ระบบหลายวัตถุคือการศึกษา พฤติกรรม พลวัตของ วัตถุ แข็งหรือวัตถุยืดหยุ่น ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งแต่ละวัตถุอาจมีการเคลื่อนที่ เชิงเส้นและ การ หมุน ขนาดใหญ่ได้

การศึกษาพฤติกรรมพลวัตของวัตถุที่เชื่อมต่อกันอย่างเป็นระบบได้นำไปสู่รูปแบบทางกลศาสตร์ ของระบบหลายวัตถุที่สำคัญจำนวนมาก นิวตัน ( อนุภาคอิสระ ) และออยเลอร์ (วัตถุแข็งเกร็ง) ได้ศึกษาวัตถุหรือองค์ประกอบที่ง่ายที่สุดของระบบหลายวัตถุ โดยออยเลอร์ได้นำเสนอแรงปฏิกิริยาระหว่างวัตถุ ต่อมาได้มีการพัฒนารูปแบบทางกลศาสตร์อีกหลายรูปแบบ เช่น รูปแบบของ ลากรองจ์ที่ใช้พิกัดขั้นต่ำ และรูปแบบที่สองที่นำข้อจำกัดเข้ามาใช้

โดยพื้นฐานแล้ว การเคลื่อนที่ของวัตถุจะอธิบายได้ด้วยพฤติกรรมทางจลศาสตร์ ส่วนพฤติกรรม ทางพลศาสตร์เกิดจากสมดุลของแรงที่กระทำและอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ปัจจุบัน คำว่า ระบบหลายวัตถุ (multibody system) เกี่ยวข้องกับสาขาวิศวกรรมจำนวนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านหุ่นยนต์และพลศาสตร์ยานยนต์ คุณลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ รูปแบบของระบบหลายวัตถุมักนำเสนอวิธีการเชิงอัลกอริทึมโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการจำลอง วิเคราะห์ จำลอง และเพิ่มประสิทธิภาพการเคลื่อนที่แบบใดก็ได้ของวัตถุที่เชื่อมต่อกันนับพันชิ้น

ในขณะที่การศึกษาตัวชิ้นส่วนเดี่ยวหรือส่วนประกอบของระบบกลไกนั้นใช้วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์อย่างละเอียด พฤติกรรมของระบบหลายชิ้นส่วนโดยรวมมักจะศึกษาด้วยวิธีการวิเคราะห์ระบบหลายชิ้นส่วนในขอบเขตต่อไปนี้:

• วิศวกรรมการบินและอวกาศ (เฮลิคอปเตอร์ ระบบลงจอด พฤติกรรมของเครื่องจักรภายใต้สภาวะแรงโน้มถ่วงที่แตกต่างกัน)
• ชีวกลศาสตร์
• เครื่องยนต์สันดาป , เกียร์และระบบส่งกำลัง, ระบบขับเคลื่อนด้วยโซ่ , ระบบขับเคลื่อนด้วยสายพาน
• การจำลองแบบไดนามิก
• รอกยก , สายพานลำเลียง , โรงงานผลิตกระดาษ
• การใช้งานทางทหาร
• การจำลองอนุภาค (วัสดุเม็ดเล็ก ทราย โมเลกุล)
• เอนจิ้นฟิสิกส์
• หุ่นยนต์
• การจำลองยานยนต์ ( พลศาสตร์ยานยนต์การสร้างต้นแบบยานยนต์อย่างรวดเร็วการปรับปรุงเสถียรภาพ การเพิ่มประสิทธิภาพความสะดวกสบาย การปรับปรุงประสิทธิภาพ ฯลฯ)

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงระบบหลายตัวแบบทั่วไป ซึ่งมักเรียกว่ากลไกข้อเหวี่ยงเลื่อน กลไกนี้ใช้ในการแปลงการเคลื่อนที่แบบหมุนเป็นการเคลื่อนที่แบบเลื่อนโดยใช้คานขับที่หมุนได้ ก้านเชื่อมต่อ และตัวเลื่อน ในตัวอย่างนี้ ใช้ตัวที่ยืดหยุ่นได้เป็นก้านเชื่อมต่อ มวลเลื่อนไม่ได้รับอนุญาตให้หมุน และใช้ข้อต่อแบบหมุนสามข้อในการเชื่อมต่อตัวต่างๆ ในขณะที่แต่ละตัวมีหกองศาอิสระในอวกาศ เงื่อนไขทางจลนศาสตร์นำไปสู่หนึ่งองศาอิสระสำหรับระบบทั้งหมด

สามารถชมการทำงานของกลไกได้จากภาพเคลื่อนไหว GIF ต่อไปนี้:

โดยทั่วไปแล้ว “ตัว” (body) หมายถึงส่วนที่แข็งหรือยืดหยุ่นได้ของระบบกลไก (ไม่ควรสับสนกับร่างกายมนุษย์) ตัวอย่างของร่างกายได้แก่ แขนของหุ่นยนต์ ล้อหรือเพลาในรถยนต์ หรือแขนท่อนล่างของมนุษย์ “ข้อต่อ” (link) คือการเชื่อมต่อของร่างกายสองชิ้นขึ้นไป หรือร่างกายกับพื้น ข้อต่อถูกกำหนดโดยข้อจำกัด (ทางจลนศาสตร์) บางประการที่จำกัดการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของร่างกาย ข้อจำกัดทั่วไปได้แก่:

• ข้อต่อคาร์ดานหรือข้อต่ออเนกประสงค์; ข้อจำกัดทางจลศาสตร์ 4 ข้อ
• ข้อต่อปริซึม ; อนุญาตให้มีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ตามแกนเดียว แต่จำกัดการหมุนสัมพัทธ์; หมายถึงข้อจำกัดทางจลนศาสตร์ 5 ข้อ
• ข้อต่อแบบหมุน (Revolute joint ) อนุญาตให้หมุนได้เพียงทิศทางเดียวเท่านั้น หมายความว่ามีข้อจำกัดทางจลศาสตร์ 5 ข้อ ดูตัวอย่างด้านบน
• ข้อต่อทรงกลม ; จำกัดการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ไว้ที่จุดเดียว อนุญาตให้มีการหมุนสัมพัทธ์ได้; หมายถึงข้อจำกัดทางจลนศาสตร์ 3 ข้อ

ในระบบหลายวัตถุ มีคำศัพท์สำคัญสองคำ ได้แก่ ระดับความเป็นอิสระ และเงื่อนไขข้อจำกัด

จำนวนองศาอิสระหมายถึงจำนวนความเป็นไปได้ในการเคลื่อนที่อย่างอิสระ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนองศาอิสระคือจำนวนพารามิเตอร์ขั้นต่ำที่จำเป็นในการกำหนดตำแหน่งของวัตถุในอวกาศได้อย่างสมบูรณ์

ในกรณีของการเคลื่อนที่ในอวกาศทั่วไป วัตถุแข็งเกร็งจะมีอิสระในการเคลื่อนที่ 6 ระดับ โดยเป็นอิสระในการเคลื่อนที่เชิงเส้น 3 ระดับ และอิสระในการหมุน 3 ระดับ ส่วนในกรณีของการเคลื่อนที่ในระนาบ วัตถุจะมีอิสระในการเคลื่อนที่เพียง 3 ระดับ โดยเป็นอิสระในการหมุน 1 ระดับ และอิสระในการเคลื่อนที่เชิงเส้น 2 ระดับ

สามารถสาธิตองศาอิสระในการเคลื่อนที่ในระนาบได้อย่างง่ายดายโดยใช้เมาส์คอมพิวเตอร์องศาอิสระเหล่านั้นได้แก่ ซ้าย-ขวา หน้า-หลัง และการหมุนรอบแกนตั้ง

เงื่อนไขข้อจำกัดหมายถึงข้อจำกัดในระดับความเป็นอิสระทางจลนศาสตร์ของวัตถุหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งชิ้น ข้อจำกัดแบบคลาสสิกมักเป็นสมการพีชคณิตที่กำหนดการเคลื่อนที่หรือการหมุนสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุสองชิ้น นอกจากนี้ยังมีโอกาสที่จะจำกัดความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างวัตถุสองชิ้นหรือวัตถุกับพื้น ตัวอย่างเช่น กรณีของแผ่นดิสก์ที่กลิ้ง โดยที่จุดของแผ่นดิสก์ที่สัมผัสกับพื้นจะมีค่าความเร็วสัมพัทธ์เป็นศูนย์เมื่อเทียบกับพื้นเสมอ ในกรณีที่เงื่อนไขข้อจำกัดความเร็วไม่สามารถอินทิเกรตในเวลาเพื่อสร้างข้อจำกัดตำแหน่งได้ จะเรียกว่า ข้อจำกัดแบบไม่โฮโลโนมิก ซึ่งเป็นกรณีของข้อจำกัดการกลิ้งทั่วไป

นอกจากนั้นยังมีข้อจำกัดที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกซึ่งอาจทำให้เกิดพิกัดที่ไม่ทราบค่าใหม่ขึ้นมาได้ เช่น ข้อต่อแบบเลื่อน ซึ่งอนุญาตให้จุดหนึ่งของวัตถุเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวของวัตถุอีกชิ้นหนึ่งได้ ในกรณีของการสัมผัส เงื่อนไขข้อจำกัดจะขึ้นอยู่กับอสมการ ดังนั้นข้อจำกัดดังกล่าวจึงไม่ได้จำกัดระดับความเป็นอิสระของวัตถุอย่างถาวร

สมการการเคลื่อนที่ใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมพลวัตของระบบหลายวัตถุ แต่ละรูปแบบของระบบหลายวัตถุอาจนำไปสู่ลักษณะทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันของสมการการเคลื่อนที่ ในขณะที่หลักการทางฟิสิกส์เบื้องหลังนั้นเหมือนกัน การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกจำกัดนั้นอธิบายได้ด้วยสมการที่ได้มาจากกฎข้อที่สองของนิวตันเป็นหลัก สมการเหล่านี้เขียนขึ้นสำหรับการเคลื่อนที่ทั่วไปของวัตถุเดี่ยวโดยมีการเพิ่มเงื่อนไขการจำกัดเข้าไป โดยปกติแล้วสมการการเคลื่อนที่จะถูกหามาจากสมการของนิวตัน-ออยเลอร์หรือสมการของลากรองจ์

การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งอธิบายได้โดยใช้

${\displaystyle \mathbf {M(q)} {\ddot {\mathbf {q} }}-\mathbf {Q} _{v}+\mathbf {C_{q}} ^{T}\mathbf {\lambda } =\mathbf {F} ,}$(1)

${\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0}$(2)

สมการการเคลื่อนที่ประเภทนี้มีพื้นฐานมาจากพิกัดที่เรียกว่าพิกัดเกิน (redundant coordinates) เนื่องจากสมการเหล่านี้ใช้พิกัดมากกว่าจำนวนองศาอิสระของระบบพื้นฐาน พิกัดทั่วไป (generalized coordinates) จะถูกแทนด้วยเมทริกซ์มวล (mass matrix)จะถูกแทนด้วยซึ่งอาจขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไป แทนเงื่อนไขข้อจำกัด และเมทริกซ์(บางครั้งเรียกว่าเมท ริก ซ์จาโคเบียน ) คืออนุพันธ์ของเงื่อนไขข้อจำกัดเทียบกับพิกัด เมทริกซ์นี้ใช้ในการกำหนดแรงข้อจำกัดให้กับสมการของวัตถุที่เกี่ยวข้อง ส่วนประกอบของเวกเตอร์ยังเรียกว่าตัวคูณลากรางจ์ (Lagrange multipliers) ในวัตถุแข็งเกร็ง พิกัดที่เป็นไปได้สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {q} )}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C_{q}} }$${\displaystyle \mathbf {\แลมบ์ดา } }$${\displaystyle \mathbf {\แลมบ์ดา } }$

${\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}$

โดยที่แทนการแปล และ แทนการหมุน ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {\Psi } }$

ในกรณีของวัตถุแข็งเกร็ง เวกเตอร์ความเร็วแบบกำลังสอง (quadratic velocity vector) ใช้เพื่ออธิบายพจน์โคริโอลิสและพจน์แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางในสมการการเคลื่อนที่ ชื่อนี้มาจากการที่มันประกอบด้วยพจน์กำลังสองของความเร็ว และเป็นผลมาจากการอนุพันธ์ย่อยของพลังงานจลน์ของวัตถุ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{v}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{v}}$

ตัวคูณลากรางจ์ เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขข้อจำกัดและโดยปกติจะแสดงถึงแรงหรือโมเมนต์ที่กระทำใน "ทิศทาง" ขององศาอิสระของข้อจำกัดนั้น ตัวคูณลากรางจ์ไม่ได้ "ทำงาน" เมื่อเทียบกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงพลังงานศักยภาพของวัตถุ ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle C_{i}=0}$

สมการการเคลื่อนที่ (1,2) แสดงโดยใช้พิกัดที่ซ้ำซ้อน หมายความว่าพิกัดเหล่านั้นไม่เป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่างเช่น กลไกข้อเหวี่ยงเลื่อนที่แสดงไว้ข้างต้น ซึ่งแต่ละส่วนมีอิสระ 6 ระดับ ในขณะที่พิกัดส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของส่วนอื่นๆ ตัวอย่างเช่น อาจใช้พิกัด 18 ตัวและข้อจำกัด 17 ข้อเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของข้อเหวี่ยงเลื่อนที่มีวัตถุแข็ง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีเพียงอิสระ 1 ระดับ สมการการเคลื่อนที่จึงสามารถแสดงได้โดยใช้สมการเดียวและอิสระ 1 ระดับ โดยใช้มุมของข้อต่อขับเคลื่อนเป็นอิสระ เช่น การกำหนดรูปแบบหลังนี้จะมีจำนวนพิกัดน้อยที่สุดในการอธิบายการเคลื่อนที่ของระบบ และจึงเรียกว่าการกำหนดรูปแบบพิกัดขั้นต่ำ การแปลงพิกัดที่ซ้ำซ้อนเป็นพิกัดขั้นต่ำบางครั้งยุ่งยากและเป็นไปได้เฉพาะในกรณีของข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกและไม่มีลูปจลนศาสตร์ มีการพัฒนาอัลกอริทึมหลายตัวสำหรับการหาอนุพันธ์ของสมการการเคลื่อนที่พิกัดขั้นต่ำ โดยยกตัวอย่างเช่น วิธีการที่เรียกว่าการกำหนดสูตรแบบเวียนซ้ำ สมการที่ได้นั้นง่ายต่อการแก้ เนื่องจากในกรณีที่ไม่มีเงื่อนไขข้อจำกัด สามารถใช้วิธีการอินทิเกรตเวลามาตรฐานในการอินทิเกรตสมการการเคลื่อนที่ในเวลาได้ แม้ว่าระบบที่ลดขนาดลงอาจแก้ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น แต่การแปลงพิกัดอาจต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน ในสูตรระบบหลายวัตถุและระบบซอฟต์แวร์ทั่วไป จะใช้พิกัดที่ซ้ำซ้อนเพื่อให้ระบบใช้งานง่ายและยืดหยุ่นมากขึ้น

มีหลายกรณีที่จำเป็นต้องพิจารณาความยืดหยุ่นของวัตถุ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่ความยืดหยุ่นมีบทบาทสำคัญในด้านจลศาสตร์ รวมถึงกลไกที่ยืดหยุ่นได้

ความยืดหยุ่นสามารถนำมาพิจารณาได้หลายวิธี โดยมีแนวทางหลักอยู่ 3 วิธี ได้แก่:

• ระบบวัตถุหลายส่วนที่ยืดหยุ่นได้แบบแยกส่วน โดยที่วัตถุที่ยืดหยุ่นได้ถูกแบ่งออกเป็นชุดของวัตถุแข็งที่เชื่อมต่อกันด้วยค่าความแข็งแบบยืดหยุ่นซึ่งแสดงถึงความยืดหยุ่นของวัตถุ
• การควบแน่นแบบโมดอล ซึ่งอธิบายความยืดหยุ่นผ่านโหมดการสั่นของวัตถุจำนวนจำกัด โดยใช้ประโยชน์จากระดับความเป็นอิสระที่เชื่อมโยงกับแอมพลิจูดของโหมด
• การยืดหยุ่นอย่างเต็มที่ (Full flex) คำนึงถึงความยืดหยุ่นทั้งหมดของร่างกาย โดยแบ่งร่างกายออกเป็นองค์ประกอบย่อยที่มีการเคลื่อนที่เพียงครั้งเดียว ซึ่งเชื่อมโยงจากคุณสมบัติของวัสดุที่มีความยืดหยุ่น

• การจำลองแบบไดนามิก
• การจำลองระบบหลายวัตถุ (เทคนิคการแก้ปัญหา)
• เอนจิ้นฟิสิกส์

• http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ ลิงก์ที่รวบรวมจาก John McPhee