ปริภูมิผสม (Mixture spaces) ตามที่เฮอร์สไตน์และมิลเนอร์ได้นำเสนอ เป็นการขยายแนวคิดของเซตแบบนูน (convex sets)จากปริภูมิเวกเตอร์ (vector spaces)กล่าวอย่างเป็นทางการคือ:

คำจำกัดความ : ปริภูมิผสมคือคู่${\displaystyle (X,h)}$, ที่ไหน

• ${\displaystyle X}$เป็นเพียงชุดหนึ่งเท่านั้น และ

• ${\displaystyle h:[0,1]\times X\times X\to \mathbb {R} }$เป็นฟังก์ชันผสม: มันเชื่อมโยงกับแต่ละ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$และแต่ละคู่${\displaystyle x,y\in X\times X}$ที่${\displaystyle \alpha }$- การผสมผสานของทั้งสองอย่าง${\displaystyle h_{\alpha }(x,y)\equiv h(\alpha ,x,y)}$โดยที่

1. ${\displaystyle h_{1}(x,y)=x}$.
2. ${\displaystyle h_{\alpha }(x,y)=h_{1-\alpha }(y,x)}$.
3. ${\displaystyle h_{\alpha }(h_{\beta }(x,y),y)=h_{\alpha \beta }(x,y)}$.

พื้นที่ผสมเป็นกรณีพิเศษของพื้นที่นูน (เรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตแบรีเซนทริก) ^{[ 2 ]}โดยที่การดำเนินการผสมถูกจำกัดให้อยู่เหนือ${\displaystyle [0,1]}$และไม่ใช่แค่เซตย่อยที่ปิดอย่างเหมาะสมของเซมิริงเท่านั้น

ตัวอย่างและกรณีที่ไม่ใช่ตัวอย่างของปริภูมิผสมมีดังนี้:

• ปริภูมิเวกเตอร์: เซตย่อยนูนใดๆ${\displaystyle X}$ของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle (V,+,\cdot )}$เกิน${\displaystyle \mathbb {R} }$, กับ${\displaystyle h_{\alpha }(x,y)=\alpha x+(1-\alpha )y}$ก่อให้เกิดพื้นที่ผสมผสาน${\displaystyle (X,h)}$.
• ลอตเตอรี: กำหนดให้เซตจำกัดใดๆ${\displaystyle X}$ชุด${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=\left\{p:X\to [0,1]:\sum _{x}p(x)=1\right\}}$ของลอตเตอรี่มากกว่า${\displaystyle X}$ประกอบด้วยพื้นที่ผสมผสาน${\displaystyle h_{\alpha }(p,q)(x):=\alpha p(x)+(1-\alpha )q(x)}$โปรดสังเกตว่าสิ่งนี้ก่อให้เกิดพื้นที่ผสม "ไอโซมอร์ฟิก" ของฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) เหนือ${\displaystyle X}$โดยใช้ฟังก์ชันผสมที่เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ

• ฟังก์ชันควอนไทล์: สำหรับCDF ใดๆ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$, กำหนด${\displaystyle Q_{F}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ในฐานะฟังก์ชันควอนไทล์สำหรับ CDF สองตัวใดๆ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$และใดๆ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$กำหนดการดำเนินการผสม${\displaystyle \alpha F_{1}\boxplus (1-\alpha )F_{2}}$ในฐานะ CDF สำหรับฟังก์ชันควอนไทล์${\displaystyle \alpha Q_{F_{1}}+(1-\alpha )Q_{F_{2}}}$สิ่งนี้ไม่ได้กำหนดส่วนผสมเหนือ CDF แต่กำหนดส่วนผสมเหนือฟังก์ชันควอนไทล์^{[ 3 ]}

เฮอร์สไตน์และมิลเนอร์ได้เสนอหลักการพื้นฐานต่อไปนี้สำหรับความชอบ${\displaystyle \succsim }$เกิน${\displaystyle X}$เมื่อไร${\displaystyle (X,h)}$เป็นพื้นที่ผสมผสาน:

• สัจพจน์ข้อที่ 1 (ความสัมพันธ์ของความชอบ) : ${\displaystyle \succsim }$เป็นระเบียบที่อ่อนแอในแง่ที่ว่ามันสมบูรณ์ (สำหรับทั้งหมด)${\displaystyle x,y\in X}$นั่นเป็นความจริงที่ว่า${\displaystyle x\succsim y}$หรือ${\displaystyle y\succsim x}$) และกริยาที่ต้องการกรรม
• สัจพจน์ข้อที่ 2 (ความเป็นอิสระ):สำหรับใดๆ${\displaystyle x,y,z\in X}$,

${\displaystyle x\sim y\implies h_{1/2}(x,z)\sim h_{1/2}(y,z).}$^{[ nb 1 ]}

• สัจพจน์ข้อที่ 3 (ความต่อเนื่องของส่วนผสม) : สำหรับใดๆ${\displaystyle x,y,z\in X}$ชุดต่างๆ

${\displaystyle \{\alpha \in [0,1]:h_{\alpha }(x,y)\succsim z\},}$

${\displaystyle \{\alpha \in [0,1]:h_{\alpha }(x,y)\precsim z\}}$

ปิดทำการแล้ว${\displaystyle [0,1]}$ด้วยโครงสร้างทางภูมิศาสตร์แบบปกติ

สัจพจน์ความต่อเนื่องแบบผสม (Mixture-Continuity Axiom) เป็นวิธีหนึ่งในการนำเสนอความต่อเนื่องในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งสำหรับความชอบโดยไม่ต้องพิจารณาโครงสร้างเชิงโทโพโลยี${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

ทฤษฎีบท (เฮอร์สไตน์และมิลเนอร์ 1953) : กำหนดให้ปริภูมิผสมใดๆ${\displaystyle (X,h)}$และความสัมพันธ์ของความชอบ${\displaystyle \succsim }$เกิน${\displaystyle X}$โดยสิ่งต่อไปนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน:

• ${\displaystyle \succsim }$สอดคล้องกับสัจพจน์ข้อที่ 1, 2 และ 3

• มีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่รักษาการผสมผสานอยู่${\displaystyle U:X\to \mathbb {R} }$ที่แสดงถึง${\displaystyle \succsim }$โดยที่ "การรักษาส่วนผสม" แสดงถึงรูปแบบหนึ่งของความเป็นเส้นตรง : สำหรับใดๆ${\displaystyle x,y\in X}$และใดๆ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$,

${\displaystyle U(h_{\alpha }(x,y))=\alpha U(x)+(1-\alpha )U(y)}$.