ปัญหา มอนตี้ฮอลล์เป็นปริศนาลับสมองในรูปแบบของ ปริศนา ความน่าจะเป็นซึ่งอิงตามชื่อรายการเกมโชว์ทางโทรทัศน์ของอเมริกาLet's Make a Dealและตั้งชื่อตามพิธีกรดั้งเดิม คือ มอนตี้ฮอลล์ปัญหาดังกล่าวถูกตั้งขึ้นครั้งแรกในจดหมายของสตีฟ เซลวินถึงAmerican Statisticianในปี 1975 ^{[ 1 ] [ 2 ]} ต่อมาปัญหา นี้ก็โด่งดังขึ้นมาในฐานะคำถามจากจดหมายของผู้อ่าน เครก เอฟ. วิทเทเกอร์ ที่ถูกอ้างถึง (และได้รับการแก้ไขโดย) คอลัมน์ "ถามมาริลีน" ของมาริลีน วอส ซาวานต์ ในนิตยสาร Paradeในปี 1990: ^{[ 3 ]}

สมมติว่าคุณกำลังอยู่ในรายการเกมโชว์ และคุณมีตัวเลือกสามประตู: หลังประตูบานหนึ่งมีรถยนต์ ส่วนอีกสองบานมีแพะ คุณเลือกประตูบานหนึ่ง สมมติว่าเป็นบานที่  1 และพิธีกรซึ่งรู้ว่ามีอะไรอยู่หลังประตูแต่ละบาน ก็เปิดประตูอีกบานหนึ่ง สมมติว่าเป็นบานที่  3 ซึ่งมีแพะอยู่ จากนั้นเขาก็ถามคุณว่า "คุณต้องการเลือกประตูบานที่  2 หรือไม่?" การเปลี่ยนตัวเลือกของคุณจะเป็นประโยชน์ต่อคุณหรือไม่?

คำตอบของ Savant คือผู้เข้าแข่งขันควรเปลี่ยนไปใช้ประตูอีกบานหนึ่ง^{[ 3 ]}ตามสมมติฐานมาตรฐาน กลยุทธ์การเปลี่ยนนั้นมี⁠2/3โอกาส ที่จะชนะรางวัลรถยนต์นั้นน้อย กว่าในขณะที่กลยุทธ์การคงตัวเลือกเดิมไว้นั้นมีโอกาสน้อยกว่า1/3ความน่าจะเป็น

เมื่อผู้เล่นทำการเลือกครั้งแรก จะมี⁠2/3โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่ไม่ได้ถูกเลือก ความน่าจะเป็นนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากที่พิธีกรเปิดเผยว่ามีแพะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่ไม่ได้ถูกเลือก เมื่อพิธีกรให้ข้อมูลเกี่ยวกับประตูสองบานที่ไม่ได้ถูกเลือก (โดยเปิดเผยว่าหนึ่งในนั้นไม่มีรถอยู่ข้างหลัง) ⁠2/3โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูที่ไม่ได้เลือกนั้นขึ้นอยู่กับประตูที่ไม่ได้เลือกและยังไม่เปิดเผย ไม่ใช่ขึ้นอยู่กับ...1/3โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูที่ผู้เข้าแข่งขันเลือกไว้ในตอนแรก

ความน่าจะเป็นที่ระบุไว้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานเฉพาะเกี่ยวกับวิธีที่พิธีกรและผู้เข้าแข่งขันเลือกประตู ประเด็นสำคัญคือ ภายใต้เงื่อนไขมาตรฐานเหล่านี้ มีข้อมูลเกี่ยวกับประตู 2 และ 3 มากกว่าที่มีอยู่ตอนเริ่มต้นเกมเมื่อผู้เล่นเลือกประตู 1: การกระทำของพิธีกรเพิ่มคุณค่าให้กับประตูที่ยังไม่ถูกตัดออก แต่ไม่เพิ่มคุณค่าให้กับประตูที่ผู้เข้าแข่งขันเลือกไว้แต่แรก อีกประเด็นหนึ่งคือ การสลับประตูเป็นการกระทำที่แตกต่างจากการเลือกประตูสองบานที่เหลืออยู่แบบสุ่ม เนื่องจากอย่างแรกใช้ข้อมูลก่อนหน้า ในขณะที่อย่างหลังไม่ได้ใช้ พฤติกรรมอื่นๆ ของพิธีกรนอกเหนือจากที่อธิบายไว้ อาจเปิดเผยข้อมูลเพิ่มเติมที่แตกต่างกัน หรืออาจไม่มีเลย ซึ่งนำไปสู่ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน ในคำตอบของเธอ Savant กล่าวว่า:

สมมติว่ามีประตูอยู่หนึ่งล้านบาน และคุณเลือกประตูหมายเลข 1 จากนั้นเจ้าภาพซึ่งรู้ว่ามีอะไรอยู่หลังประตูแต่ละบานและจะหลีกเลี่ยงประตูที่มีรางวัลเสมอ จะเปิดประตูทุกบานยกเว้นประตูหมายเลข 777,777 คุณคงจะเปลี่ยนไปเลือกประตูนั้นอย่างรวดเร็วใช่ไหม?

ผู้อ่านคอลัมน์ของ Savant หลายคนปฏิเสธที่จะเชื่อว่าการสลับนั้นเป็นประโยชน์และปฏิเสธคำอธิบายของเธอ หลังจากที่ปัญหาปรากฏในParadeผู้อ่านประมาณ 10,000 คน รวมถึงเกือบ 1,000 คนที่มีปริญญาเอกได้เขียนจดหมายถึงนิตยสาร โดยส่วนใหญ่ระบุว่า Savant ผิด^{[ 4 ]}แม้ว่าจะได้รับคำอธิบาย การจำลอง และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการแล้ว หลายคนก็ยังไม่ยอมรับว่าการสลับเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด^{[ 5 ]} Paul Erdősหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานมากที่สุดในประวัติศาสตร์ ยังคงไม่เชื่อจนกระทั่งเขาได้เห็นการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ที่แสดงให้เห็นผลลัพธ์ที่ Savant คาดการณ์ไว้^{[ 6 ]}

ปัญหาดังกล่าวเป็นปริศนา ประเภท ความจริงเพราะคำตอบนั้นขัดกับสามัญสำนึกจนอาจดูไร้สาระ แต่ก็พิสูจน์ได้ว่าเป็นความจริง ปัญหาของมอนตี้ ฮอลล์มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์อย่างใกล้ชิดกับปัญหาของนักโทษสามคน ก่อนหน้านี้ และกับปริศนากล่องของเบอร์ทรานด์ที่ เก่าแก่กว่ามาก

สตีฟ เซลวิน เขียนจดหมายถึงนักสถิติชาวอเมริกันในปี 1975 โดยอธิบายปัญหาที่อิงจากรายการเกมโชว์Let's Make a Deal ^{[ 1 ]}และตั้งชื่อปัญหาดังกล่าวว่า "ปัญหามอนตี้ ฮอลล์" ในจดหมายฉบับต่อมา^{[ 2 ]}ปัญหานี้เทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับปัญหาผู้ต้องขังสามคนที่อธิบายไว้ใน คอลัมน์ "Mathematical Games" ของ มาร์ติน การ์ดเนอร์ในScientific Americanในปี 1959 ^{[ 7 ] และปัญหาเปลือกหอยสามอันที่ อธิบาย}ไว้ในหนังสือAha Gotcha ของการ์ดเนอร์ [ ^{8 ]}

ความกำกวมใน เวอร์ชัน Paradeไม่ได้กำหนดโปรโตคอลของโฮสต์ไว้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาของ Marilyn vos Savant ^{[ 3 ]}ที่พิมพ์ควบคู่ไปกับคำถามของ Whitaker บ่งบอก และทั้ง Selvin ^{[ 1 ]}และ Savant ^{[ 5 ]}ได้กำหนดบทบาทของโฮสต์ไว้อย่างชัดเจนดังนี้:

1. พิธีกรจะต้องเปิดประตูที่ผู้เข้าแข่งขันไม่ได้เลือกเสมอ^{[ 9 ]}
2. เจ้าบ้านต้องเปิดประตูเพื่อเผยให้เห็นแพะเสมอ ไม่ใช่รถยนต์
3. เจ้าบ้านต้องเปิดโอกาสให้สลับระหว่างประตูที่เลือกไว้แต่แรกกับประตูที่ปิดอยู่เสมอ

นอกจากนี้ยังสันนิษฐานว่ารถจะถูกวางไว้แบบสุ่ม (อย่างสม่ำเสมอ) ด้านหลังประตูบานใดบานหนึ่ง และหากผู้เล่นเลือกรถในตอนแรก การเลือกประตูซ่อนแพะบานใดของโฮสต์ก็จะเป็นการสุ่ม (อย่างสม่ำเสมอ) เช่นกัน^{[ 10 ]}

ภายใต้สมมติฐานมาตรฐานเหล่านี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้รถหลังจากเปลี่ยนตัวเลือกคือ⁠2/3การเปลี่ยนแปลงสมมติฐานต่างๆ สามารถเปลี่ยนโอกาสในการชนะได้ โดยการสลับประตูตามรายละเอียดในส่วนถัดไป

ข้อสมมติเหล่านี้ระบุแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพฤติกรรมของโฮสต์และการแจกจ่ายรางวัลที่กำลังวิเคราะห์ ในการอ่านเชิงทฤษฎีการตัดสินใจ การเปลี่ยนใจเป็นเหตุเป็นผลสำหรับผู้เข้าแข่งขันหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่าผู้เข้าแข่งขันรู้หรือไม่ หรือมีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าโฮสต์ปฏิบัติตามโปรโตคอลนี้หรือไม่^{[ 11 ]}

วิธีแก้ปัญหาที่ Savant นำเสนอในParadeแสดงให้เห็นการจัดเรียงที่เป็นไปได้สามแบบของรถยนต์หนึ่งคันและแพะสองตัวหลังประตูสามบาน และผลลัพธ์ของการอยู่ต่อหรือสลับหลังจากเลือกประตู 1 ในตอนแรกในแต่ละกรณี: ^{[ 12 ]}

ผู้เล่นที่ยังคงยึดติดกับตัวเลือกแรกจะชนะเพียงหนึ่งในสามของความเป็นไปได้ที่เท่ากันเหล่านี้ ในขณะที่ผู้เล่นที่เปลี่ยนตัวเลือกจะชนะสองในสาม

คำอธิบายที่เข้าใจง่ายคือ หากผู้เข้าแข่งขันเลือกแพะในตอนแรก (2 ใน 3 ประตู) ผู้เข้าแข่งขันจะชนะรถยนต์โดยการเปลี่ยนตัวเลือก เนื่องจากไม่สามารถเลือกแพะตัวอื่นได้อีกต่อไป – พิธีกรต้องเปิดเผยตำแหน่งของแพะตัวนั้น – ในขณะที่หากผู้เข้าแข่งขันเลือกรถยนต์ในตอนแรก (1 ใน 3 ประตู) ผู้เข้าแข่งขันจะไม่ชนะรถยนต์โดยการเปลี่ยนตัวเลือก^{[ 13 ]}การใช้กลยุทธ์การเปลี่ยนตัวเลือก การชนะหรือแพ้จึงขึ้นอยู่กับว่าผู้เข้าแข่งขันเลือกแพะในตอนแรกหรือไม่ ( ⁠2/3ความน่าจะ เป็น  ) หรือรถยนต์(1/3ความ  น่าจะเป็น) ข้อเท็จจริงที่ว่าโฮสต์เปิดเผยแพะในประตูที่ไม่ได้เลือกบานหนึ่งในภายหลังไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไรเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเริ่มต้น^{[ 14 ]}

คนส่วนใหญ่สรุปว่าการสลับประตูไม่สำคัญ เพราะจะมีโอกาส 50% ที่จะพบรถอยู่หลังประตูใดประตูหนึ่งในสองบานที่ยังไม่ได้เปิด นี่จะเป็นความจริงหากโฮสต์เลือกประตูที่จะเปิดแบบสุ่ม แต่ในความเป็นจริงแล้วไม่ใช่เช่นนั้น ประตูที่โฮสต์เปิดขึ้นอยู่กับการเลือกเริ่มต้นของผู้เล่น ดังนั้นสมมติฐานเรื่องความเป็นอิสระจึงไม่เป็นจริง ก่อนที่โฮสต์จะเปิดประตู จะมี⁠1/3ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูแต่ละบาน ถ้าหากรถอยู่หลังประตูที่ 1 เจ้าบ้านสามารถเปิดประตูที่ 2 หรือประตูที่ 3 ได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตูที่ 1 และเจ้าบ้านเปิดประตูที่ 3 คือ1/3×​​1/2=​​1/6ถ้าหากรถอยู่หลังประตู 2 โดยที่ผู้เล่นเลือกประตู 1 เจ้าบ้านจะต้องเปิดประตู 3 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตู 2 และเจ้าบ้านเปิดประตู 3 คือ1/3× 1 =1/3นี่เป็นกรณีเดียวที่เจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 3 ดังนั้นหากผู้เล่นเลือกประตูหมายเลข 1 และเจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 3 โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูหมายเลข 2 จะมีมากกว่าประตูหมายเลข 1 ถึงสองเท่า ประเด็นสำคัญคือ หากรถอยู่หลังประตูหมายเลข 2 เจ้าบ้านต้องเปิดประตูหมายเลข 3 แต่หากรถอยู่หลังประตูหมายเลข 1 เจ้าบ้านสามารถเปิดประตูใดก็ได้

อีกวิธีหนึ่งที่จะเข้าใจวิธีแก้ปัญหาคือการพิจารณาประตูสองบานที่ผู้เล่นไม่ได้เลือกในตอนแรก^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ดังที่Cecil Adamsกล่าวไว้^{[ 15 ]} "มอนตี้กำลังพูดโดยสรุปว่า: คุณสามารถเก็บประตูบานหนึ่งของคุณไว้ หรือคุณสามารถมีประตูอีกสองบาน ก็ได้ "2/3โอกาสในการพบรถไม่ได้เปลี่ยนแปลงไปจากการเปิดประตูบานใดบานหนึ่ง เพราะมอนตี้รู้ตำแหน่งของรถอยู่แล้ว จึงมั่นใจว่าจะต้องเปิดเผยแพะออกมา ทางเลือกของผู้เล่นหลังจากที่เจ้าบ้านเปิดประตูนั้น ไม่แตกต่างจากกรณีที่เจ้าบ้านเสนอทางเลือกให้ผู้เล่นเปลี่ยนจากประตูที่เลือกไว้เดิมไปเป็นประตูอีกสองบานที่เหลือ การเปลี่ยนประตูในกรณีนี้ทำให้ผู้เล่นมีทางเลือกเพิ่มขึ้นอย่างชัดเจน2/3ความน่าจะเป็นของการเลือกซื้อรถยนต์

รถคันนี้มี⁠1/3โอกาสที่จะอยู่เบื้องหลังการเลือกของผู้เล่นและ2/3โอกาสที่จะอยู่หลังประตูอีกสองบานที่เหลือ

เมื่อเจ้าภาพเปิดประตู อัตราต่อรองสำหรับทั้งสองชุดจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่อัตราต่อรองสำหรับประตูที่เปิดอยู่จะกลายเป็น 0 และ⁠2/3สำหรับประตูที่ปิดสนิท

ดังที่Keith Devlinกล่าวไว้^{[ 16 ]} "โดยการเปิดประตูของเขา Monty กำลังบอกผู้เข้าแข่งขันว่า 'มีประตูสองบานที่คุณไม่ได้เลือก และความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งคือ⁠2/3ฉันจะช่วยคุณโดยใช้ความรู้ของฉันเกี่ยวกับที่ ตั้งของรางวัลเพื่อเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานนั้น เพื่อแสดงให้คุณเห็นว่าประตูบานนั้นไม่ได้ซ่อนรางวัลไว้ ตอนนี้คุณสามารถใช้ประโยชน์จากข้อมูลเพิ่มเติมนี้ได้แล้ว การเลือกประตู A ของคุณมีโอกาส 1 ใน 3 ที่จะเป็นผู้ชนะ ฉันไม่ได้เปลี่ยนแปลงสิ่งนั้น แต่โดยการตัดประตู C ออกไป ฉันได้แสดงให้คุณเห็นแล้วว่าความน่าจะเป็นที่ประตู B จะซ่อนรางวัลไว้คือ 2 ใน 3

Savant แนะนำว่าวิธีแก้ปัญหาจะเข้าใจง่ายกว่าหากมีประตู 1,000,000 บาน แทนที่จะเป็น 3 บาน^{[ 3 ]}ในกรณีนี้ มีประตู 999,999 บานที่มีแพะอยู่ข้างหลัง และมีประตูหนึ่งบานที่มีรางวัล หลังจากที่ผู้เล่นเลือกประตูแล้ว เจ้าภาพจะเปิดประตูที่เหลืออีก 999,998 บาน โดยเฉลี่ยแล้ว ใน 999,999 ครั้ง จาก 1,000,000 ครั้ง ประตูที่เหลือจะมีรางวัลอยู่ ตามสัญชาตญาณ ผู้เล่นควรจะถามว่ามีความเป็นไปได้มากน้อยเพียงใดที่พวกเขาจะเลือกประตูที่ถูกต้องตั้งแต่แรก โดยมีประตูทั้งหมดหนึ่งล้านบาน Stibel และคณะเสนอว่าความต้องการหน่วยความจำในการทำงานจะถูกใช้งานอย่างหนักในระหว่างปัญหา Monty Hall และสิ่งนี้บังคับให้ผู้คน "ยุบ" ตัวเลือกของพวกเขาให้เหลือเพียงสองตัวเลือกที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน พวกเขารายงานว่าเมื่อจำนวนตัวเลือกเพิ่มขึ้นเป็นมากกว่า 7 คน มักจะเปลี่ยนตัวเลือกบ่อยขึ้น อย่างไรก็ตาม ผู้เข้าแข่งขันส่วนใหญ่ยังคงตัดสินความน่าจะเป็นของความสำเร็จผิดพลาดว่าเป็น 50% ^{[ 19 ]}

Savant เขียนในคอลัมน์แรกของเธอเกี่ยวกับปัญหา Monty Hall ว่าผู้เล่นควรเปลี่ยน^{[ 3 ]}เธอได้รับจดหมายหลายพันฉบับจากผู้อ่านของเธอ ซึ่งส่วนใหญ่ รวมถึงผู้อ่านจำนวนมากที่มีปริญญาเอกไม่เห็นด้วยกับคำตอบของเธอ ในช่วงปี 1990–1991 คอลัมน์ของเธออีกสามคอลัมน์ในParadeอุทิศให้กับความขัดแย้งนี้^{[ 20 ]}ตัวอย่างมากมายของจดหมายจากผู้อ่านคอลัมน์ของ Savant ถูกนำเสนอและอภิปรายในThe Monty Hall Dilemma: A Cognitive Illusion Par Excellence ^{[ 21 ]}

การอภิปรายดังกล่าวได้รับการนำเสนอซ้ำในสถานที่อื่นๆ (เช่น ในคอลัมน์หนังสือพิมพ์The Straight DopeของCecil Adams ^{[ 15 ]} ) และรายงานในหนังสือพิมพ์หลักๆ เช่นThe New York Times ^{[ 4 ]}

เพื่อพยายามชี้แจงคำตอบของเธอ เธอจึงเสนอเกมเปลือกหอย^{[ 8 ]}เพื่อแสดงให้เห็น: "คุณมองไปทางอื่น แล้วฉันจะวางถั่วไว้ใต้เปลือกหอยหนึ่งในสามอัน จากนั้นฉันจะขอให้คุณวางนิ้วลงบนเปลือกหอย โอกาสที่เปลือกหอยที่คุณเลือกจะมีถั่วอยู่คือ⁠1/3ตกลง ไหม ? จากนั้นฉันก็จะหยิบเปลือกหอยเปล่าขึ้นมาหนึ่งอันจากอีกสองอันที่เหลืออยู่ เนื่องจากฉันสามารถ (และจะ) ทำเช่นนี้ได้ไม่ว่าคุณจะเลือกอะไรก็ตาม ดังนั้นเราจึงไม่ได้เรียนรู้อะไรเลยที่จะทำให้เราสามารถแก้ไขอัตราต่อรองของเปลือกหอยใต้ปลายนิ้วของคุณได้" เธอยังเสนอการจำลองที่คล้ายกันโดยใช้ไพ่สามใบด้วย

ซาวานต์แสดงความคิดเห็นว่า แม้จะมีความสับสนเกิดขึ้นบ้างเนื่องจาก ผู้อ่าน บางส่วนไม่เข้าใจว่าควรจะสันนิษฐานว่าพิธีกรจะต้องเปิดเผยแพะเสมอ แต่ผู้ที่ติดต่อมาหาเธอจำนวนมากเกือบทั้งหมดเข้าใจข้อสันนิษฐานของปัญหาอย่างถูกต้อง และในตอนแรกก็ยังคงเชื่อมั่นว่าคำตอบของซาวานต์ ("สวิตช์") นั้นผิด

เมื่อเผชิญกับปัญหา Monty Hall เป็นครั้งแรก คนส่วนใหญ่มักจะคิดว่าประตูแต่ละบานมีโอกาสเท่ากัน และสรุปว่าการสลับประตูไม่สำคัญ^{[ 9 ]}จากผู้เข้าร่วมการทดลอง 228 คน ในการศึกษาหนึ่ง มีเพียง 13% เท่านั้นที่เลือกที่จะสลับประตู^{[ 22 ] ในหนังสือ The Power of Logical Thinking ของ vos Savant [ 23 ] นัก}จิตวิทยาด้านความ^{รู้ความเข้าใจ} Massimo Piattelli-Palmariniเขียนว่า: "ไม่มีปริศนาทางสถิติใดที่ใกล้เคียงกับการหลอกลวงคนทุกคนได้ตลอดเวลา [และ] แม้แต่นักฟิสิกส์รางวัลโนเบลก็ยังให้คำตอบที่ผิดอย่างเป็นระบบ และพวกเขายืนยันในคำตอบนั้น และพร้อมที่จะตำหนิผู้ที่เสนอคำตอบที่ถูกต้องในงานเขียน" นกพิราบที่ได้รับปัญหาซ้ำๆ จะเรียนรู้ที่จะสลับประตูเสมออย่างรวดเร็ว ซึ่งแตกต่างจากมนุษย์^{[ 24 ]}

คำกล่าวส่วนใหญ่เกี่ยวกับปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในParadeไม่ตรงกับกฎของรายการเกมโชว์จริง^{[ 10 ]}และไม่ได้ระบุพฤติกรรมของพิธีกรหรือว่าตำแหน่งของรถถูกเลือกแบบสุ่มอย่างครบถ้วน^{[ 22 ] [ 4 ] [ 25 ]}อย่างไรก็ตาม Krauss และ Wang โต้แย้งว่าผู้คนมักตั้งสมมติฐานมาตรฐานแม้ว่าจะไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนก็ตาม^{[ 26 ]}

แม้ว่าปัญหาเหล่านี้จะมีความสำคัญทางคณิตศาสตร์ แม้จะควบคุมปัจจัยเหล่านี้แล้วก็ตาม เกือบทุกคนก็ยังคิดว่าประตูทั้งสองบานที่ยังไม่ได้เปิดมีโอกาสเท่ากัน และสรุปว่าการสลับไม่สำคัญ^{[ 9 ]}สมมติฐาน "โอกาสเท่ากัน" นี้เป็นสัญชาตญาณที่ฝังรากลึก^{[ 27 ]}ผู้คนมักคิดว่าโอกาสกระจายอย่างสม่ำเสมอในตัวแปรที่ไม่ทราบค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ไม่ว่าจะเป็นความจริงในสถานการณ์เฉพาะที่กำลังพิจารณาอยู่หรือไม่ก็ตาม^{[ 28 ]}

ปัญหานี้ยังคงดึงดูดความสนใจของนักจิตวิทยาด้านการรู้คิดอย่างต่อเนื่อง พฤติกรรมทั่วไปของคนส่วนใหญ่ กล่าวคือ การไม่เปลี่ยนความคิด อาจอธิบายได้ด้วยปรากฏการณ์ที่รู้จักกันในวรรณกรรมทางจิตวิทยาว่า:

1. ผลกระทบจากการครอบครอง^{[ 29 ]}ซึ่งผู้คนมักจะประเมินค่าความน่าจะเป็นในการชนะของประตูที่เลือกไว้แล้ว – ซึ่ง “เป็นเจ้าของ” ไว้แล้ว สูงเกินไป
2. อคติสถานะเดิม^{[ 30 ]}ซึ่งผู้คนมักจะเลือกที่จะรักษาประตูที่พวกเขาเลือกไว้แล้ว
3. ผลกระทบของข้อผิดพลาดจากการละเว้นเทียบกับข้อผิดพลาดจากการกระทำ^{[ 31 ]}ซึ่งเมื่อปัจจัยอื่นๆ เท่ากัน ผู้คนมักจะเลือกที่จะทำผิดพลาดโดยการไม่กระทำ (อยู่) มากกว่าการกระทำ (เปลี่ยน)

หลักฐานเชิงทดลองยืนยันว่าสิ่งเหล่านี้เป็นคำอธิบายที่สมเหตุสมผลซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณด้านความน่าจะเป็น^{[ 32 ] [ 33 ]}ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือสัญชาตญาณของผู้คนไม่ได้จัดการกับปัญหาในรูปแบบตำราเรียน แต่จัดการกับสถานการณ์จริงในรายการเกมโชว์^{[ 34 ]}ในกรณีนั้น มีความเป็นไปได้ที่พิธีกรรายการจะเล่นอย่างไม่ซื่อสัตย์โดยการเปิดประตูอื่น ๆ เฉพาะในกรณีที่ประตูที่มีรถถูกเลือกไว้ตั้งแต่แรก พิธีกรรายการที่เล่นอย่างไม่ซื่อสัตย์ครึ่งหนึ่งของเวลาจะปรับเปลี่ยนโอกาสในการชนะในกรณีที่มีการเสนอให้เปลี่ยนไปใช้ "ความน่าจะเป็นเท่ากัน"

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว แหล่งข้อมูลส่วนใหญ่ในหัวข้อความน่าจะเป็นรวมถึงตำราความน่าจะเป็นเบื้องต้นหลายเล่ม แก้ปัญหาโดยแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่รถอยู่หลังประตู 1 และประตู 2 คือ⁠1/3และ​​2/3(ไม่ใช่​1/2และ​​1/2(โดยที่ผู้เข้าแข่งขันเลือกประตูหมายเลข 1 ในตอนแรก และพิธีกรเปิดประตูหมายเลข 3 ซึ่งได้มีการอธิบายวิธีการต่างๆ ในการหาและทำความเข้าใจผลลัพธ์นี้ไว้ในหัวข้อย่อยก่อนหน้านี้แล้ว)

ในบรรดาแหล่งข้อมูลเหล่านี้ มีหลายแหล่งที่วิพากษ์วิจารณ์อย่างชัดเจนถึงวิธีแก้ปัญหา "ง่ายๆ" ที่นำเสนออย่างแพร่หลาย โดยกล่าวว่าวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ "ถูกต้องแต่...ไม่มั่นคง" ^{[ 35 ]}หรือไม่ "แก้ปัญหาที่ตั้งไว้" ^{[ 36 ]}หรือ "ไม่สมบูรณ์" ^{[ 37 ]}หรือ "ไม่น่าเชื่อถือและทำให้เข้าใจผิด" ^{[ 38 ]}หรือ (อย่างตรงไปตรงมาที่สุด) "เป็นเท็จ" ^{[ 39 ]}

Sasha Volokh เขียนว่า "คำอธิบายใดๆ ที่บอกว่า 'ความน่าจะเป็นของประตูหมายเลข 1 คือ⁠1/3และไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงสิ่งนั้นได้ ...' ฟัง ดูน่าสงสัยโดยอัตโนมัติ: ความน่าจะเป็นเป็นการแสดงออกถึงความไม่รู้ของเราเกี่ยวกับโลก และข้อมูลใหม่สามารถเปลี่ยนแปลงขอบเขตของความไม่รู้ของเราได้" ^{[ 40 ]}

บางคนกล่าวว่าวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ตอบคำถามที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย – วลีหนึ่งคือ "คุณต้องประกาศก่อนที่ประตูจะเปิดว่าคุณวางแผนที่จะเปลี่ยนหรือไม่" ^{[ 41 ]}

วิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายแสดงให้เห็นในหลายๆ ด้านว่า ผู้เข้าแข่งขันที่ตั้งใจจะเปลี่ยนแผนจะมีโอกาสชนะรถยนต์คันนั้นสูง2/3และด้วยเหตุนี้ การสลับจึงเป็นกลยุทธ์ที่ชนะ หากผู้เล่นต้องเลือกล่วงหน้าระหว่าง "สลับเสมอ" และ "คงอยู่เสมอ" อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นที่จะชนะโดย การสลับ เสมอเป็นแนวคิดที่แตกต่างกันทางตรรกะจากความน่าจะเป็นที่จะชนะโดยการสลับ โดยที่ผู้เล่นเลือกประตู 1 และเจ้าภาพเปิดประตู 3ดังที่แหล่งข้อมูลหนึ่งกล่าวว่า "ความแตกต่างระหว่าง [คำถามเหล่านี้] ดูเหมือนจะทำให้หลายคนสับสน" ^{[ 39 ]}ข้อเท็จจริงที่ว่าสิ่งเหล่านี้แตกต่างกันสามารถแสดงได้โดยการเปลี่ยนแปลงปัญหาเพื่อให้ความน่าจะเป็นทั้งสองนี้มีค่าตัวเลขที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าผู้เข้าแข่งขันรู้ว่ามอนตี้ไม่ได้เปิดประตูบานที่สองแบบสุ่มจากทางเลือกที่ถูกต้องทั้งหมด แต่เมื่อได้รับโอกาสให้เลือกระหว่างประตูที่แพ้สองบาน มอนตี้จะเปิดประตูทางด้านขวา ในสถานการณ์นี้ คำถามสองข้อต่อไปนี้มีคำตอบที่แตกต่างกัน:

1. โอกาสที่จะชนะรางวัลรถยนต์โดย การสลับสวิตช์ ตลอดเวลา คือเท่าไร ?
2. ความน่าจะเป็นที่จะชนะรถยนต์โดยการสลับประตูคือเท่าไรเมื่อผู้เล่นเลือกประตูหมายเลข 1 และพิธีกรเปิดประตูหมายเลข 3 ?

คำตอบสำหรับคำถามแรกคือ⁠2/3ดังที่แสดงไว้อย่างถูกต้องโดยวิธีแก้ปัญหาแบบ "ง่าย" แต่คำตอบสำหรับคำถามที่สองนั้นแตกต่างออกไป ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่รถอยู่หลังประตู 1 หรือประตู 2 เมื่อพิธีกรเปิดประตู 3 (ประตูทางขวา) คือ1/2นี่เป็นเพราะว่ามอนตี้ชอบประตูที่อยู่ทางขวาสุด ซึ่งหมายความว่าเขาจะเปิดประตูหมายเลข 3 หากรถอยู่หลังประตูหมายเลข 1 (ซึ่งเดิมทีรถก็อยู่หลังประตูหมายเลข 1 ด้วยความน่าจะเป็น⁠ )1/3หรือถ้าหากรถอยู่หลังประตู 2 (ซึ่งเดิมทีก็มีความน่าจะเป็นเช่นกัน)1/3) . สำหรับรูปแบบนี้ คำถามทั้งสองข้อให้คำตอบที่แตกต่างกัน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเงื่อนไขที่สมมติขึ้นของคำถามข้อที่สอง (ที่เจ้าบ้านเปิดประตู 3) จะเกิดขึ้นในรูปแบบนี้ด้วยความน่าจะเป็นเพียง ⁠ เท่านั้น2/3อย่างไรก็ตามตราบใดที่ความน่าจะเป็นเริ่มต้นที่รถอยู่หลังประตูแต่ละบานยังคงเป็น⁠1/3การเปลี่ยนตัวเลือก ไม่เคยเป็นผลเสียต่อผู้เข้าแข่งขันเลย เนื่องจากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการชนะโดยการเปลี่ยนตัวเลือกนั้นอย่างน้อยที่สุดเสมอ1/2. ^{[ 39 ]}​

ใน Morgan et al. [ ^{39 ]}ศาสตราจารย์มหาวิทยาลัยสี่ท่านได้ตีพิมพ์บทความในThe American Statisticianโดยอ้างว่า Savant ให้คำแนะนำที่ถูกต้องแต่ใช้เหตุผลที่ผิด พวกเขาเชื่อว่าคำถามถามถึงโอกาสที่รถจะอยู่หลังประตู 2 ^โดยพิจารณาจากการเลือกประตู 1 ในตอนแรกของผู้เล่นและโฮสต์เกมเปิดประตู 3 และพวกเขาแสดงให้เห็นว่าโอกาสนี้อยู่ระหว่าง⁠1/2และ 1 ขึ้นอยู่กับกระบวนการตัดสินใจของโฮสต์เมื่อได้รับตัวเลือก เฉพาะเมื่อการตัดสินใจเป็นการสุ่มอย่างสมบูรณ์เท่านั้น โอกาสจึงจะมีอยู่2/3⁠ .

ในการแสดงความคิดเห็นที่ได้รับเชิญ^{[ 42 ]}และในจดหมายถึงบรรณาธิการฉบับต่อมา^{[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]} Morgan และคณะได้รับการสนับสนุนจากนักเขียนบางคน และถูกวิพากษ์วิจารณ์จากนักเขียนคนอื่นๆ ในแต่ละกรณี คำตอบของ Morgan และคณะได้รับการตีพิมพ์ควบคู่ไปกับจดหมายหรือความคิดเห็นในThe American Statisticianโดยเฉพาะอย่างยิ่ง Savant ได้ปกป้องตนเองอย่างแข็งขัน Morgan และคณะบ่นในคำตอบของพวกเขาต่อ Savant ^{[ 43 ]}ว่า Savant ยังไม่ได้ตอบประเด็นหลักของพวกเขาอย่างแท้จริง ต่อมาในคำตอบของพวกเขาต่อ Hogbin และ Nijdam ^{[ 46 ]}พวกเขายอมรับว่าเป็นเรื่องปกติที่จะสมมติว่าเจ้าบ้านเลือกประตูที่จะเปิดแบบสุ่มโดยสมบูรณ์เมื่อเขามีทางเลือก และด้วยเหตุนี้ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการชนะโดยการเปลี่ยน (เช่น มีเงื่อนไขเมื่อพิจารณาสถานการณ์ที่ผู้เล่นอยู่เมื่อเขาต้องเลือก) จึงมีค่าเท่ากัน2/3โดย ถือเป็นความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของการชนะโดยการสลับ (กล่าวคือ เฉลี่ยจากสถานการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด) ความเท่าเทียมกันนี้ได้รับการเน้นย้ำโดยเบลล์แล้ว โดยเขาเสนอว่าวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ของมอร์แกนและคณะนั้นจะดึงดูดเฉพาะนักสถิติเท่านั้น ในขณะที่ความเท่าเทียมกันของวิธีแก้ปัญหาแบบมีเงื่อนไขและไม่มีเงื่อนไขในกรณีของความสมมาตรนั้นชัดเจนโดยสัญชาตญาณ

ในวรรณกรรมมีการถกเถียงกันว่าการกำหนดปัญหาของ Savant ตามที่นำเสนอในParadeนั้นเป็นการถามคำถามแรกหรือคำถามที่สอง และความแตกต่างนี้มีความสำคัญหรือไม่^{[ 47 ]} Behrends สรุปว่า "ต้องพิจารณาเรื่องนี้อย่างรอบคอบเพื่อให้แน่ใจว่าการวิเคราะห์ทั้งสองถูกต้อง" ซึ่งไม่ได้หมายความว่าเหมือนกัน^{[ 48 ]}นักวิจารณ์หลายคนของบทความโดย Morgan et al. [ ^{39 ]}ซึ่งผลงานของพวกเขาได้รับการตีพิมพ์พร้อมกับบทความต้นฉบับ ได้วิจารณ์ผู้เขียนที่เปลี่ยนแปลงถ้อยคำของ Savant และตีความเจตนาของเธอผิด^{[ 47 ] ผู้}ร่วมอภิปรายคนหนึ่ง (William Bell) พิจารณาว่าเป็นเรื่องของรสนิยมว่าจะกล่าวถึงอย่างชัดเจนหรือไม่ว่า (ตามเงื่อนไขมาตรฐาน) ประตู ใดที่เจ้าบ้านเปิดนั้นเป็นอิสระจากว่าเราต้องการเปลี่ยนหรือไม่

ในบรรดาวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายๆ วิธีแก้ปัญหาแบบ "รวมประตู" นั้นใกล้เคียงกับวิธีแก้ปัญหาแบบมีเงื่อนไขมากที่สุด ดังที่ได้แสดงให้เห็นในการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการที่ใช้แนวคิดเรื่องอัตราต่อรองและทฤษฎีบทของเบย์ส วิธีนี้อิงจากสัญชาตญาณที่ฝังลึกว่าการเปิดเผยข้อมูลที่ทราบอยู่แล้วจะไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็น แต่การรู้ว่าพิธีกรสามารถเปิดประตูหนึ่งในสองบานที่ยังไม่ได้เลือกเพื่อแสดงแพะไม่ได้หมายความว่าการเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เลือกไว้ในตอนแรก ประเด็นคือ แม้ว่าเราจะรู้ล่วงหน้าว่าพิธีกรจะเปิดประตูและแสดงแพะ แต่เราไม่รู้ ว่าเขาจะเปิดประตูบาน ไหนหากพิธีกรเลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอระหว่างประตูที่ซ่อนแพะอยู่ (เช่นเดียวกับการตีความแบบมาตรฐาน) ความน่าจะเป็นนี้จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ถ้าพิธีกรสามารถเลือกแบบไม่สุ่มระหว่างประตูเหล่านั้น ประตูเฉพาะที่พิธีกรเปิดจะเปิดเผยข้อมูลเพิ่มเติม เจ้าของบ้านสามารถเปิดประตูแล้วพบแพะได้เสมอและ (ในการตีความปัญหาแบบมาตรฐาน) ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เลือกไว้ในตอนแรกจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ไม่ใช่เพราะเหตุแรกที่ทำให้ข้อหลังเป็นจริง วิธีแก้ปัญหาที่อิงตามข้ออ้างที่ว่าการกระทำของเจ้าของบ้านไม่สามารถส่งผลต่อความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เลือกไว้ในตอนแรกนั้นดูน่าเชื่อถือ แต่ข้ออ้างนั้นไม่เป็นจริงเว้นแต่ว่าทางเลือกทั้งสองของเจ้าของบ้านจะมีโอกาสเท่ากัน หากเขามีทางเลือก^{[ 49 ]}ดังนั้นข้ออ้างจึงจำเป็นต้องมีการพิสูจน์ หากไม่มีการพิสูจน์ วิธีแก้ปัญหาก็จะไม่สมบูรณ์อย่างที่สุด อาจเป็นไปได้ว่าคำตอบถูกต้อง แต่เหตุผลที่ใช้ในการพิสูจน์นั้นมีข้อบกพร่อง

วิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายข้างต้นแสดงให้เห็นว่าผู้เล่นที่มีกลยุทธ์การสลับตำแหน่งจะมีโอกาสชนะรถยนต์โดยรวมสูงกว่า2/3กล่าวคือ โดยไม่คำนึงถึงว่าเจ้าของบ้านเปิดประตูบานใด^{[ 50 ] [ 14 ]}ตามนี้ แหล่งข้อมูลส่วนใหญ่เกี่ยวกับหัวข้อความน่าจะเป็นจะคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขว่ารถอยู่หลังประตู 1 และประตู 2 จะเป็น1/3และ​​2/3โดยกำหนดให้ผู้เข้าแข่งขันเลือกประตู 1 ในตอนแรก และพิธีกรเปิดประตู 3 ^{[ 2 ] [ 39 ] [ 51 ] [ 36 ] [ 14 ] [ 50 ] [ 37 ]}วิธีแก้ปัญหาในส่วนนี้พิจารณาเฉพาะกรณีที่ผู้เล่นเลือกประตู 1 และพิธีกรเปิดประตู 3 เท่านั้น

สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ต้องกำหนดหมายเลขประตูอย่างชัดเจน ให้ใช้กฎความน่าจะเป็นรวม: $${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{สลับแล้วชนะ}})=&P({\text{สลับแล้วชนะ}}~|~{\text{ทายถูกครั้งแรก}})\,P({\text{ทายถูกครั้งแรก}})\\&+P({\text{สลับแล้วชนะ}}~|~{\text{ทายผิดครั้งแรก}})\,P({\text{ทายผิดครั้งแรก}}).\end{aligned}}}$$

ในกรณีนี้ การเดาครั้งแรกที่ "ถูกต้อง" หมายความว่าประตูที่เลือกไว้ในตอนแรกนั้นบังรถอยู่ เนื่องจากมีประตูเพียงบานเดียวจากสามบานที่บังรถอยู่ ${\displaystyle P({\text{ทายถูกครั้งแรก}})={\tfrac {1}{3}},\quad P({\text{ทายผิดครั้งแรก}})={\tfrac {2}{3}}.}$

ต่อไป เนื่องจากการเปลี่ยนเส้นทางจำเป็นต้องเปลี่ยนจากรถยนต์ไปเป็นแพะ $${\displaystyle P({\text{สลับแล้วชนะ}}~|~{\text{ทายถูกครั้งแรก}})=0,}$$

ในทางกลับกัน เนื่องจากเจ้าภาพเปิดเผยให้เห็นแพะตัวหนึ่งท่ามกลางประตูที่เหลืออยู่ ทำให้ประตูบานเดียวที่ยังไม่ได้เปิดนั้นซ่อนรถยนต์เอาไว้ $${\displaystyle P({\text{สลับแล้วชนะ}}~|~{\text{เดาครั้งแรกผิด}})=1,}$$

ดังนั้น, $${\displaystyle P({\text{สลับและชนะ}})=0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {2}{3}}.}$$

หากเราสมมติว่าเจ้าบ้านเปิดประตูแบบสุ่มเมื่อได้รับตัวเลือก ประตูที่เจ้าบ้านเปิดจะไม่ให้ข้อมูลใดๆ เลยว่ารถอยู่หลังประตูหมายเลข 1 หรือไม่ ในวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายๆ เราได้สังเกตแล้วว่าความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตูหมายเลข 1 ซึ่งเป็นประตูที่ผู้เล่นเลือกในตอนแรกนั้นมีค่าเท่ากับ⁠1/3นอกจาก นี้เจ้าบ้านย่อมจะเปิดประตู (บานอื่น) อยู่แล้ว ดังนั้นการเปิดประตู ( ไม่ระบุว่าเป็นประตูบาน ใด ) จึงไม่เปลี่ยนแปลงสิ่งนี้1/3ต้องเป็นค่าเฉลี่ยของ: ความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตู 1 เมื่อพิธีกรเลือกประตู 2 และความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตู 1 เมื่อพิธีกรเลือกประตู 3: เนื่องจากมีเพียงสองความเป็นไปได้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นทั้งสองนี้เท่ากัน ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากับ1/3[ 39 ^{] สิ่ง นี้ แสดงให้เห็นว่าโอกาสที่รถจะอยู่หลังประตู 1 โดยที่ผู้เล่นเลือกประตูนี้ใน ตอน}แรกและโฮสต์เปิดประตู 3 คือ1/3และด้วยเหตุนี้ โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตู 2 โดยที่ผู้เล่นเลือกประตู 1 ในตอนแรกและโฮสต์เปิดประตู 3 จึงเป็น⁠2/3การวิเคราะห์ยังแสดงให้เห็นว่าอัตราความสำเร็จโดยรวมของ2/3ซึ่งได้มาจากการสลับประตูอยู่เสมอไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ และเน้นย้ำสิ่งที่อาจจะชัดเจนอยู่แล้วโดยสัญชาตญาณ: ทางเลือกที่ผู้เล่นต้องเผชิญคือระหว่างประตูที่เลือกไว้ในตอนแรกกับประตูอีกบานที่โฮสต์ปิดไว้ ตัวเลขเฉพาะบนประตูเหล่านั้นไม่มีความสำคัญ

ตามคำจำกัดความความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการชนะโดยการเปลี่ยนประตู โดยที่ผู้เข้าแข่งขันเลือกประตู 1 ในตอนแรก และพิธีกรเปิดประตู 3 คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "รถอยู่หลังประตู 2 และพิธีกรเปิดประตู 3" หารด้วยความน่าจะเป็นของ "พิธีกรเปิดประตู 3" ความน่าจะเป็นเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยอ้างอิงจากตารางความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขด้านล่าง หรือแผนผังการตัดสินใจที่เทียบเท่ากัน[ 51 ^{] [ 14 ] [ 50 ]ความน่า}จะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการชนะโดยการเปลี่ยนประตูคือ⁠1/3/1/3 + 1/6ซึ่งก็คือ2/3[ ² ]^​​

ตารางความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขด้านล่างแสดงให้เห็นว่า กรณี 300 กรณี ซึ่งผู้เล่นเลือกประตูหมายเลข 1 ในตอนเริ่มต้น จะถูกแบ่งออกโดยเฉลี่ยอย่างไร ตามตำแหน่งของรถและการเลือกประตูที่จะเปิดโดยเจ้าบ้าน

รถซ่อนอยู่หลังประตูหมายเลข 3 (โดยเฉลี่ย 100 กรณีจาก 300 กรณี)	รถยนต์ซ่อนอยู่หลังประตูหมายเลข 1 (โดยเฉลี่ย 100 กรณีจาก 300 กรณี)		รถซ่อนอยู่หลังประตูหมายเลข 2 (โดยเฉลี่ย 100 กรณีจาก 300 กรณี)
ผู้เล่นเลือกประตูหมายเลข 1 ในตอนเริ่มต้น จำนวน 300 ครั้ง
เจ้าภาพต้องเปิดประตูหมายเลข 2 (100 กล่อง)	โฮสต์จะสุ่มเปิดประตูหมายเลข 2 (โดยเฉลี่ย 50 ครั้ง)	โฮสต์จะสุ่มเปิดประตูหมายเลข 3 (โดยเฉลี่ย 50 ครั้ง)	เจ้าภาพต้องเปิดประตูหมายเลข 3 (100 กล่อง)
ความน่าจะเป็น1/3( 100 จาก 300)	ความน่าจะเป็น1/6( 50 จาก 300)	ความน่าจะเป็น1/6( 50 จาก 300)	ความน่าจะเป็น1/3( 100 จาก 300)
การพลิกกลับเป็นฝ่ายชนะ	การสูญเสียจากการสลับ	การสูญเสียจากการสลับ	การพลิกกลับเป็นฝ่ายชนะ
ในกรณีที่เจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 2 การเปลี่ยนใจจะมีโอกาสชนะมากกว่าการอยู่ต่อถึงสองเท่า (100 กรณีเทียบกับ 50 กรณี)		ในกรณีที่เจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 3 การเปลี่ยนใจจะชนะบ่อยกว่าการอยู่ต่อถึงสองเท่า (100 กรณีเทียบกับ 50 กรณี)

ตำราเรียนและบทความเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นจำนวนมากในสาขาทฤษฎีความน่าจะเป็นได้มาจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์สอย่างเป็นทางการเพื่อหาคำตอบของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข — รวมถึงหนังสือของ Gill ^{[ 52 ]}และ Henze ^{[ 53 ]}ทฤษฎีบทของเบย์สระบุว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่รถอยู่หลังประตู 1 เมื่อกำหนดว่าประตู 3 เปิดอยู่สามารถคำนวณได้ดังนี้ ทางด้านขวามือคือความน่าจะเป็นก่อนหน้า ความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่รถอยู่หลังประตู 1 คือเนื่องจากผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันเป็นความน่าจะเป็นก่อนหน้า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ประตู 3 เปิดอยู่เมื่อกำหนดว่ารถอยู่ในประตู 1 คือเนื่องจากประตู 2 และ 3 แต่ละบานมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน (ไม่มีบานใดบรรจุรถอยู่) ในการคำนวณตัวส่วน ต้องใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์รถยนต์คันที่ 1 รถยนต์คันที่ 2 และรถยนต์คันที่ 3 แบ่งพื้นที่ความน่าจะเป็นซึ่งหมายความว่า ตอนนี้ ความน่าจะเป็นที่ประตู 3 จะเปิดออกเมื่อรถยนต์อยู่หลังประตู 2 คือ 1 (เพราะการเปิดประตู 2 จะทำให้เห็นรถยนต์ ไม่ใช่แพะ) สุดท้าย ความน่าจะเป็นที่ประตู 3 จะเปิดออกเมื่อรถยนต์อยู่หลังประตู 3 คือ 0 ด้วยเหตุผลเดียวกัน ด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขทั้งสามนี้ ตัวส่วนจึงเป็นดังนี้: เมื่อนำตัวเศษและตัวส่วนมารวมกัน ทฤษฎีบทของเบย์สจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ดังนั้น (โดยสมบูรณ์) ความน่าจะเป็นที่รถยนต์อยู่หลังประตูที่เหลืออยู่เพียงบานเดียว (ประตู 2) คือและดังนั้นจึงเป็นการฉลาดที่สุดที่จะสลับประตู ${\displaystyle P({\text{รถ 1}}|{\text{เปิด 3}})}$$${\displaystyle P({\text{รถยนต์ 1}}|{\text{เปิด 3}})={\frac {P({\text{เปิด 3}}|{\text{รถยนต์ 1}})P({\text{รถยนต์ 1}})}{P({\text{เปิด 3}})}}.}$$${\displaystyle P({\text{car 1}})}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle P({\text{open 3}}|{\text{car 1}})}$${\displaystyle 1/2}$$${\displaystyle P({\text{open 3}})=P({\text{open 3}}|{\text{car 1}})P({\text{car 1}})+P({\text{open 3}}|{\text{car 2}})P({\text{car 2}})+P({\text{open 3}}|{\text{car 3}})P({\text{car 3}}).}$$${\displaystyle P({\text{open 3}}|{\text{car 2}})}$${\displaystyle P({\text{open 3}}|{\text{car 3}})}$$${\displaystyle P({\text{open 3}})={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {1}{3}}+0\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}.}$$$${\displaystyle P({\text{car 1}}|{\text{open 3}})={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{3}}.}$$${\displaystyle 2/3}$

บางแหล่งข้อมูลสนับสนุนการใช้ ทฤษฎีบทของเบย์สในรูปแบบ อัตราต่อรองโดยอ้างว่าทำให้การพิสูจน์มีความโปร่งใสมากขึ้น^{[ 35 ] [ 54 ]}ในขั้นต้น รถมีโอกาสเท่าๆ กันที่จะอยู่หลังประตูทั้งสามบาน: อัตราต่อรองของรถคันที่ 1 รถคันที่ 2 และรถคันที่ 3 คือ 1:1:1 ซึ่งยังคงเป็นเช่นนั้นหลังจากที่ผู้เล่นเลือกประตูที่ 1 ตามกฎของเบย์สอัตราต่อรองภายหลังของตำแหน่งรถ เมื่อพิจารณาว่าโฮสต์เปิดประตูที่ 3 จะเท่ากับอัตราต่อรองก่อนหน้าคูณด้วยปัจจัยเบย์สหรือความน่าจะเป็น ซึ่งตามคำนิยามคือความน่าจะเป็นของข้อมูลใหม่ (โฮสต์เปิดประตูที่ 3) ภายใต้สมมติฐานแต่ละข้อที่พิจารณา (ตำแหน่งรถ) เนื่องจากผู้เล่นเลือกประตู 1 ในตอนแรก โอกาสที่เจ้าบ้านจะเปิดประตู 3 คือ 50% หากรถอยู่หลังประตู 1, 100% หากรถอยู่หลังประตู 2 และ 0% หากรถอยู่หลังประตู 3 ดังนั้น ปัจจัยเบย์สจึงประกอบด้วยอัตราส่วน⁠1/2⁠ 1∶0 หรือเทียบเท่า 1∶2∶0 ในขณะที่อัตราต่อรองก่อนหน้าคือ 1∶1∶1 ดังนั้น อัตราต่อรองภายหลังจึงเท่ากับปัจจัยเบย์ส 1∶2∶0 เมื่อพิจารณาว่าเจ้าของบ้านเปิดประตูหมายเลข 3 ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูหมายเลข 3 คือศูนย์ และมีความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูหมายเลข 2 มากกว่าประตูหมายเลข 1 ถึงสองเท่า

Richard Gill ^{[ 55 ]}วิเคราะห์ความน่าจะเป็นที่โฮสต์จะเปิดประตู 3 ดังนี้ เมื่อพิจารณาว่ารถไม่ได้อยู่หลังประตู 1 ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตู 2 หรือ 3 ก็เท่ากัน ดังนั้น โอกาสที่โฮสต์จะเปิดประตู 3 คือ 50% เมื่อพิจารณาว่ารถอยู่หลังประตู 1 โอกาสที่โฮสต์จะเปิดประตู 3 ก็คือ 50% เช่นกัน เพราะเมื่อโฮสต์มีทางเลือก ทางเลือกใดทางเลือกหนึ่งก็มีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้น ไม่ว่ารถจะอยู่หลังประตู 1 หรือไม่ โอกาสที่โฮสต์จะเปิดประตู 3 ก็คือ 50% ข้อมูล "โฮสต์เปิดประตู 3" มีส่วนทำให้เกิด Bayes factor หรืออัตราส่วนความน่าจะเป็น 1:1 ในเรื่องว่ารถอยู่หลังประตู 1 หรือไม่ ในขั้นต้น อัตราต่อรองที่ประตู 1 จะซ่อนรถคือ 2:1 ดังนั้น อัตราต่อรองภายหลังที่ประตู 1 จะซ่อนรถจึงยังคงเหมือนกับอัตราต่อรองก่อนหน้า คือ 2:1

กล่าวคือ ข้อมูลที่โฮสต์เปิดประตูบานใด (ประตู 2 หรือประตู 3?) ไม่ได้เปิดเผยข้อมูลใดๆ เลยว่ารถอยู่หลังประตู 1 หรือไม่ และนี่คือสิ่งที่ผู้สนับสนุนวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ อ้างว่าเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดโดยสัญชาตญาณ หรือใช้สำนวนของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า "เป็นความจริงอย่างเห็นได้ชัดโดยสมมาตร" ^{[ 45 ]}

วิธีง่ายๆ ในการแสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์การสลับชนะสองในสามครั้งจริงภายใต้สมมติฐานมาตรฐานคือการจำลองเกมด้วยไพ่[ ^{56 ] [ 57 ] ใช้}ไพ่สามใบจากสำรับไพ่ธรรมดาแทนประตูสามบาน ไพ่ 'พิเศษ' หนึ่งใบแทนประตูที่มีรถ และไพ่อีกสองใบแทนประตูแพะ

การจำลองนี้สามารถทำซ้ำได้หลายครั้งเพื่อจำลองเกมหลายรอบ ผู้เล่นเลือกไพ่หนึ่งในสามใบ จากนั้นเมื่อดูไพ่ที่เหลืออีกสองใบ 'เจ้าบ้าน' จะทิ้งไพ่แพะหนึ่งใบ หากไพ่ที่เหลืออยู่ในมือของเจ้าบ้านเป็นไพ่รถยนต์ จะบันทึกว่าเป็นการชนะแบบสลับไพ่ หากเจ้าบ้านถือไพ่แพะ รอบนั้นจะถูกบันทึกว่าเป็นการชนะแบบคงไพ่เดิม เมื่อทำการทดลองนี้ซ้ำหลายรอบ อัตราการชนะที่สังเกตได้สำหรับแต่ละกลยุทธ์มีแนวโน้มที่จะใกล้เคียงกับความน่าจะเป็นในการชนะตามทฤษฎี สอดคล้องกับกฎของจำนวนมาก

การเล่นซ้ำๆ ยังทำให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเหตุใดการสลับจึงเป็นกลยุทธ์ที่ดีกว่า หลังจากที่ผู้เล่นเลือกไพ่แล้วก็ได้กำหนดไว้แล้วว่าการสลับจะทำให้ผู้เล่นชนะในรอบนั้นหรือไม่ หากยังไม่แน่ใจ สามารถจำลองสถานการณ์ได้โดยใช้ไพ่ทั้งสำรับ^{[ 56 ] [ 15 ]}ในรูปแบบนี้ ไพ่รถยนต์จะตกเป็นของผู้เล่นฝ่ายเจ้าบ้าน 51 ครั้งจาก 52 ครั้ง และจะอยู่กับผู้เล่นฝ่ายเจ้าบ้านไม่ว่าจะทิ้งไพ่ที่ ไม่ใช่ รถยนต์ไปกี่ใบก็ตาม

รูปแบบทั่วไปของปัญหา ซึ่งนักวิชาการบางท่านถือว่าเป็น ปัญหา มาตรฐานไม่ได้ตั้งสมมติฐานแบบง่ายๆ ว่าเจ้าบ้านต้องเลือกประตูที่จะเปิดเสมอ แต่กลับใช้กลยุทธ์ อื่น แทน ความสับสนเกี่ยวกับรูปแบบที่เป็นทางการใดที่เป็นที่ยอมรับได้นำไปสู่ความขัดแย้งอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะรูปแบบนี้ทำให้การพิสูจน์ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่เปลี่ยนแปลงความเหมาะสมที่สุดของกลยุทธ์การเปลี่ยนประตูเสมอสำหรับผู้เล่น ในรูปแบบนี้ ผู้เล่นอาจมีโอกาสชนะที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับการเลือกของเจ้าบ้านที่สังเกตได้ แต่ไม่ว่าในกรณีใด โอกาสที่จะชนะโดยการเปลี่ยนประตูนั้นอย่างน้อยที่สุดก็คือ⁠1/2(และอาจสูงถึง 1) ในขณะที่ความน่าจะเป็นโดยรวมของการชนะโดยการเปลี่ยนตัวเลือกยังคงเท่ากับ⁠2/3รูปแบบต่างๆ เหล่านี้บางครั้งถูกนำเสนอเรียงลำดับกันในตำราเรียนและบทความที่มุ่งสอนพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นและทฤษฎีเกม นอกจาก นี้ยังมีการศึกษาการวางนัยทั่วไปอื่นๆ อีกจำนวนมาก

เวอร์ชันของปัญหา Monty Hall ที่ตีพิมพ์ในParadeในปี 1990 ไม่ได้ระบุอย่างเจาะจงว่าเจ้าภาพจะเปิดประตูอีกบานเสมอ หรือจะเสนอทางเลือกในการเปลี่ยนบานเสมอ หรือแม้กระทั่งจะไม่เปิดประตูที่เผยให้เห็นรถเลย อย่างไรก็ตาม Savant ได้ชี้แจงอย่างชัดเจนในคอลัมน์ติดตามฉบับที่สองของเธอว่า พฤติกรรมของเจ้าภาพที่ตั้งใจไว้เท่านั้นที่จะนำไปสู่...2/3ความน่าจะ เป็นที่เธอให้เป็นคำตอบเดิมของเธอ “อย่างอื่นเป็นคำถามที่แตกต่างออกไป” ^{[ 5 ]} “นักวิจารณ์ของฉันเกือบทั้งหมดเข้าใจสถานการณ์ที่ตั้งใจไว้ ฉันอ่านจดหมายเกือบสามพันฉบับ (จากอีกหลายพันฉบับที่ส่งมา) และพบว่าเกือบทุกคนยืนยันเพียงว่าเนื่องจากเหลือตัวเลือกสองตัวเลือก (หรือข้อผิดพลาดที่เทียบเท่ากัน) โอกาสจึงเท่ากัน มีเพียงไม่กี่คนที่ตั้งคำถามเกี่ยวกับความกำกวม และจดหมายที่ตีพิมพ์ในคอลัมน์นั้นไม่ได้อยู่ในกลุ่มน้อยเหล่านั้น” ^{[ 58 ]}คำตอบจะตามมาหากรถถูกวางไว้แบบสุ่มหลังประตูใด ๆ โฮสต์จะต้องเปิดประตูที่เผยให้เห็นแพะโดยไม่คำนึงถึงตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่น และหากมีประตูสองบาน โฮสต์จะเลือกประตูที่จะเปิดแบบสุ่ม^{[ 9 ]}ตารางด้านล่างแสดง พฤติกรรมของโฮสต์ที่เป็นไปได้ อื่น ๆและผลกระทบต่อความสำเร็จของการเปลี่ยน

การหาว่ากลยุทธ์ที่ดีที่สุดของผู้เล่นคืออะไร ภายใต้กฎเกณฑ์อื่นๆ ที่เจ้ามือต้องปฏิบัติตามนั้น เป็นปัญหาประเภทหนึ่งที่ศึกษาในทฤษฎีเกมตัวอย่างเช่น หากเจ้ามือไม่จำเป็นต้องเสนอให้เปลี่ยนรถ ผู้เล่นอาจสงสัยว่าเจ้ามือมีเจตนาร้ายและเสนอให้เปลี่ยนรถบ่อยขึ้นหากผู้เล่นเลือกคันนั้นตั้งแต่แรก โดยทั่วไป คำตอบของคำถามประเภทนี้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานเฉพาะเกี่ยวกับพฤติกรรมของเจ้ามือ และอาจมีตั้งแต่ "เพิกเฉยต่อเจ้ามือโดยสิ้นเชิง" ไปจนถึง "โยนเหรียญและเปลี่ยนถ้าออกหัว" ดูแถวสุดท้ายของตารางด้านล่าง

Morgan et al ^{[ 39 ]}และ Gillman ^{[ 36 ]}ต่างก็แสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปมากขึ้น โดยที่รถจะถูกวางแบบสุ่ม (อย่างสม่ำเสมอ) แต่โฮสต์ไม่จำเป็นต้องเลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ หากผู้เล่นได้เลือกรถไว้ตั้งแต่แรก ซึ่งเป็นวิธีที่ทั้งคู่ตีความคำแถลงปัญหาในParadeแม้ว่าผู้เขียนจะปฏิเสธความรับผิดชอบก็ตาม ทั้งคู่ได้เปลี่ยนถ้อยคำใน เวอร์ชัน Paradeเพื่อเน้นย้ำประเด็นนั้นเมื่อพวกเขาทบทวนปัญหา พวกเขาพิจารณาสถานการณ์ที่โฮสต์เลือกที่จะเปิดเผยแพะสองตัว โดยความชอบจะแสดงเป็นความน่าจะเป็นqซึ่งมีค่าระหว่าง0ถึง1หากโฮสต์เลือกแบบสุ่มqจะเป็น⁠1/2และการสลับตำแหน่งจะชนะด้วยความน่าจะเป็น2/3ไม่ว่าเจ้าบ้านจะเปิดประตูบานไหนก็ตาม ถ้าผู้เล่นเลือกประตู 1 และเจ้าบ้านชอบประตู 3 มากกว่าคือ qความน่าจะเป็นที่เจ้าบ้านจะเปิดประตู 3 และรถอยู่หลังประตู 2คือ1/3ใน ขณะที่ความน่าจะเป็นที่เจ้าของบ้านจะเปิดประตูหมายเลข 3 และรถอยู่หลังประตูหมายเลข 1คือq/3นี่เป็นกรณีเดียวที่เจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 3 ดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการชนะโดยการเปลี่ยนตัวเลือกเมื่อเจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 3คือซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น$${\displaystyle P|_{\mathrm {switching} }={\frac {1 \over 3}{{1 \over 3}+{q \over 3}}}}$$1/1 + qเนื่องจาก qสามารถแปรผันได้ระหว่าง 0ถึง 1 ดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนี้จึงสามารถแปรผันได้ระหว่าง ⁠1/2และ 1ซึ่งหมายความว่าแม้จะไม่จำกัดให้โฮสต์เลือกแบบสุ่ม หากผู้เล่นเลือกยานพาหนะในตอนแรก ผู้เล่นก็จะไม่เสียเปรียบหากเปลี่ยนยานพาหนะ อย่างไรก็ตาม แหล่งข้อมูลทั้งสองไม่ได้ระบุว่าผู้เล่นรู้ค่าของ q ดังนั้น ผู้เล่นจึงไม่สามารถกำหนดความน่าจะเป็นอื่นนอกเหนือจาก ⁠2/3ซึ่งซาวันต์สันนิษฐานว่าเป็นสิ่งที่เข้าใจได้โดยปริยาย

DL Ferguson ^{[ 2 ]}เสนอ การวางนัยทั่วไปของปัญหาดั้งเดิมแบบ Nประตู โดยที่โฮสต์เปิด ประตูที่แพ้ pประตู แล้วเสนอโอกาสให้ผู้เล่นเปลี่ยน ในรูปแบบนี้ การเปลี่ยนจะชนะด้วยความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นนี้จะมากกว่า⁠ เสมอ${\textstyle {\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N-1}{N-p-1}}}$1/เอ็นดังนั้นการเปลี่ยนไปใช้ระบบอื่นจึงนำมาซึ่งข้อดีเสมอ

แม้ว่าโฮสต์จะเปิดประตูเพียงบานเดียว ( p = 1 ) ผู้เล่นก็ยังได้เปรียบกว่าหากเปลี่ยนประตูในทุกกรณี เมื่อNมีขนาดใหญ่ขึ้น ข้อได้เปรียบจะลดลงและเข้าใกล้ศูนย์^{[ 62 ]}ในทางตรงกันข้าม หากโฮสต์เปิดประตูที่เสียทั้งหมด ยกเว้นบานเดียว ( p = N − 2 ) ข้อได้เปรียบจะเพิ่มขึ้นเมื่อNมีขนาดใหญ่ขึ้น (ความน่าจะเป็นที่จะชนะโดยการเปลี่ยนประตูคือ⁠เอ็น − 1/เอ็นซึ่งจะเข้าใกล้ 1เมื่อ Nมีค่ามาก ๆ)

เวอร์ชันควอนตัมของความขัดแย้งนี้แสดงให้เห็นถึงประเด็นบางอย่างเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลแบบคลาสสิกหรือที่ไม่ใช่ควอนตัมกับข้อมูลควอนตัมซึ่งถูกเข้ารหัสไว้ในสถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัม การกำหนดสูตรนี้อิงตามทฤษฎีเกมควอนตัม อย่างหลวมๆ ประตูทั้งสามบานถูกแทนที่ด้วยระบบควอนตัมที่อนุญาตให้มีทางเลือกสามทาง การเปิดประตูและมองไปข้างหลังประตูนั้นถูกแปลเป็นการวัดค่าเฉพาะอย่างหนึ่ง กฎสามารถระบุได้ในภาษานี้ และอีกครั้งหนึ่ง ผู้เล่นมีทางเลือกที่จะยึดติดกับทางเลือกเริ่มต้น หรือเปลี่ยนไปใช้ทางเลือก "ตั้งฉาก" อื่น กลยุทธ์หลังนี้กลับกลายเป็นว่ามีโอกาสเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า เช่นเดียวกับในกรณีคลาสสิก อย่างไรก็ตาม หากพิธีกรรายการไม่ได้สุ่มตำแหน่งของรางวัลในแบบกลศาสตร์ควอนตัมอย่างสมบูรณ์ ผู้เล่นก็สามารถทำได้ดียิ่งขึ้น และบางครั้งอาจชนะรางวัลได้อย่างแน่นอน^{[ 63 ] [ 64 ]}

ปริศนาความน่าจะเป็นที่เก่าแก่ที่สุดในบรรดาปริศนาความน่าจะเป็นหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับปัญหาของมอนตี้ฮอลล์คือปริศนากล่องของเบอร์ทรานด์ซึ่งตั้งขึ้นโดยโจเซฟ เบอร์ทรานด์ในปี 1889 ในหนังสือ Calcul des probabilités ของเขา[ 65 ^{]ในปริศนา}นี้ มีกล่องสามกล่อง ได้แก่ กล่องที่มีเหรียญทองสองเหรียญ กล่องที่มีเหรียญเงินสองเหรียญ และกล่องที่มีเหรียญทองและเหรียญเงินอย่างละหนึ่งเหรียญ หลังจากเลือกกล่องแบบสุ่มและหยิบเหรียญออกมาหนึ่งเหรียญแบบสุ่ม ซึ่งบังเอิญเป็นเหรียญทอง คำถามคือความน่าจะเป็นที่เหรียญอีกเหรียญหนึ่งจะเป็นเหรียญทองคืออะไร เช่นเดียวกับในปัญหาของมอนตี้ฮอลล์ คำตอบที่เข้าใจง่ายคือ⁠1/2แต่ความน่าจะเป็นที่แท้จริงคือ2/3⁠ .

ปัญหาผู้ต้องขังสามคนซึ่งตีพิมพ์ในคอลัมน์เกมคณิตศาสตร์ของมาร์ติน การ์ดเนอร์ ใน Scientific Americanในปี 1959 ^{[ 7 ] [ 56 ]}เทียบเท่ากับปัญหามอนตี้ ฮอลล์ ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับผู้ต้องขังที่ถูกตัดสินประหารชีวิตสามคน โดยหนึ่งในนั้นถูกเลือกอย่างลับๆ ให้ได้รับการอภัยโทษ ผู้ต้องขังคนหนึ่งขอร้องผู้คุมให้บอกชื่อของอีกคนหนึ่งที่จะถูกประหารชีวิต โดยอ้างว่าการบอกชื่อนั้นไม่ได้เปิดเผยข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับชะตากรรมของเขาเอง แต่จะเพิ่มโอกาสในการได้รับการอภัยโทษจาก⁠1/3ถึง​​1/2ผู้คุมเรือนจำยินยอม ( โดยแอบ) โยนเหรียญเพื่อตัดสินใจว่าจะให้ชื่อใครหากนักโทษที่ถามคือคนที่กำลังจะได้รับการอภัยโทษ คำถามคือ การรู้คำตอบของผู้คุมเรือนจำจะเปลี่ยนโอกาสที่นักโทษจะได้รับการอภัยโทษหรือไม่ ปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาของมอนตี้ ฮอลล์ นักโทษที่ถามคำถามยังคงมีโอกาส...1/3มีโอกาสได้รับการอภัยโทษ แต่เพื่อนร่วมงานที่ไม่ระบุชื่อของเขามีโอกาสน้อยกว่า2/3โอกาส .

สตีฟ เซลวิน ได้ตั้งปัญหามอนตี้ ฮอลล์ ขึ้นในจดหมายสองฉบับถึงThe American Statisticianในปี 1975 ^{[ 1 ] [ 2 ]}จดหมายฉบับแรกนำเสนอปัญหาในรูปแบบที่ใกล้เคียงกับการนำเสนอในParadeในอีก 15 ปีต่อมา จดหมายฉบับที่สองดูเหมือนจะเป็นการใช้คำว่า "ปัญหามอนตี้ ฮอลล์" เป็นครั้งแรก ปัญหานี้แท้จริงแล้วเป็นการขยายความจากรายการเกมโชว์ มอนตี้ ฮอลล์เปิดประตูผิดบานเพื่อสร้างความตื่นเต้น แต่เสนอรางวัลที่น้อยกว่าที่ทราบกันดีอยู่แล้ว เช่น เงินสด 100 ดอลลาร์ แทนที่จะให้ผู้เล่นเลือกเปลี่ยนประตู ดังที่มอนตี้ ฮอลล์เขียนถึงเซลวินว่า: ^{[ 66 ]}

และถ้าคุณได้มาออกรายการของผม กฎก็ยังคงใช้ได้ผลกับคุณเช่นกัน – ห้ามแลกเปลี่ยนกล่องหลังจากเลือกเสร็จแล้ว

ปัญหาเวอร์ชันหนึ่งที่คล้ายกับปัญหาที่ปรากฏในParade สามปีต่อมา ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1987 ในส่วนปริศนาของThe Journal of Economic Perspectives Nalebuff เช่นเดียวกับนักเขียนในเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์รุ่นหลัง มองว่าปัญหานี้เป็นแบบฝึกหัดที่เรียบง่ายและน่าขบขันในทฤษฎีเกม^{[ 67 ]}

"กับดักมอนตี้ฮอลล์" บทความของฟิลลิป มาร์ตินในปี 1989 ในBridge Today นำเสนอปัญหาของเซลวินเป็นตัวอย่างของสิ่งที่มาร์ตินเรียกว่ากับดักความน่าจะเป็นของการปฏิบัติ ^ต่อข้อมูลที่ไม่สุ่มราวกับว่าเป็นข้อมูลสุ่ม และเชื่อมโยงสิ่งนี้กับแนวคิดในเกมบริดจ์ [ ^{68 ]}

ปัญหาของเซลวินได้รับการเรียบเรียงใหม่ในคอลัมน์ถามตอบ Ask Marilynของนิตยสาร Paradeในเดือนกันยายน พ.ศ. 2533 ^{[ 3 ]}แม้ว่าซาวานต์จะให้คำตอบที่ถูกต้องว่าการสลับจะชนะสองในสามของเวลา แต่เธอประมาณการว่านิตยสารได้รับจดหมาย 10,000 ฉบับ รวมถึงเกือบ 1,000 ฉบับที่ลงนามโดยผู้ถือปริญญาเอกหลายฉบับอยู่ในหัวจดหมายของภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ประกาศว่าวิธีแก้ปัญหาของเธอผิด^{[ 4 ]}เนื่องจากการตอบรับอย่างล้นหลามParade จึงตีพิมพ์คอลัมน์เกี่ยวกับปัญหานี้ถึงสี่คอลัมน์ ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่เคยมีมาก่อน^{[ 69 ]}ผลจากการประชาสัมพันธ์ทำให้ปัญหานี้ได้รับชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า "Marilyn and the Goats"

ในเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2533 การอภิปรายที่โต้แย้งกันอย่างดุเดือดเกี่ยวกับบทความของ Savant เกิดขึ้นใน คอลัมน์ " The Straight Dope " ของCecil Adams ^{[ 15 ]} Adams ตอบในตอนแรกอย่างไม่ถูกต้องว่าโอกาสสำหรับประตูสองบานที่เหลือจะต้องเป็นหนึ่งในสอง หลังจากที่ผู้อ่านเขียนเข้ามาเพื่อแก้ไขคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์ของ Adams Adams ก็ยอมรับว่าในทางคณิตศาสตร์เขาผิด “คุณเลือกประตูหมายเลข 1 ตอนนี้คุณได้รับตัวเลือกนี้: เปิดประตูหมายเลข 1 หรือเปิดประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 ในกรณีหลัง คุณจะได้รับรางวัลหากมันอยู่หลังประตูใดประตูหนึ่ง คุณคงอยากมีโอกาสสองในสามที่จะได้รางวัลมากกว่าหนึ่งในสามใช่ไหม? ถ้าคุณคิดดู ปัญหาเดิมเสนอทางเลือกที่เหมือนกันโดยพื้นฐานแล้ว Monty กำลังพูดโดยนัยว่า: คุณสามารถเก็บประตูบานหนึ่งของคุณไว้ หรือคุณสามารถมีประตูอีกสองบาน ซึ่งหนึ่งในนั้น (ประตูที่ไม่มีรางวัล) ฉันจะเปิดให้คุณ” อดัมส์กล่าวว่า เวอร์ชันของ รายการ Parade นั้น ไม่ได้ระบุข้อจำกัดที่สำคัญไว้ และหากไม่มีข้อจำกัดเหล่านั้น โอกาสที่จะชนะด้วยการสลับตัวเลือกก็ไม่จำเป็นต้องเป็นสองในสามเสมอไป (เช่น การสมมติว่าพิธีกรเปิดประตูทุกครั้งนั้นไม่สมเหตุสมผล) อย่างไรก็ตาม ผู้อ่านจำนวนมากเขียนมาบอกว่าอดัมส์ "ถูกต้องตั้งแต่แรก" และโอกาสที่ถูกต้องคือหนึ่งในสอง

คอลัมน์Paradeและการตอบโต้ได้รับความสนใจอย่างมากจากสื่อ รวมถึงเรื่องราวหน้าแรกในThe New York Timesซึ่งมีการสัมภาษณ์ Monty Hall เองด้วย^{[ 4 ​​]} Hall เข้าใจปัญหา จึงสาธิตให้ผู้สื่อข่าวดูโดยใช้กุญแจรถ และอธิบายว่าการเล่นเกมจริงในรายการLet's Make a Dealแตกต่างจากกฎของปริศนาอย่างไร ในบทความ Hall ชี้ให้เห็นว่าเนื่องจากเขาสามารถควบคุมวิธีการดำเนินเกม โดยเล่นกับจิตวิทยาของผู้เข้าแข่งขัน วิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีจึงใช้ไม่ได้กับการเล่นเกมจริงของรายการ เขาบอกว่าเขาไม่แปลกใจที่ผู้เชี่ยวชาญยืนยันว่าความน่าจะเป็นคือ 1 ใน 2 “นั่นเป็นสมมติฐานเดียวกันกับที่ผู้เข้าแข่งขันจะทำในรายการหลังจากที่ผมแสดงให้พวกเขาเห็นว่าไม่มีอะไรอยู่หลังประตูบานหนึ่ง” เขากล่าว “พวกเขาจะคิดว่าโอกาสที่ประตูของพวกเขาจะเพิ่มขึ้นเป็น 1 ใน 2 ดังนั้นพวกเขาจึงไม่อยากเสียประตูนั้นไปไม่ว่าผมจะเสนอเงินมากแค่ไหนก็ตาม การเปิดประตูบานนั้นเรากำลังใช้แรงกดดัน เราเรียกมันว่า การรักษาแบบ เฮนรี เจมส์มันคือ ' The Turn of the Screw '” ฮอลล์ชี้แจงว่า ในฐานะพิธีกรรายการเกมโชว์ เขาไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎของปริศนาในคอลัมน์ผู้เชี่ยวชาญ และไม่จำเป็นต้องให้โอกาสผู้เข้าแข่งขันเปลี่ยนประตูเสมอไป (เช่น เขาอาจเปิดประตูให้ทันทีหากเป็นประตูที่เสีย อาจเสนอเงินให้เพื่อไม่ให้เปลี่ยนจากประตูที่เสียไปเป็นประตูที่ได้ หรืออาจอนุญาตให้เปลี่ยนได้เฉพาะเมื่อได้ประตูที่ได้เท่านั้น) “ถ้าพิธีกรต้องเปิดประตูตลอดเวลาและให้โอกาสเปลี่ยน คุณควรเปลี่ยน” เขากล่าว “แต่ถ้าเขามีสิทธิ์เลือกที่จะอนุญาตให้เปลี่ยนหรือไม่ ก็จงระวัง หลักการคือผู้ซื้อต้องระมัดระวัง ทุกอย่างขึ้นอยู่กับอารมณ์ของเขา”

• รายการ MythBustersตอนที่ 177 "วงล้อแห่งโชคลาภ" – เลือกประตู
• หลักการของการเลือกที่จำกัด  – การประยุกต์ใช้การปรับปรุงแบบเบย์เซียนในลักษณะเดียวกันในเกมบริดจ์สัญญา

• ปริศนาเด็กชายหรือเด็กหญิง
• ปัญหาเจ้าหญิงนิทรา
• ปัญหาซองจดหมายสองซอง

• กิลล์, ริชาร์ด (2011b). "ปัญหามอนตี้ ฮอลล์ (เวอร์ชัน 5)" . StatProb: สารานุกรมที่ได้รับการสนับสนุนโดยสมาคมสถิติและความน่าจะเป็น . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 21 มกราคม 2016 . สืบค้นเมื่อ3 เมษายน 2011 .
• Gnedin, Sasha (2011). "เกม Mondee Gills" . The Mathematical Intelligencer . 34 : 34– 41. arXiv : 1106.0833 . doi : 10.1007/s00283-011-9253-0 .
• vos Savant, Marilyn (7 กรกฎาคม 1991b). "ถามมาริลิน" . Parade . หน้า 26. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 21 มกราคม 2013 . สืบค้นเมื่อ12 พฤศจิกายน 2012 .
• วอส ซาวานต์, มาริลิน (26 พฤศจิกายน 2549). "ถามมาริลิน". พาเหรด . หน้า 6.
• Whitaker, Craig F. (9 กันยายน 1990). "[การตั้งคำถามโดย Marilyn vos Savant จากจดหมายของ Craig Whitaker]. ถาม Marilyn". Parade . หน้า 16.

ในวิกิบุ๊กเรื่องการนำอัลกอริทึมไปใช้ มีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: การจำลองปัญหาของมอนตี้ ฮอลล์

• ปัญหาในรายการเกมโชว์  – คำถามและคำตอบต้นฉบับบนเว็บไซต์ของ Marilyn vos Savant
• มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานดิเอโก, เวอร์ชันมอนตี้รู้ และเวอร์ชันมอนตี้ไม่รู้, คำอธิบายเกม
• "แท่งหรือสวิตช์? ความน่าจะเป็นและปัญหาของมอนตี้ ฮอลล์" , บีบีซี นิวส์ แม็ก กาซีน , 11 กันยายน 2013 (วิดีโอ) นักคณิตศาสตร์มาร์คัส ดู ซาตูยอธิบายถึงปริศนาของมอนตี้ ฮอลล์