กำหนดให้ ใดๆที่มีให้กำหนดแล้วดังนั้นเราจึงได้ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle g(z)=f(az+b)}$${\displaystyle g'(z)=af'(az+b)}$$${\displaystyle g^{-1}(0)=(f^{-1}(0)-b)/a}$$

และในทำนองเดียวกันสำหรับและกล่าวอีกนัยหนึ่ง ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น เราสามารถทำการเลื่อน การหมุน และการปรับขนาดตามอำเภอใจบนรากของและได้ ${\displaystyle g'}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

ดังนั้น โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราจะให้จุดโฟกัสของวงรีสไตเนอร์อยู่บนแกนจริงที่ โดยที่คือความยาวโฟกัส ให้ เป็นความยาวกึ่งแกนยาวและกึ่งแกนสั้นตาม ลำดับ ดังนั้น${\displaystyle \pm c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

ให้รากทั้งสามของเป็นสำหรับ. ${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{j}:=x_{j}+y_{j}i}$${\displaystyle j=0,1,2}$

ยืดระนาบเชิงซ้อนในแนวนอนเพื่อให้วงรีสไตเนอร์กลายเป็นวงกลมที่มีรัศมีซึ่งจะเปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอด ${\displaystyle b}$${\displaystyle \zeta _{j}={\frac {b}{a}}x_{j}+y_{j}i}$

จากเรขาคณิตของสามเหลี่ยมด้านเท่าเราจะได้ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta (เพื่อความเรียบร้อยในการเขียน เราจะ "วนกลับ" ดัชนี นั่นคือ) เนื่องจากและ เราต้องการแสดงว่า จึงเหลือเพียงแสดงว่า ${\displaystyle \sum _{j}\zeta _{j}=0}$${\displaystyle \sum _{j}z_{j}=0}$${\displaystyle f(z)=z^{3}+z\sum _{j}z_{j}z_{j+1}-z_{0}z_{1}z_{2}}$${\displaystyle z_{3}=z_{0}}$${\displaystyle f'(z)=3z^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}}$${\displaystyle f'(z)=3\left(z^{2}-c^{2}\right)}$${\displaystyle \sum _{j}z_{j}z_{j+1}=-3c^{2}}$

เนื่องจากยังคงต้องแสดงให้เห็นนั่นคือยังคงต้องแสดงให้เห็น ${\displaystyle 0=\left(\sum _{j}z_{j}\right)^{2}=\sum _{j}z_{j}^{2}+2\sum _{j}z_{j}z_{j+1}}$${\displaystyle \sum _{j}z_{j}^{2}=6c^{2}}$

$${\displaystyle \sum _{j}x_{j}y_{j}=0;\quad \sum _{j}\left(x_{j}^{2}-y_{j}^{2}\right)=6(a^{2}-b^{2}).}$$

จากเรขาคณิตของสามเหลี่ยมด้านเท่า เราจะได้และสำหรับแต่ละซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle \sum _{j}\zeta _{j}^{2}=0}$${\displaystyle |\zeta _{j}|=2b}$${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \sum _{j}{\frac {2b}{a}}x_{j}y_{j}=0;\quad \sum _{j}\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}x_{j}^{2}-y_{j}^{2}\right)=0;\quad \sum _{j}\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}x_{j}^{2}+y_{j}^{2}\right)=12b^{2}}$$

ซึ่งจะนำไปสู่ความเท่าเทียมกันตามที่ต้องการ