ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันบวกแน่นอนนั้น ขึ้นอยู่กับบริบท อาจเป็นฟังก์ชัน ได้ สองประเภท

ให้เป็น เซตของจำนวนจริงและเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชัน กึ่งบวกแน่นอน (positive semi-definite)ถ้าสำหรับจำนวนจริงx₁ , …, xₙ ทุกตัว เมทริกซ์n × n _{จะ เป็น ไป ตามเงื่อนไขดังกล่าว}${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

เป็นเมทริกซ์กึ่งบวก แน่นอน

ตามนิยาม เมทริกซ์กึ่งบวก เช่นเป็น เมทริกซ์ เฮอร์มิ เชียน ดังนั้นf (− x ) จึงเป็นสังยุคเชิงซ้อนของf ( x )) ${\displaystyle A}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) ที่จะต้อง

${\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}$

(ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นผลมาจากเงื่อนไขสำหรับn = 1, 2)

ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันกึ่งลบกำหนด (negative semi-definite)ถ้าอสมการถูกกลับด้าน ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันกำหนด (definite)ถ้าอสมการแบบอ่อนถูกแทนที่ด้วยอสมการแบบแข็ง (<, > 0)

ถ้าเป็นปริภูมิผลคูณภายใน จริง แล้วจะเป็นค่าบวกแน่นอนสำหรับทุก: สำหรับทุกและทุก ที่เรามี ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นที่ไม่เป็นลบของฟังก์ชันบวกแน่นอนก็จะเป็นบวกแน่นอนเช่นกัน ดังนั้นฟังก์ชันโคไซน์จึงเป็นบวกแน่นอนในฐานะที่เป็นผลรวมเชิงเส้นที่ไม่เป็นลบของฟังก์ชันข้างต้น:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

เราสามารถสร้างฟังก์ชันบวกแน่นอนได้ง่ายๆ จากฟังก์ชันบวกแน่นอนสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ใดๆ โดยเลือกฟังก์ชันเชิงเส้นและกำหนดจากนั้น ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

โดยที่ซึ่งแตกต่างกันเนื่องจากเป็นเชิงเส้น^{[ 1 ]}${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$${\displaystyle \phi }$

ความเป็นบวกแน่นอนเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในทฤษฎีการแปลงฟูริเยร์สามารถเห็นได้โดยตรงว่า การที่ f เป็นบวกแน่นอนนั้นเพียงพอแล้วที่fจะเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันgบนเส้นจำนวนจริง โดยที่g ( y ) ≥ 0

ผลลัพธ์ตรงกันข้ามคือทฤษฎีบทของ Bochnerซึ่งระบุว่าฟังก์ชันบวกแน่นอนต่อเนื่อง ใดๆ บนเส้นจำนวนจริงคือการแปลงฟูริเยร์ของ การวัด (บวก) ^{[ 2 ]}

ในทางสถิติโดยเฉพาะสถิติแบบเบย์เซียนทฤษฎีบทนี้มักนำไปใช้กับฟังก์ชันจริง โดยทั่วไป จะมี การวัดค่าสเกลาร์n ค่า ณ จุดต่างๆ ใน ​​และจุดที่อยู่ใกล้กันจะต้องมีการวัดค่าที่มีความสัมพันธ์กันสูง ในทางปฏิบัติ ต้องระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่ได้ ( เมทริกซ์ n × n ) เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเสมอ กลยุทธ์หนึ่งคือการกำหนดเมทริกซ์ความสัมพันธ์Aจากนั้นคูณด้วยค่าสเกลาร์เพื่อให้ได้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม : เมทริกซ์นี้จะต้องเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ทฤษฎีบทของบอคเนอร์กล่าวว่า ถ้าความสัมพันธ์ระหว่างสองจุดขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้นเท่านั้น (ผ่านฟังก์ชันf ) ฟังก์ชันfจะต้องเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนเพื่อให้แน่ใจว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมAเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนดู Kriging${\displaystyle R^{d}}$

ในบริบทนี้ โดยปกติจะไม่ใช้ศัพท์เฉพาะของฟูริเยร์ แต่จะระบุว่าf ( x ) คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น แบบสมมาตร(PDF)แทน

เราสามารถกำหนดฟังก์ชันบวกแน่นอนบนกลุ่มโทโพโลยีอาเบเลียนที่กระชับเฉพาะที่ ใดๆ ก็ได้ ทฤษฎีบทของบอคเนอร์ขยายไปสู่บริบทนี้ ฟังก์ชันบวกแน่นอนบนกลุ่มเกิดขึ้นตามธรรมชาติในทฤษฎีการแทนกลุ่มบนปริภูมิฮิลเบิร์ต (เช่น ทฤษฎีการแทนแบบเอกภาพ )

อีกทางหนึ่ง ฟังก์ชันเรียกว่าเป็นบวกแน่นอนบนย่านใกล้เคียงDของจุดกำเนิด ถ้าและสำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(x)>0}$${\displaystyle x\in D}$

โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ 1 ที่กล่าวไว้ข้างต้น

ในฟิสิกส์ ข้อกำหนดที่บางครั้งถูกละทิ้ง (ดูเช่น Corney และ Olsen ^{[ 5 ]} ) ${\displaystyle f(0)=0}$

• ความแน่นอนเชิงบวก
• เคอร์เนลบวกแน่นอน

• "ฟังก์ชันบวกแน่นอน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]