อ่าน 6 นาที
กระดูกของเนเปียร์
กระดูกของเนเปียร์ เป็นอุปกรณ์คำนวณแบบใช้มือที่สร้างขึ้นโดย จอห์น เนเปียร์ แห่ง เมอร์ชิสตัน สก็ อ ตแลนด์ สำหรับ การคำนวณ ผลคูณและ ผลหาร ของตัวเลข วิธีการนี้ใช้ การคูณแบบแลตติส...
กระดูกของเนเปียร์
| อุปกรณ์คอมพิวเตอร์ใน |
| แรบโดโลจี |
|---|
| กระดูกของเนเปียร์ |
| ทันท่วงที |
| การคำนวณตำแหน่ง |
กระดูกของเนเปียร์เป็นอุปกรณ์คำนวณแบบใช้มือที่สร้างขึ้นโดยจอห์น เนเปียร์แห่งเมอร์ชิสตัน สก็อตแลนด์สำหรับการคำนวณผลคูณและผลหาร ของตัวเลข วิธีการนี้ใช้ การคูณแบบแลตติสเป็นพื้นฐานและเรียกอีกอย่างว่าrabdologyซึ่งเป็นคำที่เนเปียร์คิดค้นขึ้น เนเปียร์ตีพิมพ์เวอร์ชันของเขาในปี1617 [ 1 ]พิมพ์ในเอดินบะระและอุทิศให้กับผู้อุปถัมภ์ของเขาอเล็กซานเดอร์ เซตัน
การใช้ตารางการคูณที่ฝังอยู่ในแท่งเหล่านี้ช่วยลดทอนการคูณให้เหลือ เพียง การบวก และการหารให้เหลือเพียง การลบ การใช้แท่งเหล่านี้ในขั้นสูงยังสามารถใช้หาค่ารากที่สองได้ แท่งโลหะของเนเปียร์นั้นไม่เหมือนกับลอการิทึมซึ่งเป็นที่มาของชื่อเนเปียร์ แต่มีพื้นฐานมาจากตารางการคูณที่ถูกแยกส่วน
อุปกรณ์นี้โดยทั่วไปประกอบด้วยกระดานฐานที่มีขอบ ผู้ใช้จะวางแท่งของเนเปียร์และขอบเพื่อทำการคูณหรือหาร ขอบด้านซ้ายของกระดานแบ่งออกเป็นเก้าช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยมีตัวเลข 1 ถึง 9 กำกับอยู่ ในการออกแบบดั้งเดิมของเนเปียร์ แท่งเหล่านี้ทำจากโลหะ ไม้ หรืองาช้างและมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แท่งแต่ละแท่งจะสลักตารางการคูณไว้บนทั้งสี่ด้าน ในการออกแบบในภายหลังบางแบบ แท่งเหล่านี้จะแบนราบและมีตารางการคูณสองตารางหรือเพียงตารางเดียวสลักอยู่ และทำจากพลาสติกหรือกระดาษ แข็งหนา ชุดแท่งเหล่านี้อาจบรรจุอยู่ในกล่องสำหรับพกพา
หน้าของแท่งไม้ถูกทำเครื่องหมายด้วยช่องสี่เหลี่ยมเก้าช่อง แต่ละช่องยกเว้นช่องบนสุดถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนโดย เส้น ทแยงมุมจากมุมล่างซ้ายไปยังมุมบนขวา ช่องสี่เหลี่ยมเหล่านี้บรรจุตารางการคูณ อย่างง่าย ช่องแรกบรรจุตัวเลข หลักเดียว ซึ่งเนเปียร์เรียกว่า 'เลขหลักเดียว' ช่องอื่นๆ บรรจุตัวคูณของเลขหลักเดียว ได้แก่ สองเท่าของเลขหลักเดียว สามเท่าของเลขหลักเดียว และอื่นๆ ไปจนถึงช่องที่เก้าซึ่งบรรจุเก้าเท่าของตัวเลขในช่องบนสุด ตัวเลขหลักเดียวเขียนไว้ในช่องสามเหลี่ยมด้านล่างขวาโดยเว้นช่องสามเหลี่ยมอีกช่องหนึ่งว่างไว้ ในขณะที่ตัวเลขสองหลักเขียนโดยมีตัวเลขอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นทแยงมุม
หากใช้แท่งไม้แบบด้านเดียวในการเขียนตารางคูณ จะต้องใช้แท่งไม้ 40 แท่งในการคูณเลข 4 หลัก – เนื่องจากเลขอาจมีตัวเลขซ้ำกัน จึงต้องใช้ตารางคูณ 4 ชุดสำหรับแต่ละหลักตั้งแต่ 0 ถึง 9 แต่ถ้าใช้แท่งไม้สี่เหลี่ยม ตารางคูณ 40 ชุดสามารถเขียนลงบนแท่งไม้ 10 แท่งได้ เนเปียร์ได้อธิบายรายละเอียดของวิธีการจัดเรียงตารางคูณ โดยที่ไม่มีแท่งไม้ใดมีตารางคูณซ้ำกันสองชุด ทำให้สามารถแทนเลข 4 หลักทุกจำนวนได้ด้วยแท่งไม้ 4 ใน 10 แท่ง ชุดแท่งไม้ 20 แท่ง ซึ่งประกอบด้วยแท่งไม้ 10 แท่งที่เหมือนกันสองชุด ช่วยให้สามารถคำนวณเลขได้ถึง 8 หลัก และชุดแท่งไม้ 30 แท่งสามารถใช้สำหรับเลข 12 หลักได้
การคูณ
การคูณแบบง่ายที่สุด คือการคูณจำนวนที่มีหลายหลักกับจำนวนที่มีหลักเดียว โดยวางแท่งที่แทนจำนวนหลายหลักไว้ในกรอบชิดขอบด้านซ้าย คำตอบจะอ่านได้จากแถวที่ตรงกับจำนวนหลักเดียวซึ่งทำเครื่องหมายไว้ทางด้านซ้ายของกรอบ โดยต้องมีการบวกเล็กน้อย ดังที่อธิบายไว้ในตัวอย่างด้านล่าง
เมื่อคูณจำนวนหลายหลักกับจำนวนหลายหลักอีกจำนวนหนึ่ง จะต้องตั้งจำนวนที่มากกว่าไว้บนแท่งในกรอบ จากนั้นเครื่องมือสำหรับการคูณจะสร้างผลลัพธ์ระหว่างกลางโดยหารด้วยแต่ละหลักของจำนวนที่น้อยกว่า แล้วจดผลลัพธ์เหล่านี้ลงบนกระดาษ และคำนวณผลลัพธ์สุดท้ายด้วยปากกาและกระดาษ
เพื่อแสดงวิธีการใช้หลักเลขคณิตของเนเปียร์ในการคูณ จะมีการอธิบายตัวอย่างสามข้อที่มีระดับความยากเพิ่มขึ้นตามลำดับดังต่อไปนี้
การคูณด้วยเลขหลักเดียวขนาดเล็ก
ตัวอย่างแรกคำนวณ425 × 6
กระดูกของเนเปียร์สำหรับเลข 4, 2 และ 5 ถูกวางลงบนกระดานตามลำดับกระดูกเหล่านี้แสดงถึงตัวเลขที่ใหญ่กว่าซึ่งจะถูกคูณ ตัวเลขที่ต่ำกว่าในแต่ละคอลัมน์หรือกระดูก คือตัวเลขที่ได้จากตารางการคูณทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มที่สอดคล้องกัน โดยวางอยู่เหนือและใต้เส้นทแยงมุม (ตัวอย่างเช่น ตัวเลขที่แสดงในแถวที่เจ็ดของกระดูกเลข 4 คือ2/8 ซึ่งแทน 7 × 4 = 28 ) ในตัวอย่างด้านล่างสำหรับ425 × 6กระดูกในที่นี้แสดงเป็นสีแดง (4), สีเหลือง (2) และสีน้ำเงิน (5)
คอลัมน์ซ้ายสุด ก่อนหน้ากระดูกที่แสดงด้วยสี อาจแทนกระดูกชิ้นที่ 1 (ช่องว่างหรือเลขศูนย์ที่มุมซ้ายบนของแต่ละหลัก ซึ่งคั่นด้วยเส้นทแยงมุม ควรเข้าใจว่า1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 x 3 = 03เป็นต้น) จะเลือกตัวเลขขนาดเล็ก โดยปกติจะเป็น 2 ถึง 9 มาคูณกับตัวเลขขนาดใหญ่ ในตัวอย่างนี้คือตัวเลขขนาดเล็กที่ใช้คูณกับตัวเลขขนาดใหญ่ แถวแนวนอนที่ตัวเลขนี้อยู่เป็นแถวเดียวที่จำเป็นสำหรับการคำนวณที่เหลือ และสามารถดูแยกต่างหากได้แล้ว
ในการคำนวณ ตัวเลขที่คั่นด้วยเส้นแนวตั้ง (เช่น ตัวเลขที่จับคู่กันระหว่างเส้นทแยงมุมที่ตัดผ่านจากกระดูกชิ้นหนึ่งไปยังอีกชิ้นหนึ่ง) จะถูกนำมาบวกกันเพื่อสร้างตัวเลขของผลคูณ ตัวเลขสุดท้าย (ขวาสุด) ในแถวนั้นจะไม่ต้องนำมาบวกอีก เนื่องจากมันถูกแยกออกมาโดยเส้นทแยงมุมสุดท้ายเสมอ และจะเป็นตัวเลขหลักสุดท้ายของผลคูณเสมอ ในตัวอย่างนี้มีตัวเลขสี่หลัก เนื่องจากมีค่ากระดูกสี่กลุ่มที่อยู่ระหว่างเส้นทแยงมุม ตัวเลขของผลคูณจะเรียงตามลำดับที่คำนวณจากซ้ายไปขวา นอกเหนือจากตัวเลขหลักแรกและหลักสุดท้ายแล้ว ตัวเลขแต่ละหลักของผลคูณจะเป็นผลรวมของค่าสองค่าที่ได้จากกระดูกสองชิ้นที่แตกต่างกัน
ค่าของกระดูกจะถูกบวกเข้าด้วยกันตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เพื่อหาตัวเลขของผลคูณ ในแผนภาพนี้ ตัวเลขหลักที่สามของผลคูณจากกระดูกสีเหลืองและสีน้ำเงินจะมีค่าที่เกี่ยวข้องเป็นสีเขียว ผลรวมแต่ละค่าจะถูกเขียนไว้ในช่องว่างด้านล่าง ลำดับของผลรวมจากซ้ายไปขวาจะได้ตัวเลข 2550 ดังนั้น คำตอบของการคูณ 425 ด้วย 6 คือ 2550
การคูณด้วยเลขหลักเดียวที่มากกว่า
เมื่อคูณด้วยเลขหลักเดียวที่มีค่ามาก มักจะพบว่าเมื่อบวกเลขในแนวทแยงมุม ผลรวมของตัวเลขมักมีค่าตั้งแต่ 10 ขึ้นไป
ตัวอย่างที่สองคำนวณ6785 × 8
เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 1 กระดูกที่ตรงกับหมายเลขที่มากที่สุดจะถูกวางลงบนกระดาน ในตัวอย่างนี้ กระดูกหมายเลข 6, 7, 8 และ 5 ถูกวางตามลำดับที่ถูกต้องดังแสดงด้านล่าง
ในคอลัมน์แรก จะเป็นตัวเลขที่นำเลขจำนวนที่มากที่สุดมาคูณ ในตัวอย่างนี้คือ 8 เนื่องจากจะใช้เฉพาะแถวที่ 8 ในการคำนวณที่เหลือ ดังนั้นส่วนที่เหลือของกระดานจึงถูกล้างเพื่อให้ง่ายต่อการอธิบายขั้นตอนต่อไป
เช่นเดียวกับที่ผ่านมา การคำนวณแต่ละคอลัมน์แนวทแยงจะเริ่มจากด้านขวา หากผลรวมของคอลัมน์แนวทแยงเท่ากับ 10 หรือมากกว่า จะต้องทดเลขหลักสิบของผลรวมนั้นไปรวมกับตัวเลขในคอลัมน์ด้านซ้ายที่อยู่ติดกัน ดังแสดงในตัวอย่างด้านล่าง
หลังจากประเมินค่าในแต่ละคอลัมน์แนวทแยงแล้ว ตัวเลขที่คำนวณได้จะถูกอ่านจากซ้ายไปขวาเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย ในตัวอย่างนี้ได้ผลลัพธ์เป็น 54280
ดังนั้น คำตอบของการคูณ 6785 ด้วย 8 คือ 54280
การคูณด้วยจำนวนหลายหลัก
ตัวอย่างที่สามคำนวณ825 × 913
กระดูกที่ตรงกับหมายเลขนำหน้าจะถูกวางลงบนกระดาน ในตัวอย่างนี้ กระดูกหมายเลข 8, 2 และ 5 ถูกวางตามลำดับที่ถูกต้องดังแสดงด้านล่าง
ในการคูณด้วยจำนวนหลายหลัก จะต้องพิจารณาหลายแถว ในตัวอย่างนี้ แถวของ 9, 1 และ 3 ถูกลบออกจากกระดานเพื่อให้มองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น
แต่ละแถวจะถูกประเมินแยกกัน และแต่ละคอลัมน์แนวทแยงจะถูกบวกเข้าด้วยกันตามที่อธิบายไว้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ผลรวมจะถูกอ่านจากซ้ายไปขวา เพื่อให้ได้ตัวเลขที่จำเป็นสำหรับการคำนวณบวกแบบละเอียดต่อไป สำหรับตัวอย่างนี้ แถวที่ 9 แถวที่ 1 และแถวที่ 3 ถูกประเมินแยกกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แสดงด้านล่าง
เริ่มจากหลักขวาสุดของจำนวนที่สอง ผลรวมจะถูกวางเรียงตามลำดับจากขวาไปซ้ายใต้กัน โดยใช้เลข 0 เป็นตัวแทนตำแหน่ง
2475 825 0 7425 00
ค่าในแถวและค่าที่แทนที่ไว้จะถูกนำมาบวกกันเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย
2475 8250 + 742500 753225
ในตัวอย่างนี้ คำตอบสุดท้ายที่ได้คือ 753225 ดังนั้น: คำตอบของการคูณ 825 ด้วย 913 คือ 753225
แผนก
การหารก็ทำในลักษณะเดียวกัน ในการหาร 46785399 ด้วย 96431 ให้วางแท่งสำหรับตัวหาร (96431) บนกระดาน ดังแสดงในภาพด้านล่าง โดยใช้ลูกคิดหาผลคูณทั้งหมดของตัวหารตั้งแต่ 1 ถึง 9 โดยการอ่านตัวเลขที่แสดง โปรดสังเกตว่าตัวตั้งหารมีแปดหลัก ในขณะที่ผลคูณย่อย (ยกเว้นตัวแรก) มีหกหลัก ดังนั้น ตัวเลขสองหลักสุดท้ายของ 46785399 คือ '99' จะถูกละเว้นชั่วคราว เหลือเพียง 467853 จากนั้น หาผลคูณย่อยที่มากที่สุดที่น้อยกว่าตัวตั้งหารที่ถูกตัดทอน ในกรณีนี้คือ 385724 ต้องทำเครื่องหมายสองสิ่งดังที่เห็นในแผนภาพ: เนื่องจาก 385724 อยู่ในแถว '4' ของลูกคิด จึงทำเครื่องหมาย '4' เป็นหลักซ้ายสุดของผลหาร ผลคูณย่อยที่จัดชิดซ้ายไว้ใต้ตัวตั้งหารเดิมก็ถูกเขียนไว้ด้วยเช่นกัน นำตัวเลขทั้งสองมาลบกันจะได้ 8212999 ทำซ้ำขั้นตอนเดิม: ตัดทอนตัวเลขให้เหลือหกหลัก เลือกผลคูณย่อยที่น้อยกว่าตัวเลขที่ตัดทอนแล้วทันที เขียนหมายเลขแถวเป็นหลักถัดไปของผลหาร และนำผลคูณย่อยนั้นไปลบออกจากผลต่างที่ได้จากการทำซ้ำครั้งแรก กระบวนการนี้แสดงในแผนภาพ ทำซ้ำวงจรนี้จนกว่าผลลัพธ์ของการลบจะน้อยกว่าตัวหาร ตัวเลขที่เหลือคือเศษเหลือ
ดังนั้นในตัวอย่างนี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือผลหาร 485 และเศษเหลือ 16364 กระบวนการมักจะหยุดลงตรงนี้ และคำตอบจะใช้รูปแบบเศษส่วน485+16364/96431 .
เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น จึงดำเนินการตามขั้นตอนเดิมต่อไปจนกว่าจะได้จำนวนทศนิยมที่ต้องการ โดยใส่จุดทศนิยมหลังตัวเลขหลักสุดท้ายของผลหาร และเติมเลขศูนย์ต่อท้ายเศษที่เหลือจนได้ 163640 จากนั้นจึงดำเนินการตามขั้นตอนเดิมต่อไป โดยแต่ละครั้งจะเติมเลขศูนย์ต่อท้ายผลลัพธ์หลังจากการลบ
การหาค่ารากที่สอง
ในการหาค่ารากที่สอง จะใช้กระดูกชิ้นพิเศษซึ่งแตกต่างจากกระดูกชิ้นอื่นๆ เนื่องจากมีสามคอลัมน์ คอลัมน์แรกมีเลขยกกำลังสองเก้าตัวแรก คอลัมน์ที่สองมีเลขคู่เก้าตัวแรก และคอลัมน์สุดท้ายมีตัวเลข 1 ถึง 9
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | √ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 ⁄ 1 | 0 ⁄ 2 | 0 ⁄ 3 | 0 ⁄ 4 | 0 ⁄ 5 | 0 ⁄ 6 | 0 ⁄ 7 | 0 ⁄ 8 | 0 ⁄ 9 | 0 ⁄ 1 2 1 |
| 2 | 0 ⁄ 2 | 0 ⁄ 4 | 0 ⁄ 6 | 0 ⁄ 8 | 1 ⁄ 0 | 1/2 | 1/4 | 1/6 | 1/8 | 0 ⁄ 4 4 2 |
| 3 | 0 ⁄ 3 | 0 ⁄ 6 | 0 ⁄ 9 | 1/2 | 1/5 | 1/8 | 2 ⁄ 1 | 2 ⁄ 4 | 2 ⁄ 7 | 0 ⁄ 9 6 3 |
| 4 | 0 ⁄ 4 | 0 ⁄ 8 | 1/2 | 1/6 | 2 ⁄ 0 | 2 ⁄ 4 | 2 ⁄ 8 | 3/2 | 3 ⁄ 6 | 1 ⁄ 6 8 4 |
| 5 | 0 ⁄ 5 | 1 ⁄ 0 | 1/5 | 2 ⁄ 0 | 2 ⁄ 5 | 3 ⁄ 0 | 3/5 | 4 ⁄ 0 | 4 ⁄ 5 | 2 ⁄ 5 10 5 |
| 6 | 0 ⁄ 6 | 1/2 | 1/8 | 2 ⁄ 4 | 3 ⁄ 0 | 3 ⁄ 6 | 4 ⁄ 2 | 4 ⁄ 8 | 5 ⁄ 4 | 3 ⁄ 6 12 6 |
| 7 | 0 ⁄ 7 | 1/4 | 2 ⁄ 1 | 2 ⁄ 8 | 3/5 | 4 ⁄ 2 | 4 ⁄ 9 | 5 ⁄ 6 | 6 ⁄ 3 | 4 ⁄ 9 14 7 |
| 8 | 0 ⁄ 8 | 1/6 | 2 ⁄ 4 | 3/2 | 4 ⁄ 0 | 4 ⁄ 8 | 5 ⁄ 6 | 6 ⁄ 4 | 7 ⁄ 2 | 6 ⁄ 4 16 8 |
| 9 | 0 ⁄ 9 | 1/8 | 2 ⁄ 7 | 3 ⁄ 6 | 4 ⁄ 5 | 5 ⁄ 4 | 6 ⁄ 3 | 7 ⁄ 2 | 8 ⁄ 1 | 8 ⁄ 1 18 9 |
ในการหาค่ารากที่สองของ 46785399 นั้น จะต้องแบ่งตัวเลขแต่ละหลักออกเป็นกลุ่มละสองหลัก โดยเริ่มจากด้านขวา ดังตัวอย่างนี้:
- 46 78 53 99
- หมายเหตุ:ตัวเลขที่มีจำนวนหลักเป็นเลขคี่ เช่น 85399 จะถูกจัดกลุ่มเป็น08 53 99
เลือกกลุ่มซ้ายสุดก่อน ในกรณีนี้คือ 46 จากนั้นเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดใน แถว รากที่สองที่น้อยกว่า 46 ซึ่งคือ 36 จากแถวที่หก ตัวเลขหลักแรกของคำตอบคือ 6 เนื่องจากเลือกแถวที่หก
จากนั้น นำเลข 12 ซึ่งเป็นเลขในคอลัมน์ที่สองจากแถวที่หกของกระดูกรากที่สอง มาวางบนกระดาน
ค่าในคอลัมน์แรกของแถวที่หก คือ 36 จะถูกลบออกจาก 46 ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น 10
ตัวเลขกลุ่มถัดไปคือ 78 จะถูกบวกเข้ากับ 10 ทำให้เหลือเศษ 1078
ในขั้นตอนนี้ ตารางคำนวณและผลการคำนวณขั้นกลางควรมีลักษณะดังนี้:
| √ 46 78 53 99 = 6 − 36 10 78 |
ตัวเลขในแต่ละแถวจะถูก "อ่าน" โดยไม่สนใจคอลัมน์ที่สองและสามจากตารางรากที่สอง ตัวเลขเหล่านั้นจะถูกบันทึกไว้ (ตัวอย่างเช่น แถวที่หกจะถูกอ่านว่า: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 )
เช่นเดียวกับการคูณที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ ตัวเลขจะถูกอ่านจากขวาไปซ้าย และบวกตัวเลขในแนวทแยงจากบนขวาไปล่างซ้าย ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 )
พบจำนวนที่มากที่สุดที่น้อยกว่าเศษเหลือปัจจุบัน 1078 (จากแถวที่แปด)
| √ 46 78 53 99 = 6 8 − 36 10 78 − 10 24 54 |
เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ นำเลข 8 มาต่อท้ายเพื่อหาตัวเลขหลักถัดไปของรากที่สอง และนำค่าของแถวที่แปด คือ 1024 มาลบออกจากเศษเหลือปัจจุบัน คือ 1078 เพื่อให้ได้ 54 จากนั้นอ่านค่าคอลัมน์ที่สองของแถวที่แปดบนกระดานรากที่สอง คือ 16 และกำหนดตัวเลขนั้นลงบนกระดานดังนี้
ตัวเลขปัจจุบันบนกระดานคือ 12 นำเลขหลักแรกของ 16 มาบวกกับ 12 แล้วนำเลขหลักที่สองของ 16 มาต่อท้ายผลลัพธ์ ดังนั้นควรตั้งค่ากระดานเป็น:
- 12 + 1 = 13 → บวก 6 → 136
- หมายเหตุ:หากหลักที่สองของตารางรากที่สองมีเพียงตัวเลขเดียว ให้นำตัวเลขนั้นไปต่อท้ายตัวเลขปัจจุบันบนตาราง
ตารางคำนวณและขั้นตอนการคำนวณขั้นกลางจะมีลักษณะดังนี้
| √ 46 78 53 99 = 68 − 36 10 78 − 10 24 54 53 |
อีกครั้งหนึ่ง ระบบได้ค้นหาแถวที่มีค่ามากที่สุดที่น้อยกว่าเศษเหลือในปัจจุบัน ซึ่งก็คือ 5453 คราวนี้เป็นแถวที่สาม โดยมีค่าเท่ากับ 4089
| √ 46 78 53 99 = 68 3 − 36 10 78 − 10 24 54 53 − 40 89 13 64 |
หลักถัดไปของรากที่สองคือ 3 ทำซ้ำขั้นตอนเดิม โดยนำ 4089 ลบออกจากเศษเหลือปัจจุบัน 5453 จะได้ 1364 เป็นเศษเหลือถัดไป เมื่อจัดเรียงกระดานใหม่ หลักที่สองของกระดานรากที่สองคือ 6 ซึ่งเป็นเลขหลักเดียว ดังนั้นจึงนำ 6 มาต่อท้ายเลขปัจจุบันบนกระดาน 136 เพื่อให้ได้ 1366 บนกระดาน
- 136 → ต่อท้าย 6 → 1366
| √ 46 78 53 99 = 683 − 36 10 78 − 10 24 54 53 − 40 89 13 64 99 |
กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำอีกครั้ง คราวนี้ ค่าที่มากที่สุดบนกระดานที่น้อยกว่าเศษเหลือปัจจุบัน 136499 คือ 123021 จากแถวที่เก้า
โดยปกติแล้วไม่จำเป็นต้องหาค่าของทุกแถวเพื่อให้ได้คำตอบ แถวที่มีคำตอบอาจเดาได้โดยการดูตัวเลขบนกระดูกไม่กี่ชิ้นแรกและเปรียบเทียบกับตัวเลขไม่กี่หลักแรกของเศษเหลือ แต่แผนภาพแสดงค่าของทุกแถวเพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น
นำเลข 9 มาต่อท้ายผลลัพธ์ และนำ 123021 มาลบออกจากเศษคงเหลือปัจจุบัน
| √ 46 78 53 99 = 683 9 − 36 10 78 − 10 24 54 53 − 40 89 13 64 99 − 12 30 21 1 34 78 |
ถ้าใช้ตัวเลขครบทุกหลักแล้ว และยังมีเศษเหลืออยู่ แสดงว่าส่วนที่เป็นจำนวนเต็มนั้นแก้ได้แล้ว แต่ยังต้องหาค่าส่วนที่เป็นทศนิยมอยู่
ถ้าแก้ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มได้แล้ว ผลลัพธ์ปัจจุบันที่ยกกำลังสอง ( 6839 2 = 46771921 ) จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 46785899
แนวคิดนี้จะถูกนำไปใช้ในภายหลังเพื่อทำความเข้าใจวิธีการทำงานของเทคนิค แต่สามารถสร้างตัวเลขได้มากกว่านี้
เช่นเดียวกับการหาเศษส่วนในการหารยาวเราจะเติมเลขศูนย์สองตัวต่อท้ายเศษที่เหลือเพื่อให้ได้เศษใหม่คือ 1347800 คอลัมน์ที่สองของแถวที่เก้าของกระดานรากที่สองคือ 18 และตัวเลขปัจจุบันบนกระดานคือ 1366
- 1366 + 1 → 1367 → ต่อท้ายด้วย 8 → 13678
คำนวณแล้วจะได้ค่า 13678 บนกระดาน
ตารางและผลการคำนวณขั้นกลางตอนนี้มีลักษณะดังนี้
| √ 46 78 53 99.00 = 6839 − 36 10 78 − 10 24 54 53 − 40 89 13 64 99 − 12 30 21 1 34 78 00 |
แถวที่เก้าที่มีค่า 1231101 เป็นค่าที่มากที่สุดที่น้อยกว่าเศษเหลือ ดังนั้นตัวเลขหลักแรกของส่วนทศนิยมของรากที่สองคือ 9
| √ 46 78 53 99.00 = 6839. 9 − 36 10 78 − 10 24 54 53 − 40 89 13 64 99 − 12 30 21 1 34 78 00 − 1 23 11 01 11 66 99 |
ค่าของแถวที่เก้าจะถูกลบออกจากเศษที่เหลือ และเติมเลขศูนย์เพิ่มอีกสองสามตัวเพื่อให้ได้เศษใหม่คือ 11669900 คอลัมน์ที่สองของแถวที่เก้าคือ 18 โดยมี 13678 อยู่บนกระดาน ดังนั้น
- 13678 + 1 → 13679 → ต่อท้ายด้วย 8 → 136798
คำนวณเพื่อตั้งค่า 136798 บนกระดาน
| √ 46 78 53 99.00 00 = 6839.9 − 36 10 78 − 10 24 54 53 − 40 89 13 64 99 − 12 30 21 1 34 78 00 − 1 23 11 01 11 66 99 00 |
สามารถดำเนินการตามขั้นตอนต่อไปได้เรื่อยๆ จนกว่าจะได้จำนวนหลักที่ต้องการและความแม่นยำตามที่ต้องการ หากเศษเหลือเป็นศูนย์ แสดงว่าได้ค่ารากที่สองที่ถูกต้องแล้ว
ปัดเศษขึ้น
เมื่อได้จำนวนหลักที่ต้องการแล้ว ก็สามารถพิจารณาได้ง่ายว่าจำเป็นต้องปัดเศษขึ้นหรือไม่ กล่าวคือ การเปลี่ยนหลักสุดท้าย ไม่จำเป็นต้องหาหลักอื่นมาตรวจสอบว่าเท่ากับหรือมากกว่า 5 หรือไม่ นำ 25 มาต่อท้ายราก แล้วเปรียบเทียบกับเศษเหลือ ถ้า 25 น้อยกว่าหรือเท่ากับเศษเหลือ แสดงว่าหลักถัดไปต้องมีอย่างน้อยห้า และจำเป็นต้องปัดเศษขึ้น ในตัวอย่างข้างต้น 6839925 น้อยกว่า 11669900 ดังนั้นรากจึงต้องปัดเศษขึ้นเป็น 6840.0
ในการหาค่ารากที่สองของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น 54782.917 ขั้นตอนทุกอย่างจะเหมือนกัน ยกเว้นว่าตัวเลขทางซ้ายและขวาของจุดทศนิยมจะถูกจัดกลุ่มเป็นคู่ๆ
ดังนั้น 54782.917 จะถูกจัดกลุ่มเป็น
- 05 47 82.91 70
จากนั้นจึงสามารถหาค่ารากที่สองได้โดยใช้วิธีการที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้
การปรับเปลี่ยนแนวทแยง
ในช่วงศตวรรษที่ 19 หลักหน่วยของเนเปียร์ถูกดัดแปลงเพื่อให้ง่ายต่อการอ่าน แท่งตัวเลขถูกทำมุมประมาณ 65° เพื่อให้สามเหลี่ยมที่ต้องบวกกันนั้นเรียงตัวกัน ในกรณีนี้ ในแต่ละช่องของแท่งตัวเลข หน่วยจะอยู่ทางขวา และสิบ (หรือศูนย์) จะอยู่ทางซ้าย
แท่งเหล่านั้นถูกสร้างขึ้นเพื่อให้เส้นแนวตั้งและแนวนอนมองเห็นได้ชัดเจนกว่าเส้นที่แท่งสัมผัสกัน ทำให้ส่วนประกอบทั้งสองของแต่ละหลักของผลลัพธ์อ่านได้ง่ายขึ้น ดังนั้น ในภาพจึงเห็นได้อย่างชัดเจนทันทีว่า:
- 987654321 × 5 = 4938271605
ผู้ปกครองเจเนล-ลูคัส
ในปี พ.ศ. 2334 อองรี เฌนาเยได้คิดค้นรูปแบบหนึ่งของกระดูกของเนเปียร์ ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อไม้บรรทัดเฌนาเย-ลูคัสโดยการแสดงการทดเลขด้วยกราฟ ทำให้สามารถอ่านผลลัพธ์ของปัญหาการคูณแบบง่ายได้โดยตรง โดยไม่ต้องคำนวณในใจระหว่างทาง[ 2 ]
ตัวอย่างต่อไปนี้คำนวณ52749 × 4 = 210996
ดูเพิ่มเติม
ลิงก์ภายนอก
สื่อที่เกี่ยวข้องกับกระดูกของเนเปียร์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์- การสาธิตการใช้งาน Napier bones ในระบบตัวเลขต่างๆ โดย Wolframที่cut-the-knot
- กระดูกเนเปียร์และกระดูกอื่นๆ รวมถึงเครื่องคิดเลขจำนวนมาก
