ถ้าวงกลมเล็กมีรัศมี${\displaystyle a}$วงกลมคงที่นั้นมีจุดกึ่งกลาง${\displaystyle (0,0)}$และรัศมี${\displaystyle 2a}$มุมการกลิ้งของวงกลมเล็กคือ${\displaystyle 2\varphi }$และชี้${\displaystyle (2a,0)}$จุดเริ่มต้น (ดูแผนภาพ) จากนั้นจะได้การแสดงผลแบบพาราเมตริก :

${\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

แผนที่ที่ซับซ้อน${\displaystyle z\to z^{3}+3z}$แผนที่วงกลมหน่วยไปยังเนฟรอยด์^{[ 3 ]}

การใส่${\displaystyle x(\varphi )}$และ${\displaystyle y(\varphi )}$ลงในสมการ

• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

แสดงให้เห็นว่าสมการนี้เป็นการแสดงเส้นโค้งโดย ปริยาย

อนุญาต${\displaystyle c_{0}}$เป็นวงกลม${\displaystyle (2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$โดยมีจุดกึ่งกลาง${\displaystyle (0,0)}$และรัศมี${\displaystyle 2a}$เส้นผ่านศูนย์กลางอาจอยู่บนแกน x (ดูแผนภาพ) กลุ่มวงกลมมีสมการดังนี้:

${\displaystyle f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{2}=0\ .}$

เงื่อนไขของซองจดหมายคือ

${\displaystyle f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .}$

สามารถตรวจสอบจุดของเนฟรอยด์ได้อย่างง่ายดาย${\displaystyle p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}$เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ${\displaystyle f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0}$และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจุดของซองจดหมายของดินสอวงกลม

การพิจารณาต่อไปนี้ใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับ ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta ),\ \cos 2\alpha }$เพื่อความง่ายในการคำนวณ จึงแสดงการพิสูจน์สำหรับเนฟรอยด์ที่มีจุดยอดแหลมบนแกน y สมการของเส้นสัมผัส : สำหรับเนฟรอยด์ที่มีการแสดงแบบพาราเมตริก

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi }$:

จากนั้นจึงกำหนดเวกเตอร์ปกติ${\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}$ในตอนแรก สมการของเส้นสัมผัส${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$เป็น:

${\displaystyle (\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .}$

สำหรับ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}$จะได้ส่วนปลายแหลมของเนฟรอยด์ ซึ่งไม่มีเส้นสัมผัส สำหรับ ${\displaystyle \varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}$สามารถหารได้ด้วย${\displaystyle \cos \varphi }$เพื่อให้ได้มา

• ${\displaystyle \cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .}$

สมการของคอร์ด : ลากไปยังวงกลมที่มีจุดกึ่งกลาง${\displaystyle (0,0)}$และรัศมี${\displaystyle 4}$: สมการของคอร์ดที่ผ่านจุดสองจุด${\displaystyle (4\cos \theta ,4\sin \theta ),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))}$เป็น:

${\displaystyle (\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .}$

สำหรับ${\displaystyle \theta =0,\pi }$คอร์ดนั้นเสื่อมลงจนถึงจุดหนึ่ง สำหรับ${\displaystyle \theta \neq 0,\pi }$สามารถหารได้ด้วย${\displaystyle \sin \theta }$และได้สมการของคอร์ด:

• ${\displaystyle \cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .}$

มุมทั้งสอง${\displaystyle \varphi ,\theta }$มีการกำหนดความหมายที่แตกต่างกัน (${\displaystyle \varphi }$คือครึ่งหนึ่งของมุมการกลิ้ง${\displaystyle \theta }$คือพารามิเตอร์ของวงกลม ซึ่งกำหนดคอร์ดไว้แล้ว) สำหรับ${\displaystyle \varphi =\theta }$จะได้เส้นเดียวกัน ดังนั้นเส้นคอร์ดใดๆ จากวงกลมด้านบนจะเป็นเส้นสัมผัสกับเนฟรอยด์และ

• เนฟรอยด์คือส่วนห่อหุ้มของเส้นคอร์ดของวงกลม

วงกลมอาจมีจุดกำเนิดเป็นจุดกึ่งกลาง (ดังในส่วนก่อนหน้า) และรัศมีของวงกลมคือ${\displaystyle 4}$วงกลมมีการแสดงผลแบบพาราเมตริก

${\displaystyle k(\varphi )=4(\cos \varphi ,\sin \varphi )\ .}$

เส้นสัมผัสที่จุดวงกลม${\displaystyle K:\ k(\varphi )}$มีเวกเตอร์ปกติ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}$รังสีสะท้อนมีเวกเตอร์ตั้งฉาก (ดูแผนภาพ)${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}}$และมีจุดวงกลมอยู่ภายใน${\displaystyle K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ดังนั้น รังสีสะท้อนจึงเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีสมการ

${\displaystyle \cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}$

ซึ่งสัมผัสกับเนฟรอยด์ของส่วนก่อนหน้า ณ จุด

${\displaystyle P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )}$(ดูด้านบน)

เนฟรอยด์ดังที่แสดงในภาพมีรูปแบบการแสดงผลแบบพาราเมตริก

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,}$

เวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ไปยังจุดศูนย์กลางความโค้ง

${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}}$(ดูหัวข้อด้านบน)

และรัศมีของความโค้ง${\displaystyle 3\cos \varphi }$(ดูหัวข้อเกี่ยวกับคุณสมบัติทางเมตริก) ดังนั้นเส้นโค้งอีโวลูตจึงมีรูปแบบการแสดงดังนี้:

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}$

${\displaystyle y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}$

ซึ่งเป็นเนฟรอยด์ที่มีขนาดครึ่งหนึ่งและหมุนไป 90 องศา (ดูแผนภาพและหัวข้อ§  สมการด้านบน)