ในทางสถิติข้อมูลที่หายไปหรือค่าที่หายไปเกิดขึ้นเมื่อไม่มีค่าข้อมูล ใด ๆ ถูกบันทึกไว้สำหรับตัวแปรในการสังเกตข้อมูลที่หายไปเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นบ่อยและอาจส่งผลกระทบอย่างมากต่อข้อสรุปที่สามารถดึงออกมาจากข้อมูลได้

ข้อมูลที่ขาดหายไปอาจเกิดขึ้นเนื่องจากการไม่ตอบสนอง: ไม่มีการให้ข้อมูลสำหรับรายการใดรายการหนึ่งหรือมากกว่า หรือสำหรับหน่วยทั้งหมด ("ผู้เข้าร่วม") รายการบางรายการมีแนวโน้มที่จะทำให้เกิดการไม่ตอบสนองมากกว่ารายการอื่น ๆ เช่น รายการเกี่ยวกับเรื่องส่วนตัว เช่น รายได้การสูญเสียผู้ เข้าร่วม เป็นประเภทหนึ่งของข้อมูลที่ขาดหายไปซึ่งอาจเกิดขึ้นในงานวิจัยระยะยาว เช่น การศึกษาพัฒนาการที่ทำการวัดซ้ำหลังจากช่วงเวลาหนึ่ง ข้อมูลที่ขาดหายไปเกิดขึ้นเมื่อผู้เข้าร่วมถอนตัวออกก่อนที่การทดสอบจะสิ้นสุดลง และข้อมูลการวัดอย่างน้อยหนึ่งรายการขาดหายไป

ข้อมูลมักจะขาดหายไปในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์สังคมวิทยาและรัฐศาสตร์เนื่องจากรัฐบาลหรือหน่วยงานเอกชนเลือกที่จะไม่รายงานหรือไม่สามารถรายงานสถิติที่สำคัญได้[ ^{1 ] หรือ}เนื่องจากไม่มีข้อมูล บางครั้งค่าที่หายไปเกิดจากตัวนักวิจัยเอง เช่น เมื่อการเก็บรวบรวมข้อมูลทำไม่ถูกต้องหรือมีข้อผิดพลาดในการป้อนข้อมูล^{[ 2 ]}

การขาดหายของข้อมูลมีหลายประเภท ซึ่งส่งผลกระทบต่อความถูกต้องของข้อสรุปจากการวิจัยแตกต่างกัน ได้แก่ การขาดหายโดยสมบูรณ์แบบสุ่ม การขาดหายแบบสุ่ม และการขาดหายแบบไม่สุ่ม สามารถจัดการกับข้อมูลที่ขาดหายไปได้ในลักษณะเดียวกับข้อมูล ที่ถูกตัดทอน

การเข้าใจสาเหตุที่ข้อมูลหายไปมีความสำคัญต่อการจัดการข้อมูลที่เหลืออยู่อย่างถูกต้อง หากค่าหายไปโดยสุ่มอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างข้อมูลก็อาจยังคงเป็นตัวแทนของประชากรได้ แต่หากค่าหายไปอย่างเป็นระบบ การวิเคราะห์อาจมีความลำเอียง ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่าง IQ กับรายได้ หากผู้เข้าร่วมที่มี IQ สูงกว่าค่าเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะข้ามคำถาม 'เงินเดือนของคุณคือเท่าไร?' การวิเคราะห์ที่ไม่คำนึงถึงการหายไปโดยสุ่มนี้ (รูปแบบ MAR (ดูด้านล่าง)) อาจทำให้ไม่พบความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่าง IQ กับเงินเดือนอย่างผิดพลาด เนื่องจากปัญหาเหล่านี้ นักระเบียบวิธีวิจัยจึงมักแนะนำให้นักวิจัยออกแบบการศึกษาเพื่อลดการเกิดค่าที่หายไปให้น้อยที่สุด^{[ 2 ]}สามารถใช้แบบจำลองกราฟิกเพื่ออธิบายกลไกของข้อมูลที่หายไปโดยละเอียดได้^{[ 3 ] [ 4 ]}

ค่าในชุดข้อมูลจะขาดหายไปโดยสมบูรณ์แบบสุ่ม (MCAR)หากเหตุการณ์ที่ทำให้ข้อมูลรายการใดรายการหนึ่งขาดหายไปนั้นเป็นอิสระจากทั้งตัวแปรที่สังเกตได้และพารามิเตอร์ที่สนใจซึ่งสังเกตไม่ได้ และเกิดขึ้นแบบสุ่มทั้งหมด^{[ 5 ]}เมื่อข้อมูลเป็น MCAR การวิเคราะห์ที่ดำเนินการกับข้อมูลนั้นจะไม่มีอคติ อย่างไรก็ตาม ข้อมูลมักจะไม่เป็น MCAR

ในกรณีของ MCAR การขาดหายของข้อมูลไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปรการศึกษาใดๆ ดังนั้น ผู้เข้าร่วมที่มีข้อมูลที่สังเกตได้อย่างสมบูรณ์จึงเป็นตัวอย่างสุ่มของผู้เข้าร่วมทั้งหมดที่ได้รับมอบหมายการแทรกแซงเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่ง ด้วย MCAR ถือว่าการจัดสรรการรักษาแบบสุ่มจะยังคงอยู่ แต่ในทางปฏิบัติแล้วมักจะเป็นสมมติฐานที่เข้มงวดเกินจริง^{[ 6 ]}

การขาดหายไปแบบสุ่ม (MAR)เกิดขึ้นเมื่อการขาดหายไปไม่ได้เป็นแบบสุ่ม แต่สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยตัวแปรที่มีข้อมูลครบถ้วน^{[ 7 ]}เนื่องจาก MAR เป็นสมมติฐานที่ไม่สามารถตรวจสอบได้ทางสถิติ เราจึงต้องอาศัยความสมเหตุสมผลในเชิงเนื้อหา^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น เพศชายมีแนวโน้มที่จะกรอกแบบสอบถามเกี่ยวกับภาวะซึมเศร้าน้อยกว่า แต่สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับระดับภาวะซึมเศร้าของพวกเขา หลังจากพิจารณาถึงเพศชายแล้ว ขึ้นอยู่กับวิธีการวิเคราะห์ ข้อมูลเหล่านี้ยังคงสามารถทำให้เกิดอคติของพารามิเตอร์ในการวิเคราะห์ได้เนื่องจากเซลล์ว่างเปล่า (เพศชายที่มีภาวะซึมเศร้าสูงมากอาจมีค่าเป็นศูนย์) อย่างไรก็ตาม หากพารามิเตอร์ได้รับการประมาณด้วย Full Information Maximum Likelihood แล้ว MAR จะให้ค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงในเชิงอะซิมโทติก

ข้อมูล ที่หายไปโดยไม่สุ่ม (MNAR) (หรือที่รู้จักกันในชื่อการไม่ตอบสนองที่ไม่สามารถละเลยได้) คือข้อมูลที่ไม่ใช่ทั้ง MAR หรือ MCAR (กล่าวคือ ค่าของตัวแปรที่หายไปนั้นเกี่ยวข้องกับสาเหตุที่หายไป) ^{[ 5 ]}เพื่อขยายตัวอย่างก่อนหน้านี้ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากผู้ชายไม่กรอกแบบสอบถามเกี่ยวกับภาวะซึมเศร้าเนื่องจากระดับของภาวะซึมเศร้าของพวกเขา

Samuelson และ Spirer (1992) ได้อภิปรายว่าข้อมูลที่ขาดหายไปและ/หรือบิดเบือนเกี่ยวกับข้อมูลประชากร การบังคับใช้กฎหมาย และสุขภาพ อาจเป็นตัวบ่งชี้รูปแบบการละเมิดสิทธิมนุษยชน พวกเขาได้ยกตัวอย่างที่มีเอกสารหลักฐานค่อนข้างดีหลายตัวอย่าง^{[ 9 ]}

ข้อมูลที่หายไปอาจเกิดขึ้นในรูปแบบที่แนบเนียนซึ่งทฤษฎีคลาสสิกไม่สามารถอธิบายได้ดีนัก ปัญหาที่พบมากขึ้นเรื่อยๆ คือ ข้อมูลอาจไม่ใช่ MAR แต่ค่าที่หายไปแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์หรือโครงสร้าง ไม่ว่าจะโดยชัดแจ้งหรือโดยปริยาย การขาดหายไปในลักษณะนี้เรียกว่า 'การขาดหายไปแบบมีโครงสร้าง' ^{[ 10 ]}

การขาดหายแบบมีโครงสร้างมักเกิดขึ้นเมื่อรวมข้อมูลจากการศึกษาหลายๆ ครั้ง ซึ่งแต่ละครั้งอาจมีการออกแบบและชุดการวัดที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงมีเพียงตัวแปรย่อยจากการรวมกันของวิธีการวัด ในสถานการณ์เหล่านี้ ค่าที่หายไปอาจเกี่ยวข้องกับวิธีการสุ่มตัวอย่างต่างๆ ที่ใช้ในการรวบรวมข้อมูล หรือสะท้อนถึงลักษณะของประชากรเป้าหมายที่กว้างขึ้น และอาจให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ในบริบทด้านสุขภาพ พบว่าการขาดหายแบบมีโครงสร้างเป็นผลมาจากการเชื่อมโยงข้อมูลทางคลินิก จีโนม และภาพ^{[ 10 ]}

การมีอยู่ของข้อมูลที่ขาดหายไปแบบมีโครงสร้างอาจเป็นอุปสรรคต่อการใช้ข้อมูลอย่างมีประสิทธิภาพในวงกว้าง รวมถึงวิธีการทางสถิติแบบคลาสสิกและวิธีการเรียนรู้ของเครื่องในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น อาจมีอคติที่แฝงอยู่ในเหตุผลที่ข้อมูลบางส่วนอาจขาดหายไปในรูปแบบต่างๆ ซึ่งอาจมีผลกระทบต่อความยุติธรรมในการทำนายสำหรับแบบจำลองการเรียนรู้ของเครื่อง นอกจากนี้ วิธีการที่ได้รับการยอมรับในการจัดการกับข้อมูลที่ขาดหายไป เช่นการเติมข้อมูลมักไม่ได้คำนึงถึงโครงสร้างของข้อมูลที่ขาดหายไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการพัฒนาสูตรใหม่เพื่อจัดการกับข้อมูลที่ขาดหายไปแบบมีโครงสร้างอย่างเหมาะสมหรือมีประสิทธิภาพ สุดท้าย การกำหนดลักษณะของข้อมูลที่ขาดหายไปแบบมีโครงสร้างภายในกรอบงานคลาสสิกของ MCAR, MAR และ MNAR ยังอยู่ในระหว่างดำเนินการ^{[ 11 ]}

ข้อมูลที่หายไปอาจเป็นส่วนหนึ่งของการออกแบบการศึกษาโดยเจตนา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวางแผนให้ข้อมูลหายไปเป็นกลยุทธ์การออกแบบการวิจัยที่ใช้ในการวิจัยแบบสำรวจ ซึ่งข้อมูลจะถูกเว้นว่างไว้โดยเจตนาจากผู้ตอบแบบสอบถามแต่ละราย (โดยทั่วไปโดยการแจกแบบสอบถามย่อยที่สุ่มตัวอย่างให้กับผู้เข้าร่วมแต่ละคน) เพื่อลดภาระในขณะที่ยังคงรักษาความสามารถในการประมาณค่าพารามิเตอร์สำหรับชุดแบบสอบถามทั้งหมดในกลุ่มตัวอย่าง^{[ 12 ] [ 13 ]}

ข้อมูลที่หายไปจะลดความสามารถในการเป็นตัวแทนของกลุ่มตัวอย่าง และอาจทำให้การอนุมานเกี่ยวกับประชากรผิดเพี้ยนไปได้ โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการหลัก 3 วิธีในการจัดการกับข้อมูลที่หายไป ได้แก่ (1) การเติมค่า — โดยการเติมค่าลงในตำแหน่งข้อมูลที่หายไป (2) การละเว้น — โดยการทิ้งกลุ่มตัวอย่างที่มีข้อมูลไม่ถูกต้องออกจากการวิเคราะห์เพิ่มเติม และ (3) การวิเคราะห์ — โดยการใช้วิธีการโดยตรงที่ไม่ได้รับผลกระทบจากค่าที่หายไป การทบทวนอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับการป้องกันและการจัดการข้อมูลที่หายไปสำหรับการวิจัยผลลัพธ์ที่เน้นผู้ป่วยเป็นศูนย์กลาง ได้ระบุมาตรฐาน 10 ประการที่จำเป็นสำหรับการป้องกันและการจัดการข้อมูลที่หายไป ซึ่งรวมถึงมาตรฐานสำหรับการออกแบบการศึกษา การดำเนินการศึกษา การวิเคราะห์ และการรายงาน^{[ 14 ]}

ในการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติบางอย่าง ผู้ทำการทดลองสามารถควบคุมระดับของข้อมูลที่หายไป และป้องกันค่าที่หายไปก่อนที่จะรวบรวมข้อมูลได้ ตัวอย่างเช่น ในแบบสอบถามทางคอมพิวเตอร์ มักจะไม่สามารถข้ามคำถามได้ ต้องตอบคำถาม มิฉะนั้นจะไม่สามารถดำเนินการต่อในคำถามถัดไปได้ ดังนั้น ค่าที่หายไปเนื่องจากผู้เข้าร่วมจะถูกกำจัดออกไปโดยแบบสอบถามประเภทนี้ แม้ว่าวิธีการนี้อาจไม่ได้รับอนุญาตจากคณะกรรมการจริยธรรมที่กำกับดูแลการวิจัยก็ตาม ในการวิจัยแบบสำรวจ เป็นเรื่องปกติที่จะพยายามติดต่อแต่ละบุคคลในกลุ่มตัวอย่างหลายครั้ง โดยมักจะส่งจดหมายเพื่อพยายามโน้มน้าวผู้ที่ตัดสินใจไม่เข้าร่วมให้เปลี่ยนใจ^{[ 15 ] : 161–187} อย่างไรก็ตาม เทคนิคดังกล่าวอาจช่วยหรือทำร้ายในแง่ของการลดผลกระทบเชิงลบของการอนุมานจากข้อมูลที่หายไป เนื่องจากประเภทของคนที่เต็มใจที่จะถูกโน้มน้าวให้เข้าร่วมหลังจากปฏิเสธในตอนแรกหรือไม่อยู่บ้านนั้น มีแนวโน้มที่จะแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากประเภทของคนที่ยังคงปฏิเสธหรือไม่สามารถติดต่อได้หลังจากความพยายามเพิ่มเติม^{[ 15 ] : 188–198}

ในสถานการณ์ที่มีแนวโน้มที่จะเกิดค่าที่หายไป นักวิจัยมักได้รับคำแนะนำให้วางแผนใช้วิธีการวิเคราะห์ข้อมูลที่ทนทานต่อค่าที่หายไป การวิเคราะห์จะถือว่าทนทานเมื่อเรามั่นใจว่าการละเมิดข้อสมมติฐานหลักของเทคนิคในระดับเล็กน้อยถึงปานกลางจะไม่ก่อให้เกิดอคติหรือความบิดเบือนในข้อสรุปที่ได้เกี่ยวกับประชากร มากนักหรือไม่มีเลย

เทคนิค การวิเคราะห์ข้อมูลบางอย่างไม่ทนทานต่อข้อมูลที่หายไป และจำเป็นต้อง "เติม" หรือประมาณค่าข้อมูลที่หายไป Rubin (1987) โต้แย้งว่าการประมาณค่าซ้ำหลายครั้ง (ห้าครั้งหรือน้อยกว่า) จะช่วยปรับปรุงคุณภาพของการประมาณค่าได้อย่างมาก^{[ 2 ]}สำหรับวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติหลายอย่าง การประมาณค่าสองหรือสามครั้งก็สามารถจับประสิทธิภาพเชิงสัมพัทธ์ส่วนใหญ่ที่สามารถจับได้ด้วยการประมาณค่าจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม การประมาณค่าจำนวนน้อยเกินไปอาจนำไปสู่การสูญเสียพลังทางสถิติ อย่างมาก และนักวิชาการบางคนในปัจจุบันแนะนำให้ใช้ 20 ถึง 100 ครั้งหรือมากกว่านั้น^{[ 16 ]} การวิเคราะห์ข้อมูลที่ประมาณค่าหลายครั้งจะต้องทำซ้ำสำหรับแต่ละชุดข้อมูลที่ประมาณค่า และในบางกรณี สถิติที่เกี่ยวข้องจะต้องรวมเข้าด้วยกันในลักษณะที่ค่อนข้างซับซ้อน^{[ 2 ]}การประมาณค่าหลายครั้งไม่ได้ดำเนินการในสาขาวิชาเฉพาะ เนื่องจากขาดการฝึกอบรมหรือความเข้าใจผิดเกี่ยวกับเรื่องนี้^{[ 17 ]}วิธีการต่างๆ เช่น การลบรายการทั้งหมด ได้ถูกนำมาใช้เพื่อเติมข้อมูล แต่พบว่าทำให้เกิดอคติเพิ่มเติม^{[ 18 ]}มีคู่มือสำหรับผู้เริ่มต้นที่ให้คำแนะนำทีละขั้นตอนเกี่ยวกับวิธีการเติมข้อมูล^{[ 19 ]}

อัลกอริทึมการคาดการณ์และการทำให้สูงสุด (Expectation-Maximization Algorithm)เป็นแนวทางในการประมาณค่า (imputed) ค่าสถิติที่จะคำนวณได้หากมีชุดข้อมูลที่สมบูรณ์ โดยคำนึงถึงรูปแบบของข้อมูลที่หายไป ในแนวทางนี้ โดยทั่วไปจะไม่ทำการประมาณค่าสำหรับข้อมูลแต่ละรายการที่หายไป

ในสาขาคณิตศาสตร์การวิเคราะห์เชิงตัวเลขการประมาณค่าในช่วง (interpolation)คือวิธีการสร้างจุดข้อมูลใหม่ภายในช่วงของชุดจุดข้อมูลที่ทราบแล้ว

ในการเปรียบเทียบตัวอย่างคู่สองคู่ที่มีข้อมูลหายไป สถิติการทดสอบที่ใช้ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดโดยไม่จำเป็นต้องเติมข้อมูลคือการทดสอบ t ของตัวอย่างที่ทับซ้อนกันบางส่วน^{[ 20 ]}ซึ่งใช้ได้ภายใต้ภาวะปกติและสมมติว่า MCAR

วิธีการที่เกี่ยวข้องกับการลดจำนวนข้อมูลที่มีอยู่ในชุดข้อมูลที่ไม่มีค่าที่หายไป ได้แก่:

• การลบตามรายการ / การลบตามกรณี
• การลบแบบคู่

วิธีการที่คำนึงถึงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดอย่างครบถ้วน โดยปราศจากความบิดเบือนที่เกิดจากการใช้ค่าที่ประมาณขึ้นราวกับว่าได้มาจากข้อมูลที่สังเกตได้จริง:

• แนวทางการสร้างสรรค์:
  • อัลกอริทึมความคาดหวัง-การทำให้สูงสุด
  • การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดโดยใช้ข้อมูลครบถ้วน
• แนวทางการเลือกปฏิบัติ:
  • การจำแนกข้อมูลด้วยระยะขอบสูงสุดโดยไม่มีคุณลักษณะ^{[ 21 ] [ 22 ]}

อาจใช้วิธีการระบุบางส่วนได้ เช่นกัน ^{[ 23 ]}

เทคนิคที่ใช้แบบจำลอง ซึ่งมักใช้กราฟ เป็นเครื่องมือเพิ่มเติมสำหรับการทดสอบประเภทข้อมูลที่หายไป (MCAR, MAR, MNAR) และสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ภายใต้เงื่อนไขข้อมูลที่หายไป ตัวอย่างเช่น การทดสอบเพื่อหักล้าง MAR/MCAR มีดังนี้:

สำหรับตัวแปรสามตัวใดๆX, YและZโดยที่Zเป็นตัวแปรที่สังเกตได้อย่างสมบูรณ์ และXกับYเป็นตัวแปรที่สังเกตได้บางส่วน ข้อมูลจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ : ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp R_{y}|(R_{x},Z)}$

กล่าวคือ ส่วนที่สังเกตได้ของXควรเป็นอิสระจากสถานะการขาดหายของYโดยมีเงื่อนไขว่าทุกค่าของZการไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้แสดงว่าปัญหาดังกล่าวอยู่ในหมวดหมู่ MNAR ^{[ 24 ]}

(หมายเหตุ: การทดสอบเหล่านี้จำเป็นสำหรับ MAR แบบอิงตัวแปร ซึ่งเป็นรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อยของ MAR แบบอิงเหตุการณ์^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} )

เมื่อข้อมูลตกอยู่ในหมวดหมู่ MNAR จะมีเทคนิคสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์อย่างสม่ำเสมอเมื่อเงื่อนไขบางอย่างเป็นไปตามแบบจำลอง^{[ 3 ]} ตัวอย่างเช่น หากYอธิบายสาเหตุของการขาดหายไปในXและYเองก็มีค่าที่หายไปการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของXและYยังคงสามารถประมาณได้หากการขาดหายไปของYเป็นแบบสุ่ม ค่าประมาณในกรณีนี้จะเป็น:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X,Y)&=P(X|Y)P(Y)\\&=P(X|Y,R_{x}=0,R_{y}=0)P(Y|R_{y}=0)\end{aligned}}}$

โดยที่และแทนสัดส่วนที่สังเกตได้ของตัวแปรนั้นๆ ตามลำดับ ${\displaystyle R_{x}=0}$${\displaystyle R_{y}=0}$

โครงสร้างแบบจำลองที่แตกต่างกันอาจให้ค่าประมาณที่แตกต่างกันและขั้นตอนการประมาณที่แตกต่างกันได้ เมื่อใดก็ตามที่การประมาณที่สอดคล้องกันเป็นไปได้ ค่าประมาณข้างต้นกำหนดให้ประมาณค่าจากข้อมูลที่สมบูรณ์ก่อน แล้วคูณด้วยค่าประมาณจากกรณีที่ สังเกตเห็น Yโดยไม่คำนึงถึงสถานะของXยิ่งไปกว่านั้น เพื่อให้ได้ค่าประมาณที่สอดคล้องกัน จำเป็นอย่างยิ่งที่พจน์แรกจะต้องตรงข้ามกับ ${\displaystyle P(X|Y)}$${\displaystyle P(Y)}$${\displaystyle P(X|Y)}$${\displaystyle P(Y|X)}$

ในหลายกรณี เทคนิคที่ใช้โมเดลช่วยให้โครงสร้างโมเดลผ่านการทดสอบการหักล้างได้^{[ 27 ]} โมเดลใดๆ ที่บ่งบอกถึงความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรX ที่สังเกตได้บางส่วนกับตัวบ่งชี้การขาดหายของตัวแปร Yอีกตัวหนึ่ง(เช่น) โดยมีเงื่อนไขว่าสามารถนำไปทดสอบการหักล้างได้ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle R_{y}}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp R_{y}|R_{x}=0}$

สุดท้ายนี้ ค่าประมาณที่ได้จากเทคนิคเหล่านี้จะถูกหามาในรูปแบบปิดและไม่จำเป็นต้องใช้กระบวนการวนซ้ำ เช่น Expectation Maximization ซึ่งอาจติดอยู่ในจุดเหมาะสมที่สุดเฉพาะที่^{[ 28 ]}

ปัญหาประเภทพิเศษเกิดขึ้นเมื่อความน่าจะเป็นของการขาดหายไปขึ้นอยู่กับเวลา ตัวอย่างเช่น ในฐานข้อมูลการบาดเจ็บ ความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียข้อมูลเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการบาดเจ็บขึ้นอยู่กับวันหลังจากเกิดการบาดเจ็บ ในกรณีเหล่านี้จะใช้แบบจำลอง ลูกโซ่ Markov ที่ไม่คงที่ต่างๆ ^{[ 29 ]}

• Acock AC (2005), "การทำงานกับค่าที่หายไป", Journal of Marriage and Family , 67 (4): 1012– 28, doi : 10.1111/j.1741-3737.2005.00191.x
• อลิสัน, พอล ดี. (2001), ข้อมูลที่หายไป , สำนักพิมพ์ SAGE
• Bouza-Herrera, Carlos N. (2013), การจัดการข้อมูลที่หายไปในการสุ่มตัวอย่างแบบจัดลำดับ , Springer
• เอ็นเดอร์ส, เครก เค. (2010), การวิเคราะห์ข้อมูลที่หายไปเชิงประยุกต์ , สำนักพิมพ์กิลฟอร์ด
• เกรแฮม, จอห์น ดับเบิลยู (2012), ข้อมูลที่หายไป , สปริงเกอร์
• โมเลนเบิร์กส, เกิร์ต; ฟิตซ์มอริซ, การ์เร็ตต์; เคนเวิร์ด, ไมเคิล จี.; เซียติส, อนาสตาซิออส; เวอร์เบเกอ, เกิร์ต, eds. (2015), คู่มือวิธีวิทยาข้อมูลที่ขาดหายไป , แชปแมนและฮอลล์
• Raghunathan, Trivellore (2016), การวิเคราะห์ข้อมูลที่หายไปในทางปฏิบัติ , Chapman & Hall
• Little, Roderick JA; Rubin, Donald B. (2002), การวิเคราะห์ทางสถิติด้วยข้อมูลที่ขาดหายไป (ฉบับที่ 2), Wiley , Bibcode : 2002samd.book.....L
• Tsiatis, Anastasios A. (2006), ทฤษฎีเซมิพาราเมตริกและข้อมูลที่หายไป , Springer
• Van den Broeck J, Cunningham SA, Eeckels R, Herbst K (2005), "การทำความสะอาดข้อมูล: การตรวจจับ การวินิจฉัย และการแก้ไขความผิดปกติของข้อมูล", PLOS Medicine , 2 (10): e267, doi : 10.1371/journal.pmed.0020267 , PMC  1198040 , PMID  16138788 , S2CID  5667073
• Zarate LE, Nogueira BM, Santos TR, Song MA (2006). "เทคนิคการกู้คืนค่าที่หายไปในฐานข้อมูลที่ไม่สมดุล: การประยุกต์ใช้ในฐานข้อมูลการตลาดที่มีข้อมูลหายไปจำนวนมาก" การ ประชุมวิชาการนานาชาติ IEEE ว่าด้วยระบบ มนุษย์ และไซเบอร์เนติกส์ ปี 2006 SMC '06เล่มที่ 3 หน้า  2658–2664 doi : 10.1109/ICSMC.2006.385265

• ข้อมูลที่ขาดหายไปแผนกสถิติการแพทย์โรงเรียนสุขอนามัยและเวชศาสตร์เขตร้อนแห่งลอนดอน
• การวิเคราะห์แนวโน้มเชิงพื้นที่และเวลาของบันทึกปริมาณน้ำฝนระยะยาวในลุ่มน้ำที่มีข้อมูลไม่เพียงพอและมีข้อมูลขาดหายไป กรณีศึกษาที่ราบน้ำท่วมถึงโลเวอร์ไชร์ในประเทศมาลาวี ในช่วงปี 1953–2010
• R-miss-tasticแพลตฟอร์มแบบครบวงจรสำหรับวิธีการและขั้นตอนการทำงานเกี่ยวกับค่าที่หายไป
• ค่าที่หายไป - จินตนาการ

• เอ็มพลัส
• PROC MI และ PROC MIANALYZE - SAS
• SPSS