ในทฤษฎีการเข้ารหัสขอบเขตของซิงเกิลตันซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ริชาร์ด คอลลอม ซิงเกิลตัน (ค.ศ. 1928–2007) เป็นขอบเขตบนที่ค่อนข้างหยาบของขนาดของรหัสบล็อก ใดๆ ที่มีความยาวบล็อกขนาดและระยะห่างขั้นต่ำนอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อขอบเขตของโจชิ^{[ 1 ]}ซึ่งพิสูจน์โดยโจชิ (ค.ศ. 1958)และก่อนหน้านั้นโดยโคมามิยะ ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$

ระยะห่างขั้นต่ำของชุดรหัสคำที่มีความยาวถูกกำหนดโดย โดยที่คือระยะห่างแฮม มิง ระหว่างและนิพจน์นี้แสดงถึงจำนวนรหัสคำสูงสุดที่เป็นไปได้ในรหัสบล็อกแบบ -ary ที่มีความยาวและระยะห่างขั้น  ต่ำ ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle d=\min _{\{x,y\in C:x\neq y\}}d(x,y)}$$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A_{q}(n,d)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

จากนั้นสถานะผูกพันของซิงเกิลตันที่ $${\displaystyle A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$$

ขั้นแรก สังเกตว่าจำนวนคำที่ลงท้ายด้วย -ary ที่มีความยาวเท่ากับ n คือn เนื่องจากตัวอักษรแต่ละตัวในคำดังกล่าวสามารถมีค่าได้หลายค่า โดยไม่ขึ้นอยู่กับตัวอักษรที่เหลืออยู่ ${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q^{n}}$${\displaystyle q}$

สมมติให้เป็นรหัสบล็อกแบบ n-ary ที่มีระยะห่างต่ำสุดเห็นได้ชัดว่า รหัสคำทุกคำแตกต่างกัน หากเราเจาะรหัสโดยการลบตัวอักษรตัวแรกของแต่ละรหัสคำ รหัสคำที่ได้ทั้งหมดจะต้องยังคงแตกต่างกันเป็นคู่ๆ เนื่องจากรหัสคำดั้งเดิมทั้งหมดในมีระยะห่างแฮม มิง อย่างน้อยดังนั้น ขนาดของรหัสที่เปลี่ยนแปลงแล้วจึงเท่ากับรหัสดั้งเดิม ${\displaystyle C}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$

รหัสคำที่ได้รับใหม่แต่ละรหัสมีความยาว และด้วยเหตุนี้จึงสามารถมีได้มากที่สุดเนื่องจากเป็นค่าที่กำหนดโดยพลการ ขอบเขตนี้จึงต้องเป็นจริงสำหรับรหัสที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้ ดังนั้น: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle n-(d-1)=n-d+1,}$$${\displaystyle q^{n-d+1}}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle |C|\leq A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$$

ถ้าเป็นรหัสเชิงเส้นที่มีความยาวบล็อกมิติและระยะทางขั้นต่ำเหนือฟิลด์จำกัดที่มีองค์ประกอบ จำนวนคำรหัสสูงสุดคือและขอบเขตซิงเกิลตันบ่งชี้ว่า: ดังนั้น ซึ่งมักจะเขียนเป็น^{[ 3 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{k}}$$${\displaystyle q^{k}\leq q^{n-d+1},}$$$${\displaystyle k\leq n-d+1,}$$$${\displaystyle d\leq n-k+1.}$$

ในกรณีรหัสเชิงเส้น การพิสูจน์ขอบเขต Singleton ที่แตกต่างกันสามารถทำได้โดยการสังเกตว่าอันดับของเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันคือ^{[ 4} ] การพิสูจน์ง่ายๆ อีกอย่างหนึ่งได้มาจากการสังเกตว่าแถวของเมทริกซ์กำเนิดใดๆ ในรูปแบบมาตรฐานมีน้ำหนัก^ไม่เกิน ${\displaystyle nk}$${\displaystyle n-k+1}$

The usual citation given for this result is Singleton (1964), but it was proven earlier by Joshi (1958). Joshi notes that the result had been obtained earlier by Komamiya (1953) using a more complex proof. Welsh (1988, p. 72) also notes the same regarding Komamiya (1953).

Linear block codes that achieve equality in the Singleton bound are called MDS (maximum distance separable) codes. Examples of such codes include codes that have only ${\displaystyle q}$ codewords (the all-${\displaystyle x}$ word for ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}}$, having thus minimum distance ${\displaystyle n}$), codes that use the whole of ${\displaystyle (\mathbb {F} _{q})^{n}}$ (minimum distance 1), codes with a single parity symbol (minimum distance 2) and their dual codes. These are often called trivial MDS codes.

In the case of binary alphabets, only trivial MDS codes exist.^[5][6]

Examples of non-trivial MDS codes include Reed-Solomon codes and their extended versions.^[7][8]

MDS codes are an important class of block codes since, for a fixed ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle k}$, they have the greatest error correcting and detecting capabilities. There are several ways to characterize MDS codes:^[9]

The last of these characterizations permits, by using the MacWilliams identities, an explicit formula for the complete weight distribution of an MDS code.^[10]

ความเป็นอิสระเชิงเส้นของคอลัมน์ของเมทริกซ์กำเนิดของรหัส MDS อนุญาตให้สร้างรหัส MDS จากวัตถุในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟจำกัด ให้เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ จำกัด ที่มีมิติ (เรขาคณิต) เหนือฟิลด์จำกัดให้เป็นเซตของจุดในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟนี้ซึ่งแสดงด้วยพิกัดเอกพันธุ์สร้างเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นพิกัดเอกพันธุ์ของจุดเหล่านี้ จากนั้น^{[ 11 ]}${\displaystyle PG(N,q)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{m}\}}$${\displaystyle (N+1)\times m}$${\displaystyle G}$

• กิลเบิร์ต-วาร์ชามอฟ ผูกพัน
• กรีสเมอร์ถูกผูกมัด
• แฮมมิง บอนด์
• มุ่งหน้าสู่จอห์นสัน
• พล็อตคินผูกติด

• JH van Lint (1992). บทนำสู่ทฤษฎีการเข้ารหัส . GTM .เล่มที่ 86 (ฉบับที่ 2). Springer-Verlag. หน้า  61. ISBN 3-540-54894-7.
• Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2001). "6. การประยุกต์ใช้กับทฤษฎีการเข้ารหัสเชิงพีชคณิต" จุดตรรกยะบนเส้นโค้งเหนือฟิลด์จำกัด ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ชุดบันทึกการบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน เล่มที่ 285 เคมบริดจ์ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 0-521-66543-4. Zbl  0971.11033 .