ในวิชาคณิตศาสตร์ ความผิดพลาดใน การพิสูจน์บางประเภทมักถูกนำมาแสดง และบางครั้งก็ถูกรวบรวมไว้ เพื่อเป็นตัวอย่างของแนวคิดที่เรียกว่าความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์มีความแตกต่างระหว่างความผิดพลาด ธรรมดา และความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ กล่าวคือ ความผิดพลาดธรรมดาในการพิสูจน์นำไปสู่การพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้อง ในขณะที่ตัวอย่างความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีที่สุดนั้น มักมีองค์ประกอบของการปกปิดหรือการหลอกลวงในการนำเสนอการพิสูจน์

ตัวอย่างเช่น สาเหตุที่ความถูกต้องล้มเหลวอาจเกิดจากการหารด้วยศูนย์ซึ่งซ่อนอยู่ภายใต้สัญลักษณ์ทางพีชคณิต มีลักษณะเฉพาะของความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์: โดยทั่วไปแล้ว ความผิดพลาดนี้ไม่เพียงแต่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไร้สาระเท่านั้น แต่ยังทำในลักษณะที่แยบยลหรือแยบยลอีกด้วย^{[ 1 ]}ดังนั้น ด้วยเหตุผลทางการสอน ความผิดพลาดเหล่านี้มักจะอยู่ในรูปแบบของการพิสูจน์ ที่ผิดพลาด ของความขัดแย้ง ที่ชัดเจน แม้ว่าการพิสูจน์จะมีข้อบกพร่อง แต่ข้อผิดพลาดมักจะถูกออกแบบให้มีความละเอียดอ่อน หรือออกแบบมาเพื่อแสดงให้เห็นว่าขั้นตอนบางอย่างมีเงื่อนไข และไม่สามารถนำไปใช้ได้ในกรณีที่เป็นข้อยกเว้นของกฎ

วิธีการนำเสนอข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมคือการให้ขั้นตอนการอนุมานที่ไม่ถูกต้องผสมกับขั้นตอนที่ถูกต้อง ดังนั้นความหมายของข้อผิดพลาดจึงแตกต่างจากข้อผิดพลาดทางตรรกะ เล็กน้อย ข้อผิดพลาดทางตรรกะมักใช้กับรูปแบบของการโต้แย้งที่ไม่สอดคล้องกับกฎการอนุมานที่ถูกต้องของตรรกะ ในขณะที่ขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ที่เป็นปัญหาโดยทั่วไปคือกฎที่ถูกต้องซึ่งนำมาใช้กับสมมติฐานที่ผิดโดยปริยาย นอกเหนือจากการสอนแล้ว การแก้ไขข้อผิดพลาดสามารถนำไปสู่ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในหัวข้อ (เช่น การแนะนำสัจพจน์ของ Paschในเรขาคณิตยุคลิด [ ^{2 ]}ทฤษฎีบทห้าสีของทฤษฎีกราฟ ) Pseudariaหนังสือโบราณที่สูญหายไปเกี่ยวกับการพิสูจน์ที่ผิดพลาดนั้นเชื่อกันว่าเป็นผลงาน^ของยูคลิด^{[ 3 ]}

ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์มีอยู่มากมายในสาขาคณิตศาสตร์ ในพีชคณิตเบื้องต้นตัวอย่างทั่วไปอาจเกี่ยวข้องกับขั้นตอนที่ทำการหารด้วยศูนย์ การ ดึง รากที่ไม่ถูกต้อง หรือโดยทั่วไปแล้ว การเทียบเท่าค่าที่แตกต่างกันของฟังก์ชันหลาย ค่า ข้อผิดพลาดที่รู้จักกันดีก็มีอยู่ในเรขาคณิตยุคลิดเบื้องต้นและแคลคูลัสเช่น กัน ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {\cancel {d}}{\cancel {d}}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

การยกเลิกที่ผิดปกติในแคลคูลัส

มีตัวอย่างของผลลัพธ์ที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ซึ่งได้มาจากการใช้เหตุผลที่ผิดพลาด อย่างไรก็ตาม แม้ว่าข้อสรุปจะดูเหมือนถูกต้อง แต่การให้เหตุผลเช่นนั้นก็ไม่ถูกต้อง ทางคณิตศาสตร์ และโดยทั่วไปเรียกว่า " ความผิด พลาดร้ายแรง"ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของความผิดพลาดร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับการตัดทอนที่ผิดปกติ : $${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {\ 1{\cancel {6}}}{{\cancel {6}}4\ }}={\frac {1}{4}}.}$$

ในที่นี้ แม้ว่าข้อสรุป⁠16/64=​​1/4ถูกต้องแล้ว มีการตัดทอนที่ผิดพลาดและไม่ถูกต้องในขั้นตอนกลาง^{[หมายเหตุ 1 ]}อีกตัวอย่างคลาสสิกของความผิดพลาดอย่างร้ายแรงคือการพิสูจน์ทฤษฎีบท Cayley–Hamiltonโดยการแทนที่ตัวแปรสเกลาร์ของพหุนามลักษณะเฉพาะด้วยเมทริกซ์เท่านั้น

เอ็ดวิน แม็กซ์เวลล์เรียกการพิสูจน์ การคำนวณ หรือการอนุมานปลอมที่สร้างขึ้นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องแม้จะมีตรรกะหรือการดำเนินการที่ไม่ถูกต้องว่า "howlers" ^{[ 2 ]}นอกสาขาคณิตศาสตร์ คำว่าhowlerมีความหมายหลากหลาย โดยทั่วไปแล้วจะไม่เฉพาะเจาะจงมากนัก

ความเข้าใจผิดเรื่อง การหารด้วยศูนย์มีหลายรูปแบบ ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้การหารด้วยศูนย์แบบแฝงเพื่อ "พิสูจน์" ว่า 2 = 1 แต่สามารถดัดแปลงเพื่อพิสูจน์ได้ว่าจำนวนใดๆ เท่ากับจำนวนอื่นๆ ได้เช่นกัน

1. ให้aและbเป็นปริมาณที่เท่ากันและไม่เป็นศูนย์

   ${\displaystyle a=b}$

2. คูณด้วยa

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. ลบb ²

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. แยกตัวประกอบทั้งสองข้าง: ด้านซ้ายแยกตัวประกอบเป็นผลต่างกำลังสอง ส่วนด้านขวาแยกตัวประกอบโดยการดึงค่าb ออก จากทั้งสองพจน์

   ${\displaystyle (ab)(a+b)=b(ab)}$

5. หาร ( a − b ) ออก

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าa = b

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. รวมคำที่เหมือนกันทางด้านซ้าย

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. หารด้วยค่า bที่ไม่ใช่ศูนย์

   ${\displaystyle 2=1}$

QED ^{[ 6 ]}

ข้อผิดพลาดอยู่ที่บรรทัดที่ 5: การดำเนินไปจากบรรทัดที่ 4 ถึงบรรทัดที่ 5 เกี่ยวข้องกับการหารด้วยa  −  bซึ่งเท่ากับศูนย์เนื่องจากa  =  bเนื่องจากการหารด้วยศูนย์ไม่มีนิยาม ดังนั้นข้อโต้แย้งจึงไม่ถูกต้อง

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในฐานะการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงและขีดจำกัด อาจนำไปสู่ความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ได้ หาก ละเลยคุณสมบัติของอินทิกรัลและอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น การใช้ การอินทิเกรตโดยส่วนอย่าง ง่ายๆ สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ว่า 0 = 1 ได้อย่างผิดพลาด: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}$

หลังจากนั้น อนุพันธ์ผกผันอาจถูกตัดทิ้ง ทำให้ได้ 0 = 1 ปัญหาคือ อนุพันธ์ผกผันนั้นถูกกำหนดไว้เพียงแค่ค่าคงที่เท่านั้น และการเลื่อนค่าไป 1 หรือจำนวนใดๆ ก็สามารถทำได้ ข้อผิดพลาดจะปรากฏชัดเจนเมื่อเราแนะนำขอบเขตการอินทิเกรต aและbที่กำหนดขึ้นเอง

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx}$

เนื่องจากผลต่างระหว่างค่าสองค่าของฟังก์ชันคงที่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นปริพันธ์จำกัดเดียวกันจึงปรากฏอยู่ทั้งสองข้างของสมการ

ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันไม่มีฟังก์ชัน ผกผันเพียงฟังก์ชันเดียว ตัวอย่างเช่น ในขณะที่การยกกำลังสองของจำนวนหนึ่งให้ค่าที่ไม่ซ้ำกัน แต่ รากที่สอง ของจำนวนบวก จะมีค่าได้สอง ค่า ราก ที่สอง มีค่าได้หลาย ค่า สามารถเลือกค่าหนึ่งเป็น ค่าหลักได้ตามธรรมเนียมในกรณีของรากที่สอง ค่าที่ไม่เป็นลบจะเป็นค่าหลัก แต่ไม่มีการรับประกันว่ารากที่สองที่กำหนดเป็นค่าหลักของการยกกำลังสองของจำนวนหนึ่งจะเท่ากับจำนวนเดิม (เช่น รากที่สองหลักของการยกกำลังสองของ -2 คือ 2) ข้อเท็จจริงนี้ยังคงเป็นจริงสำหรับราก ที่ n ด้วย

ต้องระมัดระวังเมื่อทำการถอดรากที่สองของทั้งสองข้างของสมการหากไม่ทำเช่นนั้นจะส่งผลให้ได้ "การพิสูจน์" ของ^{[ 8 ]} 5 = 4

การพิสูจน์:

เริ่มต้นจาก

${\displaystyle -20=-20}$

เขียนสิ่งนี้เป็น

${\displaystyle 25-45=16-36}$

เขียนใหม่เป็น

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$

เพิ่ม​81/4ทั้งสองฝ่าย:

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$

นี่คือรูปกำลังสองสมบูรณ์:

${\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}$

ถอดรากที่สองของทั้งสองข้าง:

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}$

เพิ่ม​9/2ทั้งสองฝ่าย:

${\displaystyle 5=4}$

QED

ข้อผิดพลาดอยู่ที่บรรทัดรองสุดท้าย ตรงที่ถอดรากที่สองของทั้งสองข้าง: a²  =  b²จะหมายความว่าa  =  b ก็ ^ต่อเมื่อaและb มีเครื่องหมายเดียวกัน ซึ่งใน ^กรณีนี้ไม่ใช่เช่นนั้น ในกรณีนี้ มันหมายความว่าa  = – bดังนั้นสมการที่ถูกต้องควรเป็น

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}$

ซึ่งโดยการเพิ่ม⁠9/2เมื่อ นำทั้งสองข้างมาลดให้เหลือ 5 = 5 อย่างถูกต้อง

อีกตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นถึงอันตรายของการหาค่ารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์พื้นฐานต่อไปนี้^{[ 9 ]}

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}$

ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากนั้นโดยการถอดรากที่สอง

${\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$

เมื่อประเมินค่านี้เมื่อx  =  πเราจะได้ว่า

${\displaystyle -1={\sqrt {1-0}}}$

หรือ

${\displaystyle -1=1}$

ซึ่งไม่ถูกต้อง

ข้อผิดพลาดในตัวอย่างเหล่านี้โดยพื้นฐานแล้วเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบดังกล่าว

${\displaystyle x^{2}=a^{2}}$

โดยที่มีสองคำตอบ: ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x=\pm a}$

และจำเป็นต้องตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหาใดในจำนวนนี้มีความเกี่ยวข้องกับปัญหาที่เกิดขึ้น^{[ 10 ]} ในความผิดพลาดข้างต้น รากที่สองที่ทำให้สามารถอนุมานสมการที่สองจากสมการแรกได้นั้นใช้ได้เฉพาะเมื่อ cos  xเป็นบวกเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดให้x เป็น πสมการที่สองจะไม่ถูกต้อง

การพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องซึ่งใช้เลขยกกำลังและราก มักจะเป็นประเภทดังต่อไปนี้:

${\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}$

ข้อผิดพลาดคือกฎนี้โดยทั่วไปจะใช้ได้ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งค่าของและมีค่าไม่เป็นลบ (เมื่อจัดการกับจำนวนจริง) ซึ่งไม่ใช่กรณีนี้^{[ 11 ]}${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

อีกทางเลือกหนึ่ง รากสมมุติจะถูกทำให้คลุมเครือด้วยวิธีต่อไปนี้:

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1}$

ข้อผิดพลาดในที่นี้อยู่ที่การใช้ฟังก์ชันหลายค่าที่ไม่ถูกต้องมีสองค่าและโดยไม่มีการเลือกสาขาก่อนหน้า ในขณะที่แสดงถึงค่าหลักเท่านั้น[ ^{12 ] ใน}ทำนองเดียวกันมีค่าที่แตกต่างกันสี่ค่า, , , และซึ่งมีเพียงค่าเดียวที่เท่ากับด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันแรก ${\displaystyle (-1)^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 1^{\frac {1}{4}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle i}$

เมื่อยกกำลังจำนวนด้วยจำนวนเชิงซ้อน ผลลัพธ์จะไม่สามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจง (ดูการยกกำลัง § ความล้มเหลวของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม ) หากไม่ตระหนักถึงคุณสมบัตินี้ อาจส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}}$

ข้อผิดพลาดในที่นี้คือ กฎการคูณเลขยกกำลังเช่นเดียวกับเมื่อขึ้นบรรทัดใหม่นั้นใช้ไม่ได้กับเลขยกกำลังเชิงซ้อนโดยไม่เปลี่ยนแปลง แม้ว่าเมื่อยกกำลังi ทั้งสองข้าง จะเลือกเฉพาะค่าหลักก็ตาม เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่าทั้งสองข้างจะให้ชุดค่าเดียวกัน${\displaystyle \{e^{2\pi n}|n\in \mathbb {Z} \}.}$

ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์หลายอย่างในเรขาคณิตเกิดขึ้นจากการใช้สมการเชิงบวกที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่มีทิศทาง (เช่น การบวกเวกเตอร์ตามแนวเส้นตรงที่กำหนด หรือการบวกมุมที่มีทิศทางในระนาบ) กับเอกลักษณ์ที่ถูกต้อง แต่กำหนดเพียงค่าสัมบูรณ์ของปริมาณ (หนึ่ง) เท่านั้น จากนั้นจึงนำปริมาณนี้ไปรวมในสมการด้วยทิศทางที่ผิด ทำให้ได้ข้อสรุปที่ไร้สาระ โดยปกติแล้วทิศทางที่ผิดนี้จะถูกแนะนำโดยปริยายผ่านการให้แผนภาพที่ไม่แม่นยำของสถานการณ์ ซึ่งตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดหรือเส้นถูกเลือกในลักษณะที่เป็นไปไม่ได้จริง ๆ ภายใต้สมมติฐานของการโต้แย้ง แต่เห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้

โดยทั่วไปแล้ว ความผิดพลาดทางเรขาคณิตเช่นนี้สามารถเปิดเผยได้ง่ายๆ โดยการวาดภาพสถานการณ์อย่างละเอียด ซึ่งตำแหน่งสัมพัทธ์บางอย่างจะแตกต่างจากในแผนภาพที่ให้มา เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดดังกล่าว การให้เหตุผลทางเรขาคณิตที่ถูกต้องโดยใช้การบวกหรือลบระยะทางหรือมุม ควรพิสูจน์ได้เสมอว่าปริมาณต่างๆ ถูกนำมาพิจารณาในทิศทางที่ถูกต้อง

ความเข้าใจผิดเรื่องสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จาก ( Maxwell 1959 , บทที่ II, § 1) อ้างว่าแสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยม ทุกรูป เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหมายความว่าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันความเข้าใจผิดนี้เป็นที่รู้จักของLewis Carrollและอาจถูกค้นพบโดยเขาเอง ตีพิมพ์ในปี 1899 ^{[ 13 ] [ 14 ]}

กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม △ABC จงพิสูจน์ว่า AB = AC:

1. ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม ∠A
2. ลากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรง BC ซึ่งแบ่งครึ่ง BC ที่จุด D
3. ให้เส้นตรงทั้งสองเส้นนี้มาบรรจบกันที่จุด O
4. ลากเส้น OR ตั้งฉากกับ AB และลากเส้น OQ ตั้งฉากกับ AC
5. ลากเส้น OB และ OC
6. โดยAAS △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (ด้านร่วม))
7. โดยRHS [ ^{หมายเหตุ 2 ]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (ด้านตรงข้ามมุมฉาก); RO = OQ (ด้านประกอบมุมฉาก) ⁾
8. ดังนั้น AR = AQ, RB = QC และ AB = AR + RB = AQ + QC = AC

QED

ดังนั้น จึงสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยการพิสูจน์ว่า AB = BC และ AC = BC ในลักษณะเดียวกัน

ข้อผิดพลาดในการพิสูจน์คือการสมมติในแผนภาพว่าจุด O อยู่ภายในสามเหลี่ยม ในความเป็นจริง จุด O จะอยู่บนวงกลมล้อมรอบของ △ABC เสมอ (ยกเว้นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ AO และ OD ทับกัน) ยิ่งไปกว่านั้น สามารถแสดงได้ว่า ถ้า AB ยาวกว่า AC แล้ว R จะอยู่ภายใน AB ในขณะที่ Q จะอยู่ภายนอก AC และในทางกลับกัน (ในความเป็นจริง แผนภาพใดๆ ที่วาดด้วยเครื่องมือที่แม่นยำเพียงพอจะตรวจสอบข้อเท็จจริงสองข้อข้างต้นได้) ด้วยเหตุนี้ AB จึงยังคงเป็น AR + RB แต่ AC จริงๆ แล้วคือ AQ − QC ดังนั้นความยาวจึงไม่จำเป็นต้องเท่ากันเสมอไป

มีการพิสูจน์โดยการอุปนัย ที่ผิดพลาดหลายอย่าง ซึ่งส่วนประกอบหนึ่ง เช่น กรณีพื้นฐานหรือขั้นตอนการอุปนัย ไม่ถูกต้อง โดยทั่วไปแล้ว การพิสูจน์โดยการอุปนัยจะทำงานโดยการโต้แย้งว่าหากข้อความเป็นจริงในกรณีหนึ่ง ข้อความนั้นก็จะเป็นจริงในกรณีถัดไป และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับทุกกรณี “การพิสูจน์” ต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน [ ^{15 ] [ หมายเหตุ 3 ]}

1. สมมติว่า ม้าจำนวน N ตัวในกลุ่มใดๆ ก็ตาม มีสีเดียวกันทั้งหมด
2. ถ้าเราเอาออกไปหนึ่งตัวจากกลุ่ม เราจะมีกลุ่ม ม้าที่มีสีเดียวกันจำนวนN − 1 ตัว ถ้าเราเพิ่มม้าเข้าไปอีกหนึ่งตัว เราจะมีกลุ่มม้าอีกกลุ่มหนึ่งที่มีจำนวน N ตัวตามสมมติฐานก่อนหน้านี้ ม้าทุกตัวในกลุ่มใหม่นี้จะมีสีเดียวกัน เนื่องจากเป็นกลุ่มม้า ที่มีจำนวน N ตัว
3. ดังนั้นเราจึงสร้างกลุ่มม้าสองกลุ่ม กลุ่มละN ตัวโดยทุกตัวมีสีเดียวกัน และมี ม้าที่เหมือนกันอยู่ N  − 1 ตัว เนื่องจากทั้งสองกลุ่มมีม้าที่เหมือนกันอยู่บ้าง ดังนั้นทั้งสองกลุ่มจึงต้องมีสีเดียวกัน
4. ดังนั้น เมื่อรวมม้าทั้งหมดที่ใช้ เราจะได้กลุ่มม้าจำนวนN  + 1 ตัวที่มีสีเดียวกัน
5. ดังนั้น ถ้าม้าจำนวนN ตัว มีสีเดียวกันทั้งหมด ม้าจำนวนN  + 1 ตัวก็จะมีสีเดียวกันด้วย
6. เห็นได้ชัดว่าข้อนี้เป็นจริงสำหรับN  = 1 (กล่าวคือ ม้าหนึ่งตัวเป็นกลุ่มที่ม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน) ดังนั้น โดยการอุปมาน ม้า Nตัวจะมีสีเดียวกันสำหรับจำนวนเต็มบวกN ใดๆ และด้วยเหตุนี้ ม้าทุกตัวจึงมีสีเดียวกัน

ข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์นี้เกิดขึ้นในบรรทัดที่ 3 สำหรับN  = 1 กลุ่มม้าทั้งสองกลุ่มมี ม้าที่เหมือนกัน N  − 1 = 0 ตัว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีสีเดียวกันเสมอไป ดังนั้นกลุ่มม้าN  + 1 = 2 ตัวจึงไม่จำเป็นต้องมีสีเดียวกันทั้งหมด ข้อสรุปที่ว่า "ม้าทุกตัวN ตัว มีสีเดียวกัน ดังนั้น ม้า N  + 1 ตัวก็มีสีเดียวกัน" ใช้ได้กับN  > 1 ใดๆ แต่ไม่เป็นจริงเมื่อN  = 1 กรณีพื้นฐานถูกต้อง แต่ขั้นตอนการอุปมานมีข้อบกพร่องพื้นฐาน

เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับหน่วยในโลกแห่งความเป็นจริง หน่วยมักจะเปลี่ยนแปลงไปด้วยการวิเคราะห์มิติแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้มีประโยชน์อย่างไร อย่างไรก็ตาม การไม่คำนึงถึงสิ่งนี้อาจนำไปสู่ปัญหาเช่น: ^{[ 16 ]}

1/4 ดอลลาร์ = 25 เซนต์

การหาค่ารากที่สองของตัวเลขทั้งสองข้าง

1/2 ดอลลาร์ = 5 เซนต์

อย่างไรก็ตาม ด้านข้างไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นหน่วยเงิน และจะต้องมีดอลลาร์กำลังสองและเซนต์กำลังสองในบรรทัดแรก หรือรากที่สองของดอลลาร์และเซนต์ในบรรทัดที่สองจึงจะใช้ได้ ซึ่งไม่มีความหมาย

• การตัดทอนที่ผิดปกติ  – ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง
• การหารด้วยศูนย์  – ประเภทของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์
• ปัญหาเก็ตเทียร์  – ปัญหาเชิงปรัชญาเกี่ยวกับสิ่งที่ประกอบขึ้นเป็นความรู้
• รายชื่อบทพิสูจน์ที่ไม่สมบูรณ์
• ความบังเอิญทางคณิตศาสตร์  – ความบังเอิญในวิชาคณิตศาสตร์
• ปฏิปักษ์  – ข้อความที่ขัดแย้งในตัวเองทางตรรกะ
• การพิสูจน์โดยการข่มขู่  – การระบุว่าข้อโต้แย้งนั้นชัดเจนหรือเป็นเรื่องเล็กน้อย

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับหลักฐานที่ไม่ถูกต้อง

• หลักฐานที่ไม่ถูกต้องที่Cut-the-knot (รวมถึงเอกสารอ้างอิง)
• ข้อผิดพลาดทางตรรกะแบบคลาสสิกพร้อมการอภิปรายบางส่วน
• หลักฐานที่ไม่ถูกต้องเพิ่มเติมจาก AhaJokes.com
• มุกตลกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ รวมถึงการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้อง