ให้เป็นกลุ่มจำกัดฟังก์ชัน Mackey สำหรับประกอบด้วย:${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

• สำหรับแต่ละกลุ่มย่อย ซึ่งเป็นกลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle H\leq G}$${\displaystyle M(H)}$
• สำหรับแต่ละคู่ของกลุ่มย่อยที่มี: ${\displaystyle H,K\leq G}$${\displaystyle H\subseteq K}$
  • โฮ โม มอร์ฟิซึมแบบจำกัด${\displaystyle R_{H}^{K}:M(K)\to M(H)}$
  • โฮ โมมอร์ฟิ ซึมการถ่ายโอน${\displaystyle I_{H}^{K}:M(H)\to M(K)}$

แผนที่เหล่านี้ต้องเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

ฟังก์ชันนิตี้ : สำหรับกลุ่มย่อยที่ซ้อนกันและ${\displaystyle H\subseteq K\subseteq L}$${\displaystyle R_{H}^{L}=R_{H}^{K}\circ R_{K}^{L}}$${\displaystyle I_{H}^{L}=I_{K}^{L}\circ I_{H}^{K}}$

การผันคำ : สำหรับและ ใดๆ จะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่เข้ากันได้กับการจำกัดและการถ่ายโอน${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle H\leq G}$${\displaystyle c_{g}:M(H)\to M(gHg^{-1})}$

สูตรโคเซตคู่ : สำหรับกลุ่มย่อยเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle H,K\leq G}$

${\displaystyle R_{H}^{G}I_{K}^{G}=\sum _{x\in [H\backslash G/K]}I_{H\cap xKx^{-1}}^{H}\circ c_{x}\circ R_{x^{-1}Hx\cap K}^{K}}$[ ^{1 ]​}

ในทฤษฎีหมวดหมู่ สมัยใหม่ ฟังก์ชัน Mackey สามารถนิยามได้อย่างสง่างามยิ่งขึ้นโดยใช้ภาษาของspansให้ เป็น quasi-categoryแบบแยกส่วนและเป็น quasi-category แบบบวก ฟังก์ชัน Mackey เป็นฟังก์ชันที่รักษาผลคูณโดยที่เป็น quasi-category ของการสอดคล้องกันใน^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle M:{\text{Span}}({\mathcal {C}})\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\text{Span}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ฟังก์ชัน Mackey มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียรแบบสมมาตรสำหรับสเปกตรัมแท้-spectrum กลุ่มโฮโมโทปีสมมาตรของมันจะก่อให้เกิดฟังก์ชัน Mackey ที่กำหนดโดย:${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \pi _{n}(E):G/H\mapsto [G/H_{+}\wedge S^{n},X]^{G}}$

โดยที่หมายถึงมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่โฮโมโทปีเสถียรแบบสมมาตร^{[ 4 ]}${\displaystyle [-,-]^{G}}$

สำหรับคอมเพล็กซ์ G-CW ที่มีจุดและฟังก์ชัน Mackey เราสามารถกำหนดโคฮอโมโลยีแบบสมมาตรที่มีสัมประสิทธิ์ในได้ดังนี้:${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle H_{G}^{n}(X,A):=H^{n}({\text{Hom}}(C_{\bullet }(X),A))}$

คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของฟังก์ชัน Mackey ที่กำหนดโดยกลุ่มโฮโมโทปี สมมาตรเสถียร ของปริภูมิผลหารอยู่ที่ไหน^{[ 5 ]}${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$