ในทางคณิตศาสตร์การจัดหมู่ (combination)คือการเลือกสิ่งของจากเซตที่มีสมาชิกแตกต่างกัน โดยที่ลำดับการเลือกไม่สำคัญ (ต่างจากการเรียงสับเปลี่ยน ) ตัวอย่างเช่น ถ้ามีผลไม้สามชนิด เช่น แอปเปิล ส้ม และลูกแพร์ จะมีการจัดหมู่สองอย่างได้สามแบบ คือ แอปเปิลกับลูกแพร์ แอปเปิลกับส้ม หรือลูกแพร์กับส้ม ในทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ การจัดหมู่ kของเซตSคือเซตย่อยที่มีสมาชิกแตกต่างกันk ตัวดังนั้น การจัดหมู่สองแบบจะเหมือนกันก็ต่อเมื่อการจัดหมู่แต่ละแบบมีสมาชิกเหมือนกัน (การจัดเรียงสมาชิกในแต่ละเซตไม่สำคัญ) ถ้าเซตมี สมาชิก nตัว จำนวน การจัดหมู่ kซึ่งเขียนแทนด้วยหรือจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ทวินาม : ${\displaystyle C(n,k)}$${\displaystyle C_{k}^{n}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},}$$

ซึ่งเมื่อใช้ สัญกรณ์ แฟกทอเรียล สามารถแสดงได้อย่างกระชับดังนี้

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}}$$

เมื่อใดก็ตามที่สูตรนี้สามารถอนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าk -combination แต่ละชุดของเซตSที่มีสมาชิกnตัวมีการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้นหรือ^{[ 1 ]}เซตของk -combination ทั้งหมดของเซตSมักจะแสดงด้วย ${\displaystyle n\geq k\geq 0}$${\displaystyle k!}$${\displaystyle P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!}$${\displaystyle C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!}$${\displaystyle \textstyle {\binom {S}{k}}}$

การจัดหมู่คือการเลือก สิ่งของ nอย่าง โดยเลือกครั้งละkอย่าง โดย ไม่มีการซ้ำกันในการอ้างถึงการจัดหมู่ที่อนุญาตให้มีการซ้ำกันมักใช้ คำว่า k-การจัดหมู่ที่มีการซ้ำกันk-มัลติเซต^{[ 2 ]}หรือk-การเลือก^{[ 3 ] [ 4 ]}ในตัวอย่างข้างต้น หากเป็นไปได้ที่จะมีผลไม้ชนิดใดชนิดหนึ่งสองลูก จะมีการเลือก 2 อย่างเพิ่มอีก 3 แบบ ได้แก่ การเลือกแอปเปิ้ลสองลูก การเลือกส้มสองลูก และการเลือกลูกแพร์สองลูก

แม้ว่าชุดผลไม้สามชนิดจะมีขนาดเล็กพอที่จะเขียนรายการชุดค่าผสมทั้งหมดได้ แต่การทำเช่นนั้นจะไม่สามารถทำได้จริงเมื่อขนาดของชุดเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นไพ่โป๊กเกอร์หนึ่งมือสามารถอธิบายได้ว่าเป็นชุดค่าผสม 5 ใบ ( k  = 5) จากสำรับไพ่ 52 ใบ ( n  = 52) ไพ่ทั้ง 5 ใบในมือจะต้องแตกต่างกันทั้งหมด และลำดับของไพ่ในมือไม่สำคัญ มีชุดค่าผสมดังกล่าว 2,598,960 ชุด และโอกาสที่จะได้มือใดมือหนึ่งโดยสุ่มคือ 1 ใน 2,598,960

จำนวนk-คอมบินาชันจากเซตS ที่กำหนด ซึ่งมี สมาชิก nตัว มักจะแสดงด้วย ในตำราคณิตศาสตร์คอมบินาทอริกเบื้องต้นหรือด้วยรูปแบบต่างๆ เช่น, , , หรือแม้แต่^{[ 5 ]} (รูปแบบสุดท้ายเป็นมาตรฐานในตำราภาษาฝรั่งเศส โรมาเนีย รัสเซีย และจีน) ^{[ 6 ] [ 7 ]} อย่างไรก็ตาม จำนวนเดียวกันนี้ปรากฏในบริบททางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย โดยแสดงด้วย(มักอ่านว่า " nเลือกk ") โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันปรากฏเป็นสัมประสิทธิ์ในสูตรทวินามดังนั้นจึงเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม เราสามารถกำหนดสำหรับจำนวนธรรมชาติk ทั้งหมด พร้อมกันได้ด้วยความสัมพันธ์ ${\displaystyle C(n,k)}$${\displaystyle C_{k}^{n}}$${\displaystyle {}_{n}C_{k}}$${\displaystyle {}^{n}C_{k}}$${\displaystyle C_{n,k}}$${\displaystyle C_{n}^{k}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle (1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},}$$

จากสิ่งเหล่านั้นจึงเห็นได้ชัดว่า

$${\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,}$$

และเพิ่มเติม

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}=0}$$

สำหรับ. ${\displaystyle k>n}$

เพื่อให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้คำนวณk -combinations จากSเราสามารถพิจารณาชุดตัวแปรที่แตกต่างกันn ตัว X _sซึ่งกำกับด้วยองค์ประกอบsของS ก่อน แล้วขยายผล คูณ ไปทั่วทุกองค์ประกอบของ  S :

$${\displaystyle \prod _{s\in S}(1+X_{s});}$$

ประกอบด้วยพจน์ที่แตกต่างกัน 2n ^พจน์ซึ่งสอดคล้องกับเซตย่อยทั้งหมดของSโดยแต่ละเซตย่อยจะให้ผลคูณของตัวแปรXs ที่สอดคล้องกัน เมื่อกำหนดให้ _Xsทั้งหมดเท่ากับตัวแปรที่ไม่มีป้ายกำกับXnดังนั้นผลคูณจึงกลายเป็น(1 + Xn ) ⁿพจน์สำหรับแต่ละk -combination จากS _จึงกลายเป็น^Xkดังนั้น สัมประสิทธิ์ของกำลังนั้นในผลลัพธ์ จึงเท่ากับจำนวนของk -combination ดังกล่าว

สัมประสิทธิ์ทวินามสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนด้วยวิธีการต่างๆ เพื่อให้ได้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดสำหรับการกระจายจนถึง(1 + X ) ⁿเราสามารถใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (นอกเหนือจากกรณีพื้นฐานที่ได้กล่าวไปแล้ว)

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},}$$

สำหรับ 0 < k < nซึ่งเป็นผลมาจาก(1 + X ) ⁿ = (1 + X ) ^{n − 1} (1 + X ) ; ซึ่งนำไปสู่การสร้างสามเหลี่ยมปาสคาล

สำหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์ทวินามแต่ละตัวนั้น การใช้สูตรจะเหมาะสมกว่า

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}.}$$

ตัวเศษแสดงจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนkของnกล่าวคือ ลำดับของ องค์ประกอบที่แตกต่างกัน kตัวของSในขณะที่ตัวส่วนแสดงจำนวน การเรียงสับเปลี่ยน k ดังกล่าว ที่ให้ การจัดหมู่ k แบบเดียวกัน เมื่อไม่คำนึงถึงลำดับ

เมื่อkมากกว่าn /2 สูตรข้างต้นจะมีตัวประกอบร่วมกันระหว่างตัวเศษและตัวส่วน และเมื่อตัดตัวประกอบเหล่านั้นออกจะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{nk}},}$$

สำหรับ 0 ≤ k ≤ nสิ่งนี้แสดงถึงสมมาตรที่เห็นได้ชัดจากสูตรทวินาม และยังสามารถเข้าใจได้ในแง่ของ การจัดหมู่ kโดยการหาค่าเติมเต็มของการจัดหมู่ดังกล่าว ซึ่งก็คือการจัดหมู่ ( n − k )

สุดท้ายนี้ มีสูตรหนึ่งที่แสดงให้เห็นถึงความสมมาตรนี้โดยตรง และมีข้อดีคือจำได้ง่าย:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$$

โดยที่n ! หมายถึงแฟกทอเรียลของn ซึ่งได้มาจากการคูณตัวส่วนและตัวเศษด้วย ( n − k ) ! จากสูตรก่อนหน้าดังนั้นจึงมีประสิทธิภาพในการคำนวณน้อยกว่าสูตรนั้นอย่างแน่นอน

สูตรสุดท้ายสามารถเข้าใจได้โดยตรง โดยพิจารณา การเรียงสับเปลี่ยน n ! ครั้งขององค์ประกอบทั้งหมดของSการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้งจะให้การ จัดหมู่ kโดยการเลือก องค์ประกอบ k ตัวแรก มีการเลือกซ้ำกันหลายครั้ง: การเรียงสับเปลี่ยนแบบผสมของ องค์ประกอบ k ตัวแรก เข้าด้วยกัน และการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบสุดท้าย ( n  −  k ) เข้าด้วยกัน จะให้การจัดหมู่แบบเดียวกัน นี่คือคำอธิบายของการหารในสูตร

จากสูตรข้างต้น สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันในสามเหลี่ยมปาสคาลในทั้งสามทิศทางได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}\displaystyle {\binom {n}{k-1}}{\frac {n-k+1}{k}}&\quad {\text{if }}k>0\\\displaystyle {\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{n-k}}&\quad {\text{if }}k<n\\\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n}{k}}&\quad {\text{if }}n,k>0\end{cases}}.}$$

เมื่อรวมกับกรณีพื้นฐานแล้ว สิ่งเหล่านี้จะช่วยให้สามารถคำนวณจำนวนการจัดเรียงทั้งหมดจากเซตเดียวกัน (แถวในสามเหลี่ยมปาสคาล) การจัดเรียง kแบบของเซตที่มีขนาดเพิ่มขึ้น และการจัดเรียงที่มีส่วนเติมเต็มที่มีขนาดคงที่n − k ได้ ตาม ลำดับ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}}$

ตัวอย่างเฉพาะอย่างหนึ่งคือ เราสามารถคำนวณจำนวนมือไพ่ห้าใบที่เป็นไปได้จากสำรับไพ่มาตรฐานห้าสิบสองใบได้ดังนี้: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\binom {52}{5}}={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}={\frac {311{,}875{,}200}{120}}=2{,}598{,}960.}$$

อีกวิธีหนึ่งคือการใช้สูตรในรูปของแฟกทอเรียล แล้วตัดตัวประกอบในตัวเศษกับส่วนตัวประกอบในตัวส่วน จากนั้นจึงคูณตัวประกอบที่เหลืออยู่เท่านั้น: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\binom {52}{5}}&={\frac {52!}{5!47!}}\\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48\times {\cancel {47!}}}{5\times 4\times 3\times 2\times {\cancel {1}}\times {\cancel {47!}}}}\\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2}}\\[5pt]&={\frac {(26\times {\cancel {2}})\times (17\times {\cancel {3}})\times (10\times {\cancel {5}})\times 49\times (12\times {\cancel {4}})}{{\cancel {5}}\times {\cancel {4}}\times {\cancel {3}}\times {\cancel {2}}}}\\[5pt]&={26\times 17\times 10\times 49\times 12}\\[5pt]&=2{,}598{,}960.\end{alignedat}}}$$

การคำนวณทางเลือกอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งเทียบเท่ากับวิธีแรกนั้น อาศัยการเขียน

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {(n-0)}{1}}\times {\frac {(n-1)}{2}}\times {\frac {(n-2)}{3}}\times \cdots \times {\frac {(n-(k-1))}{k}},}$$

ซึ่งให้

$${\displaystyle {\binom {52}{5}}={\frac {52}{1}}\times {\frac {51}{2}}\times {\frac {50}{3}}\times {\frac {49}{4}}\times {\frac {48}{5}}=2{,}598{,}960.}$$

เมื่อคำนวณตามลำดับต่อไปนี้52 ÷ 1 × 51 ÷ 2 × 50 ÷ 3 × 49 ÷ 4 × 48 ÷ 5จะสามารถคำนวณได้โดยใช้ เลขคณิต จำนวนเต็ม เท่านั้น เหตุผลก็คือ ในแต่ละครั้งที่ทำการหาร ผลลัพธ์ระหว่างกลางที่ได้จะเป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม ดังนั้นจึงไม่มีเศษเหลือเกิดขึ้น

การใช้สูตรสมมาตรในรูปของแฟกทอเรียลโดยไม่ทำการลดรูป จะทำให้ได้การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {52}{5}}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {52!}{5!(52-5)!}}={\frac {52!}{5!47!}}\\[6pt]&={\tfrac {80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000}{120\times 258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000}}\\[6pt]&=2{,}598{,}960.\end{aligned}}}$$

เราสามารถแจงนับ การจัดหมู่ kทั้งหมดของเซตSที่มี สมาชิก nตัว ในลำดับที่แน่นอน ซึ่งจะสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากช่วงของจำนวนเต็มกับเซตของการจัดหมู่k เหล่านั้น สมมติว่า Sเป็นเซตที่มีลำดับ เช่นS = { 1, 2, ..., n } จะมีสองวิธีที่เป็นไปได้ตามธรรมชาติในการเรียงลำดับ การจัดหมู่ k ของ S คือ โดยการเปรียบเทียบสมาชิกที่เล็กที่สุดก่อน (ดังตัวอย่างข้างต้น) หรือโดยการเปรียบเทียบสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดก่อน วิธีหลังมีข้อดีคือ การเพิ่มสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดใหม่ลงในSจะไม่เปลี่ยนแปลงส่วนเริ่มต้นของการแจงนับ แต่จะเพิ่ม การจัดหมู่ k ใหม่ ของเซตที่ใหญ่กว่าต่อจากชุดก่อนหน้า โดยการทำซ้ำกระบวนการนี้ การแจงนับสามารถขยายได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดด้วย การจัดหมู่ kของเซตที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ นอกจากนี้ หากช่วงของจำนวนเต็มเริ่มต้นที่ 0 แล้วk-คอมบินิชัน ณ ตำแหน่งi ที่กำหนด ในการแจงนับสามารถคำนวณได้ง่ายจากiและการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ได้มานั้นเรียกว่าระบบจำนวนเชิงคอมบินาทอริกนอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อ "อันดับ" / "การจัดอันดับ" และ "การไม่จัดอันดับ" ในคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

มีหลายวิธีในการแจงนับ ชุดค่าผสม kชุด วิธีหนึ่งคือการติดตาม หมายเลขดัชนี kขององค์ประกอบที่เลือก โดยเริ่มจาก {0 .. k −1} (ฐานศูนย์) หรือ {1 .. k } (ฐานหนึ่ง) เป็นชุด ค่าผสม k ชุดแรกที่อนุญาต จากนั้น ให้เลื่อนไปยัง ชุดค่าผสม k ชุดถัดไปที่อนุญาต โดยการเพิ่มหมายเลขดัชนีที่เล็กที่สุดซึ่งจะไม่ทำให้เกิดหมายเลขดัชนีที่เท่ากันสองหมายเลข ในขณะเดียวกันก็รีเซ็ตหมายเลขดัชนีที่เล็กกว่าทั้งหมดกลับไปเป็นค่าเริ่มต้น

การรวมk ที่มีการทำซ้ำหรือการรวมหลายkหรือเซตย่อยหลายเซตที่มีขนาดkจากเซตSที่มีขนาดnนั้นกำหนดโดยเซตของ องค์ประกอบ kที่ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันของSโดยไม่คำนึงถึงลำดับ: ลำดับสองลำดับกำหนดเซตย่อยหลายเซตเดียวกันหากลำดับหนึ่งสามารถได้มาจากอีกลำดับหนึ่งโดยการสลับตำแหน่งของเทอม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นตัวอย่างของ องค์ประกอบ kจากเซตของ องค์ประกอบ nที่อนุญาตให้มีการทำซ้ำ (เช่น มีการแทนที่) แต่ไม่คำนึงถึงลำดับที่แตกต่างกัน (เช่น {2,1,2} = {1,2,2}) กำหนดดัชนีให้กับแต่ละองค์ประกอบของSและคิดว่าองค์ประกอบของSเป็นประเภทของวัตถุ จากนั้นเราสามารถให้แทนจำนวนองค์ประกอบของประเภทiในเซตย่อยหลายเซต จำนวนเซตย่อยหลายเซตที่มีขนาดkคือจำนวนคำตอบจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (ดังนั้นจึงอนุญาตให้เป็นศูนย์) ของสมการไดโอแฟนไทน์ : ^{[ 11 ]}${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=k.}$$

ถ้าSมี สมาชิก nตัว จำนวนของ เซตย่อย k ตัวดัง กล่าวจะถูกแทนด้วย

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right),}$$

สัญกรณ์ที่คล้ายคลึงกันกับสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งนับ เซตย่อย kนิพจน์นี้n เลือก kหลายตัว[ ^{12 ]}สามารถแสดงได้ในรูปของสัมประสิทธิ์ทวินามเช่นกัน ^:

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{k}}.}$$

ความสัมพันธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยใช้การแสดงที่เรียกว่าดาวและแท่ง^{[ 13 ]}

เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์ทวินาม มีความสัมพันธ์หลายอย่างระหว่างนิพจน์แบบเลือกหลายตัวเลือกเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ, ${\displaystyle n\geq 1,k\geq 0}$

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)=\left(\!\!{\binom {k+1}{n-1}}\!\!\right).}$$ เอกลักษณ์นี้เป็นผลมาจากการสลับดาวและแท่งในการแสดงข้างต้น^{[ 15 ]}

ตัวอย่างเช่น หากคุณมีโดนัทสี่ชนิด ( n  = 4) ให้เลือกในเมนู และคุณต้องการโดนัทสามชิ้น ( k  = 3) จำนวนวิธีในการเลือกโดนัทโดยมีการซ้ำกันสามารถคำนวณได้ดังนี้

$${\displaystyle \left(\!\!{\binom {4}{3}}\!\!\right)={\binom {4+3-1}{3}}={\binom {6}{3}}={\frac {6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}}=20.}$$

ผลลัพธ์นี้สามารถตรวจสอบได้โดยการแสดงรายการมัลติเซต 3 ตัวทั้งหมดของเซตS = {1,2,3,4} ซึ่งแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้^{[ 16 ]}คอลัมน์ที่สองแสดงรายการโดนัทที่คุณเลือกจริง คอลัมน์ที่สามแสดงคำตอบจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของสมการและคอลัมน์สุดท้ายแสดงการแสดงแบบดาวและแท่งของคำตอบ^{[ 17 ]}${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}$${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3}$

เลขที่	3-มัลติเซ็ต	สมการแก้	ดาวและแถบ
1	{1,1,1}	[3,0,0,0]	${\displaystyle \bigstar \bigstar \bigstar |||}$
2	{1,1,2}	[2,1,0,0]	${\displaystyle \bigstar \bigstar |\bigstar ||}$
3	{1,1,3}	[2,0,1,0]	${\displaystyle \bigstar \bigstar ||\bigstar |}$
4	{1,1,4}	[2,0,0,1]	${\displaystyle \bigstar \bigstar |||\bigstar }$
5	{1,2,2}	[1,2,0,0]	${\displaystyle \bigstar |\bigstar \bigstar ||}$
6	{1,2,3}	[1,1,1,0]	${\displaystyle \bigstar |\bigstar |\bigstar |}$
7	{1,2,4}	[1,1,0,1]	${\displaystyle \bigstar |\bigstar ||\bigstar }$
8	{1,3,3}	[1,0,2,0]	${\displaystyle \bigstar ||\bigstar \bigstar |}$
9	{1,3,4}	[1,0,1,1]	${\displaystyle \bigstar ||\bigstar |\bigstar }$
10	{1,4,4}	[1,0,0,2]	${\displaystyle \bigstar |||\bigstar \bigstar }$
11	{2,2,2}	[0,3,0,0]	${\displaystyle |\bigstar \bigstar \bigstar ||}$
12	{2,2,3}	[0,2,1,0]	${\displaystyle |\bigstar \bigstar |\bigstar |}$
13	{2,2,4}	[0,2,0,1]	${\displaystyle |\bigstar \bigstar ||\bigstar }$
14	{2,3,3}	[0,1,2,0]	${\displaystyle |\bigstar |\bigstar \bigstar |}$
15	{2,3,4}	[0,1,1,1]	${\displaystyle |\bigstar |\bigstar |\bigstar }$
16	{2,4,4}	[0,1,0,2]	${\displaystyle |\bigstar ||\bigstar \bigstar }$
17	{3,3,3}	[0,0,3,0]	${\displaystyle ||\bigstar \bigstar \bigstar |}$
18	{3,3,4}	[0,0,2,1]	${\displaystyle ||\bigstar \bigstar |\bigstar }$
19	{3,4,4}	[0,0,1,2]	${\displaystyle ||\bigstar |\bigstar \bigstar }$
20	{4,4,4}	[0,0,0,3]	${\displaystyle |||\bigstar \bigstar \bigstar }$

จำนวนk-คอมบินาชันสำหรับทุกkคือจำนวนเซตย่อยของเซตที่มี สมาชิก nตัว มีหลายวิธีที่จะเห็นว่าจำนวนนี้คือ 2n ^ในแง่ของคอมบินาชันซึ่งเป็นผลรวมของ แถวที่ n (นับจาก 0) ของสัมประสิทธิ์ทวินามในสามเหลี่ยมปาสคาล คอมบินาชันเหล่านี้ (เซตย่อย) จะถูกแจงนับโดยตัวเลขหลักแรกของเซตของ จำนวน ฐาน 2ที่นับจาก 0 ถึง²ⁿ  − 1 โดยที่ตำแหน่งตัวเลขแต่ละหลักคือรายการจากเซตของ n${\textstyle \sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$

เมื่อมีไพ่ 3 ใบ หมายเลข 1 ถึง 3 จะมีชุดที่แตกต่างกัน 8 ชุด ( เซตย่อย ) ซึ่งรวมถึงเซตว่าง ด้วย :

$${\displaystyle |\{\{\};\{1\};\{2\};\{1,2\};\{3\};\{1,3\};\{2,3\};\{1,2,3\}\}|=2^{3}=8}$$

แทนเซตย่อยเหล่านี้ (ตามลำดับเดียวกัน) ด้วยตัวเลขฐาน 2:

• 0 – 000
• 1 – 001
• 2 – 010
• 3 – 011
• 4 – 100
• 5 – 101
• 6 – 110
• 7 – 111

มีอัลกอริธึม หลายวิธี ในการเลือกชุดค่าผสมแบบสุ่มจากเซตหรือรายการที่กำหนดการสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธนั้นช้ามากสำหรับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ วิธีหนึ่งในการเลือกชุดค่า ผสม kชุดอย่างมีประสิทธิภาพจากประชากรขนาดnคือการวนซ้ำไปทั่วแต่ละองค์ประกอบของประชากร และในแต่ละขั้นตอนให้เลือกองค์ประกอบนั้นด้วยความน่าจะเป็นที่เปลี่ยนแปลงแบบไดนามิก(ดูการสุ่มตัวอย่างแบบอ่างเก็บน้ำ ) อีกวิธีหนึ่งคือการเลือกจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแบบสุ่มที่น้อยกว่าและแปลงเป็นชุดค่าผสมโดยใช้ระบบ จำนวนเชิงการจัดเรียง${\textstyle {\frac {k-\#{\text{samples chosen}}}{n-\#{\text{samples visited}}}}}$${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

การจัดวางอาจมองได้ว่าเป็นการเลือก สิ่งของ สองชุด ได้แก่ ชุดที่อยู่ในถังที่เลือก และชุดที่อยู่ในถังที่ไม่ได้เลือก แนวคิดนี้สามารถขยายไปใช้กับถังจำนวนเท่าใดก็ได้ โดยมีข้อจำกัดว่าสิ่งของทุกชิ้นจะต้องอยู่ในถังเพียงถังเดียวเท่านั้น จำนวนวิธีในการจัดวางสิ่งของลงในถังจะกำหนดโดยสัมประสิทธิ์พหุนาม

$${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}},}$$

โดยที่nคือจำนวนรายการm คือจำนวนถัง และคือจำนวนรายการที่ใส่ลงในถังi${\displaystyle k_{i}}$

วิธีหนึ่งที่จะเข้าใจว่าทำไมสมการนี้จึงเป็นจริง คือ ให้เรากำหนดหมายเลขให้กับวัตถุโดยพลการตั้งแต่1ถึงnก่อน แล้วนำวัตถุที่มีหมายเลข ตรงกัน ใส่ลงในถังแรกตามลำดับ นำวัตถุที่มีหมายเลข ตรงกัน ใส่ลงในถังที่สองตามลำดับ และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จะมีหมายเลขที่แตกต่างกันอยู่หลายแบบ แต่หลายแบบก็เทียบเท่ากัน เพราะสิ่งที่สำคัญคือชุดของสิ่งของในถัง ไม่ใช่ลำดับของสิ่งของในถัง การเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของในแต่ละถังทุกแบบจะทำให้เกิดวิธีการใส่สิ่งของลงในถังที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นกลุ่มความเท่าเทียมกัน แต่ละกลุ่มจึง ประกอบด้วยหมายเลขที่แตกต่างกัน และจำนวนกลุ่มความเท่าเทียมกันคือn ${\displaystyle 1,2,\ldots ,k_{1}}$${\displaystyle k_{1}+1,k_{1}+2,\ldots ,k_{1}+k_{2}}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}$${\displaystyle \textstyle {\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

สัมประสิทธิ์ทวินามเป็นกรณีพิเศษที่ สิ่งของ kชิ้นถูกใส่ลงในถังที่เลือกไว้ และสิ่งของที่เหลือจะถูกใส่ลงในถังที่ไม่ได้เลือก: ${\displaystyle n-k}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k,n-k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$$

• โจทย์คณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่หลายประเภท พร้อมเฉลยอย่างละเอียด
• สูตรที่ไม่ทราบค่าสำหรับการจัดหมู่เมื่อตัวเลือกสามารถซ้ำกันได้และลำดับไม่สำคัญ
• ปัญหาการทอยลูกเต๋าที่มีผลรวมที่กำหนดการประยุกต์ใช้การจัดหมู่แบบซ้ำๆ กับการทอยลูกเต๋าหลายลูก