แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์คือการประยุกต์ใช้พีชคณิตหรือคณิตศาสตร์ อื่นๆ อย่างเป็นระบบ เพื่อแก้ปัญหาที่กำหนดไว้ครูคณิตศาสตร์มอบแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์เพื่อพัฒนาทักษะของนักเรียน แบบฝึกหัดเบื้องต้นเกี่ยวข้องกับการบวกการลบการคูณและการหารจำนวนเต็มหลักสูตรแบบฝึกหัดที่ครอบคลุมในโรงเรียนจะขยายการคำนวณ ดังกล่าว ไปยังจำนวนตรรกยะแนวทางต่างๆ ในเรขาคณิตมีแบบฝึกหัดที่อิงจากความสัมพันธ์ของมุม ส่วน ของเส้นตรงและรูปสามเหลี่ยมหัวข้อตรีโกณมิติได้รับแบบฝึกหัดจำนวนมากจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติในคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดมักขึ้นอยู่กับฟังก์ชันของ ตัวแปร จริงหรือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแบบฝึกหัดมาตรฐานของแคลคูลัสเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด

โดยปกติแล้ว อาจารย์ผู้สอนจะเตรียมความพร้อมให้นักเรียนด้วยตัวอย่างวิธีทำ : กล่าวคือ ระบุโจทย์ แล้วจึงแสดงคำตอบตัวอย่าง บ่อยครั้งที่อาจารย์จะสาธิตตัวอย่างวิธีทำหลายๆ ตัวอย่างก่อนที่นักเรียนจะพร้อมให้ลองทำโจทย์ด้วยตนเอง ตำราบางเล่ม เช่น ตำราในชุด Schaum's Outlinesจะเน้นที่ตัวอย่างวิธีทำมากกว่าการอธิบายทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

ในโรงเรียนประถม นักเรียนเริ่มต้นด้วยแบบฝึกหัดเลขคณิตหลักเดียวต่อมาแบบฝึกหัดส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับเลขสองหลักขึ้นไป แบบฝึกหัดทั่วไปในพีชคณิตเบื้องต้น คือ การแยกตัวประกอบของพหุนามแบบฝึกหัดอีกอย่างคือ การทำให้ พหุนามกำลังสองสมบูรณ์โจทย์ปัญหาที่สร้างขึ้นเองเป็นแบบฝึกหัดประเภทหนึ่งที่มุ่งหมายให้คณิตศาสตร์ยังคงมีความเกี่ยวข้องสตีเฟน ลีค็อกอธิบายประเภทนี้ไว้ดังนี้: ^{[ 1 ]}

นักเรียนคณิตศาสตร์ที่เชี่ยวชาญกฎพื้นฐานสี่ข้อแรกและสามารถแก้โจทย์บวกและเศษส่วน ได้สำเร็จ กลับพบว่าตัวเองต้องเผชิญกับโจทย์ปัญหามากมายที่ไม่มีวันจบสิ้น เรื่องราวเหล่านี้เป็นเรื่องสั้นเกี่ยวกับการผจญภัยและความขยันหมั่นเพียร โดยไม่มีตอนจบ และถึงแม้จะมีลักษณะคล้ายคลึงกัน แต่ก็ไม่ได้ปราศจากองค์ประกอบของความโรแมนติก

Alan H. Schoenfeldได้แยกความแตกต่างระหว่างแบบฝึกหัดและปัญหาทางคณิตศาสตร์ ไว้ดังนี้ : ^{[ 2 ]}

นักเรียนต้องเชี่ยวชาญในเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง และแบบฝึกหัดก็เหมาะสมกับจุดประสงค์นั้น แต่ถ้าหากแบบฝึกหัดแบบท่องจำคือแบบฝึกหัดประเภทเดียวที่นักเรียนได้พบในชั้นเรียน เรากำลังทำร้ายนักเรียนอย่างร้ายแรง

เขาเสนอแนะให้ตั้งเป้าหมายที่ท้าทาย:

โดย "ปัญหาที่แท้จริง" ... ผมหมายถึงโจทย์คณิตศาสตร์ที่ท้าทายความสามารถของนักเรียนอย่างแท้จริง และนักเรียนจำเป็นต้องลงมือปฏิบัติเพื่อให้ได้คำตอบ

Marvin Bittinger ก็ได้แสดงความคิดเห็นในทำนองเดียวกันเมื่อเขาเตรียมหนังสือเรียนฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง^{[ 3 ]}ของเขา:

เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นจากผู้ใช้ ผู้เขียนได้เพิ่มแบบฝึกหัดที่ต้องการให้นักเรียนใช้ทักษะอื่นนอกเหนือจากความเข้าใจในวัตถุประสงค์โดยตรงของบทเรียน แต่ก็ไม่ได้ยากเกินไป

เขตพัฒนาใกล้เคียงสำหรับนักเรียนแต่ละคน หรือกลุ่มนักเรียน จะกำหนดระดับความยากของแบบฝึกหัดที่ท้าทายแต่ไม่ทำให้พวกเขาท้อแท้

ความคิดเห็นบางส่วนในคำนำของตำราแคลคูลัส^{[ 4 ]}แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของแบบฝึกหัดในหนังสือเล่มนี้:

แบบฝึกหัดประกอบด้วยเนื้อหาประมาณหนึ่งในสี่ของเนื้อหาทั้งหมด ซึ่งในความคิดของเราถือเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดของเนื้อหา ... แบบฝึกหัดเพิ่มเติมในตอนท้ายของแต่ละบทจะขยายแบบฝึกหัดชุดอื่นๆ และเป็นแบบฝึกหัดสะสมที่ต้องใช้ทักษะจากบทก่อนๆ

เนื้อหานี้ประกอบด้วย "ฟังก์ชันและกราฟในการประยุกต์ใช้" (บทที่ 0.6) ซึ่งเป็นการเตรียมความพร้อมสำหรับโจทย์ปัญหาจำนวนสิบสี่หน้า

ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับฟิลด์จำกัดเลือกแบบฝึกหัดอย่างอิสระ: ^{[ 5 ]}

เพื่อเพิ่มความน่าสนใจของหนังสือเล่มนี้ในฐานะตำราเรียนเราได้ใส่ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำไว้ในจุดที่เหมาะสมของเนื้อหา และได้รวมรายการแบบฝึกหัดสำหรับบทที่ 1-9 แบบฝึกหัดเหล่านี้มีตั้งแต่ปัญหาทั่วไปไปจนถึงการพิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญแบบอื่น ๆ รวมถึงเนื้อหาที่นอกเหนือไปจากที่กล่าวถึงในเนื้อหาหลักด้วย

JC Maxwellอธิบายว่าการออกกำลังกายช่วยให้เข้าถึงภาษาของคณิตศาสตร์ ได้ง่ายขึ้น : ^{[ 6 ]}

ในฐานะนักคณิตศาสตร์ เราทำการคำนวณทางจิตบางอย่างกับสัญลักษณ์ของตัวเลขหรือปริมาณ และโดยการดำเนินการทีละขั้นตอนจากวิธีการที่ง่ายกว่าไปสู่วิธีการที่ซับซ้อนกว่า เราจึงสามารถแสดงสิ่งเดียวกันในรูปแบบต่างๆ ได้มากมาย ความเท่าเทียมกันของรูปแบบต่างๆ เหล่านี้ แม้จะเป็นผลลัพธ์ที่จำเป็นของสัจพจน์ที่ชัดเจน แต่ก็ไม่ได้ชัดเจนในความคิดของเราเสมอไป แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ฝึกฝนมาอย่างยาวนานและคุ้นเคยกับรูปแบบเหล่านี้มากมาย และเชี่ยวชาญในกระบวนการที่นำไปสู่รูปแบบหนึ่งแล้ว มักจะสามารถเปลี่ยนสำนวนที่ซับซ้อนให้เป็นสำนวนที่อธิบายความหมายของมันได้ในภาษาที่เข้าใจง่ายกว่า

อาจารย์ผู้สอนแต่ละคนในวิทยาลัยต่างๆ ใช้แบบฝึกหัดเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรคณิตศาสตร์ ในการตรวจสอบการแก้ปัญหาในมหาวิทยาลัย Schoenfeld ตั้งข้อสังเกตว่า: ^{[ 7 ]}

หลักสูตรระดับสูงสำหรับนักศึกษาเอกคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่นักศึกษาจะได้ทำแบบฝึกหัดที่อาจารย์ผู้สอนแต่ละคนรวบรวมไว้ให้ ในหลักสูตรเหล่านี้เน้นการเรียนรู้จากการลงมือทำ โดยไม่พยายามสอนเทคนิคการแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง นักศึกษาทำแบบฝึกหัดมากมายเพราะ (ตามแบบจำลองการสอนโดยนัยของหลักสูตรเหล่านี้) นั่นคือวิธีที่จะทำให้เก่งคณิตศาสตร์

ชุดแบบฝึกหัดดังกล่าวอาจเป็นกรรมสิทธิ์ของผู้สอนและสถาบันของเขา ตัวอย่างเช่น ความสำเร็จของโทรู คุมอนและวิธีการสอนแบบคุมอน แสดงให้เห็นถึงคุณค่าของชุด แบบฝึกหัด ในโปรแกรมของเขา นักเรียนจะไม่สามารถเรียนต่อได้จนกว่าจะเชี่ยวชาญแบบฝึกหัดแต่ละระดับ ที่โรงเรียนคณิตศาสตร์รัสเซียนักเรียนเริ่มทำโจทย์หลายขั้นตอนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 โดยเรียนรู้ที่จะต่อยอดจากผลลัพธ์ก่อนหน้าเพื่อหาคำตอบ

ในช่วงทศวรรษ 1960 มีการแปลแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์จากภาษารัสเซียและตีพิมพ์โดยWH Freeman and Companyได้แก่The USSR Olympiad Problem Book (1962) ^{[ 8 ]} Problems in Higher Algebra (1965) ^{[ 9 ]}และProblems in Differential Equations (1963) ^{[ 10 ]}

ในประเทศจีน ตั้งแต่สมัยโบราณ มีการใช้ แท่งนับเพื่อแสดงจำนวน และการคำนวณเลขคณิตทำได้ด้วยแคลคูลัสแท่งและต่อมาคือซวนปานหนังสือว่าด้วยจำนวนและการคำนวณและเก้าบทว่าด้วยศิลปะทางคณิตศาสตร์มีแบบฝึกหัดที่เป็นตัวอย่างของพีชคณิตเชิงเส้น^{[ 11 ]}

ในราวปี ค.ศ. 980 อัล-ซิจซีได้เขียนหนังสือชื่อ " วิธีทำให้การหาอนุพันธ์ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นเรื่องง่าย"ซึ่งแปลและตีพิมพ์โดยแยน โฮเกนไดค์ในปี ค.ศ. 1996 ^{[ 12 ]}

ชุดแบบฝึกหัดภาษาอาหรับ ได้รับการแปลเป็นภาษาสเปนในชื่อ Compendio de Algebra de Abenbéderและได้รับการวิจารณ์^ใน Nature [ ^{13 ]}

Robert Recorde ตี พิมพ์หนังสือ The Ground of Artsครั้งแรกในปี พ.ศ. 2486 ^{[ 14 ]}

ประการแรก ตำราเล่มนั้นส่วนใหญ่เป็นการอธิบายเนื้อหา มีแบบฝึกหัดน้อยมาก ซึ่งแบบฝึกหัดเริ่มได้รับความนิยมอย่างมากในศตวรรษที่สิบแปดและสิบเก้า เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ เราอาจดูตำราขายดีอีกเล่มหนึ่ง คือTutor's Assistant ของ Walkingame ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1751 โดยมีแบบฝึกหัดถึง 70 เปอร์เซ็นต์ ในขณะที่ตำราของ Recorde มีแบบฝึกหัดเพียงประมาณ 1 เปอร์เซ็นต์ การเพิ่มแบบฝึกหัดเป็นหนึ่งในพัฒนาการที่สำคัญที่สุดของตำราเรียนคณิตศาสตร์ และสอดคล้องกับการพัฒนาด้านการศึกษาที่ครูเริ่มใช้ตำราเรียนเป็นแหล่งแบบฝึกหัด Recorde เขียนตำราส่วนใหญ่สำหรับผู้ที่เรียนรู้ด้วยตนเอง นักวิชาการที่ไม่มีใครตรวจสอบคำตอบของแบบฝึกหัด

ในยุโรปก่อนปี 1900 วิทยาศาสตร์ด้านทัศนียภาพเชิงกราฟิกได้วางกรอบให้กับการฝึกฝนทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ในปี 1719 บรูค เทย์เลอร์ได้เขียนไว้ในหนังสือหลักการใหม่ของทัศนียภาพเชิงเส้น (New Principles of Linear Perspective)

[ผู้อ่าน] จะพบความเพลิดเพลินมากขึ้นในการสังเกตว่าหลักการเหล่านี้มีความครอบคลุมมากเพียงใด โดยการนำไปใช้กับกรณีเฉพาะที่เขาเองจะคิดค้นขึ้นในขณะที่เขาฝึกฝนตนเองในศิลปะนี้... ^{[ 15 ]}

เทย์เลอร์กล่าวต่อ

...เพราะวิธีที่แท้จริงและดีที่สุดในการเรียนรู้ศิลปะใดๆ ไม่ใช่การดูตัวอย่างมากมายที่คนอื่นทำ แต่เป็นการครอบครองหลักการของศิลปะนั้นด้วยตนเองก่อน แล้วจึงฝึกฝนให้คุ้นเคยด้วยการลงมือปฏิบัติจริง^{[ 16 ]}

การใช้กระดานชนวนในโรงเรียนเป็นรูปแบบแรกเริ่มของการทำแบบฝึกหัด การพัฒนาของโปรแกรมแบบฝึกหัดเกิดขึ้นหลังจากมีการนำการสอบข้อเขียนและการเรียนการสอนโดยใช้ปากกาและกระดาษมาใช้

เฟลิกซ์ ไคลน์อธิบายการเตรียมตัวสำหรับการสอบเข้า École Polytechniqueว่า^{[ 17 ]}

...หลักสูตร "คณิตศาสตร์พิเศษ" นี่คือการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ที่เข้มข้นเป็นพิเศษ – มากถึง 16 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ – ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิตวิเคราะห์เบื้องต้นและกลศาสตร์ และเมื่อเร็ว ๆ นี้ได้เพิ่มแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เข้าไปด้วย โดยผู้เรียนจะฝึกฝนจนเชี่ยวชาญอย่างมั่นคงผ่านแบบฝึกหัดมากมาย

ซิลเวสตร์ ลาครัวซ์เป็นครูและนักอธิบายที่มีพรสวรรค์ หนังสือของเขาเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพรรณนาใช้ส่วนที่ติดป้ายว่า "ปัญหา" เพื่อฝึกฝนความเข้าใจของผู้อ่าน ในปี ค.ศ. 1816 เขาเขียนเรียงความเกี่ยวกับการสอนโดยทั่วไป และเกี่ยวกับการสอนคณิตศาสตร์โดยเฉพาะซึ่งเน้นย้ำถึงความจำเป็นในการฝึกฝนและทดสอบ:

ผู้ตรวจข้อสอบจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนคำถามให้เพียงพอในระยะสั้นเพื่อให้ครอบคลุมเนื้อหาที่สอนส่วนใหญ่ และไม่ควรจะละเอียดถี่ถ้วนน้อยลง เพราะหากจะย่อให้สั้นลงโดยการละเว้นการประยุกต์ใช้ เขาจะไม่ได้รับประโยชน์ใดๆ ต่อความสามารถของนักเรียนด้วยวิธีนี้^{[ 18 ]}

แอนดรูว์ วอร์วิค ได้หยิบยกประเด็นทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับการออกกำลังกายขึ้นมาพิจารณา:

การรวมแบบฝึกหัดและปัญหาประกอบการอธิบายไว้ท้ายบทในตำราฟิสิกส์คณิตศาสตร์นั้นเป็นเรื่องปกติธรรมดาจนดูเหมือนไม่ใช่เรื่องแปลก แต่สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่าวิธีการสอนแบบนี้มีต้นกำเนิดค่อนข้างใหม่และถูกนำมาใช้ในบริบททางประวัติศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจง^{[ 19 ] : 168}

ในการรายงานเกี่ยวกับ การสอบวิชา คณิตศาสตร์ระดับสูง (Mathematical tripos examinations) ที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์เขาตั้งข้อสังเกตว่า

การเรียนรู้แบบสะสมและแข่งขันกันดังกล่าวสามารถบรรลุผลได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยผู้สอนส่วนตัวที่ใช้การสอนแบบรายบุคคล ต้นฉบับที่จัดทำขึ้นเป็นพิเศษ และตัวอย่างและปัญหาที่จัดระดับไว้ มากกว่าที่อาจารย์ในวิทยาลัยจะสอนชั้นเรียนขนาดใหญ่ด้วยความเร็วระดับปานกลาง^{[ 19 ] : 79}

เขาอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างการสอบและการออกกำลังกายโดยเขียนไว้ว่า

...ในช่วงทศวรรษ 1830 ปัญหาในข้อสอบมากกว่าแบบฝึกหัดในตำราเรียน เป็นตัวกำหนดมาตรฐานที่นักเรียนผู้ทะเยอทะยานปรารถนา...[นักเรียนเคมบริดจ์] ไม่เพียงแต่คาดหวังว่าจะหาทางออกได้แม้เพียงโครงร่างของตัวอย่าง แต่ยังได้รับการสอนให้มองแบบฝึกหัดเหล่านั้นเป็นการเตรียมความพร้อมที่มีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาที่ยากในข้อสอบ^{[ 19 ] : 152}

วอร์วิคได้อธิบายถึงที่มาของการปฏิรูปโดยเขียนไว้ว่า:

เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางในเคมบริดจ์ว่า วิธีที่ดีที่สุดในการสอนคณิตศาสตร์ รวมถึงวิธีการวิเคราะห์แบบใหม่ คือการใช้ตัวอย่างและปัญหาเชิงปฏิบัติ และในช่วงกลางทศวรรษ 1830 บรรดานักศึกษารุ่นแรกๆ ของวิทยาลัยที่ได้รับการสอนการวิเคราะห์ขั้นสูงด้วยวิธีนี้ เริ่มดำเนินการวิจัยของตนเองและได้รับการแต่งตั้งเป็นผู้ตรวจข้อสอบ Tripos ^{[ 19 ] : 155}

วอร์วิครายงานว่าในเยอรมนีฟรานซ์ เอิร์นสต์ นอยมันน์ในช่วงเวลาเดียวกันนั้น “ได้พัฒนาระบบแบบฝึกหัดแบบแบ่งระดับทั่วไปที่แนะนำให้นักเรียนรู้จักกับลำดับชั้นของทักษะและเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น และ...เริ่มสร้างชุดปัญหา ของเขาเอง ซึ่งนักเรียนของเขาสามารถเรียนรู้ทักษะของพวกเขาได้” ^{[ 19 ] : 174} ในรัสเซียสตีเฟน ทิโมเชนโกได้ปฏิรูปการสอนโดยใช้แบบฝึกหัด ในปี 1913 เขาได้สอนเรื่องความแข็งแรงของวัสดุที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐปีเตอร์สเบิร์กด้านการสื่อสารดังที่เขาเขียนไว้ในปี 1968

แบบฝึกหัด [เชิงปฏิบัติ] ไม่ได้ถูกมอบให้ที่สถาบัน และในการสอบ นักเรียนจะถูกถามเฉพาะคำถามเชิงทฤษฎีจากตำราเรียนที่ใช้เท่านั้น ฉันต้องยุติการสอนแบบนี้โดยเร็วที่สุด นักเรียนเข้าใจสถานการณ์อย่างชัดเจน ตระหนักถึงความจำเป็นในการซึมซับเนื้อหาได้ดีขึ้น และไม่คัดค้านการเพิ่มภาระงานอย่างมาก ปัญหาหลักอยู่ที่ครู หรือพูดให้แม่นยำกว่านั้นคือ ผู้ตรวจข้อสอบ ซึ่งคุ้นเคยกับการออกข้อสอบโดยอิงจากหนังสือ การนำโจทย์ปฏิบัติมาใส่ในข้อสอบทำให้งานของพวกเขายุ่งยากขึ้น พวกเขาเป็นคนที่มีอายุมากแล้ว...ความหวังเดียวคือการนำคนหนุ่มสาวเข้ามาสอน^{[ 20 ]}

• อัลกอริทึม
• ผลกระทบจากตัวอย่างการใช้งาน

• Tatyana Afanasyeva (1931) แบบฝึกหัดเรขาคณิตเชิงทดลองจากสถาบันวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์แปซิฟิก
• วลาดิมีร์ อาร์โนลด์ (2004) แบบฝึกหัดสำหรับนักเรียนอายุ 5 ถึง 15 ปีบนแพลตฟอร์ม IMAGINARY
• เจมส์ อัลเฟรด อีวิง (1911) ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ กลศาสตร์ การเดินเรือและดาราศาสตร์ทางทะเล ความร้อนและไอน้ำ ไฟฟ้า สำหรับนายทหารฝึกหัดบนเรือจากInternet Archive
• Jim Hefferon และคณะ (2004) พีชคณิตเชิงเส้นใน Wikibooks