ในทางสถิติการแยกส่วนของโวลด์หรือทฤษฎีบทการแสดงแทนของโวลด์ (อย่าสับสนกับทฤษฎีบทโวลด์ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่เทียบเคียงได้กับทฤษฎีบทไวเนอร์-คินชิน ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ) ซึ่งตั้งชื่อตามเฮอร์แมน โวลด์กล่าวว่าอนุกรมเวลาทุกชุดที่มีความแปรปรวนคงที่${\displaystyle Y_{t}}$สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของอนุกรมเวลาสองชุด ชุดหนึ่งเป็นแบบกำหนดได้และอีกชุดหนึ่งเป็นแบบสุ่ม

อย่างเป็นทางการ

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{tj}+\eta _{t},}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle Y_{t}}$คืออนุกรมเวลาที่กำลังพิจารณาอยู่

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$เป็นลำดับที่ไม่สัมพันธ์กัน ซึ่งเป็นกระบวนการสร้างนวัตกรรมไปสู่กระบวนการนั้น${\displaystyle Y_{t}}$– กล่าวคือ กระบวนการสัญญาณรบกวนสีขาวที่ป้อนเข้าสู่ตัวกรองเชิงเส้น${\displaystyle \{b_{j}\}}$.

• ${\displaystyle b}$คือเวกเตอร์ของค่าน้ำหนักเฉลี่ยเคลื่อนที่ (สัมประสิทธิ์หรือพารามิเตอร์) ที่อาจมี ค่าอนันต์

• ${\displaystyle \eta _{t}}$เป็นอนุกรมเวลาแบบ "กำหนดได้" ในแง่ที่ว่ามันถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการรวมกันเชิงเส้นของค่าในอดีต (ดูเช่น Anderson (1971) บทที่ 7 ส่วนที่ 7.6.3 หน้า 420-421) อาจรวมถึง "พจน์ที่กำหนดได้" เช่น คลื่นไซน์/โคไซน์${\displaystyle t}$แต่เนื่องจากเป็นกระบวนการสุ่มและมีเสถียรภาพในแง่ของความแปรปรวนร่วม จึงไม่สามารถเป็นกระบวนการกำหนดที่แน่นอนโดยพลการซึ่งขัดกับเสถียรภาพได้

สัมประสิทธิ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่นั้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. มีเสถียรภาพ กล่าวคือ สามารถหาผลรวมกำลังสองได้${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$<${\displaystyle \infty }$
2. เป็นเหตุเป็นผล (กล่าวคือ ไม่มีพจน์ใดที่มีj < 0)
3. เฟสขั้นต่ำ
4. คงที่ (${\displaystyle b_{j}}$โดยไม่ขึ้นอยู่กับt )
5. เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนด${\displaystyle b_{0}=1}$

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นทฤษฎีบทการดำรงอยู่: กระบวนการสถิตใดๆ ก็ตามจะมีรูปแบบการแสดงแทนพิเศษนี้ การมีอยู่ของรูปแบบการแสดงแทนเชิงเส้นที่เรียบง่ายและแม่นยำเช่นนี้ไม่เพียงแต่น่าทึ่งเท่านั้น แต่ที่น่าทึ่งยิ่งกว่าคือลักษณะพิเศษของแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ลองจินตนาการถึงการสร้างกระบวนการที่เป็นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แต่ไม่ตรงตามคุณสมบัติ 1–4 เหล่านี้ ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์${\displaystyle b_{j}}$อาจกำหนดแบบจำลองที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ใช่เฟสต่ำสุดได้อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทนี้รับรองการมีอยู่ของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่เฟสต่ำสุดที่เป็นเหตุเป็นผลซึ่งแสดงถึงกระบวนการนี้ได้อย่างแม่นยำ วิธีการทำงานทั้งหมดนี้สำหรับกรณีของความเป็นเหตุเป็นผลและคุณสมบัติการหน่วงเวลาขั้นต่ำนั้นได้มีการกล่าวถึงใน Scargle (1981) ซึ่งมีการกล่าวถึงการขยายการแยกส่วนของ Wold

ประโยชน์ของทฤษฎีบทโวลด์คือ ช่วยให้สามารถ วิเคราะห์วิวัฒนาการ แบบไดนามิกของตัวแปรได้${\displaystyle Y_{t}}$สามารถประมาณได้ด้วยแบบจำลองเชิงเส้นหากนวัตกรรม${\displaystyle \varepsilon _{t}}$หาก เป็นอิสระต่อกันแบบจำลองเชิงเส้นจะเป็นแบบจำลองเดียวที่เป็นไปได้ในการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่สังเกตได้${\displaystyle Y_{t}}$ย้อนกลับไปสู่วิวัฒนาการในอดีต อย่างไรก็ตาม เมื่อ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$หากเป็นเพียง ลำดับ ที่ไม่สัมพันธ์กันแต่ไม่เป็นอิสระต่อกัน แบบจำลองเชิงเส้นก็มีอยู่ แต่ไม่ใช่การแสดงความสัมพันธ์แบบไดนามิกของอนุกรมเพียงอย่างเดียว ในกรณีหลังนี้ แบบจำลองเชิงเส้นอาจไม่มีประโยชน์มากนัก และอาจมีแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่เชื่อมโยงค่าที่สังเกตได้ของ${\displaystyle Y_{t}}$ย้อนกลับไปสู่การวิวัฒนาการในอดีต อย่างไรก็ตาม ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลา ในทางปฏิบัติ มักจะพิจารณาเฉพาะตัวทำนายเชิงเส้นเท่านั้น ซึ่งส่วนหนึ่งเป็นเพราะเหตุผลด้านความเรียบง่าย ในกรณีเช่นนี้ การแยกส่วนแบบ Wold จึงมีความเกี่ยวข้องโดยตรง

แบบจำลองของ Wold ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จำนวนอนันต์ แม้ว่าในทางปฏิบัติพารามิเตอร์เหล่านั้นมักจะลดลงอย่างรวดเร็วก็ตามแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟเป็นอีกทางเลือกหนึ่งที่อาจมีสัมประสิทธิ์เพียงไม่กี่ตัวหากค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกันมีจำนวนมาก แบบจำลองทั้งสองนี้สามารถรวมกันเป็นแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ-ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (ARMA)หรือแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ-บูรณาการ-ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (ARIMA) หากเกี่ยวข้องกับภาวะไม่คงที่ ดูScargle (1981)และเอกสารอ้างอิงในนั้น นอกจากนี้ บทความนี้ยังนำเสนอส่วนขยายของทฤษฎีบทของ Wold ที่อนุญาตให้มีความทั่วไปมากขึ้นสำหรับค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (ไม่จำเป็นต้องเสถียร เป็นเหตุเป็นผล หรือมีความล่าช้าน้อยที่สุด) พร้อมกับการกำหนดลักษณะของนวัตกรรมที่ชัดเจนยิ่งขึ้น (มีการกระจายแบบเดียวกันและเป็นอิสระ ไม่ใช่แค่ไม่มีความสัมพันธ์กัน) ส่วนขยายนี้ทำให้สามารถสร้างแบบจำลองที่สอดคล้องกับกระบวนการทางกายภาพหรือทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์ได้มากขึ้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถรับรู้ " ทิศทางของเวลา " ได้