เชฟเฟอร์สโตรก

เอ็นแอนด์
คำนิยาม	${\displaystyle {\overline {x\cdot y}}}$
ตารางความจริง	${\displaystyle (0111)}$
ประตูตรรกะ
รูปแบบปกติ
แยกส่วน	${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$
คำเชื่อม	${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$
พหุนาม Zhegalkin	${\displaystyle 1\oplus xy}$
โครงตาข่ายของโพสต์
รักษาศูนย์	เลขที่
1-การรักษา	เลขที่
โมโนโทน	เลขที่
อัฟฟิน	เลขที่
ตนเองสอง	เลขที่
วี ที อี

ในฟังก์ชันบูลีนและแคลคูลัสเชิงประพจน์ เครื่องหมายShefferแสดงถึงการดำเนินการทางตรรกะที่เทียบเท่ากับการปฏิเสธของ การดำเนิน การเชื่อมโยงซึ่งแสดงในภาษาทั่วไปว่า "ไม่ใช่ทั้งสอง" เรียกอีกอย่างว่าการไม่เชื่อมโยง การปฏิเสธทางเลือก (เนื่องจากในทางปฏิบัติหมายความว่าตัวถูกดำเนินการอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นเท็จ) หรือNAND ("ไม่ใช่และ") ^{[ 1 ]}ในอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัลเครื่องหมายนี้สอดคล้องกับเกต NANDตั้งชื่อตามHenry Maurice Shefferและเขียนเป็น${\displaystyle \mid }$หรือเช่น${\displaystyle \uparrow }$หรือเช่น${\displaystyle {\overline {\wedge }}}$หรือเช่น${\displaystyle Dpq}$ในรูปแบบการเขียนสัญลักษณ์ภาษาโปแลนด์โดยŁukasiewicz (แต่ไม่ใช่ในรูปแบบ || ซึ่งมักใช้แทนการเชื่อมแบบ "หรือ " )

ตัวดำเนิน การคู่ขนานของมันคือตัวดำเนินการ NOR (หรือที่รู้จักกันในชื่อPeirce arrow , Quine daggerหรือWebb operator ) เช่นเดียวกับตัวดำเนินการคู่ขนานของมัน NAND สามารถใช้ได้ด้วยตัวเอง โดยไม่ต้องมีตัวดำเนินการตรรกะอื่นใด เพื่อสร้างระบบตรรกะ ที่เป็นทางการ (ทำให้ NAND สมบูรณ์ในเชิงฟังก์ชัน ) คุณสมบัตินี้ทำให้เกต NANDมีความสำคัญอย่างยิ่งต่ออุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล สมัยใหม่ รวมถึงการใช้งานในการออกแบบโปรเซสเซอร์คอมพิวเตอร์

การเชื่อมแบบไม่เป็นเท็จ (non-conjunction)เป็นการดำเนินการทางตรรกะ บน ค่าตรรกะสอง ค่า โดยจะให้ค่าเป็นจริงก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในประพจน์เป็นเท็จ เท่านั้น

ตารางความจริง

ตารางความจริงของ${\displaystyle A\uparrow B}$มีรายละเอียดดังนี้

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\uparrow B}$
เอฟ	เอฟ	ที
เอฟ	ที	ที
ที	เอฟ	ที
ที	ที	เอฟ

ความสมมูลเชิงตรรกะ

จังหวะของเชฟเฟอร์${\displaystyle P}$และ${\displaystyle Q}$คือการปฏิเสธของการเชื่อมโยงของพวกมัน

${\displaystyle P\uparrow Q}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \neg (P\land Q)}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \neg }$

ตามกฎของเดอ มอร์แกนสิ่งนี้เทียบเท่ากับการแยกของคำปฏิเสธของ${\displaystyle P}$และ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P\uparrow Q}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle \neg P}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle \neg Q}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

เพียร์ซเป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นถึงความสมบูรณ์เชิงหน้าที่ของคำเชื่อมที่ไม่ใช่คำสันธาน (โดยแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบ)${\displaystyle {\overline {\curlywedge }}}$) แต่ไม่ได้เผยแพร่ผลลัพธ์ของเขา^{[ 2 ] [ 3 ]}บรรณาธิการของ Peirce เพิ่ม${\displaystyle {\overline {\curlywedge }}}$) สำหรับการไม่แยก^{[ 3 ]}

ในปี ค.ศ. 1911 สแตมม์เป็นคนแรกที่ตีพิมพ์บทพิสูจน์ความสมบูรณ์ของการเชื่อมโยงที่ไม่ต่อเนื่อง โดยแสดงสิ่งนี้ด้วย${\displaystyle \sim }$( ตะขอ Stamm ) ^{[ 4 ]}และการไม่แยกกันในการพิมพ์ครั้งแรกและแสดงให้เห็นถึงความสมบูรณ์ของฟังก์ชัน^{[ 5 ]}

ในปี ค.ศ. 1913 เชฟเฟอร์ได้อธิบายการแยกส่วนที่ไม่สมบูรณ์โดยใช้${\displaystyle \mid }$และแสดงให้เห็นถึงความสมบูรณ์แบบในการใช้งาน เชฟเฟอร์ยังใช้${\displaystyle \wedge }$สำหรับการไม่แยก^{[ 4 ]}หลายคน เริ่มตั้งแต่Nicodในปี 1917 และตามมาด้วยWhiteheadและRussellเข้าใจผิดคิดว่า Sheffer ได้อธิบายการไม่เชื่อมโยงกันโดยใช้${\displaystyle \mid }$โดยตั้งชื่อสัญลักษณ์นี้ว่า เส้นโค้งเชฟเฟอร์ (Sheffer stroke)

ในปี ค.ศ. 1928 ฮิลเบิร์ตและแอคเคอร์แมนน์ได้อธิบายการไม่เชื่อมโยงกันด้วยตัวดำเนินการ${\displaystyle /}$[ ^{6 ] [ 7 ]​}

ในปี ค.ศ. 1929 ลูคาซิวิชได้ใช้${\displaystyle D}$ใน${\displaystyle Dpq}$สำหรับการไม่เชื่อมโยงกันใน สัญลักษณ์ ภาษาโปแลนด์ ของเขา ^{[ 8 ]}

สัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับการไม่เชื่อมโยงกันคือ${\displaystyle \uparrow }$ยังไม่ชัดเจนว่าใครเป็นผู้ริเริ่มใช้สัญลักษณ์นี้ก่อน แม้ว่าจะมีข้อมูลที่เกี่ยวข้องอยู่ก็ตาม${\displaystyle \downarrow }$Quine ใช้คำว่า "non-disjunction" ในปี พ.ศ. 2483 ^{[ 9 ]}

ขีดนี้ตั้งชื่อตามเฮนรี มอริซ เชฟเฟอร์ผู้ซึ่งในปี 1913 ได้ตีพิมพ์บทความในTransactions of the American Mathematical Society ^{[ 10 ]}โดยนำเสนอระบบสัจพจน์ของพีชคณิตบูลีนโดยใช้ขีด และพิสูจน์ความเท่าเทียมกันกับสูตรมาตรฐานของฮันติงตันโดยใช้ตัวดำเนินการที่คุ้นเคยของตรรกะเชิงประพจน์ ( AND , OR , NOT ) เนื่องจากความเป็นคู่ ในตัวเอง ของพีชคณิตบูลีน สัจพจน์ของเชฟเฟอร์จึงใช้ได้เท่าเทียมกันสำหรับการดำเนินการ NAND หรือ NOR แทนขีด เชฟเฟอร์ตีความขีดนี้ว่าเป็นเครื่องหมายสำหรับการไม่แยก ( NOR ) ในบทความของเขา โดยกล่าวถึงการไม่เชื่อมกันเฉพาะในเชิงอรรถและไม่มีเครื่องหมายพิเศษสำหรับมันฌอง นิโคด เป็น คนแรกที่ใช้ขีดนี้เป็นเครื่องหมายสำหรับการไม่เชื่อมกัน (NAND) ในบทความปี 1917 และตั้งแต่นั้นมาก็กลายเป็นแนวปฏิบัติในปัจจุบัน^{[ 11 ] [ 12 ]} Russell และ Whitehead ใช้ Sheffer stroke ในPrincipia Mathematica ฉบับพิมพ์ครั้งที่สองในปี 1927 และแนะนำให้ใช้แทนการดำเนินการ "OR" และ "NOT" ในฉบับพิมพ์ครั้งแรก

Charles Sanders Peirce (1880) ได้ค้นพบความสมบูรณ์เชิงฟังก์ชันของ NAND หรือ NOR ก่อนหน้านั้นกว่า 30 ปี โดยใช้คำว่าampheck (ซึ่งหมายถึง 'การตัดทั้งสองทาง') แต่เขาไม่เคยเผยแพร่การค้นพบของเขา สองปีก่อน Sheffer, Edward Stammก็ได้อธิบายตัวดำเนินการ NAND และ NOR และแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการบูลีนอื่นๆ สามารถแสดงได้ด้วยตัวดำเนินการนี้^{[ 5 ]}

NAND เป็นแบบสลับที่ได้ (commutative) แต่ไม่เป็นแบบสมาคม (associative) ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle P\uparrow Q\leftrightarrow Q\uparrow P}$แต่${\displaystyle (P\uparrow Q)\uparrow R\not \leftrightarrow P\uparrow (Q\uparrow R)}$[ ^{13 ]​}

แสดงในรูปของ NAND${\displaystyle \uparrow }$ตัวดำเนินการทั่วไปของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ได้แก่:

${\displaystyle \neg P}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle P}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle P\rightarrow Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle ~P}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle (Q\uparrow Q)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle ~P}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle (P\uparrow Q)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \uparrow }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (P\uparrow Q)}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle ((P\uparrow P)\uparrow (Q\uparrow Q))}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \uparrow }$
${\displaystyle P\land Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (P\uparrow Q)}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle (P\uparrow Q)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle P\lor Q}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (P\uparrow P)}$ ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle (Q\uparrow Q)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \uparrow }$