การกระจายส่วนขอบ

Q: ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล

เมื่อกำหนด ตัวแปรสุ่ม ต่อเนื่อง สองตัว X และ Y ซึ่งทราบ การแจกแจงร่วม แล้ว ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็นแบบมาร์จินัล สามารถหาได้โดยการอินทิ เกร ตความหนาแน่น ความน่าจะเป็นร่วม f เหนือ Y และในทางกลับกัน นั่นคือ

Q: ฟังก์ชันการกระจายสะสมส่วนขอบ

การหา ฟังก์ชันการกระจายสะสม ส่วนย่อย จากฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมนั้นทำได้ง่าย โปรดจำไว้ว่า:

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงแบบมาร์จินัลของกลุ่มตัวแปรสุ่มคือการแจกแจงความน่าจะเป็น ของตัวแปรที่อยู่ในกลุ่มย่อยนั้น มันให้ความน่าจะ เป็นของค่าต่างๆ ของตัวแปรในกลุ่มย่อยโดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรอื่นๆ ซึ่งแตกต่างจากการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขที่ให้ความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรอื่นๆ

ตัวแปรชายขอบคือตัวแปรในกลุ่มย่อยของตัวแปรที่ถูกเก็บรักษาไว้ แนวคิดเหล่านี้เรียกว่า "ชายขอบ" เพราะสามารถพบได้โดยการรวมค่าในตารางตามแถวหรือคอลัมน์ และเขียนผลรวมไว้ที่ขอบของตาราง^{[ 1 ]}การกระจายของตัวแปรชายขอบ (การกระจายชายขอบ) ได้มาจากการหาค่าชายขอบ (นั่นคือ การเน้นที่ผลรวมในชายขอบ) เหนือการกระจายของตัวแปรที่ถูกทิ้ง และตัวแปรที่ถูกทิ้งจะเรียกว่าถูกหาค่าชายขอบออกไป

บริบทในที่นี้คือ การศึกษาเชิงทฤษฎีหรือการวิเคราะห์ข้อมูลที่กำลังดำเนินการอยู่นั้นเกี่ยวข้องกับชุดตัวแปรสุ่มที่กว้างกว่า แต่ความสนใจถูกจำกัดอยู่ที่ตัวแปรจำนวนน้อยลง ในหลายๆ การประยุกต์ใช้ การวิเคราะห์อาจเริ่มต้นด้วยชุดตัวแปรสุ่มที่กำหนด จากนั้นขยายชุดโดยการกำหนดตัวแปรใหม่ (เช่น ผลรวมของตัวแปรสุ่มดั้งเดิม) และสุดท้ายลดจำนวนลงโดยให้ความสนใจกับการแจกแจงส่วนย่อยของชุดย่อย (เช่น ผลรวม) อาจมีการวิเคราะห์ที่แตกต่างกันหลายแบบ โดยแต่ละแบบจะพิจารณาชุดย่อยของตัวแปรที่แตกต่างกันเป็นการแจกแจงส่วนย่อย

คำนิยาม

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นส่วนชายขอบ

เมื่อทราบการแจกแจงร่วมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สองตัว เช่น $X$ และ $Y$ การแจกแจงแบบมาร์จินัลของตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง – เช่น $X - คือ$ การแจกแจงความน่าจะเป็นของ $X$ เมื่อ ไม่พิจารณาค่าของ $Y ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยการรวมการแจกแจง$ ความน่าจะเป็นร่วม ของ Y กับค่าทั้งหมดของ $Y$ และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ สามารถหาการแจกแจงแบบมาร์จินัลของ Y ได้โดยการรวมการแจกแจงความน่าจะเป็นของY $กับ$ ค่าแต่ละค่าของ $X$

$p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j}),\quad {\text{และ}}\quad p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})$

การแจกแจงร่วมและการแจกแจงแบบมาร์จินัลของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสอง*ตัว X*และYซึ่งขึ้นต่อกัน ทำให้มีข้อมูลร่วมกัน $I (X; Y)$ ที่ไม่เป็นศูนย์ ค่าของการแจกแจงร่วมอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3×4 ส่วนค่าของการแจกแจงแบบมาร์จินัลอยู่ตามขอบด้านขวาและด้านล่าง
X วาย	x	x	x	x	p ( y ) ↓
y	4/32	2/32	1/32	1/32	8/32
y	3/32	6/32	3/32	3/32	15 / 32
y	9/32	0	0	0	9/32
p ( x ) →	16 / 32	8/32	4/32	4/32	32 / 32

ความน่าจะเป็นส่วนเพิ่มสามารถเขียนได้ในรูปของค่าคาดหวัง เสมอ : $p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid Y)]\;.$

โดยสัญชาตญาณแล้ว ความน่าจะเป็นส่วนขอบของX คำนวณได้จากการตรวจสอบความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของX เมื่อกำหนดค่า Yค่าใดค่าหนึ่งแล้วจึงหาค่าเฉลี่ยของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนี้ตลอดการกระจายของค่าYทั้งหมด

สิ่งนี้เป็นผลมาจากนิยามของค่าที่คาดหวัง (หลังจากใช้กฎของนักสถิติที่ไม่รู้ตัว ) $\operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.$

ดังนั้น การหาค่าเฉลี่ยจึงเป็นกฎสำหรับการแปลงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มYและตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่ง $X = g (Y)$ : $p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big (}xg(y){\big )}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล

เมื่อกำหนด ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สองตัวXและYซึ่งทราบการแจกแจงร่วม แล้ว ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็นแบบมาร์จินัล สามารถหาได้โดยการอินทิ เกร ตความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วม $f$ เหนือYและในทางกลับกัน นั่นคือ

${\begin{aligned}f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\\f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\end{aligned}}$

ที่ไหน $x\in [a,b]$ , และ $y\in [c,d]$ .

ฟังก์ชันการกระจายสะสมส่วนขอบ

การหาฟังก์ชันการกระจายสะสม ส่วนย่อย จากฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมนั้นทำได้ง่าย โปรดจำไว้ว่า:

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$
สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง $F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'$

ถ้าXและYมีค่าร่วมกันบนช่วง [ a , b ] × [ c , d ] แล้ว

$F_{X}(x)=F(x,d)\quad {\text{และ}}\quad F_{Y}(y)=F(b,y)$

ถ้าdเป็นอนันต์ ค่านี้จะกลายเป็นลิมิต ${\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}$ เช่นเดียวกันสำหรับ $F_{Y}(y)$ .

การแจกแจงแบบมาร์จินัลเทียบกับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข

คำนิยาม

ความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลคือความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เดียวโดยไม่ขึ้นกับเหตุการณ์อื่น ในทางกลับกัน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นโดยที่เหตุการณ์เฉพาะอีกเหตุการณ์หนึ่งได้เกิดขึ้นแล้ว ซึ่งหมายความว่าการคำนวณสำหรับตัวแปรหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปรอื่น^{[ 2 ]}

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรหนึ่งเมื่อกำหนดให้ตัวแปรอื่นคือ การแจกแจงร่วมของตัวแปรทั้งสองหารด้วยการแจกแจงแบบมาร์จินัลของตัวแปรอื่น^{[ 3 ]}นั่นคือ

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}$
สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง $f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}$

ตัวอย่าง

สมมติว่ามีข้อมูลจากห้องเรียนที่มีนักเรียน 200 คน เกี่ยวกับปริมาณเวลาที่ใช้ในการเรียน ( X ) และเปอร์เซ็นต์ของคำตอบที่ถูกต้อง ( Y ) ^{[ 4 ]}โดยถือว่าXและYเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงร่วมของXและYสามารถอธิบายได้โดยการแสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของp ( x , y ) ดังแสดงในตารางที่ 3

ตารางสองมิติของชุดข้อมูลแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาที่ใช้ในการเรียนและเปอร์เซ็นต์คำตอบที่ถูกต้องในห้องเรียนที่มีนักเรียน 200 คน
X วาย	ระยะเวลาที่ใช้ในการศึกษา (นาที)
% ถูกต้อง		x (0-20)	x (21-40)	x (41-60)	x (>60)	p ( y ) ↓
	y (0-20)	2/200	0	0	8/200	10 / 200
	y (21-40)	10 / 200	2/200	8/200	0	20 / 200
	y (41-59)	2/200	4/200	32 / 200	32 / 200	70 / 200
	y (60-79)	0	20 / 200	30 / 200	10 / 200	60 / 200
	y (80-100)	0	4/200	16 / 200	20 / 200	40 / 200
	p ( x ) →	14 / 200	30 / 200	86 / 200	70 / 200	1

สามารถใช้ การแจกแจงส่วนขอบเพื่อกำหนดจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนน 20 หรือต่ำกว่าได้: $p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}$ หมายความว่ามีนักเรียน 10 คน หรือ 5%

สามารถใช้ การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่เรียน 60 นาทีขึ้นไปจะได้คะแนน 20 หรือต่ำกว่า: $p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}$ หมายความว่า มีโอกาสประมาณ 11% ที่จะได้คะแนนไม่เกิน 20 คะแนน แม้ว่าจะศึกษาอย่างน้อย 60 นาทีก็ตาม

ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง

สมมติว่าเราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นที่คนเดินเท้าจะถูกรถชนขณะข้ามถนนตรงทางม้าลายโดยไม่สนใจสัญญาณไฟจราจร ให้ H เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่รับค่าได้หนึ่งค่าจาก {ชน, ไม่ ถูกชน} และให้ L (สำหรับสัญญาณไฟจราจร) เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่รับค่าได้หนึ่งค่าจาก {แดง, เหลือง, เขียว}

ในความเป็นจริง H จะขึ้นอยู่กับ L นั่นคือ P(H = ถูกชน) จะมีค่าแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่า L เป็นสีแดง สีเหลือง หรือสีเขียว (และเช่นเดียวกันสำหรับ P(H = ไม่ ถูกชน)) ตัวอย่างเช่น คนมีโอกาสถูกรถชนมากกว่าเมื่อพยายามข้ามถนนขณะที่ไฟจราจรสำหรับรถที่วิ่งตัดกันเป็นสีเขียว มากกว่าเมื่อเป็นสีแดง กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับค่า H และ L ที่เป็นไปได้แต่ละคู่ เราต้องพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของ H และ L เพื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งสองที่เกิดขึ้นพร้อมกัน หากคนเดินเท้าไม่สนใจสถานะของสัญญาณไฟจราจร

อย่างไรก็ตาม ในการพยายามคำนวณความน่าจะเป็นส่วนย่อย P(H = Hit) สิ่งที่ต้องการคือความน่าจะเป็นที่ H = Hit ในสถานการณ์ที่ค่า L ที่เฉพาะเจาะจงนั้นไม่เป็นที่ทราบ และคนเดินเท้าไม่สนใจสถานะของสัญญาณไฟจราจร โดยทั่วไปแล้ว คนเดินเท้าอาจถูกรถชนได้ไม่ว่าไฟจะเป็นสีแดง สีเหลือง หรือสีเขียว ดังนั้น คำตอบสำหรับความน่าจะเป็นส่วนย่อยสามารถหาได้โดยการรวม P(H | L) สำหรับค่า L ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยแต่ละค่าของ L จะมีน้ำหนักตามความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น

ตารางนี้แสดงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการถูกชน โดยขึ้นอยู่กับสถานะของไฟ (โปรดทราบว่าผลรวมของคอลัมน์ในตารางนี้ต้องเท่ากับ 1 เนื่องจากความน่าจะเป็นของการถูกชนหรือไม่ถูกชนนั้นเท่ากับ 1 ไม่ว่าสถานะของไฟจะเป็นอย่างไรก็ตาม)

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข: $P(H\mid L)$
แอล ชม	สีแดง	สีเหลือง	สีเขียว
ไม่ถูกโจมตี	0.99	0.9	0.2
ตี	0.01	0.1	0.8

ในการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น สมมติว่า P(L = สีแดง) = 0.2, P(L = สีเหลือง) = 0.1 และ P(L = สีเขียว) = 0.7 การคูณแต่ละคอลัมน์ในการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขด้วยความน่าจะเป็นของการเกิดคอลัมน์นั้น จะได้การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของ H และ L ซึ่งแสดงอยู่ในบล็อก 2×3 ตรงกลาง (โปรดทราบว่าผลรวมของเซลล์ในบล็อก 2×3 นี้เท่ากับ 1)

การแจกแจงร่วม: $P(H,L)$ ⁠
แอล ชม	สีแดง	สีเหลือง	สีเขียว	ความน่าจะเป็นส่วนขอบ P( H )
ไม่ถูกโจมตี	0.198	0.09	0.14	0.428
ตี	0.002	0.01	0.56	0.572
ทั้งหมด	0.2	0.1	0.7	1

ความน่าจะเป็นส่วนย่อย P(H = ถูกชน) คือผลรวม 0.572 ตาม แถว H = ถูกชน ในตารางการแจกแจงร่วมนี้ เนื่องจากนี่คือความน่าจะเป็นที่จะถูกชนเมื่อไฟจราจรเป็นสีแดง สีเหลือง หรือสีเขียว ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นส่วนย่อยที่ P(H = ไม่ ถูกชน) คือผลรวมตามแถว H = ไม่ ถูกชน

การแจกแจงแบบหลายตัวแปร

ตัวอย่างจำนวนมากจาก1การแจกแจงปกติแบบสองตัวแปร การแจกแจงแบบมาร์จินัลแสดงด้วยสีแดงและสีน้ำเงิน การแจกแจงแบบมาร์จินัลของ X ยังประมาณได้โดยการสร้างฮิสโตแกรมของพิกัด X โดยไม่คำนึงถึงพิกัด Y

สำหรับการแจกแจงแบบหลายตัวแปรสูตรที่คล้ายกับข้างต้นจะถูกนำมาใช้ โดยที่สัญลักษณ์Xและ/หรือY จะถูก ^{ตีความ}ว่าเป็นเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมหรือการหาปริพันธ์แต่ละครั้งจะครอบคลุมตัวแปรทั้งหมด ยกเว้นตัวแปรที่อยู่ในX ^[⁵ ]

นั่นหมายความว่า ถ้าX , X ,…, X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลควรจะเป็น $p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});$ ถ้าX , X ,…, X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลควรจะเป็น $f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.$

ดูเพิ่มเติม

บรรณานุกรม

เอเวอริตต์, บีเอส; สครอนดาล, เอ. (2010). พจนานุกรมสถิติเคมบริดจ์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ .
เด็คกิง เอฟเอ็ม; ไกรกัม, ช.; โลปูฮา, HP; มีสเตอร์, เลอ (2005) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็นและสถิติสมัยใหม่ ลอนดอน : สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 9781852338961.{{cite book}}: CS1 maint: ตำแหน่งผู้เผยแพร่ ( ลิงก์ )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

การกระจายส่วนขอบ

คำนิยาม

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นส่วนชายขอบ

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล

ฟังก์ชันการกระจายสะสมส่วนขอบ

การแจกแจงแบบมาร์จินัลเทียบกับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข

คำนิยาม

ตัวอย่าง

ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง

การแจกแจงแบบหลายตัวแปร

ดูเพิ่มเติม

บรรณานุกรม

ข้อมูลสำคัญจากบทความ