ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อนทฤษฎีบทของนาคบิน (ตั้งชื่อตามเลโอโปลโด นาคบิน ) เป็นผลลัพธ์ที่ใช้ในการกำหนดขอบเขตของอัตราการเติบโตของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของนาคบินสามารถใช้เพื่อกำหนดโดเมนของการลู่เข้าของการแปลงบอเรลแบบทั่วไปหรือที่เรียกว่าผลรวมนาคบิน

บทความนี้เป็นการทบทวนอัตราการเติบโตโดยสังเขป รวมถึงแนวคิดของฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังการจำแนกอัตราการเติบโตตามประเภทช่วยให้ได้เครื่องมือที่ละเอียดกว่าสัญลักษณ์บิ๊กโอหรือ สัญลักษณ์แลนเดา เนื่องจาก สามารถระบุทฤษฎีบทจำนวนมากเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันที่มีขอบเขตและการแปลงอินทิก รัลได้

ฟังก์ชันที่กำหนดบนระนาบเชิงซ้อนเรียกว่าฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลัง ถ้ามีค่าคงที่และอยู่จริง โดยที่${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

ในขีดจำกัดของโดยที่ตัวแปรเชิงซ้อนถูกเขียนไว้เพื่อเน้นว่าขีดจำกัดต้องเป็นจริงในทุกทิศทางให้ แทนค่าต่ำสุดของ ทั้งหมดดังกล่าวจึงกล่าวได้ว่าฟังก์ชันเป็น ฟังก์ชัน ประเภทเลขชี้กำลัง${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=re^{i\theta }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$

ตัวอย่างเช่น ให้. จากนั้นจะกล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังเนื่องจากเป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่จำกัดการเติบโตของตามแกนจินตนาการ ดังนั้น สำหรับตัวอย่างนี้ทฤษฎีบทของคาร์ลสันจึงใช้ไม่ได้ เนื่องจากทฤษฎีบทนี้ต้องการฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า.${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$${\displaystyle \sin(\pi z)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \sin(\pi z)}$${\displaystyle \pi }$

นอกจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังแล้ว ยังสามารถกำหนดประเภทฟังก์ชันเพิ่มเติมสำหรับฟังก์ชันขอบเขตอื่นๆ ได้อีกด้วย โดยทั่วไป ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันเปรียบเทียบก็ต่อเมื่อมีลำดับ${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

สำหรับทุกคนและ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

ฟังก์ชันเปรียบเทียบจำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบอัตราส่วนถ้าเป็นฟังก์ชันเปรียบเทียบเช่นนั้น เราจะกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันประเภท ถ้ามีค่าคงที่และ อยู่จริง โดยที่${\displaystyle \Psi (t)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

เช่นถ้าเป็นค่าต่ำสุดของทั้งหมดดังกล่าว จะกล่าวได้ว่าเป็นประเภท-type${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \tau }$

ทฤษฎีบทของนาคบินกล่าวว่าฟังก์ชันที่มีอนุกรม${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

เป็นประเภท - ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

สิ่งนี้มีความเชื่อมโยงโดยตรงกับการทดสอบรากและสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นความสัมพันธ์กับทฤษฎีบทโคชี-ฮาดามาร์ด

ทฤษฎีบทของ Nachbin มีการประยุกต์ใช้โดยตรงใน สถานการณ์ที่คล้ายกับ ทฤษฎีบทของ Cauchyและสำหรับการแปลงเชิงปริพันธ์ตัวอย่างเช่นการแปลง Borel แบบทั่วไปกำหนดโดย

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

ถ้าเป็นชนิด-type แล้ว บริเวณภายนอกของโดเมนการลู่เข้าของและจุดเอกฐานทั้งหมด จะอยู่ภายในดิสก์${\displaystyle f}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle F(w)}$

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

นอกจากนี้ ยังมีบุคคลหนึ่งที่มี

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

โดยที่เส้นโค้งของการอินทิเกรต γ ล้อม รอบวงกลม นี่เป็นการขยายการแปลงบอเรล แบบปกติ สำหรับฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลัง โดยที่รูปแบบอินทิกรัลสำหรับการแปลงบอเรลแบบทั่วไปก็มีตามมาเช่นกัน ให้เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับแรกที่มีขอบเขตบนช่วงและเป็นไปตามสมการนิยาม${\displaystyle |w|\leq \tau }$${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$${\displaystyle \alpha (t)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

โดยที่. จากนั้นรูปแบบปริพันธ์ของการแปลงบอเรลทั่วไปคือ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

การแปลงบอเรลแบบปกติจะได้กลับคืนมาโดยการตั้งค่า. โปรดสังเกตว่ารูปแบบปริพันธ์ของการแปลงบอเรลคือการแปลงลาปลาส${\displaystyle \alpha (t)=-e^{-t}}$

การหาผลรวมแบบ Nachbin สามารถใช้ในการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้าที่การหาผลรวมแบบ Borelทำไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เพื่อแก้สมการเชิงอินทิกรัลแบบประมาณค่าเชิงเส้นกำกับในรูปแบบ:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

โดยที่อาจจะเป็นหรือไม่เป็นประเภทเลขชี้กำลังก็ได้ และเคอร์เนลมีการแปลงเมลลินสามารถหาคำตอบได้โดยใช้การรวมแบบนาคบิน เช่นเดียวกับจากและด้วยการแปลงเมลลินของตัวอย่างเช่น อนุกรมแกรม ${\textstyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle K(u)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle g(s)}$${\displaystyle M(n)}$${\displaystyle K(u)}$${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

ในบางกรณี เงื่อนไขเพิ่มเติมที่เรากำหนดคือค่าต้องมีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$${\displaystyle n=0,1,2,3,....}$

กลุ่มของฟังก์ชันประเภทเลขชี้กำลังสามารถก่อตัวเป็นปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ซึ่งก็คือปริภูมิเฟรเชต์ (Fréchet space ) โดยอาศัยโทโพโลยีที่เกิดจากตระกูลของบรรทัดฐาน ที่นับได้${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

• ซีรีส์ Divergent
• ผลรวมของโบเรล
• ผลรวมออยเลอร์
• การสรุปผลแบบเซซาโร
• ผลรวมของแลมเบิร์ต
• ผลรวมของ Mittag-Leffler
• หลักการแฟรกเมน-ลินเดลอฟ
• ทฤษฎีบทอาเบเลียนและทอเบเรียน
• การเปลี่ยนแปลงของฟาน ไวจ์นการ์เดน