ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการโดยทั่วไปคือการแมปหรือฟังก์ชันที่กระทำกับองค์ประกอบของปริภูมิ หนึ่ง เพื่อสร้างองค์ประกอบของปริภูมิอื่น (ซึ่งอาจเป็นปริภูมิเดียวกันก็ได้ และบางครั้งก็จำเป็น) ไม่มีนิยามทั่วไปของตัวดำเนินการแต่คำนี้มักใช้แทนคำว่าฟังก์ชันเมื่อโดเมนเป็นเซตของฟังก์ชันหรือวัตถุที่มีโครงสร้างอื่นๆ นอกจากนี้ โดเมนของตัวดำเนินการมักยากที่จะระบุอย่างชัดเจน (ตัวอย่างเช่น ในกรณีของตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ ) และอาจขยายออกไปเพื่อกระทำกับวัตถุที่เกี่ยวข้อง (ตัวดำเนินการที่กระทำกับฟังก์ชันอาจกระทำกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีคำตอบเป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการนั้นด้วย) (ดูตัวดำเนินการ (ฟิสิกส์)สำหรับตัวอย่างอื่นๆ)

ตัวดำเนินการพื้นฐานที่สุดคือแผนที่เชิงเส้นซึ่งกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์ตัวดำเนินการเชิงเส้นหมายถึงแผนที่เชิงเส้นที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นปริภูมิเดียวกัน เช่น จากไปยัง[ ^{1 ] [ 2 ] [ a ] ​​ตัว} ดำเนินการดังกล่าวมักจะรักษาคุณสมบัติ เช่นความต่อเนื่องตัวอย่างเช่น การหาอนุพันธ์ และ การหาปริพันธ์ไม่จำกัด เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น ตัวดำเนินการที่สร้างขึ้นจากตัวดำเนินการเหล่านี้เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์หรือตัวดำเนินการเชิง อนุพันธ์ และ ปริพันธ์${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

คำว่า "โอเปอเรเตอร์"ยังใช้เพื่อแสดงถึงสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ด้วย ซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับความหมายของ "โอเปอเรเตอร์" ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (ดูโอเปอเรเตอร์ (การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์) )

ตัวดำเนินการประเภทที่พบได้บ่อยที่สุดคือตัวดำเนินการเชิงเส้นให้UและVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์K ใด ๆ การแมป จะเป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อสำหรับทุกxและyในUและสำหรับทุกα , βในK${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$$${\displaystyle \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$

นี่หมายความว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นจะรักษาการดำเนินการของปริภูมิเวกเตอร์ ในแง่ที่ว่าไม่สำคัญว่าคุณจะใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้นก่อนหรือหลังการดำเนินการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ ในเชิงเทคนิคมากขึ้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ ในกรณีมิติจำกัด ตัวดำเนินการเชิงเส้นสามารถแสดงด้วยเมทริกซ์ ได้ ในลักษณะต่อไปนี้ ให้Kเป็นฟิลด์ และ U และVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือKให้เราเลือกฐานในUและในVจากนั้นให้เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน(โดยสมมติแบบแผนของไอน์สไตน์ ) และเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น จากนั้น โดย ที่ทั้งหมดคือรูปแบบเมทริกซ์ของตัวดำเนินการในฐานคงที่เทนเซอร์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกและถ้าดังนั้นในฐานคงที่ เมทริกซ์ n x mจะ สอดคล้องกัน แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับตัวดำเนินการเชิงเส้นจากไปยัง ${\displaystyle U}$${\displaystyle \ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {A} :U\to V}$$${\displaystyle \ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.}$$${\displaystyle a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}}$${\displaystyle a_{i}^{j}\in K}$${\displaystyle \operatorname {A} }$${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle a_{i}^{j}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} }$${\displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

แนวคิดสำคัญที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับตัวดำเนินการระหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ได้แก่อันดับ ดีเท อ ร์มิแนนต์ตัวดำเนินการผกผันและปริภูมิไอเกน

ตัวดำเนินการเชิงเส้นยังมีบทบาทสำคัญอย่างมากในกรณีมิติอนันต์ แนวคิดเรื่องอันดับและดีเทอร์มิแนนต์ไม่สามารถขยายไปใช้กับเมทริกซ์มิติอนันต์ได้ นี่คือเหตุผลที่ต้องใช้เทคนิคที่แตกต่างกันมากเมื่อศึกษาตัวดำเนินการเชิงเส้น (และตัวดำเนินการโดยทั่วไป) ในกรณีมิติอนันต์ การศึกษาตัวดำเนินการเชิงเส้นในกรณีมิติอนันต์เรียกว่าการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (เรียกเช่นนั้นเพราะฟังก์ชันประเภทต่างๆ เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจของปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์)

ปริภูมิของลำดับจำนวนจริง หรือโดยทั่วไปแล้วลำดับของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ นั้น ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ กรณีที่สำคัญที่สุดคือลำดับของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน และปริภูมิเหล่านี้ รวมทั้งปริภูมิย่อยเชิงเส้น เรียกว่าปริภูมิของ ลำดับ ตัว ดำเนินการบนปริภูมิเหล่านี้เรียกว่าการแปลงลำดับ

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนปริภูมิบานาคก่อให้เกิดพีชคณิตบานาคโดยสัมพันธ์กับบรรทัดฐานของตัวดำเนินการมาตรฐาน ทฤษฎีของพีชคณิตบานาคพัฒนาแนวคิดทั่วไปของสเปกตรัมที่ขยายทฤษฎีของปริภูมิไอเกนได้อย่างงดงาม

ให้UและV เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิบน ฟิลด์เรียงลำดับเดียวกัน(ตัวอย่างเช่น) และมีนอร์ม กำกับอยู่ ตัว ดำเนินการเชิงเส้นจากUไปยังVเรียกว่ามีขอบเขตถ้ามีc > 0อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกxในUตัวดำเนินการที่มีขอบเขตจะก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ บนปริภูมิเวกเตอร์นี้ เราสามารถแนะนำนอร์มที่เข้ากันได้กับนอร์มของUและVได้ ในกรณีของตัวดำเนินการจากUไปยังตัวมันเอง สามารถแสดงได้ว่า ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \|\ชื่อผู้ดำเนินการ {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}}$$$${\displaystyle \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}.}$$

${\textstyle \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|}$[ ^ข]​

พีชคณิตบรรทัดฐานเอกลักษณ์ใดๆที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าพีชคณิตบานาคเป็นไปได้ที่จะขยายทฤษฎีสเปกตรัมไปยังพีชคณิตดังกล่าวพีชคณิต C*ซึ่งเป็นพีชคณิตบานาคที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง มีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม

จากมุมมองของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันแคลคูลัสคือการศึกษาตัวดำเนินการเชิงเส้นสองตัว ได้แก่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ และตัวดำเนินการโวลเทอร์รา ${\displaystyle {\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}}$${\displaystyle \int _{0}^{t}}$

ตัวดำเนินการสามตัวมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อแคลคูลัสเวกเตอร์ :

• Grad ( gradient ) (พร้อมสัญลักษณ์ตัวดำเนินการ) กำหนดเวกเตอร์ที่ทุกจุดในฟิลด์สเกลาร์ซึ่งชี้ไปในทิศทางของการเปลี่ยนแปลงอัตราสูงสุดของฟิลด์นั้น และขนาดของเวกเตอร์จะวัดค่าสัมบูรณ์ของการเปลี่ยนแปลงอัตราสูงสุดนั้น${\displaystyle \nabla }$
• Div ( ไดเวอร์เจนซ์ ) (พร้อมสัญลักษณ์ตัวดำเนินการ) เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่ใช้วัดการเบี่ยงเบนหรือการลู่เข้าของสนามเวกเตอร์ไปยังจุดที่กำหนด${\displaystyle {\nabla \cdot }}$
• Curl (พร้อมสัญลักษณ์ตัวดำเนินการ) เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ที่ใช้วัดแนวโน้มการโค้งงอ (การหมุนรอบ การหมุนรอบ) ของสนามเวกเตอร์รอบจุดที่กำหนด${\displaystyle \nabla \!\times }$

ตัวดำเนินการ grad, div และ curl ซึ่งเป็นส่วนขยายของตัวดำเนินการแคลคูลัสเวกเตอร์ในฟิสิกส์ วิศวกรรม และปริภูมิเทนเซอร์ มักจะเกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเทนเซอร์เช่นเดียวกับแคลคูลัสเวกเตอร์ด้วย^{[ 3 ]}

ในทางเรขาคณิต บางครั้งมีการศึกษา โครงสร้างเพิ่มเติมบนปริภูมิเวกเตอร์ตัวดำเนินการที่แมปปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวไปยังตัวมันเองแบบหนึ่งต่อหนึ่ง นั้นมีประโยชน์มากในการศึกษาเหล่านี้ เนื่องจากตัวดำเนินการเหล่านี้ก่อตัวเป็น กลุ่มโดยธรรมชาติจากการประกอบกัน

ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่รักษาโครงสร้างของปริมาณเวกเตอร์ไว้ได้ ก็คือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ผกผันได้ นั่นเอง พวกมันก่อให้เกิดกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปภายใต้การประกอบกัน อย่างไรก็ตาม พวกมันไม่ได้ก่อให้เกิดปริมาณเวกเตอร์ภายใต้การบวกตัวดำเนินการ เนื่องจากตัวอย่างเช่น ทั้งตัวดำเนินการเอกลักษณ์และตัวดำเนินการลบเอกลักษณ์ต่างก็ผกผันได้ (แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง) แต่ผลรวมของพวกมันคือ 0 นั้นผกผันไม่ได้

ตัวดำเนินการที่รักษาเมตริกแบบยุคลิดบนปริภูมิดังกล่าว จะก่อ ให้เกิดกลุ่มไอโซเมตรีและตัวดำเนินการที่ตรึงจุดกำเนิดจะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่เรียกว่ากลุ่มออร์โทโกนอลตัวดำเนินการในกลุ่มออร์โทโกนอลที่รักษาทิศทางของเวกเตอร์ทูเปิลไว้ด้วยจะก่อให้เกิดกลุ่มออร์โทโกนอลพิเศษหรือกลุ่มการหมุน

ตัวดำเนินการยังเกี่ยวข้องกับทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วย เช่นค่าคาดหวังความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วม ซึ่งใช้ในการตั้งชื่อทั้งสถิติเชิงตัวเลขและตัวดำเนินการที่สร้างสถิติเหล่านั้น ที่จริงแล้ว ความแปรปรวนร่วมทุกตัวโดยพื้นฐานแล้วคือผลคูณดอทความแปรปรวนทุกตัวเป็นผลคูณดอทของเวกเตอร์กับตัวมันเอง ดังนั้นจึงเป็นนอร์มกำลังสองค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทุกตัวเป็นนอร์ม (รากที่สองของนอร์มกำลังสอง) ค่าโคไซน์ที่สอดคล้องกับผลคูณดอทนี้คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันค่าคาดหวังโดยพื้นฐานแล้วเป็นตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ (ใช้ในการวัดรูปร่างที่มีน้ำหนักในปริภูมิ)

การแปลงฟูริเยร์มีประโยชน์ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฟิสิกส์และการประมวลผลสัญญาณ มันเป็นตัวดำเนินการเชิงอินทิกรัลอีกตัวหนึ่ง ประโยชน์หลักๆ คือมันแปลงฟังก์ชันในโดเมนหนึ่ง (เวลา) ไปเป็นฟังก์ชันในอีกโดเมนหนึ่ง (ความถี่) ในลักษณะที่ผกผันได้ อย่างมีประสิทธิภาพ ไม่มีข้อมูลสูญหาย เนื่องจากมีตัวดำเนินการแปลงผกผัน ในกรณีง่ายๆ ของฟังก์ชันคาบผลลัพธ์นี้อิงตามทฤษฎีบทที่ว่า ฟังก์ชันคาบต่อเนื่องใดๆ สามารถแสดงได้เป็นผลรวมของอนุกรมของคลื่นไซน์และคลื่นโคไซน์: ทูเปิล( a₀ _, a₁ , _b₁ , _a₂ , _{b₂ ,} ...)แท้จริงแล้วเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ℓ² ดังนั้นอนุกรมฟูริเยร์จึงเป็นตัวดำเนินการเชิง ^เส้น$${\displaystyle f(t)={\frac {\ a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)}$$

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันทั่วไปการแปลงจะมี รูปแบบ เป็นปริพันธ์ : ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }}$$

การแปลงลาปลาสเป็นตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์อีกชนิดหนึ่ง และมีส่วนเกี่ยวข้องในการทำให้กระบวนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ง่ายขึ้น

เมื่อกำหนดให้f = f ( s )จะได้นิยามดังนี้:$${\displaystyle F(s)=\operatorname {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t}$$

• การทำงาน
• ทฤษฎีตัวดำเนินการ
• พีชคณิตตัวดำเนินการ
• รายชื่อผู้ให้บริการ