ในทางเรขาคณิตปัญหาวงแหวนผ้าเช็ดปากเกี่ยวข้องกับการหาปริมาตรของสิ่งที่เหลืออยู่หลังจากเจาะรูวงกลมผ่านทรงกลม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูนั้นมีรูปทรงกระบอกกลม (ที่มีส่วนปลายทรงกลม สองด้าน ) ซึ่งแกนของมันผ่านศูนย์กลางของทรงกลม การเอา "รู" ออกจะเหลือ "แถบ" วงกลมไว้ ข้อเท็จจริงที่ดูขัดกับสามัญสำนึกก็คือ ปริมาตรนี้ไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีของทรงกลมเดิม แต่ขึ้นอยู่กับความสูงของแถบที่เหลืออยู่เท่านั้น

ปัญหาดังกล่าวถูกเรียกว่าเช่นนั้นเพราะส่วนที่เหลืออยู่มีรูปร่างคล้ายแหวนรัดผ้าเช็ดปาก

สมมติว่าแกนของทรงกระบอกกลมตรงผ่านศูนย์กลางของทรงกลมที่มีรัศมีและแทนความสูง (กำหนดให้เป็นระยะทางในทิศทางขนานกับแกน) ของส่วนของทรงกระบอกที่อยู่ภายในทรงกลม ส่วน "แถบ" คือส่วนของทรงกลมที่อยู่ภายนอกทรงกระบอก ปริมาตรของแถบขึ้นอยู่กับแต่ไม่ขึ้นอยู่กับ: ${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$$

เมื่อรัศมีของทรงกลมลดลง เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกระบอกก็ต้องลดลงด้วยเพื่อให้ยังคงเท่าเดิม แถบจะหนาขึ้น ซึ่งจะทำให้ปริมาตรเพิ่มขึ้น แต่เส้นรอบวงก็จะสั้นลง ซึ่งจะทำให้ปริมาตรลดลง ผลกระทบทั้งสองหักล้างกันอย่างพอดี ในกรณีสุดขั้วของทรงกลมที่เล็กที่สุด ทรงกระบอกจะหายไป (รัศมีเป็นศูนย์) และความสูงจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม ในกรณีนี้ ปริมาตรของแถบจะเท่ากับปริมาตรของทรงกลมทั้งหมดซึ่งตรงกับสูตรที่ให้ไว้ข้างต้น ${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

การศึกษาเบื้องต้นเกี่ยวกับปัญหานี้เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น ในศตวรรษที่ 17 ชื่อ Seki Kōwaตามที่Smith & Mikami (1914) กล่าวไว้ Seki เรียกทรงตันนี้ว่า arc-ring หรือในภาษาญี่ปุ่น ว่าkokanหรือkokwan ^{[ 1 ]}

สมมติว่ารัศมีของทรงกลมคือและความยาวของทรงกระบอก (หรืออุโมงค์) คือ ${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส รัศมีของทรงกระบอกคือ

$${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}$$ และรัศมีของหน้าตัดแนวนอนของทรงกลมที่ความสูงเหนือ "เส้นศูนย์สูตร" คือ ${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$$

หน้าตัดของแถบที่มีระนาบอยู่ที่ความสูงคือบริเวณภายในวงกลมขนาดใหญ่ที่มีรัศมีตามที่กำหนดโดย (2) และภายนอกวงกลมขนาดเล็กที่มีรัศมีตามที่กำหนดโดย (1) ดังนั้นพื้นที่หน้าตัดจึงเท่ากับพื้นที่ของวงกลมขนาดใหญ่ลบด้วยพื้นที่ของวงกลมขนาดเล็ก: ${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{รัศมีที่ใหญ่กว่า}})^{2}-\pi ({\text{รัศมีที่เล็กกว่า}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$$

รัศมีRไม่ปรากฏในปริมาณสุดท้าย ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดแนวนอนที่ความสูงจึงไม่ขึ้นอยู่กับตราบใดที่ปริมาตรของแถบคือ ${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle y\leq {\tfrac {h}{2}}\leq R}$

${\displaystyle \int _{-h/2}^{h/2}({\text{area of cross-section at height }}y)\,dy,}$

และสิ่งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับ... ${\displaystyle R}$

นี่คือการประยุกต์ใช้หลักการของ Cavalieri : ปริมาตรที่มีพื้นที่หน้าตัดขนาดเท่ากันจะมีค่าเท่ากัน กล่าวคือ พื้นที่หน้าตัดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าจะมีค่าเท่ากับพื้นที่หน้าตัดของทรงกลมรัศมี r ซึ่งมีปริมาตร r ${\displaystyle h/2}$$${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$$

เรายังสามารถหาปริมาตรของแหวนผ้าเช็ดปากได้โดยใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้^{[ 2 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริมาตรต้องเท่ากับปริมาตรของทรงกลมเดิมลบด้วยปริมาตรของทรงกระบอกลบด้วยปริมาตรของฝาครอบทรงกลม สองอัน${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle 4\pi R^{3}/3}$

$${\displaystyle V_{n}(R,h,r_{c},h_{s})=\left\{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}\right\}-\left\{\pi (r_{c})^{2}\,h\right\}-2\left\{{\frac {\pi }{3}}(h_{s})^{2}(3R-h_{s})\right\}}$$

ในข้างต้น ปริมาตรของทรงกระบอกใช้รัศมีซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปของและดังแสดงใน (1) ${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$

$${\displaystyle r_{c}={\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}}}$$

ปริมาตรของส่วนโค้งทรงกลมที่ใช้ในการคำนวณนั้น จะใช้ความสูงของส่วนโค้งนั้นเป็นหลัก ซึ่งหาได้จากการทราบว่าความสูงของทรงกลมเท่ากับความสูงของทรงกระบอกบวกกับความสูงของส่วนโค้งทรงกลมสองเท่า ${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle h_{s}}$${\displaystyle 2R}$${\displaystyle h}$

$${\displaystyle 2R=h+2h_{s}\qquad \implies \qquad h_{s}=R-{\frac {h}{2}}}$$

เมื่อแทนค่าลงในนิพจน์ข้างต้น จะพบว่าพจน์ทั้งหมดที่มี จะหักล้างกัน และจะได้ ${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle h_{s}}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle R}$

$${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi }{6}}h^{3}}$$

• แคลคูลัสเชิงภาพเป็นวิธีการแก้ปัญหาประเภทนี้อย่างเป็นธรรมชาติ ซึ่งเดิมทีนำมาใช้ในการหาพื้นที่ของวงแหวนโดยทราบเพียงความยาว ของ คอร์ด เท่านั้น
• เส้นเชือกที่ล้อมรอบโลกเป็นอีกปัญหาหนึ่งที่รัศมีของทรงกลมหรือวงกลมนั้นดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องอย่างน่าประหลาดใจ

• Devlin, Keith (2008), ปัญหาแหวนผ้าเช็ดปาก , สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 30 เมษายน 2551 , สืบค้นเมื่อ 25 กุมภาพันธ์ 2552
• Devlin, Keith (2008), Lockhart's Lament , สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 10 พฤษภาคม 2008 , สืบค้นเมื่อ 25 กุมภาพันธ์ 2009
• การ์ดเนอร์, มาร์ติน (1994), "รูในทรงกลม", ปริศนาคณิตศาสตร์และตรรกะที่ดีที่สุดของฉัน , สำนักพิมพ์โดเวอร์ , หน้า 8
• Jones, Samuel I. (1912), Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners , Norwood, MA: JB Cushing Co.โจทย์ข้อที่ 132 ถามหาปริมาตรของทรงกลมที่มีรูทรงกระบอกเจาะทะลุ แต่ไม่ได้ระบุว่าโจทย์ข้อนี้ยังคงเดิมเมื่อรัศมีเปลี่ยนแปลง
• Levi, Mark (2009), "6.3 แหวนแต่งงานมีทองคำอยู่เท่าไหร่?", กลศาสตร์คณิตศาสตร์: การใช้เหตุผลเชิงฟิสิกส์เพื่อแก้ปัญหา , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, หน้า  102–104 , ISBN 978-0-691-14020-9เลวีแย้งว่าปริมาตรขึ้นอยู่กับความสูงของรูเท่านั้น โดยอ้างอิงจากข้อเท็จจริงที่ว่าวงแหวนสามารถถูกกวาดออกไปได้ด้วยครึ่งวงกลมที่มีความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง
• Lines, L. (1965), เรขาคณิตทรงสามมิติ: พร้อมบทต่างๆ เกี่ยวกับโครงสร้างตาข่ายในอวกาศ กลุ่มทรงกลม และผลึก , Doverพิมพ์ซ้ำจากฉบับปี 1935 โจทย์ในหน้า 101 อธิบายรูปทรงที่เกิดจากทรงกลมที่มีทรงกระบอกถูกตัดออกไปเป็น "ห่วงผ้าเช็ดปาก" และถามให้พิสูจน์ว่าปริมาตรของห่วงนั้นเท่ากับปริมาตรของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับความยาวของรู
• โปลยา, จอร์จ ( 1990), คณิตศาสตร์และการให้เหตุผลที่น่าเชื่อถือเล่มที่ 1: การอุปมานและการเปรียบเทียบในคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน หน้า  191–192พิมพ์ซ้ำจากฉบับปี 1954

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อ ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาห่วงรัดผ้าเช็ดปาก

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "วงแหวนทรงกลม" , MathWorld