ในสถิติแบบเบย์เซียนค่าประมาณสูงสุดภายหลัง ( MAP ) ของปริมาณที่ไม่ทราบค่า คือค่าฐานนิยมของความหนาแน่นภายหลัง MAP สามารถใช้เพื่อหาค่าประมาณจุดของปริมาณที่ไม่สามารถสังเกตได้บนพื้นฐานของข้อมูลเชิงประจักษ์ วิธีนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธี การประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุด (ML) แต่ใช้เป้าหมายการปรับให้ เหมาะสมที่เสริมเข้ามา ซึ่งรวมถึงความหนาแน่นก่อนหน้าของปริมาณที่ต้องการประมาณค่า ดังนั้น การประมาณค่า MAP จึงเป็นการปรับปรุงการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด

สมมติว่าเราต้องการประมาณค่าพารามิเตอร์ประชากรที่ไม่สามารถสังเกตได้${\displaystyle \theta }$บนพื้นฐานของการสังเกตการณ์${\displaystyle x}$. อนุญาต${\displaystyle f}$เป็นการแจกแจงตัวอย่างของ${\displaystyle x}$ดังนั้น${\displaystyle f(x\mid \theta )}$ความน่าจะเป็นของ${\displaystyle x}$เมื่อพารามิเตอร์ประชากรพื้นฐานคือ${\displaystyle \theta }$จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน:

${\displaystyle \theta \mapsto f(x\mid \theta )\!}$

เรียกว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นและค่าประมาณ:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MLE} }(x)={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )\!}$

คือการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของ${\displaystyle \theta }$.

ตอนนี้สมมติว่ามีการแจกแจงแบบก่อนหน้า${\displaystyle g}$เกิน${\displaystyle \theta }$มีอยู่จริง สิ่งนี้ทำให้เราสามารถรักษาได้${\displaystyle \theta }$ในฐานะตัวแปรสุ่ม เช่นเดียว กับในสถิติแบบเบย์เซียนเราสามารถคำนวณความหนาแน่นภายหลังของ${\displaystyle \theta }$โดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ส :

${\displaystyle \theta \mapsto f(\theta \mid x)={\frac {f(x\mid \theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x\mid \vartheta )\,g(\vartheta )\,d\vartheta }}\!}$

ที่ไหน${\displaystyle g}$คือฟังก์ชันความหนาแน่นของ${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle \Theta }$เป็นขอบเขตของ${\displaystyle g}$.

วิธีการประมาณค่าสูงสุดภายหลัง (maximum a posteriori estimation) จะประมาณค่าดังนี้${\displaystyle \theta }$โดยเป็นค่าฐานนิยมของความหนาแน่นความน่าจะเป็นภายหลังของตัวแปรสุ่มนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)&={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(\theta \mid x)\\&={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ {\frac {f(x\mid \theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x\mid \vartheta )\,g(\vartheta )\,d\vartheta }}\\&={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )\,g(\theta ).\end{aligned}}\!}$

ตัวหารของความหนาแน่นภายหลัง ( ความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลของแบบจำลอง) จะเป็นค่าบวกเสมอและไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \theta }$ดังนั้นจึงไม่มีบทบาทในการปรับให้เหมาะสม สังเกตว่าค่าประมาณ MAP ของ${\displaystyle \theta }$สอดคล้องกับการประมาณค่า ML เมื่อค่าก่อนหน้า${\displaystyle g}$มีความสม่ำเสมอ (เช่น${\displaystyle g}$เป็นฟังก์ชันคงที่ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่ใช้การแจกแจงก่อนหน้าเป็นมาตรวัดอ้างอิง ดังเช่นที่พบได้ทั่วไปในการประยุกต์ใช้ในพื้นที่ฟังก์ชัน

ในบริบทของตัวประมาณค่าแบบเบย์ส MAP สามารถกู้คืนได้โดยการหาค่าต่ำสุดของความเสี่ยงแบบเบย์สด้วยฟังก์ชันความเสี่ยง

${\displaystyle L(\theta ,a)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|a-\theta |<c,\\1,&{\text{otherwise}},\\\end{cases}}}$

ในขีดจำกัดเมื่อ${\displaystyle c}$มีค่าเข้าใกล้ 0 โดยมีเงื่อนไขว่าการกระจายตัวของ${\displaystyle \theta }$เป็นแบบกึ่งเว้า^{[ 1 ]}โดยทั่วไปแล้ว ตัวประมาณค่า MAP ไม่ใช่ตัวประมาณค่าแบบเบย์เว้นแต่${\displaystyle \theta }$เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

สามารถคำนวณค่าประมาณ MAP ได้หลายวิธี:

1. ในเชิงวิเคราะห์ เมื่อค่าฐานนิยมของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลังสามารถแสดงได้ในรูปแบบปิดนี่คือกรณีที่ใช้ไพรเออร์แบบสังยุค
2. โดยใช้วิธีการปรับปรุงประสิทธิภาพเชิงตัวเลข เช่นวิธีการไล่ระดับเชิงสังยุคหรือวิธีของนิวตัน ซึ่งโดยปกติแล้วจะต้องใช้ ค่าอนุพันธ์อันดับหนึ่งหรืออันดับสองที่ต้องคำนวณหาค่าโดยวิธีวิเคราะห์หรือวิธีเชิงตัวเลข
3. โดยใช้การปรับเปลี่ยนอัลกอริธึมการคาดการณ์และการทำให้สูงสุด (expectation-maximization algorithm ) ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้ค่าอนุพันธ์ของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลัง (posterior density)
4. โดยใช้วิธี Monte Carloโดยใช้การจำลองการอบอ่อน (simulated annealing)

แม้ว่าเงื่อนไขเพียงเล็กน้อยก็เพียงพอสำหรับการประมาณค่า MAP ให้เป็นกรณีจำกัดของการประมาณค่าแบบเบย์ (ภายใต้ฟังก์ชันการสูญเสีย 0–1) ^{[ 1 ]}แต่ก็ไม่ได้เป็นตัวแทนของวิธีการแบบเบย์โดยทั่วไป เนื่องจากการประมาณค่า MAP เป็นการประมาณค่าแบบจุด และขึ้นอยู่กับการเลือกมาตรวัดอ้างอิงโดยพลการ ในขณะที่วิธีการแบบเบย์มีลักษณะเฉพาะคือการใช้การแจกแจงเพื่อสรุปข้อมูลและอนุมาน ดังนั้น วิธีการแบบเบย์จึงมักรายงานค่าเฉลี่ยหรือค่ามัธยฐาน ภายหลัง แทน พร้อมกับช่วงความน่าเชื่อถือทั้งนี้เป็นเพราะตัวประมาณค่าเหล่านี้เหมาะสมที่สุดภายใต้การสูญเสียแบบกำลังสองและการสูญเสียแบบเชิงเส้นตามลำดับ ซึ่งเป็นตัวแทนของฟังก์ชันการสูญเสีย ทั่วไปมากกว่า และสำหรับการแจกแจงภายหลังแบบต่อเนื่องนั้น ไม่มีฟังก์ชันการสูญเสียใดที่บ่งชี้ว่า MAP เป็นตัวประมาณค่าแบบจุดที่เหมาะสมที่สุด

ในแบบจำลองหลายประเภท เช่นแบบจำลองผสม (mixture models ) ค่าความน่าจะเป็นภายหลัง (posterior) อาจมีหลายค่าสูงสุด (multi-modal ) ในกรณีเช่นนี้ คำแนะนำทั่วไปคือควรเลือกค่าสูงสุดที่มีค่าสูงสุด: แต่นั่นไม่ใช่เรื่องที่ทำได้เสมอไป ( การหาค่าเหมาะสมที่สุดทั่วโลกเป็นปัญหาที่ยาก) หรือในบางกรณีอาจเป็นไปไม่ได้เลย (เช่น เมื่อ เกิดปัญหา เรื่องความสามารถในการระบุตัวตน ) นอกจากนี้ ค่าสูงสุดที่มีค่าสูงสุดอาจไม่เป็นตัวแทนของค่าความน่าจะเป็นภายหลังส่วนใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในหลายมิติ

สุดท้ายนี้ แตกต่างจากตัวประมาณค่า ML การประมาณค่า MAP ไม่คงที่ภายใต้การกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ การเปลี่ยนจากการกำหนดพารามิเตอร์หนึ่งไปเป็นการกำหนดพารามิเตอร์อื่นเกี่ยวข้องกับการแนะนำJacobianที่ส่งผลต่อตำแหน่งของค่าสูงสุด^{[ 2 ]}ในทางตรงกันข้าม ความคาดหวังภายหลังแบบเบย์เซียนคงที่ภายใต้การกำหนดพารามิเตอร์ใหม่

เพื่อเป็นตัวอย่างแสดงความแตกต่างระหว่างตัวประมาณค่าแบบเบย์ที่กล่าวถึงข้างต้น (ตัวประมาณค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน) กับการใช้ค่าประมาณแบบ MAP ให้พิจารณากรณีที่จำเป็นต้องจำแนกประเภทของข้อมูลนำเข้า${\displaystyle x}$โดยอาจเป็นได้ทั้งด้านบวกหรือด้านลบ (ตัวอย่างเช่น สินเชื่อมีความเสี่ยงหรือปลอดภัย) สมมติว่ามีสมมติฐานที่เป็นไปได้เพียงสามข้อเกี่ยวกับวิธีการจำแนกประเภทที่ถูกต้อง${\displaystyle h_{1}}$,${\displaystyle h_{2}}$และ${\displaystyle h_{3}}$โดยมีค่าความน่าจะเป็นภายหลังเท่ากับ 0.4, 0.3 และ 0.3 ตามลำดับ สมมติว่ามีอินสแตนซ์ใหม่หนึ่งตัว${\displaystyle x}$,${\displaystyle h_{1}}$จัดประเภทเป็นบวก ในขณะที่อีกสองประเภทจัดประเภทเป็นลบ โดยใช้ค่าประมาณ MAP สำหรับตัวจำแนกที่ถูกต้อง${\displaystyle h_{1}}$,${\displaystyle x}$ถูกจัดประเภทเป็นบวก ในขณะที่ตัวประมาณค่าแบบเบย์จะหาค่าเฉลี่ยจากสมมติฐานทั้งหมดและจัดประเภทเป็น${\displaystyle x}$ในเชิงลบ

สมมติว่าเราได้รับลำดับหนึ่งมา${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ของIID${\displaystyle N(\mu ,\sigma _{v}^{2})}$ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงก่อนหน้าของ${\displaystyle \mu }$ได้รับจาก ${\displaystyle N(\mu _{0},\sigma _{m}^{2})}$เราต้องการหาค่าประมาณ MAP ของ${\displaystyle \mu }$โปรดทราบว่าการแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงก่อนหน้าแบบสังยุค ของตัวเอง ดังนั้นเราจะสามารถหาคำตอบในรูปแบบปิดได้โดยวิธีการวิเคราะห์

ฟังก์ชันที่จะเพิ่มค่าสูงสุดจะกำหนดโดย^{[ 3 ]}

${\displaystyle g(\mu )f(x\mid \mu )=\pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right),}$

ซึ่งเทียบเท่ากับการลดค่าฟังก์ชันต่อไปนี้ให้เหลือน้อยที่สุด${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma _{m}}}\right)^{2}.}$

ดังนั้น เราจึงเห็นว่าตัวประมาณค่า MAPสำหรับ μ จะได้รับจาก^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{\mathrm {MAP} }={\frac {\sigma _{m}^{2}\,n}{\sigma _{m}^{2}\,n+\sigma _{v}^{2}}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}\right)+{\frac {\sigma _{v}^{2}}{\sigma _{m}^{2}\,n+\sigma _{v}^{2}}}\,\mu _{0}={\frac {\sigma _{m}^{2}\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}\right)+\sigma _{v}^{2}\,\mu _{0}}{\sigma _{m}^{2}\,n+\sigma _{v}^{2}}}.}$

ซึ่งปรากฏว่าเป็นการประมาณค่าเชิงเส้นระหว่างค่าเฉลี่ยก่อนหน้าและค่าเฉลี่ยตัวอย่าง โดยถ่วงน้ำหนักด้วยค่าความแปรปรวนร่วมของแต่ละค่า

กรณีของ${\displaystyle \sigma _{m}\to \infty }$เรียกว่าค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่ให้ข้อมูล และนำไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็น ที่ไม่เหมาะสม ในกรณีนี้${\displaystyle {\hat {\mu }}_{\mathrm {MAP} }\to {\hat {\mu }}_{\mathrm {MLE} }.}$