ในการวิเคราะห์แบบไอเดมโพเทนต์ เซมิริงแบบทรอปิคอลคือเซมิริงของจำนวนจริงขยายโดยที่การดำเนินการหาค่าต่ำสุด (หรือค่าสูงสุด ) และการบวกเข้ามาแทนที่การดำเนินการบวกและการคูณแบบปกติ ("แบบคลาสสิก") ตามลำดับ

เซมิริงเขตร้อนมีการใช้งานหลากหลาย (ดูการวิเคราะห์เขตร้อน ) และเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตเขตร้อนชื่อเขตร้อนเป็นการอ้างอิงถึงนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ชาวฮังการีที่เกิดในฮังการีชื่อImre Simonซึ่งได้รับชื่อนี้เพราะเขาอาศัยและทำงานในบราซิล^{[ 1 ]}

เดอะวงแหวนเขตร้อนขนาดเล็ก (หรือมินิพลัสเซมิริงหรือพีชคณิต min-plusคือเซมิริง(หรือเซมิฟิลด์) (,,) พร้อมด้วยการดำเนินการ: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

การดำเนินการดังกล่าวเรียกว่าการบวกแบบทรอปิคอลและการคูณแบบทรอปิคอลตามลำดับ เอกลักษณ์ของการดำเนินการคือและเอกลักษณ์ของการดำเนินการคือ 0 ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \otimes }$

ในทำนองเดียวกันวงแหวนเขตร้อนสูงสุด (หรือแม็กซ์พลัสเซมิริงหรือพีชคณิตบวกสูงสุดหรือเซมิริงอาร์กติก^{[ 2 ]} ) คือเซมิริง (,,) ที่มีการดำเนินการ: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

หน่วยเอกลักษณ์ของคือและหน่วยเอกลักษณ์ของคือ 0 ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \otimes }$

เซมิริงทั้งสองเป็นไอโซมอร์ฟิกภายใต้การปฏิเสธและโดยทั่วไปจะเลือกเซมิริงตัวใดตัวหนึ่งและเรียกง่ายๆ ว่าเซมิริงทรอปิคอล ข้อกำหนดแตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียนและสาขาย่อย: บางคนใช้ ข้อกำหนด แบบ minบางคนใช้ข้อกำหนด แบบ max${\displaystyle x\mapsto -x}$

เซมิริงเขตร้อนทั้งสองเป็นลิมิต (" การทำให้เป็นเขตร้อน ", "การลดปริมาณ") ของเซมิริงลอการิทึมเมื่อฐานเข้าสู่ค่าอนันต์( เซ${\displaystyle b\to \infty }$มิริงค่าสูงสุดบวก) หรือเข้าสู่ศูนย์(${\displaystyle b\to 0}$เซมิริงค่าต่ำสุดบวก )

การบวกแบบทรอปิคอลเป็นการบวก แบบไม่เปลี่ยนแปลงสถานะดังนั้นเซมิริงแบบทรอปิคอลจึงเป็นตัวอย่างของเซมิริงแบบไม่เปลี่ยนแปลงสถานะ

เซมิริงเขตร้อนเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตเขตร้อน ^{[ 3} ]^{แม้ว่าสิ่ง}นี้ไม่ควรสับสนกับพีชคณิตแบบเชื่อมโยงเหนือเซมิริงเขตร้อน

การยกกำลังแบบทรอปิคอลนั้นกำหนดไว้ในลักษณะปกติ คือ ผลคูณทรอปิคอลแบบซ้ำๆ

การดำเนินการเซมิริงเขตร้อนจำลองพฤติกรรมการประเมินค่าภายใต้การบวกและการคูณในฟิลด์ที่มีค่า ฟิลด์ค่าจริงคือฟิลด์ที่มีฟังก์ชัน ${\displaystyle K}$

${\displaystyle v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้สำหรับทุกค่าใน: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle v(a)=\infty }$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$ด้วยความเท่าเทียมกันหาก${\displaystyle วี(ก)\neq วี(b)}$

ดังนั้น ค่าประเมินv จึง เกือบจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิริงจากKไปยังเซมิริงทรอปิคอล ยกเว้นว่าคุณสมบัติโฮโมมอร์ฟิซึมอาจล้มเหลวเมื่อนำองค์ประกอบสองตัวที่มีค่าประเมินเดียวกันมาบวกกัน

ฟิลด์ค่าทั่วไปบางส่วน:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$หรือด้วยการประเมินค่าที่ไม่สำคัญสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle v(a)=0}$${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ด้วยการประเมินค่าแบบ p-adicสำหรับและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}$${\displaystyle a,b\neq 0}$${\displaystyle p}$
• ฟิลด์ท้องถิ่นที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนเช่นจำนวน p-adic ที่มีค่า p-adic ขยายจากค่าบน${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ฟิลด์ของอนุกรมลอเรนต์แบบเป็นทางการ (กำลังจำนวนเต็ม) หรือฟิลด์ของอนุกรมปุยเซอซ์หรือฟิลด์ของอนุกรมฮาห์นโดยที่การประเมินค่าจะคืนค่าเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดที่ปรากฏในอนุกรม${\displaystyle K((t))}$${\displaystyle K\{\{t\}\}}$${\displaystyle t}$