การลดลำดับแบบจำลอง (Model Order Reduction: MOR)เป็นเทคนิคที่ใช้ลดความซับซ้อนในการคำนวณของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการจำลองเชิงตัวเลขดังนั้นจึงมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของ การสร้างแบบจำลองเชิงเม ตา (metamodeling ) โดยมีการประยุกต์ใช้ในทุกสาขาของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่จำนวนมากที่ใช้กับกระบวนการในชีวิตจริงนั้นก่อให้เกิดความท้าทายเมื่อนำไปใช้ในการจำลองเชิงตัวเลขเนื่องจากความซับซ้อนและขนาด (มิติ) ที่ใหญ่ การลดลำดับแบบจำลองมีจุดมุ่งหมายเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหาดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ในการจำลองระบบพลวัต ขนาดใหญ่ และระบบควบคุมโดยการลดมิติของปริภูมิสถานะหรือระดับความเป็นอิสระ ที่เกี่ยวข้อง กับแบบจำลอง จะได้ค่าประมาณของแบบจำลองดั้งเดิม ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าแบบจำลองลำดับลด

แบบจำลองลำดับลดขนาดมีประโยชน์ในสถานการณ์ที่ไม่สามารถทำการจำลองเชิงตัวเลขโดยใช้แบบจำลองลำดับเต็มได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งอาจเกิดจากข้อจำกัดของทรัพยากรการคำนวณหรือข้อกำหนดของการตั้งค่าการจำลอง เช่น การตั้งค่า การจำลองแบบเรียลไทม์หรือการตั้งค่าการสอบถามจำนวนมากซึ่งจำเป็นต้องทำการจำลองจำนวนมาก^{[ 1 ] [ 2 ]}ตัวอย่างของการตั้งค่าการจำลองแบบเรียลไทม์ ได้แก่ระบบควบคุมในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์และการแสดงผลลัพธ์ของแบบจำลอง ในขณะที่ตัวอย่างของการตั้งค่าการสอบถามจำนวนมาก ได้แก่ ปัญหา การเพิ่มประสิทธิภาพและการสำรวจการออกแบบ เพื่อให้สามารถนำไปใช้กับปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงได้ ข้อกำหนดของแบบจำลองลำดับลดขนาดมักจะเป็นดังนี้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าค่อนข้างน้อยเมื่อเทียบกับแบบจำลองลำดับเต็มรูปแบบ
• การอนุรักษ์คุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของแบบจำลองลำดับสมบูรณ์ (เช่น เสถียรภาพและความเฉื่อยในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์)
• เทคนิคการสร้างแบบจำลองลดลำดับที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณและมีความเสถียรสูง

เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าในบางกรณี (เช่น การรวมกลุ่มสมการเชิงอนุพันธ์พหุนามแบบมีข้อจำกัด) อาจมีข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเป็นศูนย์ ซึ่งส่งผลให้มีการลดลำดับแบบจำลองที่แม่นยำ^{[ 5 ]}

เทคนิคการลดลำดับโมเดลร่วมสมัยสามารถจำแนกได้กว้างๆ เป็น 5 ประเภท: ^{[ 1 ] [ 6 ]}

• วิธีการแยกส่วนเชิงตั้งฉากที่เหมาะสม^{[ 7 ] [ 8 ]}
• วิธีการฐานลด^{[ 9 ] [ 10 ]}
• วิธีการปรับสมดุล^{[ 11 ]}
• ฟิสิกส์แบบง่าย^{[ 12 ]}หรือวิธีการลดตามการดำเนินงาน^{[ 3 ]}
• วิธีการลดแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นและแบบหลายมิติ^{[ 13 ]}

วิธีการทางฟิสิกส์แบบง่ายสามารถอธิบายได้ว่าคล้ายคลึงกับ วิธี การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบดั้งเดิม ซึ่งเป็นการสร้างคำอธิบายระบบที่ซับซ้อนน้อยกว่าโดยอาศัยสมมติฐานและการลดทอนความซับซ้อนโดยใช้ความเข้าใจทางฟิสิกส์หรือข้อมูลที่ได้มาอื่นๆ อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่ค่อยถูกนำมาพูดคุยในบริบทของการลดลำดับแบบจำลอง เนื่องจากเป็นวิธีการทั่วไปในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และคณิตศาสตร์

การแยกส่วนประกอบเชิงตั้งฉากที่เหมาะสม (Proper orthogonal decomposition), ฐานลดมิติ (Reduced basis) และวิธีการปรับสมดุล (Balancing methods) จัดอยู่ในประเภทของการลดมิติโดยอาศัยการฉายภาพ (Projection-based reduction) การลดมิติโดยอาศัยการฉายภาพนั้นใช้การฉายภาพของสมการแบบจำลองหรือคำตอบลงบนฐานที่มีมิติลดลงเมื่อเทียบกับพื้นที่คำตอบเดิม วิธีการอื่นๆ ที่จัดอยู่ในกลุ่มนี้แต่พบได้น้อยกว่า ได้แก่:

• การแยกส่วนทั่วไปที่เหมาะสม^{[ 14 ]}
• การแทรกเมทริกซ์^{[ 15 ]}
• การแทรกสอดฟังก์ชันถ่ายโอน
• การแทรกสอดสัมผัสแบบแบ่งส่วน
• กรอบงานโลว์เนอร์
• (เชิงประจักษ์) การผสมข้ามพันธุ์แกรมเมียน
• วิธีการพื้นที่ย่อย Krylov ^{[ 16 ]}

วิธีการลดแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นและแบบแมนิโฟลด์ได้มาซึ่งการประมาณค่าที่ไม่เป็นเชิงเส้นบนแมนิโฟลด์ ดังนั้นจึงสามารถบรรลุความแม่นยำที่สูงขึ้นด้วยจำนวนองศาอิสระเท่ากันเมื่อเทียบกับวิธีการแบบดั้งเดิมที่ได้การประมาณค่าเชิงเส้นในปริภูมิย่อย^{[ 13 ]}การสร้างบนการประมาณค่าที่ไม่เป็นเชิงเส้นมีความสำคัญต่อการลดประเภทของปัญหาบางประเภทอย่างมีประสิทธิภาพ เช่น ปัญหาคลื่นและปัญหาที่ครอบงำด้วยการพาในพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ ลักษณะและหลักการที่อยู่เบื้องหลังวิธีการลดแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นนั้นกว้างขวางและรวมถึงวิธีการตามแม่แบบ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} การใช้เครือข่ายประสาทเทียม^{[ 20 ] [ 21 ]}และพื้นที่ปรับตัวออนไลน์^{[ 22 ] [ 23 ]}

นอกจากนี้ยังมีวิธีการลดแบบจำลองที่ไม่รบกวน ซึ่งเรียนรู้แบบจำลองที่ลดขนาดลงจากข้อมูลโดยไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับสมการควบคุมและกลไกภายในของแบบจำลองที่มีความแม่นยำสูงแบบเต็ม วิธีการที่ไม่รบกวนจะเรียนรู้พื้นที่ประมาณค่าหรือแมนิโฟลด์มิติที่ต่ำกว่า และตัวดำเนินการที่ลดขนาดลงซึ่งแสดงถึงพลวัตที่ลดขนาดลงจากข้อมูล วิธีการที่ไม่รบกวน ได้แก่:

• การแยกโหมดไดนามิก^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}
• การอนุมานตัวดำเนินการ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• กรอบงาน Loewner ^{[ 29 ] [ 30 ]}

• RBmatlab:ไลบรารีMATLABที่รวบรวมวิธีการจำลองแบบลดรูปทั้งหมดสำหรับปัญหาการวิวัฒนาการเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น แบบแอฟฟิน หรือแบบที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ใดๆ โดยใช้การแบ่งส่วนแบบไฟไนต์เอเลเมนต์ ไฟไนต์โวลุ่ม หรือโลคอลดิสคอนทินิวอัสกาเลอร์กิน
• การลดขนาดโมเดลภายใน ANSYS:ฟังก์ชันนี้ใช้การลดลำดับโมเดลแบบ Krylov สำหรับโมเดลองค์ประกอบจำกัดแบบหลายฟิสิกส์ใน ANSYS การลดความซับซ้อนของโมเดลผ่านการลดขนาดโมเดลภายใน ANSYS เหมาะสำหรับกลยุทธ์การเพิ่มประสิทธิภาพในการพัฒนาส่วนประกอบ ตลอดจนการรวมโมเดลขนาดกะทัดรัดเข้ากับการจำลองระบบโดยรวมในสาขาอิเล็กทรอนิกส์ ยานยนต์ หรือไมโครซิสเต็ม แม้จะมีการลดขนาด แต่พารามิเตอร์การตรวจสอบยังคงอยู่ ซึ่งหมายความว่าสามารถได้ผลลัพธ์ที่รวดเร็วในด้านการออกแบบและการจำลองระบบ
• pyMOR: pyMOR เป็นไลบรารีซอฟต์แวร์สำหรับสร้างแอปพลิเคชันลดลำดับโมเดลด้วยภาษาโปรแกรม Python โดยเน้นหลักไปที่การประยุกต์ใช้วิธีฐานลด (reduced basis methods) กับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพารามิเตอร์ (parameterized partial differential equations) อัลกอริทึมทั้งหมดใน pyMOR ถูกกำหนดขึ้นในรูปของอินเทอร์เฟซนามธรรม (abstract interfaces) เพื่อให้สามารถทำงานร่วมกับตัวแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยมิติสูงภายนอกได้อย่างราบรื่น นอกจากนี้ ยังมีตัวอย่างการใช้งานแบบ Python บริสุทธิ์สำหรับการแบ่งส่วนแบบไฟไนต์เอเลเมนต์และไฟไนต์โวลูชั่นโดยใช้ชุดเครื่องมือคำนวณทางวิทยาศาสตร์ NumPy/SciPy เพื่อให้เริ่มต้นใช้งานได้อย่างรวดเร็ว
• emgr:กรอบงาน Gramian เชิงประจักษ์[1]สามารถคำนวณ Gramian เชิงประจักษ์สำหรับระบบควบคุมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นเพื่อวัตถุประสงค์ในการลดลำดับแบบจำลองการหาปริมาณความไม่แน่นอนหรือการระบุระบบ^{[ 31 ]}กรอบงาน emgr เป็นกล่องเครื่องมือโอเพนซอร์สขนาดกะทัดรัดสำหรับการลดแบบจำลองตาม Gramian และเข้ากันได้กับ OCTAVE และ MATLAB
• KerMor:ไลบรารีเชิงวัตถุสำหรับ MATLAB© ที่มีรูทีนสำหรับการลดลำดับแบบจำลองของระบบพลวัตแบบไม่เชิงเส้น การลดลำดับสามารถทำได้ผ่านการฉายภาพในปริภูมิย่อยและการประมาณค่าความไม่เชิงเส้นผ่านวิธีการเคอร์เนลหรือ DEIM ขั้นตอนมาตรฐาน เช่น วิธี POD-Greedy ถูกนำมาใช้งานอย่างง่ายดาย เช่นเดียวกับตัวประมาณค่าความคลาดเคลื่อนภายหลังขั้นสูงสำหรับโครงสร้างระบบต่างๆ KerMor ยังมีตัวอย่างการทำงานหลายตัวอย่างและไฟล์สาธิตบางส่วนเพื่อให้คุ้นเคยกับฟังก์ชันการทำงานที่มีให้ได้อย่างรวดเร็ว
• JaRMoS: JaRMoS ย่อมาจาก "Java Reduced Model Simulations" และมีจุดมุ่งหมายเพื่อช่วยให้สามารถนำเข้าและจำลองแบบจำลองลดขนาดต่างๆ จากหลายแหล่งบนแพลตฟอร์มที่รองรับ Java ได้ ปัจจุบันรองรับแบบจำลองลดขนาดของ RBmatlab, KerMor และ rbMIT โดยสามารถนำเข้าเฉพาะแบบจำลอง rbMIT ที่เผยแพร่แล้วในแอปพลิเคชัน rbAppMIT สำหรับ Android เท่านั้น ส่วนขยายที่มีอยู่แล้วคือเวอร์ชันเดสก์ท็อปสำหรับเรียกใช้แบบจำลองลดขนาด และกำลังอยู่ระหว่างการพัฒนาเพื่อรองรับแบบจำลองลดขนาดแบบ KerMor ที่ใช้เคอร์เนลเป็นหลัก
• MORLAB:ห้องปฏิบัติการลดลำดับแบบจำลอง (Model Order Reduction Laboratory) ชุดเครื่องมือนี้เป็นชุดของรูทีน MATLAB/OCTAVE สำหรับการลดลำดับแบบจำลองของระบบพลวัตเชิงเส้นโดยอาศัยการแก้สมการเมทริกซ์ การใช้งานนั้นอยู่บนพื้นฐานของวิธีการฉายภาพสเปกตรัม เช่น วิธีการที่ใช้ฟังก์ชันเครื่องหมาย เมทริกซ์ และฟังก์ชันดิสก์เมทริกซ์
• Dune-RB:โมดูลสำหรับไลบรารี Dune ซึ่งสร้างคลาสเทมเพลต C++ สำหรับใช้ในการสร้างสแนปช็อตและขั้นตอนออฟไลน์ RB สำหรับการแบ่งส่วนแบบต่างๆ นอกเหนือจากอัลกอริธึมแบบแกนเดี่ยวแล้ว แพ็กเกจนี้ยังมุ่งเน้นการใช้เทคนิคการประมวลผลแบบขนานเพื่อการสร้างสแนปช็อตที่มีประสิทธิภาพ
• libROM:ชุดคลาส C++ ที่ใช้คำนวณการลดลำดับโมเดลและการลดลำดับขั้นสูงสำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ libROM ประกอบด้วยวิธีการปรับตัวแบบขนานและปรับขนาดได้สำหรับการแยกส่วนประกอบเชิงตั้งฉากที่เหมาะสม วิธีการลดลำดับขั้นสูงแบบขนานและไม่ปรับตัว และการแยกส่วนประกอบค่าเอกพจน์แบบสุ่ม libROM ยังมีความสามารถในการแยกส่วนประกอบโหมดไดนามิก และมีความสามารถในการสุ่มตัวอย่างแบบโลภโดยอาศัยข้อมูลทางฟิสิกส์
• Pressio: Pressio เป็นโครงการโอเพนซอร์สที่มุ่งลดความยุ่งยากของแบบจำลองลดขนาดตามการฉายภาพสำหรับโค้ดขนาดใหญ่ หัวใจหลักของโครงการคือไลบรารี C++ แบบเฮดเดอร์ออนที่ใช้การเขียนโปรแกรมแบบเจเนริกเพื่อเชื่อมต่อกับแอปพลิเคชันหน่วยความจำร่วมหรือแบบกระจายโดยใช้ชนิดข้อมูลใดๆ ก็ได้ Pressio มีฟังก์ชันและตัวแก้ปัญหามากมายสำหรับการลดแบบจำลอง เช่น การฉายภาพแบบ Galerkin และ Petrov–Galerkin แบบกำลังสองน้อยที่สุด ระบบนิเวศของ Pressio ยังมีสิ่งต่อไปนี้: (1) pressio4pyซึ่งเป็นไลบรารีการเชื่อมต่อ Python เพื่อความสะดวกในการสร้างต้นแบบ (2) pressio-tutorialsซึ่งเป็นไลบรารีที่มีเดโมแบบครบวงจรให้ทดลองใช้งานได้ง่าย โดยสามารถดูได้ที่https://pressio.github.io/pressio-tutorials/ (3) pressio-toolsซึ่งเป็นไลบรารีสำหรับ SVD, QR และตัวอย่างตาข่ายขนาดใหญ่ และ (4) pressio-demoapps ซึ่งเป็นชุดแอปพลิเคชันสาธิต 1 มิติ 2 มิติ และ 3 มิติ สำหรับทดสอบ ROM และการลดมิติขั้นสูง
• PyDMD: PyDMDเป็นแพ็กเกจ Python ที่ใช้การลดลำดับโมเดลที่ขับเคลื่อนด้วยข้อมูลโดยอิงจากการแยกโหมดไดนามิก (DMD) ซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่พัฒนาโดย Schmid ^{[ 25 ]} DMD ใช้ในการวิเคราะห์ไดนามิกของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นและอาศัยการวัดที่มีความแม่นยำสูงเท่านั้น ทำให้เป็นอัลกอริธึมที่ไม่ต้องใช้สมการ

^{การลดลำดับแบบจำลองพบการ ประยุกต์}ใช้ในทุกสาขาที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และมีบทวิจารณ์มากมาย^{[ 12 ] [ 14 ] สำหรับหัวข้ออิเล็กทรอนิกส์ [ 32 ] กลศาสตร์ของไหล [ 33} ] อุทกพลศาสตร์^{[ 34} ] กลศาสตร์^{โครงสร้าง [ 7} ] MEMS ^{[ 35 ]}สมการ^{โบลต์}ซมัน^น์[ 8 ^]และ^{การเพิ่มประสิทธิภาพ}การออกแบบ [ ^{15 ] [ 36 ]}

ปัญหาปัจจุบันในกลศาสตร์ของไหลเกี่ยวข้องกับระบบไดนามิก ขนาดใหญ่ ที่แสดงถึงผลกระทบมากมายในหลายระดับที่แตกต่างกันการศึกษาพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ มักเกี่ยวข้องกับแบบจำลองที่แก้สม การ Navier–Stokesด้วยจำนวนองศาอิสระที่มีขนาดอยู่ในลำดับขึ้นไปการใช้เทคนิคการลดลำดับแบบจำลองครั้งแรกย้อนกลับไปถึงงานของ Lumley ในปี 1967 ^{[ 37 ]}ซึ่งใช้เพื่อทำความเข้าใจกลไกและความรุนแรงของความปั่นป่วนและโครงสร้างที่สอดคล้องกันขนาดใหญ่ที่มีอยู่ในปัญหาการไหลของของไหล การลดลำดับแบบจำลองยังพบการประยุกต์ใช้สมัยใหม่ในด้านการบินเพื่อจำลองการไหลเหนือตัวเครื่องบิน^{[ 38 ]}ตัวอย่างสามารถพบได้ใน Lieu et al ^{[ 39 ]}ซึ่งแบบจำลองลำดับเต็มของ เครื่องบินรบ F16ที่มีองศาอิสระมากกว่า 2.1 ล้านองศา ถูกลดลงเหลือแบบจำลองที่มีองศาอิสระเพียง 90 องศา นอกจากนี้ การสร้างแบบจำลองลำดับที่ลดลงยังถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาการไหลเวียนของ เลือด ในพลศาสตร์ของเลือดและปฏิสัมพันธ์ระหว่างของเหลวและโครงสร้างระหว่างเลือดที่ไหลผ่านระบบหลอดเลือดและผนังหลอดเลือด^{[ 40 ] [ 41 ]}${\displaystyle 10^{6}}$

• การลดมิติ
• การสร้างแบบจำลองเมตา
• การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์
• การลดมิติแบบไม่เชิงเส้น
• การระบุระบบ
• อัลกอริธึม Krylov แบบมีเหตุผลซ้ำ (IRKA)

• Antoulas, Athanasios C. (2005). การประมาณค่าระบบพลวัตขนาดใหญ่ SIAM. doi : 10.1137/1.9780898718713 . ISBN 978-0-89871-529-3. S2CID  117896525 .

• เบนเนอร์, ปีเตอร์; ฟาสเบนเดอร์, ไฮเค (2014), "การลดลำดับแบบจำลอง: เทคนิคและเครื่องมือ" (PDF) , สารานุกรมระบบและการควบคุม , สปริงเกอร์, doi : 10.1007/978-1-4471-5102-9_142-1 , ISBN 978-1-4471-5102-9, S2CID  11873649

• Antoulas, AC; Sorensen, DC; Gugercin, S. (2001), "การสำรวจวิธีการลดแบบจำลองสำหรับระบบขนาดใหญ่" (PDF) , เมทริกซ์โครงสร้างในคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และวิศวกรรมศาสตร์ เล่มที่ 1 (โบลเดอร์, โคโลราโด, 1999) , คณิตศาสตร์ร่วมสมัย เล่มที่ 280, พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, หน้า  193–219 , CiteSeerX  10.1.1.210.9685 , doi : 10.1090/conm/280/04630 , ISBN 978-0-8218-1921-0, MR  1850408

• เบนเนอร์, ปีเตอร์; กูเกอร์ซิน, เซอร์คาน; วิลค็อกซ์, คาเรน (2013), การสำรวจวิธีการลดแบบจำลองสำหรับระบบพาราเมตริก (PDF)

• Baur, Ulrike; Benner, Peter; Feng, Lihong (2014), "การลดลำดับแบบจำลองสำหรับระบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น: มุมมองเชิงทฤษฎีระบบ" (PDF) , Archives of Computational Methods in Engineering , 21 (4): 331– 358, doi : 10.1007/s11831-014-9111-2 , S2CID  39068644

• เบนเนอร์, ปีเตอร์; โคเฮน, อัลเบิร์ต; โอห์ลเบอร์เกอร์, มาริโอ; วิลค็อกซ์, คาเรน (2017). การลดแบบจำลองและการประมาณค่า: ทฤษฎีและอัลกอริทึม . สำนักพิมพ์ SIAM. doi : 10.1137/1.9781611974829 . ISBN 978-1-611974-81-2.

• Antoulas, Athanasios C.; Beattie, Christopher A.; Gugercin, Serkan (2020). วิธีการแทรกสอดสำหรับการลดแบบจำลอง SIAM. doi : 10.1137/1.9781611976083 . ISBN 978-1-61197-607-6.

• วิกิการลดลำดับโมเดล
• การลดแบบจำลองสำหรับระบบที่มีพารามิเตอร์
• เครือข่ายการลดแบบจำลองของยุโรป