การลงคะแนนอนุมัติแบบผู้ชนะหลายคน^{[ 1 ]}บางครั้งเรียกว่าการลงคะแนนแบบคณะกรรมการตามการอนุมัติ (ABC) [ ^{2 ] หมาย} ถึง ระบบการเลือกตั้งแบบผู้ชนะหลายคนที่ใช้บัตรลงคะแนนอนุมัติ ผู้ลงคะแนนแต่ละคนสามารถเลือก ("อนุมัติ") ผู้สมัครได้หลายคน และผู้สมัครหลายคนจะได้รับการเลือกตั้ง

การลงคะแนนแบบอนุมัติหลายผู้ชนะ (Multiwinner Approval Voting) เป็นการดัดแปลงการลงคะแนนแบบอนุมัติ (Approval Voting) มาใช้กับการเลือกตั้ง ที่มีผู้ชนะหลายคน ในระบบการลงคะแนนแบบอนุมัติผู้ชนะคนเดียว (Single-winner Approval Voting ) การตัดสินผู้ชนะทำได้ง่าย คือ ผู้สมัครที่ได้รับความเห็นชอบจากผู้ลงคะแนนมากที่สุด แต่ในการลงคะแนนแบบอนุมัติหลายผู้ชนะ มีหลายวิธีที่จะตัดสินว่าผู้สมัครคนใดจะได้รับเลือกตั้ง

ในการลงคะแนนแบบอนุมัติเป็นกลุ่ม (หรือเรียกว่าการลงคะแนนแบบไม่จำกัด ) ผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะอนุมัติหรือไม่อนุมัติผู้สมัครแต่ละคน และ ผู้สมัคร kคนที่ได้รับคะแนนอนุมัติมากที่สุดจะเป็นผู้ชนะ (โดยที่kคือขนาดของคณะกรรมการที่กำหนดไว้ล่วงหน้า) ระบบนี้ไม่ได้ให้ การเป็นตัวแทน ตาม สัดส่วน

การลงคะแนนอนุมัติตามสัดส่วน (PAV) หมายถึงวิธีการลงคะแนนที่มุ่งรับประกันการ^เป็นตัวแทนตามสัดส่วนในกรณีที่ผู้สนับสนุนทั้งหมดของพรรคเห็นชอบผู้สมัครทั้งหมดของพรรคนั้น วิธีการดังกล่าวรวมถึงการลงคะแนนอนุมัติตามสัดส่วน [ ^{3 ] [ 4 ]} การลงคะแนน อนุมัติตามสัดส่วนแบบลำดับกฎการลงคะแนนของ Phragmenและวิธีการแบ่งส่วนเท่าๆ กัน [ ^{5 ] [ 6 ] ใน}กรณีทั่วไป การเป็นตัวแทนตามสัดส่วนจะถูกแทนที่ด้วยข้อกำหนดทั่วไปที่เรียกว่า การเป็นตัวแทน ที่ ยุติธรรม

ในวิธีการเหล่านี้ ผู้มีสิทธิเลือกตั้งจะกรอกบัตรลงคะแนนแบบมาตรฐาน แต่การนับคะแนนจะดำเนินการในลักษณะเฉพาะที่ทำให้เกิดการเป็นตัวแทนตามสัดส่วน ขั้นตอนที่แน่นอนจะขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้

การลงคะแนนอนุมัติพรรค (เรียกอีกอย่างว่าการจัดสรรตามการอนุมัติ) ^{[ 7 ]}เป็นวิธีการที่ผู้ลงคะแนนแต่ละคนสามารถอนุมัติพรรค หนึ่งพรรคหรือมากกว่านั้น แทนที่จะอนุมัติผู้สมัครแต่ละคน เป็นการผสมผสานระหว่างการลงคะแนนอนุมัติผู้ชนะหลายคนกับการลงคะแนน ตามรายชื่อพรรค

วิธีอื่นๆ ในการขยายการลงคะแนนอนุมัติไปยังการเลือกตั้งที่มีผู้ชนะหลายคน ได้แก่การลงคะแนนอนุมัติความพึงพอใจ^{[ 8 ]}วิธีการส่วนเกิน^{[ 9 ]}และการอนุมัติแบบมินิแม็กซ์^{[ 10 ]}วิธีเหล่านี้ใช้บัตรลงคะแนนอนุมัติ แต่มีการนับในวิธีที่แตกต่างกัน

กฎการลงคะแนนแบบมีผู้ชนะหลายคนหลายข้อสามารถถูกบิดเบือนได้: ผู้ลงคะแนนสามารถเพิ่มความพึงพอใจของตนเองได้โดยการรายงานความชอบที่ไม่ถูกต้อง

รูปแบบการบิดเบือนที่พบได้บ่อยที่สุดคือการบิดเบือนแบบเลือกกลุ่มย่อยซึ่งผู้ลงคะแนนจะรายงานเฉพาะกลุ่มย่อยของผู้สมัครที่ตนเองเห็นด้วยเท่านั้น การบิดเบือนนี้เรียกว่า การ ฉวยโอกาส แบบไฮล์แลนด์ (Hylland free riding )ผู้บิดเบือนจะอาศัยการที่ผู้อื่นลงคะแนนเห็นชอบผู้สมัครคนเดียวกัน และแสร้งทำเป็นว่าตนเองเสียเปรียบกว่าที่เป็นจริง จากนั้นกฎก็จะถูกบิดเบือนเพื่อ "ชดเชย" ผู้บิดเบือนโดยการเลือกผู้สมัครที่ตนเองเห็นด้วยมากขึ้น

ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราใช้กฎ PAV โดยที่ k=3 มีผู้สมัคร 4 คน (a, b, c, d) และผู้ลงคะแนน 5 คน ซึ่งสามคนสนับสนุน a, b, c และสองคนสนับสนุน a, b, d ดังนั้น PAV จะเลือก a, b, c แต่ถ้าผู้ลงคะแนนคนสุดท้ายรายงานเพียง d เท่านั้น PAV จะเลือก a, b, d ซึ่งเป็นตัวเลือกที่ดีกว่าสำหรับเขาอย่างเห็นได้ชัด

กฎการลงคะแนนแบบหลายผู้ชนะเรียกว่า"ป้องกันกลยุทธ์"หากไม่มีผู้ลงคะแนนคนใดสามารถเพิ่มความพึงพอใจของตนได้ด้วยการรายงานความชอบที่ผิดพลาด คุณสมบัตินี้มีหลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการบิดเบือน:

• ความสามารถในการต้านทานกลยุทธ์การรวมกลุ่มหมายความว่า ไม่มีการบิดเบือนใด ๆ ที่จะส่งผลให้มีการเลือกตั้งกลุ่มผู้สมัครที่ครอบคลุมกลุ่มผู้สมัครที่ผู้บิดเบือนอนุมัติอย่างเคร่งครัด (ดังเช่นในตัวอย่าง PAV ข้างต้น)
• คุณสมบัติการป้องกันกลยุทธ์เชิงจำนวน (Cardinality-strategyproofness)เป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่า กล่าวคือ หมายความว่าไม่มีการกระทำใดที่จะส่งผลให้มีการเลือกตั้งผู้สมัครที่ผู้กระทำการอนุมัติไว้เป็นจำนวนมากขึ้นได้

คุณสมบัติการป้องกันกลยุทธ์ยังสามารถจำแนกตามประเภทของการจัดการที่เป็นไปได้ได้อีกด้วย: ^{[ 11 ]}

• ความเป็นอิสระจากตัวเลือกที่ไม่เกี่ยวข้องหมายความว่า คุณสมบัติเชิงเปรียบเทียบของคณะกรรมการทั้งสองจะไม่ได้รับอิทธิพลจากผู้สมัครที่อยู่นอกเหนือคณะกรรมการทั้งสองนี้ ซึ่งจะป้องกันการลงคะแนนเชิงกลยุทธ์บางรูปแบบ เช่น การเปลี่ยนแปลงคะแนนเสียงของตนเองเกี่ยวกับผู้สมัครที่ไม่เกี่ยวข้องเพื่อบิดเบือนผลลัพธ์
• ความสม่ำเสมอหมายความว่าผู้มีสิทธิเลือกตั้งจะไม่เสียเปรียบหากเปิดเผยรายชื่อผู้สมัครที่ตนสนับสนุนอย่างแท้จริง ซึ่งจะป้องกันการลงคะแนนเชิงกลยุทธ์อีกรูปแบบหนึ่ง นั่นคือการปกปิดรายชื่อผู้สมัครที่ตนสนับสนุนบางส่วน

Lackner และ Skowron ^{[ 11 ]}มุ่งเน้นไปที่คลาสของกฎการนับ ABC (การขยายกฎการให้คะแนนตามตำแหน่งไปสู่การลงคะแนนแบบผู้ชนะหลายคน) ในบรรดากฎเหล่านี้กฎของ Thieleเป็นกฎเดียวที่ตรงตาม IIA และกฎการนับความไม่พอใจเป็นกฎเดียวที่ตรงตามความเป็นเอกรูปการลงคะแนนอนุมัติแบบอรรถประโยชน์เป็นกฎการนับ ABC ที่ไม่ใช่กฎธรรมดาเพียงกฎเดียวที่ตรงตามสัจพจน์ทั้งสองข้อ นอกจากนี้ยังเป็นกฎการนับ ABC ที่ไม่ใช่กฎธรรมดาเพียงกฎเดียวที่ตรงตามSD-strategyproofnessซึ่งเป็นการขยาย cardinality-strategyproofness ไปสู่กฎที่ไม่แน่นอน หากการลงคะแนนอนุมัติแบบอรรถประโยชน์มีความแน่นอนเนื่องจากกฎการตัดสินผลเสมอที่ไม่ดี มันอาจจะไม่สามารถป้องกันกลยุทธ์ได้

การพิสูจน์ว่ากลยุทธ์ด้านจำนวนสมาชิกไม่เข้าข่าย และกลยุทธ์ด้านการรวมสมาชิกไม่เข้าข่ายนั้น สามารถทำได้โดยการลงคะแนนแบบเห็นชอบตามหลักอรรถประโยชน์นิยม (กฎการลงคะแนนแบบเห็นชอบโดยเสียงข้างมากที่มีบัตรลงคะแนนไม่จำกัดจำนวน) แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ากฎอื่นใดที่ทราบกันดีว่าสอดคล้องกับหลักสัดส่วนไม่เข้าข่าย

สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่ามีกฎใดบ้างที่ทั้งป้องกันกลยุทธ์และได้สัดส่วน คำตอบคือไม่มี: Dominik Peters พิสูจน์แล้วว่าไม่มีกฎการลงคะแนนแบบผู้ชนะหลายคนใดที่สามารถตอบสนองรูปแบบที่อ่อนแอของสัดส่วน รูปแบบที่อ่อนแอของการป้องกันกลยุทธ์ และรูปแบบที่อ่อนแอของประสิทธิภาพได้พร้อมกัน^{[ 12 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติทั้งสามต่อไปนี้ไม่เข้ากันเมื่อใดก็ตามที่k ≥ 3, nเป็นพหุคูณของkและจำนวนผู้สมัครมีอย่างน้อยk +1:

• ความทนทานต่อกลยุทธ์การรวมกลุ่มย่อย : หากตัวแทนiที่มีผู้สมัครที่ได้รับการอนุมัติA _iรายงานกลุ่มย่อยของA _i (และรายงานอื่นๆ ทั้งหมดเหมือนกัน) จะไม่มีผู้สมัครที่ยังไม่ได้รับการเลือกตั้งจากA _iได้รับการเลือกตั้ง คุณสมบัตินี้อ่อนกว่าความทนทานต่อกลยุทธ์การรวมกลุ่ม เนื่องจากพิจารณาเพียงการบิดเบือนประเภทเดียวเท่านั้น คือ การรายงานกลุ่มย่อยของชุดการอนุมัติที่แท้จริงของตนเอง
• สัดส่วนตามบัญชีรายชื่อพรรค : เรากำหนดรูปแบบบัญชีรายชื่อพรรคว่าเป็นลักษณะเฉพาะของการลงคะแนนแบบบัญชีรายชื่อพรรคกล่าวคือ มีการแบ่งผู้มีสิทธิเลือกตั้งออกเป็น k กลุ่ม และมีการแบ่งโครงการออกเป็น k กลุ่มย่อย โดยที่ผู้มีสิทธิเลือกตั้งแต่ละคนจากกลุ่มiจะลงคะแนนให้เฉพาะโครงการทั้งหมดในกลุ่มi เท่านั้น สัดส่วนตามบัญชีรายชื่อพรรคหมายความว่า ในรูปแบบบัญชีรายชื่อพรรค หากบัตรลงคะแนนเดี่ยว { x } ปรากฏอย่างน้อยB / nครั้ง แสดงว่าxได้รับเลือกตั้ง คุณสมบัตินี้อ่อนกว่าคุณสมบัติโควตาที่ต่ำกว่าจากการจัดสรรและอ่อนกว่าคุณสมบัติ การเป็นตัวแทนที่เป็นธรรม
  • คุณสมบัติทางเลือกอีกประการหนึ่งที่ความเป็นไปไม่ได้นั้นเป็นจริง คือความหลากหลายที่ไม่ทับซ้อนกันหมายความว่า ในรายชื่อพรรคการเมืองที่มีพรรคการเมืองต่างกันไม่เกินkพรรค กฎจะเลือกสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนจากแต่ละพรรค
• ประสิทธิภาพที่อ่อนแอ : หากผู้สมัครxไม่ได้รับการสนับสนุนจากใครเลย และมีผู้สมัครอย่างน้อยkคนที่ได้รับการสนับสนุนผู้สมัคร x ก็ จะไม่ได้รับการเลือกตั้ง

การพิสูจน์ใช้วิธีการอุปมาน โดยกรณีพื้นฐาน ( k = 3) พบได้จากการใช้โปรแกรมแก้ปัญหา SATสำหรับk = 2 ความเป็นไปไม่ได้เกิดขึ้นได้โดยใช้สัจพจน์การพิสูจน์กลยุทธ์ที่เข้มงวดกว่าเล็กน้อย

Lackner และ Skowron ^{[ 11 ]}ได้ทำการวัดปริมาณการแลกเปลี่ยนระหว่างความสามารถในการป้องกันกลยุทธ์และความเป็นสัดส่วนโดยการวัดเศษส่วนของโปรไฟล์ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มซึ่งผู้ลงคะแนนบางคนสามารถได้รับประโยชน์จากการรายงานที่ผิดพลาด ตัวอย่างผลลัพธ์ เมื่อผู้ลงคะแนนแต่ละคนอนุมัติผู้สมัคร 2 คน ได้แก่: กฎลำดับของ Phragmen สามารถถูกบิดเบือนได้ใน 66% ของโปรไฟล์; PAV ลำดับ - 68%; PAV - 71%; AV ความพึงพอใจและ AV Maximin - 86%; การอนุมัติ Monroe - 92%; Chamberlin-Courant - 95% พวกเขายังตรวจสอบความสามารถในการบิดเบือนของกฎของ Thiele ด้วย ฟังก์ชันคะแนนเรขาคณิต p (โดยที่คะแนนเป็นกำลังของ 1/ pสำหรับp คงที่บางค่า ) โปรดทราบว่าp = 1 จะให้ AV แบบอรรถประโยชน์ ในขณะที่ p→∞ จะให้ Chamberlin-Courant พวกเขาพบว่าการเพิ่มค่าpส่งผลให้ความสามารถในการบิดเบือนเพิ่มขึ้น กล่าวคือ กฎที่คล้ายกับ AV แบบอรรถประโยชน์นิยมจะมีความสามารถในการบิดเบือนน้อยกว่ากฎที่คล้ายกับ CC และกฎแบบสัดส่วนจะอยู่ตรงกลางระหว่างสองแบบนี้

Barrot, Lang และ Yokoo ^{[ 13 ]}นำเสนอการศึกษาที่คล้ายกันของกฎอีกตระกูลหนึ่ง โดยอิงจากการหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามลำดับและระยะทางแฮมมิงตระกูลของพวกเขายังมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์pโดยที่p = 0.5 จะให้ AV ที่เป็นประโยชน์ ในขณะที่p = 1 จะให้ AV ที่เท่าเทียมกัน พวกเขาได้ข้อสรุปที่คล้ายกัน: การเพิ่มpส่งผลให้สัดส่วนของโปรไฟล์แบบสุ่มที่สามารถจัดการได้มากขึ้น

วิธีหนึ่งที่จะเอาชนะผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้คือการพิจารณาโดเมนความชอบที่จำกัด Botan ^{[ 14 ]}พิจารณาความชอบของรายชื่อพรรคนั่นคือ โปรไฟล์ที่ผู้ลงคะแนนถูกแบ่งออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกัน โดยแต่ละเซตจะลงคะแนนให้กับเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันของผู้สมัคร เธอพิสูจน์ว่ากฎของ Thiele (เช่น PAV) ต้านทานการบิดเบือนบางรูปแบบที่พบได้ทั่วไป และมันป้องกันกลยุทธ์สำหรับผู้ลงคะแนนที่ "มองโลกในแง่ดี"

คุณสมบัติการป้องกันกลยุทธ์สามารถขยายไปยังกฎที่ไม่แน่นอน (กฎที่ส่งคืนคณะกรรมการที่เสมอกันหลายคณะ) Lackner และ Skowron ^{[ 11 ]}กำหนดส่วนขยายที่แข็งแกร่งที่เรียกว่าการป้องกันกลยุทธ์การครอบงำเชิงสุ่มและพิสูจน์ว่ามีลักษณะเฉพาะของกฎ การลงคะแนนอนุมัติแบบอรรถประโยชน์

Kluiving, Vries, Vrijbergen, Boixel และ Endriss ^{[ 15 ]}นำเสนอการอภิปรายที่ละเอียดถี่ถ้วนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับการป้องกันกลยุทธ์ของกฎที่ไม่แน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาขยายผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้ของ Peters ไปยังกฎที่ไม่แน่นอน Duddy ^{[ 16 ]}นำเสนอผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้โดยใช้ชุดสัจพจน์ที่แตกต่างกัน

มีรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่าของการป้องกันกลยุทธ์ที่เรียกว่าการป้องกันกลยุทธ์แบบไม่แบ่งแยกสองทาง : โดยถือว่าตัวแทนมีความสัมพันธ์ความชอบที่ไม่แบ่งแยกสองทางพื้นฐาน และพวกเขาใช้การอนุมัติเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น นั่นหมายความว่าไม่มีการจัดการใดที่จะส่งผลให้มีการเลือกตั้งคณะกรรมการที่ได้รับการจัดอันดับสูงกว่าโดยผู้จัดการ การป้องกันกลยุทธ์แบบไม่แบ่งแยกสองทางไม่เป็นไปตามกฎการลงคะแนนแบบผู้ชนะหลายคนที่ไม่ใช่แบบธรรมดา^{[ 17 ]}

Scheuerman, Harman, Mattei และ Venable นำเสนอการศึกษาเชิงพฤติกรรมเกี่ยวกับพฤติกรรมของผู้ที่มีความชอบแบบไม่แบ่งแยกเมื่อพวกเขาต้องให้การลงคะแนนอนุมัติ เมื่อผลลัพธ์ถูกตัดสินโดยใช้การลงคะแนนอนุมัติแบบอรรถประโยชน์นิยม^{[ 18 ] [ 19 ]}

Freeman, Kahng และ Pennock ศึกษาการลงคะแนนอนุมัติแบบผู้ชนะหลายคนซึ่งจำนวนผู้ชนะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า แต่ถูกกำหนดโดยคะแนนเสียง ตัวอย่างเช่น เมื่อเลือกผู้สมัครเข้ารับการสัมภาษณ์ หากมีผู้สมัครที่มีคุณสมบัติเหมาะสมหลายคน จำนวนผู้สมัครที่ถูกเลือกเข้ารับการสัมภาษณ์อาจมีมากขึ้น พวกเขาขยายแนวคิดเรื่องความพึงพอใจโดยเฉลี่ยไปสู่การตั้งค่านี้^{[ 20 ]}

การแบ่งปันเค้กเป็นรูปแบบหนึ่งของการลงคะแนนอนุมัติแบบผู้ชนะหลายคนซึ่งมีผู้สมัครต่อเนื่องกัน โดยแสดงด้วยช่วงจริง [0, c ] เป้าหมายคือการเลือกเซตย่อยของช่วงนี้ โดยมีความยาวรวมไม่เกิน kโดยที่ kและ cสามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ โดยที่ 0 < k < c การลงคะแนนอนุมัติ ด้วยสินค้าผสม^{[ 21 ]}เป็นแบบจำลองทั่วไปยิ่งกว่า ซึ่งผู้สมัครสามารถแบ่งได้และแบ่งไม่ได้ โดยเป็นการขยายทั้งการลงคะแนนอนุมัติแบบผู้ชนะหลายคนและการแบ่งปันเค้ก

การลงคะแนนแบบอนุมัติหลายผู้ชนะ แม้ว่าจะพบได้ไม่บ่อยเท่าการลงคะแนนแบบอนุมัติ มาตรฐาน แต่ก็มีการใช้ในหลายกรณี

• หมู่บ้านเกาหลีใช้การลงคะแนนแบบอนุมัติเป็นกลุ่มสำหรับการเลือกตั้งที่มีการแข่งขันหลังจากการยอมจำนนของญี่ปุ่น ตามการสังเกตของนักข่าวAnna Louise Strongในปี 1946: "ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมีผู้สมัคร 12 คน ซึ่งจะต้องเลือก 5 คนสำหรับคณะกรรมการหมู่บ้าน ผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะได้รับบัตร 12 ใบ ซึ่งมีชื่อของผู้สมัคร จากนั้นเขาจะโยนบัตรที่เลือกไว้ในกล่องสีขาว และบัตรที่ไม่เลือกไว้ในกล่องสีดำ" ^{[ 22 ]}
• หลายรัฐในสวิตเซอร์แลนด์เลือกตั้งรัฐบาลโดยใช้วิธีการดังกล่าว เช่นเดียวกับเมืองต่างๆ ในฝรั่งเศสที่มีประชากรน้อยกว่า 1,000 คน^{[ 23 ]}
• ในปี 1963 ระบบการเลือกตั้งแบบสัดส่วนในเยอรมนีตะวันออกถูกแทนที่ด้วยระบบที่ผู้สมัครต้องได้รับคะแนนเสียงมากกว่า 50% หากจำนวนผู้สมัครที่ได้รับเสียงข้างมากในเขตเลือกตั้งนั้นมากกว่าจำนวนที่นั่ง ลำดับในบัญชีรายชื่อจะเป็นตัวกำหนดว่าใครจะได้เข้าสู่สภาผู้แทนราษฎร (Volkskammer )

• การลงคะแนนแบบหลายผู้ชนะพร้อมการตั้งค่าการอนุมัติล่วงหน้า
• การนำกฎการลงคะแนนแบบหลายผู้ชนะโดยอาศัยการอนุมัติมาใช้ในภาษา Python
• ตัวอย่างการใช้งาน JavaScript สำหรับกฎต่างๆ มากมาย ในเว็บไซต์ pref.tools