}$$${\textstyle \Sigma }$$${\displaystyle H_{0}\!:\;\mu ^{(1)}=\mu ^{(2)}=\dots =\mu ^{(m)}.}$$

MANOVA เป็นรูปแบบทั่วไปของการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบ ตัวแปรเดียว (ANOVA) ^{[ 1 ]}แม้ว่าต่างจากANOVA แบบตัวแปรเดียวตรงที่ใช้ความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรผลลัพธ์ในการทดสอบนัยสำคัญทางสถิติของความแตกต่างของค่าเฉลี่ย

ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบตัวแปรเดียว ผลรวมของกำลังสองจะปรากฏในการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบหลายตัวแปรในขณะที่ ในการวิเคราะห์ความ แปรปรวนแบบหลายตัวแปร เมทริกซ์บวกกำหนดบางประเภทจะปรากฏขึ้น ค่าในแนวทแยงมุมจะเป็นผลรวมของกำลังสองประเภทเดียวกับที่ปรากฏในการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบตัวแปรเดียว ส่วนค่าที่อยู่นอกแนวทแยงมุมจะเป็นผลรวมของผลคูณที่สอดคล้องกัน ภายใต้สมมติฐานเรื่องความปกติของ การกระจายของ ความคลาดเคลื่อน ค่าที่เทียบเท่ากับผลรวมของกำลังสองเนื่องจากความคลาดเคลื่อนจะมีการกระจายแบบวิชาร์ต

ขั้นแรก ให้กำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้: ${\textstyle n\times q}$

• ${\textstyle Y}$: โดยที่แถวที่ -th เท่ากับ${\textstyle i}$${\textstyle y_{i}}$

• ${\textstyle {\hat {Y}}}$โดยที่แถวที่ -th คือค่าทำนายที่ดีที่สุดเมื่อพิจารณาจากสมาชิกภาพในกลุ่มนั่นคือค่าเฉลี่ยของการสังเกตทั้งหมดในกลุ่ม: .${\textstyle i}$${\textstyle g(i)}$${\textstyle g(i)}$${\textstyle {\frac {1}{{\text{ขนาดของกลุ่ม }}g(i)}}\sum _{k:g(k)=g(i)}y_{k}}$

• ${\textstyle {\bar {Y}}}$โดยที่แถวที่ i คือค่าทำนายที่ดีที่สุดเมื่อไม่มีข้อมูลใดๆ นั่นคือค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์ จาก ข้อมูลสังเกตทั้งหมด${\textstyle i}$${\textstyle n}$${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}y_{k}}$

จากนั้นเมทริกซ์จะเป็นการวางนัยทั่วไปของผลรวมกำลังสองที่อธิบายโดยกลุ่ม และเป็นการวางนัยทั่วไปของผล รวมกำลัง สองของส่วนเหลือ^{[ 3 ] [ 4 ]} โปรดทราบว่าอีกทางหนึ่งเราอาจพูดถึงความแปรปรวนร่วมเมื่อเมทริกซ์ที่กล่าวถึงข้างต้นถูกปรับขนาดด้วย 1/(n-1) เนื่องจากสถิติการทดสอบที่ตามมาจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน ${\textstyle S_{\text{model}}:=({\hat {Y}}-{\bar {Y}})^{T}({\hat {Y}}-{\bar {Y}})}$${\textstyle S_{\text{res}}:=(Y-{\hat {Y}})^{T}(Y-{\hat {Y}})}$${\textstyle S_{\text{model}}}$${\textstyle S_{\text{res}}}$

สถิติ ที่พบบ่อยที่สุด^{[ 3 ] [ 5 ]}คือสรุปตามราก (หรือค่าลักษณะเฉพาะ) ของเมทริกซ์${\textstyle \lambda _{p}}$${\textstyle A:=S_{\text{model}}S_{\text{res}}^{-1}}$

• ซามูเอล สแตนลีย์ วิลค์ส ' กระจายตัวเป็นแลมบ์ดา (Λ)${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$
• ร่องรอย KC ^Sreedharan Pillai – MS Bartlett [ ^{6 ]}${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$
• เส้นทางLawley – Hotelling​${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• รากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของรอย (หรือเรียกอีกอย่างว่ารากที่ใหญ่ที่สุดของรอย )${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปเกี่ยวกับข้อดีข้อเสียของแต่ละข้อ^{[ 1 ]}แม้ว่ารากที่มากที่สุดจะนำไปสู่ขอบเขตของนัยสำคัญซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่น่าสนใจในทางปฏิบัติ ความซับซ้อนเพิ่มเติมคือ ยกเว้นรากที่มากที่สุดของรอย การกระจายของสถิติเหล่านี้ภายใต้สมมติฐานว่างนั้นไม่ตรงไปตรงมาและสามารถประมาณได้เท่านั้น ยกเว้นในกรณีมิติที่ต่ำกว่าไม่กี่กรณี อัลกอริทึมสำหรับการกระจายของรากที่ใหญ่ที่สุดของรอยภายใต้สมมติฐานว่างได้รับการพัฒนาใน^{[ 7 ]}ในขณะที่การกระจายภายใต้สมมติฐานทางเลือกได้รับการศึกษาใน^{[ 8 ]}

ค่าประมาณของแลมบ์ดาของวิลค์ที่เป็นที่รู้จักดีที่สุด นั้นได้มาจาก CR Rao

ในกรณีที่มีสองกลุ่ม สถิติทั้งหมดจะเท่ากัน และการทดสอบจะลดลงเหลือเพียงการทดสอบT-square ของ Hotelling

นอกจากนี้ยังสามารถทดสอบได้ว่ามีผลกระทบจากกลุ่มหรือไม่หลังจากปรับค่าตัวแปรควบคุมแล้ว สำหรับขั้นตอนนี้ ให้ทำตามขั้นตอนข้างต้น แต่แทนที่ด้วยการคาดการณ์ของแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปที่มีกลุ่มและตัวแปรควบคุม และแทนที่ด้วยการคาดการณ์ของแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไปที่มีเฉพาะตัวแปรควบคุม (และค่าคงที่) จากนั้นคือผลรวมกำลังสองเพิ่มเติมที่อธิบายโดยการเพิ่มข้อมูลการจัดกลุ่ม และคือผลรวมกำลังสองที่เหลือของแบบจำลองที่มีการจัดกลุ่มและตัวแปรควบคุม^{[ 4 ]}${\textstyle {\hat {Y}}}$${\textstyle {\bar {Y}}}$${\textstyle S_{\text{model}}}$${\textstyle S_{\text{res}}}$

โปรดทราบว่าในกรณีที่ข้อมูลไม่สมดุล ลำดับการเพิ่มตัวแปรเสริมมีความสำคัญ

กำลังของ MANOVA ได้รับผลกระทบจากความสัมพันธ์ของตัวแปรตามและขนาดผลกระทบที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อมีสองกลุ่มและสองตัวแปรตาม กำลังของ MANOVA จะต่ำที่สุดเมื่อความสัมพันธ์เท่ากับอัตราส่วนของขนาดผลกระทบมาตรฐานที่เล็กกว่าต่อขนาดผลกระทบมาตรฐานที่ใหญ่กว่า^{[ 9 ]}

• การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบเรียงสับเปลี่ยนสำหรับทางเลือกที่ไม่ใช่พาราเมตริก
• การวิเคราะห์ฟังก์ชันจำแนก
• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบแคนอนิกัล
• การวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบหลายตัวแปร (Wikiversity)
• การออกแบบการวัดซ้ำ

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบหลายตัวแปร