มาตราส่วนของแผนที่คืออัตราส่วน ของระยะทางบน แผนที่ต่อระยะทางที่สอดคล้องกันบนพื้นดิน แนวคิดง่ายๆ นี้ซับซ้อนขึ้นเนื่องจากความโค้งของ พื้นผิว โลกซึ่งทำให้มาตราส่วนแตกต่างกันไปทั่วแผนที่ ด้วยเหตุผลนี้ แนวคิดเรื่องมาตราส่วนจึงมีความหมายในสองแง่มุมที่แตกต่างกัน

วิธีแรกคืออัตราส่วนของขนาดของทรงกลมจำลองต่อขนาดของโลก ทรงกลมจำลองเป็นแบบจำลองเชิงแนวคิดที่โลกถูกย่อส่วนลงไปและใช้เป็นฐานในการฉาย ภาพแผนที่ อัตราส่วนของขนาดโลกต่อขนาดของทรงกลมจำลองเรียกว่ามาตราส่วนนาม (หรือเรียกว่ามาตราส่วนหลักหรือเศษส่วนตัวแทน ) แผนที่หลายฉบับระบุมาตราส่วนนาม และอาจแสดงมาตราส่วนแท่ง (บางครั้งเรียกว่า "มาตราส่วน" เฉยๆ) เพื่อแสดงถึงมาตราส่วนนั้นด้วย

แนวคิดที่สองที่แตกต่างของมาตราส่วนนั้นเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนในแผนที่ โดยเป็นอัตราส่วนของมาตราส่วน ณ จุดที่ทำแผนที่ต่อมาตราส่วนที่กำหนดไว้ ในกรณีนี้ 'มาตราส่วน' หมายถึงตัวประกอบมาตราส่วน (เรียกอีกอย่างว่ามาตราส่วนจุดหรือมาตราส่วนเฉพาะ )

หากบริเวณของแผนที่เล็กพอที่จะละเลยความโค้งของโลก เช่น ในแผนผังเมือง ก็สามารถใช้ค่าเดียวเป็นมาตราส่วนได้โดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการวัด ในแผนที่ที่ครอบคลุมพื้นที่ขนาดใหญ่ หรือทั้งโลก มาตราส่วนของแผนที่อาจมีประโยชน์น้อยลงหรืออาจไม่มีประโยชน์เลยในการวัดระยะทาง การฉายภาพแผนที่จึงมีความสำคัญในการทำความเข้าใจว่ามาตราส่วนเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรทั่วทั้งแผนที่^{[ 1 ] [ 2 ]}เมื่อมาตราส่วนเปลี่ยนแปลงอย่างเห็นได้ชัด ก็สามารถนำมาพิจารณาเป็นปัจจัยมาตราส่วนได้ดัชนีของ Tissotมักใช้เพื่อแสดงการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนจุดทั่วทั้งแผนที่

รากฐานของการกำหนดมาตราส่วนแผนที่เชิงปริมาณย้อนกลับไปถึงจีนโบราณโดยมีหลักฐานทางข้อความที่แสดงให้เห็นว่าแนวคิดเรื่องการกำหนดมาตราส่วนแผนที่นั้นเป็นที่เข้าใจกันตั้งแต่ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช นักสำรวจและนักทำแผนที่ชาวจีนโบราณมีทรัพยากรทางเทคนิคมากมายที่ใช้ในการผลิตแผนที่ เช่นไม้นับ ไม้ ฉากช่างไม้ลูกดิ่งเข็มทิศ สำหรับวาดวงกลม และท่อ เล็งสำหรับวัดความเอียง กรอบอ้างอิงที่กำหนดระบบพิกัดเริ่มต้นสำหรับการระบุตำแหน่งนั้นได้รับการกล่าวถึงโดยนักดาราศาสตร์ชาวจีนโบราณที่แบ่งท้องฟ้าออกเป็นส่วนต่างๆ หรือกลุ่มดวงจันทร์^{[ 3 ]}

เป่ยซิวนักทำแผนที่และนักภูมิศาสตร์ชาวจีนในยุคสามก๊ก ได้สร้างแผนที่พื้นที่ขนาดใหญ่ชุดหนึ่งที่วาดตามมาตราส่วน เขาได้สร้างหลักการชุดหนึ่งที่เน้นความสำคัญของมาตราส่วนที่สม่ำเสมอ การวัดทิศทาง และการปรับการวัดที่ดินในภูมิประเทศที่กำลังทำแผนที่^{[ 3 ]}

มาตราส่วนแผนที่อาจแสดงเป็นคำ (มาตราส่วนเชิงคำศัพท์) เป็นอัตราส่วน หรือเป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น:

'หนึ่งเซนติเมตรต่อหนึ่งร้อยเมตร' หรือ 1:10,000 หรือ 1/10,000

'หนึ่งนิ้วต่อหนึ่งไมล์' หรือ 1:63,360 หรือ 1/63,360

'หนึ่งเซนติเมตรต่อหนึ่งพันกิโลเมตร' หรือ 1:100,000,000 หรือ 1/100,000,000 (โดยปกติจะย่อเป็น 1:100M)

นอกจากที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว แผนที่หลายฉบับยังมีมาตราส่วนแบบแท่ง (กราฟิก) อย่างน้อยหนึ่ง มาตราส่วน ตัวอย่างเช่น แผนที่สมัยใหม่ของอังกฤษบางฉบับมีมาตราส่วนแบบแท่งสามแบบ คือแบบหนึ่งสำหรับกิโลเมตร อีกแบบสำหรับไมล์ และอีกแบบสำหรับไมล์ทะเล

มาตราส่วนเชิงคำศัพท์ในภาษาที่ผู้ใช้รู้จักอาจเข้าใจง่ายกว่าอัตราส่วน: หากมาตราส่วนคือหนึ่งนิ้วต่อสองไมล์และผู้ใช้แผนที่สามารถมองเห็นหมู่บ้านสองแห่งที่อยู่ห่างกันประมาณสองนิ้วบนแผนที่ ก็จะสามารถคำนวณได้ง่ายว่าหมู่บ้านทั้งสองอยู่ห่างกันประมาณสี่ไมล์บนพื้นดิน

มาตราส่วนเชิงคำศัพท์อาจก่อให้เกิดปัญหาได้หากแสดงออกมาในภาษาที่ผู้ใช้ไม่เข้าใจ หรือใช้หน่วยที่ล้าสมัยหรือไม่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น มาตราส่วนหนึ่งนิ้วต่อหนึ่งเฟอร์ลอง (1:7920) จะเป็นที่เข้าใจได้ของคนรุ่นเก่าในประเทศที่ เคยสอน หน่วยวัดแบบอิมพีเรียลในโรงเรียน แต่มาตราส่วนหนึ่งพูซต่อหนึ่งลีกอาจมีค่าประมาณ 1:144,000 ขึ้นอยู่กับ การเลือกนิยามของลีกโดย ผู้ทำแผนที่และมีเพียงผู้ใช้สมัยใหม่ส่วนน้อยเท่านั้นที่จะคุ้นเคยกับหน่วยที่ใช้

เปรียบเทียบกับมาตราส่วนเชิงพื้นที่

แผนที่มาตราส่วนเล็กครอบคลุมพื้นที่ขนาดใหญ่ เช่นแผนที่โลกทวีป หรือประเทศขนาดใหญ่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แสดงพื้นที่ขนาดใหญ่บนพื้นที่ขนาดเล็ก เรียกว่าแผนที่มาตราส่วนเล็กเพราะสัดส่วนการแสดงผลค่อนข้างเล็ก

แผนที่ มาตราส่วนใหญ่แสดงรายละเอียดของพื้นที่ขนาดเล็กได้มากกว่า เช่น แผนที่ระดับอำเภอหรือแผนผังเมือง แผนที่เหล่านี้เรียกว่าแผนที่มาตราส่วนใหญ่เพราะสัดส่วนที่แสดงในแผนที่นั้นค่อนข้างใหญ่ ตัวอย่างเช่น แผนผังเมืองซึ่งเป็นแผนที่มาตราส่วนใหญ่ อาจมีมาตราส่วน 1:10,000 ในขณะที่แผนที่โลกซึ่งเป็นแผนที่มาตราส่วนเล็ก อาจมีมาตราส่วน 1:100,000,000

ตารางต่อไปนี้แสดงช่วงค่าทั่วไปสำหรับมาตราส่วนเหล่านี้ แต่ไม่ควรนำไปใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงที่แน่นอน เนื่องจากไม่มีมาตรฐานที่เป็นที่ยอมรับ:

บางครั้งคำศัพท์เหล่านี้ถูกใช้ในความหมายสัมบูรณ์ตามตาราง แต่บางครั้งก็ใช้ในความหมายเชิงสัมพัทธ์ ตัวอย่างเช่น ผู้ที่อ่านแผนที่ซึ่งงานของเขาอ้างอิงเฉพาะแผนที่มาตราส่วนใหญ่ (ตามที่แสดงในตารางข้างต้น) อาจเรียกแผนที่มาตราส่วน 1:500,000 ว่าแผนที่มาตราส่วนเล็ก

ในภาษาอังกฤษ คำว่า " large-scale"มักใช้ในความหมายว่า "extensive" (กว้างขวาง) อย่างไรก็ตาม ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น นักทำแผนที่ใช้คำว่า "large scale" เพื่ออ้างถึง แผนที่ที่มีขอบเขต ไม่ กว้างนัก กล่าวคือ แผนที่ที่แสดงพื้นที่ขนาดเล็กกว่า แผนที่ที่แสดงพื้นที่กว้างขวางเรียกว่าแผนที่ "small scale" ซึ่งอาจทำให้เกิดความสับสนได้

การทำแผนที่พื้นที่ขนาดใหญ่ทำให้เกิดความบิดเบี้ยวที่เห็นได้ชัด เนื่องจากเป็นการทำให้พื้นผิวโค้งของโลกแบนราบลงอย่างมาก การกระจายตัวของความบิดเบี้ยวขึ้นอยู่กับการฉายภาพแผนที่มาตราส่วนแตกต่างกันไปทั่วแผนที่และมาตราส่วนแผนที่ที่ระบุไว้เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น ซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

ขอบเขตที่โลกสามารถถือได้ว่าแบนราบนั้นขึ้นอยู่กับความแม่นยำของ การวัด สำรวจหากวัดได้ละเอียดถึงเมตรที่ใกล้ที่สุดความโค้งของโลกจะไม่สามารถตรวจพบได้ในระยะทางตามแนวเส้นเมริเดียนประมาณ 100 กิโลเมตร (62 ไมล์) และในแนวเส้นตะวันออก-ตะวันตกประมาณ 80 กิโลเมตร (ที่ละติจูด 45 องศา) หากสำรวจได้ละเอียดถึง 1 มิลลิเมตร (0.039 นิ้ว) ความโค้งจะไม่สามารถตรวจพบได้ใน ระยะทางตามแนว เส้นเมริเดียนประมาณ 10 กิโลเมตร และในแนวเส้นตะวันออก-ตะวันตกประมาณ 8 กิโลเมตร^{[ 4 ]}ดังนั้น แผนผังเมืองนิวยอร์กที่แม่นยำถึงหนึ่งเมตรหรือแผนผังพื้นที่ก่อสร้างที่แม่นยำถึงหนึ่งมิลลิเมตรจะตรงตามเงื่อนไขข้างต้นสำหรับการละเลยความโค้ง พวกมันสามารถจัดการได้โดยการสำรวจแบบระนาบและทำแผนที่โดยใช้ภาพวาดมาตราส่วน ซึ่งจุดสองจุดใดๆ ที่ระยะทางเดียวกันบนภาพวาดจะอยู่ที่ระยะทางเดียวกันบนพื้นดิน ระยะทางจริงบนแผนที่คำนวณได้โดยการวัดระยะทางบนแผนที่แล้วคูณด้วยค่าผกผันของมาตราส่วน หรืออีกวิธีหนึ่งคือใช้เครื่องมือวัดระยะทางเพื่อถ่ายทอดระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ บนแผนที่ไปยังมาตราส่วนแท่งบนแผนที่

ตามที่พิสูจน์โดยทฤษฎีบทเอเกรเกียมของเกาส์ทรงกลม (หรือทรงรี) ไม่สามารถฉายลงบนระนาบได้ โดยไม่เกิดการบิดเบี้ยว โดยทั่วไปมักอธิบายได้ด้วยความยากลำบากในการเกลี่ยเปลือกส้มให้เรียบบนพื้นผิวเรียบโดยไม่ฉีกขาดและเสียรูป การแสดงภาพทรงกลมที่ถูกต้องในมาตราส่วนคงที่เพียงอย่างเดียวคือการใช้ทรง กลม อื่น เช่นลูกโลก

เนื่องจากขนาดที่ใช้งานได้จริงของลูกโลกมีจำกัด เราจึงต้องใช้แผนที่สำหรับการทำแผนที่โดยละเอียด แผนที่จำเป็นต้องมีการฉายภาพ การฉายภาพหมายถึงการบิดเบือน: ระยะห่างคงที่บนแผนที่ไม่ได้สอดคล้องกับระยะห่างคงที่บนพื้นดิน ในขณะที่แผนที่อาจแสดงมาตราส่วนแบบแท่งกราฟิก เราต้องเข้าใจว่ามาตราส่วนนั้นจะถูกต้องเฉพาะในบางเส้นของแผนที่เท่านั้น (จะกล่าวถึงเพิ่มเติมในตัวอย่างในส่วนต่อไป)

ให้Pเป็นจุดที่ละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลม (หรือทรงรี ) ให้ Q เป็นจุดข้างเคียง และให้ θ เป็นมุมระหว่างองค์ประกอบ PQ กับเส้นเมริเดียนที่ P: มุมนี้คือ มุม อะซิมุธขององค์ประกอบ PQ ให้ P' และ Q' เป็นจุดที่สอดคล้องกันบนภาพฉาย มุมระหว่างทิศทาง P'Q' กับภาพฉายของเส้นเมริเดียนคือมุมแบริ่งโดยทั่วไป θ ​​= 1/2 ของมุม อะซิมุธ หมายเหตุ: ความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างมุมอะซิมุธ (บนพื้นผิวโลก) และมุมแบริ่ง (บนแผนที่) นี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย นักเขียนหลายคนใช้คำทั้งสองนี้สลับกันไปมา ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

นิยาม: มาตราส่วนจุดที่ P คืออัตราส่วนของระยะทางสองค่า P'Q' และ PQ เมื่อ Q เข้าใกล้ P เราเขียนสิ่งนี้ได้ดังนี้

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

โดยสัญลักษณ์ดังกล่าวบ่งชี้ว่ามาตราส่วนของจุดเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งของ P และทิศทางขององค์ประกอบ PQ ด้วย

คำจำกัดความ:ถ้า P และ Q อยู่บนเส้นเมริเดียนเดียวกันจะใช้สัญลักษณ์ แทนมาตราส่วนเส้นเมริเดียน ${\displaystyle (\alpha =0)}$${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

นิยาม:ถ้า P และ Q อยู่บนเส้นขนานเดียวกัน จะ ใช้ สัญลักษณ์ แทนเส้นขนานนั้น${\displaystyle (\อัลฟา =\pi /2)}$${\displaystyle k(\แลมบ์ดา ,\,\varphi )}$

นิยาม:ถ้ามาตราส่วนของจุดขึ้นอยู่กับตำแหน่งเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทาง เราจะกล่าวว่าจุดนั้นเป็นไอโซโทรปิก และโดยทั่วไปจะ ใช้ ตัวประกอบมาตราส่วนขนานเพื่อแทนค่าของจุดนั้นในทิศทางใดๆ${\displaystyle k(\แลมบ์ดา ,\varphi )}$

นิยาม:การฉายภาพแผนที่แบบคอนฟอร์มอล (Conformal)คือแผนที่ที่มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ณ จุด P มีค่าเท่ากับมุมระหว่างเส้นตรงที่ฉายลงบนระนาบ ณ จุด P' สำหรับทุกคู่เส้นตรงที่ตัดกัน ณ จุด P แผนที่แบบคอนฟอร์ม อล จะมีค่าตัวประกอบมาตราส่วนแบบไอโซโทรปิก (Isotropic scale factor) ในทางกลับกัน ค่าตัวประกอบมาตราส่วนแบบไอโซโทรปิกทั่วทั้งแผนที่หมายถึงการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอล

ความสมมาตรของมาตราส่วนหมายความว่า องค์ประกอบ ขนาดเล็กจะถูกยืดออกอย่างเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง กล่าวคือ รูปร่างขององค์ประกอบขนาดเล็กจะได้รับการรักษาไว้ นี่คือคุณสมบัติของออร์โธมอร์ฟิซึม (จากภาษากรีก 'รูปร่างที่ถูกต้อง') คำว่า 'เล็ก' หมายความว่าที่ความแม่นยำในการวัดที่กำหนดไว้ จะไม่สามารถตรวจพบการเปลี่ยนแปลงของตัวประกอบมาตราส่วนบนองค์ประกอบได้ เนื่องจากภาพฉายแบบคอนฟอร์มอลมีตัวประกอบมาตราส่วนแบบสมมาตร จึงถูกเรียกว่าภาพฉายแบบออร์โธมอร์ฟิก ด้วย เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ภาพฉายเมอร์เคเตอร์เป็นภาพฉายแบบคอนฟอร์มอล เนื่องจากถูกสร้างขึ้นเพื่อรักษามุม และตัวประกอบมาตราส่วนของมันเป็นแบบสมมาตร ซึ่งเป็นฟังก์ชันของละติจูดเท่านั้น: ภาพฉายเมอร์เคเตอร์รักษารูปร่างในบริเวณเล็กๆ ได้

คำจำกัดความ:ในการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอลที่มีมาตราส่วนไอโซโทรปิก จุดที่มีค่ามาตราส่วนเดียวกันสามารถเชื่อมต่อกันเพื่อสร้างเส้นไอโซสเกลได้ เส้นเหล่านี้ไม่ได้ถูกพล็อตลงบนแผนที่สำหรับผู้ใช้ปลายทาง แต่ปรากฏอยู่ในตำรามาตรฐานหลายเล่ม (ดู Snyder ^{[ 1 ]}หน้า 203—206)

มีหลักการสองอย่างที่ใช้ในการกำหนดสมการของการฉายภาพใดๆ ตัวอย่างเช่น การฉายภาพทรงกระบอกแบบเอกภาคสามารถเขียนได้ดังนี้

นักทำแผนที่:        ${\displaystyle x=a\lambda }$      ${\displaystyle y=a\varphi }$

นักคณิตศาสตร์:       ${\displaystyle x=\lambda }$      ${\displaystyle y=\varphi }$

ในที่นี้เราจะใช้หลักการแรก (ตามการใช้งานในงานสำรวจของสไนเดอร์) เห็นได้ชัดว่าสมการการฉายภาพข้างต้นกำหนดตำแหน่งบนทรงกระบอกขนาดใหญ่ที่พันรอบโลกแล้วคลี่ออก เรากล่าวว่าพิกัดเหล่านี้กำหนดแผนที่การฉายภาพซึ่งต้องแยกแยะออกจาก แผนที่ ที่พิมพ์ (หรือดู) จริงๆ หากนิยามของมาตราส่วนจุดในส่วนก่อนหน้านี้อยู่ในรูปของแผนที่การฉายภาพ เราก็คาดได้ว่าค่าตัวประกอบมาตราส่วนจะใกล้เคียงกับหนึ่ง สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกสัมผัสปกติ มาตราส่วนตามเส้นศูนย์สูตรคือ k=1 และโดยทั่วไปมาตราส่วนจะเปลี่ยนไปเมื่อเราเคลื่อนออกจากเส้นศูนย์สูตร การวิเคราะห์มาตราส่วนบนแผนที่การฉายภาพคือการตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของ k ที่เบี่ยงเบนไปจากค่าที่แท้จริงคือหนึ่ง

แผนที่ที่พิมพ์จริงนั้นผลิตขึ้นจากแผนที่ฉายภาพโดยใช้ มาตราส่วน คงที่ซึ่งแสดงด้วยอัตราส่วน เช่น 1:100 ล้าน (สำหรับแผนที่โลกทั้งใบ) หรือ 1:10000 (สำหรับแผนผังเมือง) เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้คำว่า 'มาตราส่วน' เศษส่วนมาตราส่วนคงที่นี้เรียกว่าเศษส่วนตัวแทน (RF) ของแผนที่ที่พิมพ์ และต้องระบุให้ตรงกับอัตราส่วนที่พิมพ์บนแผนที่ พิกัดแผนที่ที่พิมพ์จริงสำหรับการฉายภาพทรงกระบอกแบบเอกภาคคือ

แผนที่ที่พิมพ์แล้ว:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$      ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

ข้อตกลงนี้ช่วยให้สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างการปรับขนาดการฉายภาพภายในและการปรับขนาดการลดทอนได้อย่างชัดเจน

จากจุดนี้ไป เราจะไม่สนใจ RF และทำงานกับแผนที่การฉายภาพแทน

พิจารณาวงกลมเล็กๆ บนพื้นผิวโลกที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด P ที่ละติจูดและลองจิจูดเนื่องจากมาตราส่วนของจุดจะแปรผันตามตำแหน่งและทิศทาง การฉายภาพของวงกลมลงบนแผนที่จึงจะเกิดการบิดเบี้ยวทิสโซต์พิสูจน์แล้วว่า ตราบใดที่การบิดเบี้ยวไม่มากเกินไป วงกลมจะกลายเป็นวงรีบนแผนที่ โดยทั่วไปแล้ว มิติ รูปร่าง และทิศทางของวงรีจะเปลี่ยนแปลงไปตามแผนที่ การซ้อนทับวงรีที่บิดเบี้ยวเหล่านี้ลงบนแผนที่จะแสดงให้เห็นถึงวิธีที่มาตราส่วนของจุดเปลี่ยนแปลงไปตามแผนที่ วงรีที่บิดเบี้ยวนี้เรียกว่าอินดิเคทริกซ์ของทิสโซต์ตัวอย่างที่แสดงในที่นี้คือการฉายภาพแบบ Winkel tripleซึ่งเป็นการฉายภาพมาตรฐานสำหรับแผนที่โลกที่จัดทำโดยNational Geographic Societyการบิดเบี้ยวน้อยที่สุดอยู่ที่เส้นเมริเดียนกลางที่ละติจูด 30 องศา (เหนือและใต้) (ตัวอย่างอื่นๆ^{[ 5 ] [ 6 ]} ) ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$

หัวใจสำคัญของ การทำความเข้าใจ เชิงปริมาณเกี่ยวกับมาตราส่วนคือการพิจารณา องค์ประกอบ ขนาดเล็กมากบนทรงกลม รูปแสดงจุด P ที่ละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลม จุด Q อยู่ที่ละติจูดและลองจิจูดเส้น PK และ MQ เป็นส่วนโค้งของเส้นเมริเดียนที่มีความยาวโดยที่คือรัศมีของทรงกลม และมี หน่วย เป็นเรเดียนเส้น PM และ KQ เป็นส่วนโค้งของวงกลมขนานที่มีความยาวโดยมีหน่วยเป็นเรเดียน ในการหาคุณสมบัติของจุด ฉายภาพ ที่ P นั้น เพียงพอที่จะพิจารณาองค์ประกอบขนาดเล็กมาก PMQK บนพื้นผิว: ในกรณีที่ Q เข้าใกล้ P องค์ประกอบดังกล่าวจะมีแนวโน้มเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าระนาบขนาดเล็กมาก ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$${\displaystyle a\,\delta \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

การฉายภาพทรงกระบอกปกติของทรงกลมจะมี ค่าเท่ากับฟังก์ชันของละติจูดเท่านั้น ดังนั้น องค์ประกอบขนาดเล็ก PMQK บนทรงกลมจะฉายภาพไปยังองค์ประกอบขนาดเล็ก P'M'Q'K' ซึ่งเป็น สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ สมบูรณ์แบบที่มีฐานและความสูง  โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบนทรงกลมและการฉายภาพ เราสามารถอนุมานนิพจน์สำหรับตัวประกอบมาตราส่วนบนเส้นขนานและเส้นเมริเดียนได้ทันที (การพิจารณามาตราส่วนในทิศทางทั่วไปสามารถพบได้ด้านล่าง ) ${\displaystyle x=a\lambda }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta y}$

ปัจจัยมาตราส่วนขนาน   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

ปัจจัยมาตราส่วนเมริเดียน  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

โปรดทราบว่าตัวประกอบมาตราส่วนขนาน ไม่ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความดังนั้นจึงเหมือนกันสำหรับภาพฉายทรงกระบอกปกติทั้งหมด เป็นประโยชน์ที่จะทราบว่า ${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle y(\varphi )}$

ที่ละติจูด 30 องศา เส้นขนานคือ${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

ที่ละติจูด 45 องศา เส้นขนานคือ${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

ที่ละติจูด 60 องศา เส้นขนานคือ${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

ที่ละติจูด 80 องศา เส้นขนานคือ${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

ที่ละติจูด 85 องศา เส้นขนานคือ${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงภาพฉายทรงกระบอกปกติสามแบบ และในแต่ละกรณี จะแสดงการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วนตามตำแหน่งและทิศทางโดยใช้ดัชนีของทิสโซต์

การฉายภาพแบบเอกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส [ ^{1 ] [ 2 ] [ 4 ]}หรือที่รู้จักกันในชื่อ^Plate Carrée (ภาษาฝรั่งเศสแปลว่า "สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบน") หรือ (ซึ่งอาจทำให้เข้าใจผิดเล็กน้อย) การฉายภาพแบบระยะห่างเท่ากัน ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

โดยที่r คือรัศมีของทรงกลม r คือลองจิจูดจากเส้นเมริเดียนกลางของการฉายภาพ (ในที่นี้ใช้เส้นเมริเดียนกรีนิชที่ r = 0.5 ) และ Δ คือละติจูด โปรดทราบว่าr และ Δ มีหน่วยเป็นเรเดียน (ได้จากการคูณหน่วยองศาด้วยตัวประกอบ Δ /180) ลองจิจูดอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 และละติจูดอยู่ในช่วง 0 ถึง1 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

เนื่องจากส่วนก่อนหน้านี้ให้ไว้ ${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

มาตราส่วนคู่ขนาน${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

มาตราเมริเดียน ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

สำหรับการคำนวณมาตราส่วนจุดในทิศทางใดๆ โปรดดูภาค ผนวก

ภาพนี้แสดงเส้นบ่งชี้ของทิสโซต์สำหรับการฉายภาพนี้ บนเส้นศูนย์สูตร h=k=1 และองค์ประกอบวงกลมจะไม่บิดเบี้ยวเมื่อฉายภาพ ที่ละติจูดสูงขึ้น วงกลมจะบิดเบี้ยวเป็นวงรีที่เกิดจากการยืดในทิศทางขนานเท่านั้น ไม่มีการบิดเบี้ยวในทิศทางเส้นเมริเดียน อัตราส่วนของแกนเอกต่อแกนรองคือเห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของวงรีเพิ่มขึ้นด้วยปัจจัยเดียวกัน ${\displaystyle \sec \varphi }$

การพิจารณาใช้มาตราส่วนแท่งที่อาจปรากฏในแผนที่ฉบับพิมพ์ของการฉายภาพนี้เป็นสิ่งที่มีประโยชน์ มาตราส่วนนี้ถูกต้อง (k=1) บนเส้นศูนย์สูตร ดังนั้นการคูณความยาวของเส้นศูนย์สูตรบนแผนที่ที่พิมพ์ด้วยค่าผกผันของ RF (หรือมาตราส่วนหลัก) จะได้เส้นรอบวงที่แท้จริงของโลก มาตราส่วนแท่งบนแผนที่ก็วาดด้วยมาตราส่วนที่แท้จริงเช่นกัน ดังนั้นการถ่ายโอนระยะห่างระหว่างสองจุดบนเส้นศูนย์สูตรไปยังมาตราส่วนแท่งจะให้ระยะทางที่ถูกต้องระหว่างจุดเหล่านั้น หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับเส้นเมริเดียนด้วย บนเส้นขนานอื่นที่ไม่ใช่เส้นศูนย์สูตร มาตราส่วนจะเป็นเช่นนั้น ดังนั้นเมื่อเราถ่ายโอนระยะห่างจากเส้นขนานไปยังมาตราส่วนแท่ง เราต้องหารระยะทางบนมาตราส่วนแท่งด้วยตัวประกอบนี้เพื่อให้ได้ระยะทางระหว่างจุดเมื่อวัดตามเส้นขนาน (ซึ่งไม่ใช่ระยะทางที่แท้จริงตามวงกลมใหญ่ ) บนเส้นที่ทำมุม 45 องศา ( ) มาตราส่วนจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามละติจูด และการถ่ายโอนระยะห่างตามเส้นไปยังมาตราส่วนแท่งจะไม่ให้ระยะทางที่สัมพันธ์กับระยะทางที่แท้จริงในวิธีที่ง่ายใดๆ (แต่ดูภาคผนวก ) แม้ว่าจะสามารถคำนวณระยะทางตามแนวเส้นที่มีมุมระนาบคงที่นี้ได้ แต่ความสำคัญของมันก็ยังเป็นที่น่าสงสัย เนื่องจากเส้นดังกล่าวบนภาพฉายจะสอดคล้องกับเส้นโค้งที่ซับซ้อนบนทรงกลม ด้วยเหตุผลเหล่านี้ จึงต้องใช้มาตราส่วนแท่งบนแผนที่ขนาดเล็กด้วยความระมัดระวังอย่างยิ่ง ${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

การฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์จะแมปทรงกลมไปยังสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ที่มีขนาดอนันต์ใน ทิศทาง -) โดยใช้สมการ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

โดยที่ a และ เป็นไปตามตัวอย่างก่อนหน้านี้ เนื่องจากตัวประกอบมาตราส่วนคือ: ${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

มาตราส่วนคู่ขนาน     ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

มาตราเมริเดียน   ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

ในส่วนเพิ่มเติม ทางคณิตศาสตร์ แสดงให้เห็นว่า มาตราส่วนจุดในทิศทางใดๆ ก็เท่ากับเช่นกันดังนั้นมาตราส่วนจึงเป็นแบบไอโซโทรปิก (เท่ากันในทุกทิศทาง) โดยขนาดของมาตราส่วนจะเพิ่มขึ้นตามละติจูดเป็นในแผนภาพทิสโซต์ องค์ประกอบวงกลมขนาดเล็กแต่ละอันจะรักษารูปทรงเดิมไว้ แต่จะขยายใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ เมื่อละติจูดเพิ่มขึ้น ${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

การฉายภาพพื้นที่เท่ากันของ Lambertจะแปลงทรงกลมเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำกัดโดยใช้สมการ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

โดยที่ a และ เป็นไปตามตัวอย่างก่อนหน้านี้ เนื่องจากตัวประกอบมาตราส่วนคือ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

มาตราส่วนคู่ขนาน      ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

มาตราเมริเดียน    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

วิธีการคำนวณมาตราส่วนจุดในทิศทางใดๆ แสดงไว้ด้านล่าง

ในขณะนี้ มาตราส่วนแนวตั้งและแนวนอนจะชดเชยกัน (hk=1) และในแผนภาพทิสโซต์ องค์ประกอบวงกลมขนาดเล็กแต่ละอันจะถูกบิดเบี้ยวให้กลายเป็นวงรีที่มี พื้นที่ เท่ากับวงกลมที่ไม่บิดเบี้ยวบนเส้นศูนย์สูตร

กราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวประกอบมาตราส่วนสำหรับตัวอย่างทั้งสามข้างต้น กราฟด้านบนแสดงฟังก์ชันมาตราส่วนแบบไอโซโทรปิกของเมอร์เคเตอร์: มาตราส่วนบนเส้นขนานเท่ากับมาตราส่วนบนเส้นเมริเดียน กราฟอื่นๆ แสดงตัวประกอบมาตราส่วนเส้นเมริเดียนสำหรับการฉายภาพแบบเอกภาคังกูลาร์ (h=1) และสำหรับการฉายภาพแบบแลมเบิร์ตแบบพื้นที่เท่ากัน การฉายภาพสองแบบหลังนี้มีมาตราส่วนเส้นขนานเหมือนกับของกราฟเมอร์เคเตอร์ สำหรับแลมเบิร์ต โปรดสังเกตว่ามาตราส่วนเส้นขนาน (เช่นเดียวกับเมอร์เคเตอร์ A) เพิ่มขึ้นตามละติจูด และมาตราส่วนเส้นเมริเดียน (C) ลดลงตามละติจูดในลักษณะที่ hk=1 ซึ่งรับประกันการอนุรักษ์พื้นที่

มาตราส่วนจุดของแผนที่เมอร์เคเตอร์มีค่าเท่ากับ 1 ที่เส้นศูนย์สูตร เนื่องจากทรงกระบอกเสริมที่ใช้ในการสร้างแผนที่นั้นสัมผัสกับพื้นโลกที่เส้นศูนย์สูตร ด้วยเหตุนี้ การฉายภาพแบบปกติจึงควรเรียกว่าการฉายภาพแบบสัมผัส มาตราส่วนจะแปรผันตามละติจูดเป็น σ² = σ² + ...${\displaystyle k=\sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \sec \varphi }$

เกณฑ์มาตรฐานสำหรับแผนที่ขนาดใหญ่ที่ดีคือ ความแม่นยำควรอยู่ภายใน 4 ส่วนใน 10,000 หรือ 0.04% ซึ่งสอดคล้องกับเนื่องจาก ค่านี้ได้ที่องศา (ดูรูปด้านล่าง เส้นสีแดง) ดังนั้น การฉายภาพแบบแทนเจนต์เมอร์เคเตอร์จึงมีความแม่นยำสูงภายในแถบความกว้าง 3.24 องศาที่อยู่ตรงกลางเส้นศูนย์สูตร ซึ่งสอดคล้องกับระยะทางเหนือ-ใต้ประมาณ 360 กิโลเมตร (220 ไมล์) ภายในแถบนี้ การฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์นั้น ดี มากมีความแม่นยำสูง และรักษารูปทรงได้ดี เนื่องจากเป็นการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอล (รักษาองศา) ข้อสังเกตเหล่านี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาการฉายภาพแบบทรานส์เวอร์สเมอร์เคเตอร์ ซึ่งเส้นเมริเดียนจะถูกพิจารณา 'เหมือนเส้นศูนย์สูตร' ของการฉายภาพ เพื่อให้เราได้แผนที่ที่แม่นยำภายในระยะทางแคบๆ จากเส้นเมริเดียนนั้น แผนที่ดังกล่าวเหมาะสำหรับประเทศที่วางตัวเกือบเหนือ-ใต้ (เช่นสหราชอาณาจักร ) และชุดแผนที่ดังกล่าว 60 แผนที่ถูกใช้สำหรับระบบพิกัดยูนิเวอร์แซลทรานส์เวอร์สเมอร์เคเตอร์ (UTM ) โปรดทราบว่าในการฉายภาพทั้งสองแบบนี้ (ซึ่งอิงตามทรงรีต่างๆ) สมการการแปลงสำหรับ x และ y และนิพจน์สำหรับตัวประกอบมาตราส่วนนั้นเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของทั้งละติจูดและลองจิจูด ${\displaystyle k=1.0004}$${\displaystyle \sec \varphi }$${\displaystyle \varphi =1.62}$

แนวคิดพื้นฐานของการฉายภาพแบบซีแคนต์คือ การฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกที่ตัดกับทรงกลมที่เส้นขนานสองเส้น เช่นเส้นเหนือและเส้นใต้ เห็นได้ชัดว่ามาตราส่วนจะถูกต้องที่ละติจูดเหล่านี้ ในขณะที่เส้นขนานที่อยู่ต่ำกว่าละติจูดเหล่านี้จะถูกหดลงโดยการฉายภาพ และค่าตัวประกอบมาตราส่วน (ของเส้นขนาน) จะต้องน้อยกว่าหนึ่ง ผลลัพธ์ที่ได้คือ การเบี่ยงเบนของมาตราส่วนจากหนึ่งจะลดลงในช่วงละติจูดที่กว้างขึ้น ${\displaystyle \varphi _{1}}$

ตัวอย่างเช่น การฉายภาพแบบซีแคนท์เมอร์เคเตอร์ที่เป็นไปได้แบบหนึ่งนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

ตัวคูณเชิงตัวเลขไม่ได้เปลี่ยนแปลงรูปร่างของการฉายภาพ แต่หมายความว่าปัจจัยมาตราส่วนจะถูกปรับเปลี่ยน:

มาตราส่วนเมอร์เคเตอร์แบบเซแคนต์${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

ดังนั้น

• มาตราส่วนบนเส้นศูนย์สูตรคือ 0.9996
• มาตราส่วนคือk  = 1 ที่ละติจูดที่กำหนดโดย ที่ ดังนั้นองศา${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$
• k=1.0004 ที่ละติจูดที่กำหนดโดยซึ่งเป็นองศา ดังนั้น การฉายภาพจึงมีความแม่นยำ 0.04% บนแถบกว้าง 4.58 องศา (เมื่อเทียบกับ 3.24 องศาสำหรับรูปแบบแทนเจนต์)${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$${\displaystyle 1<k<1.0004}$

ดังแสดงในเส้นโค้งด้านล่าง (สีเขียว) ในรูปภาพของหัวข้อก่อนหน้านี้

เขตความแม่นยำสูงที่แคบเช่นนี้ถูกใช้ในระบบพิกัด UTM และ OSGB ของอังกฤษ ซึ่งทั้งสองระบบเป็นระบบพิกัดเมอร์เคเตอร์แบบตัดขวางบนทรงรี โดยมีมาตราส่วนบนเส้นเมริเดียนกลางคงที่ที่เส้นไอโซสเกลที่มีเป็นเส้นโค้งเล็กน้อยที่อยู่ห่างจากเส้นเมริเดียนกลางไปทางทิศตะวันออกและทิศตะวันตกประมาณ 180 กิโลเมตร ค่าสูงสุดของตัวประกอบมาตราส่วนคือ 1.001 สำหรับ UTM และ 1.0007 สำหรับ OSGB ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$${\displaystyle k=1}$

เส้นแสดงมาตราส่วนหน่วยที่ละติจูด(เหนือและใต้) ซึ่งเป็นจุดที่พื้นผิวฉายภาพทรงกระบอกตัดกับทรงกลม คือเส้นขนานมาตรฐานของการฉายภาพแบบซีแคนต์ ${\displaystyle \varphi _{1}}$

ในขณะที่แถบความกว้างแคบๆมีความสำคัญต่อการทำแผนที่ที่มีความแม่นยำสูงในระดับใหญ่ แต่สำหรับแผนที่โลกนั้น จะใช้เส้นขนานมาตรฐานที่มีระยะห่างกว้างกว่ามากเพื่อควบคุมความแปรผันของมาตราส่วน ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle |k-1|<0.0004}$

• Behrmann พร้อมขั้วขนานมาตรฐานที่ 30N, 30S
• แบ่งพื้นที่ของปุ่มให้เท่ากัน โดยมีแนวขนานมาตรฐานที่ 45 องศาเหนือ และ 45 องศาใต้

ภาพแสดงมาตราส่วนสำหรับแบบหลังแสดงอยู่ด้านล่าง เมื่อเปรียบเทียบกับปัจจัยมาตราส่วนพื้นที่เท่ากันของแลมเบิร์ต ในแบบหลัง เส้นศูนย์สูตรเป็นเส้นขนานมาตรฐานเส้นเดียว และมาตราส่วนเส้นขนานจะเพิ่มขึ้นจาก k=1 เพื่อชดเชยการลดลงของมาตราส่วนเส้นเมริเดียน สำหรับแบบกัลล์ มาตราส่วนเส้นขนานจะลดลงที่เส้นศูนย์สูตร (เป็น k=0.707) ในขณะที่มาตราส่วนเส้นเมริเดียนจะเพิ่มขึ้น (เป็น k=1.414) ซึ่งทำให้เกิดการบิดเบือนรูปร่างอย่างมากในการฉายภาพแบบกัลล์-ปีเตอร์ส (บนลูกโลก ทวีปแอฟริกามีความยาวประมาณเท่ากับความกว้าง) โปรดสังเกตว่าทั้งมาตราส่วนเส้นเมริเดียนและมาตราส่วนเส้นขนานมีค่าเท่ากับ 1 บนเส้นขนานมาตรฐาน

สำหรับการฉายภาพทรงกระบอกปกติ รูปทรงเรขาคณิตขององค์ประกอบขนาดเล็กจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมและคือ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

สำหรับ การฉาย ภาพแบบเมอร์เคเตอร์ มุมต่างๆ จะถูกรักษาไว้ (ไม่น่าแปลกใจเลย เพราะนี่คือความสัมพันธ์ที่ใช้ในการสร้างการฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์) สำหรับการฉายภาพแบบระยะเท่ากันและแบบแลมเบิร์ต เราจะได้และตามลำดับ ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างและจึงขึ้นอยู่กับละติจูด  ให้ P เป็นมาตราส่วนของจุดเมื่อองค์ประกอบเล็กๆ PQ ทำมุม กับเส้นเมริเดียนโดยซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของระยะทาง: ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle y'(\varphi )=a}$${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

การกำหนดและแทนค่าจากสมการ (a) และ (b) ตามลำดับจะได้ ${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$${\displaystyle \delta \varphi }$${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

สำหรับการฉายภาพแบบอื่นที่ไม่ใช่แบบเมอร์เคเตอร์ เราต้องคำนวณจากและใช้สมการ (c) ก่อน จึงจะสามารถหาค่าได้ตัวอย่างเช่น การฉายภาพแบบเอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีค่าดังนี้ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mu _{\alpha }}$${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

หากเราพิจารณาเส้นตรงที่มีความชันคงที่ บนภาพฉาย ค่าที่สอดคล้องกันของและตัวประกอบมาตราส่วนตามแนวเส้นตรงนั้นเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของไม่มีวิธีง่ายๆ ในการแปลงระยะห่างจำกัดทั่วไปไปสู่มาตราส่วนแท่งและได้ผลลัพธ์ที่มีความหมาย ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$

แม้ว่า โดย ทั่วไปจะใช้เครื่องหมายโคลอนเพื่อแสดงอัตราส่วน แต่ยูนิโค้ดสามารถแสดงสัญลักษณ์เฉพาะสำหรับอัตราส่วนได้ โดยจะยกขึ้นเล็กน้อย: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ )

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับมาตราส่วนกราฟิก

• ระยะทางทางภูมิศาสตร์
• มาตราส่วน (เครื่องมือวิเคราะห์)
• มาตราส่วน (อัตราส่วน)
• การปรับขนาด (เรขาคณิต)
• มาตราส่วนเชิงพื้นที่
• ว่าด้วยความแม่นยำในวิทยาศาสตร์