ในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์เส้นประสาทN ( C ) ของหมวดหมู่ขนาดเล็กCคือเซตเชิงซิมพลิเชียลที่สร้างขึ้นจากวัตถุและมอร์ฟิซึมของCการรับรู้ทางเรขาคณิตของเซตเชิงซิมพลิเชียลนี้คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าปริภูมิจำแนกประเภทของหมวดหมู่Cวัตถุที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดเหล่านี้สามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับหมวดหมู่ที่คุ้นเคยและมีประโยชน์บางอย่างโดยใช้ ทอพอ โลยีเชิงพีชคณิตซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นทฤษฎีโฮโมโทปี

เส้นประสาทของหมวดหมู่มักถูกใช้เพื่อสร้างเวอร์ชันเชิงทอพอโลยีของปริภูมิโมดูลัสถ้าXเป็นวัตถุของCปริภูมิโมดูลัสของมันควรจะเข้ารหัสวัตถุทั้งหมดที่สมมาตรกับXและติดตามความสมมาตรต่างๆ ระหว่างวัตถุทั้งหมดในหมวดหมู่นั้น ซึ่งอาจซับซ้อนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าวัตถุเหล่านั้นมีออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่เอกลักษณ์จำนวนมาก เส้นประสาทเป็นวิธีการเชิงการจัดเรียงในการจัดระเบียบข้อมูลนี้ เนื่องจากเซตเชิงซิมพลิเชียลมีทฤษฎีโฮโมโทปีที่ดี เราจึงสามารถตั้งคำถามเกี่ยวกับความหมายของกลุ่มโฮโมโทปีต่างๆπ ( N ( C )) ได้ หวังว่าคำตอบของคำถามเหล่านี้จะให้ข้อมูลที่น่าสนใจเกี่ยวกับหมวดหมู่ดั้งเดิมCหรือเกี่ยวกับหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้อง

แนวคิดเรื่องเส้นประสาทเป็นการสรุปโดยตรงจากแนวคิดคลาสสิกของการจำแนกพื้นที่ของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องโปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

ให้Cเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก มีซิมเพล็กซ์ 0 ของN ( C ) สำหรับแต่ละวัตถุของCมีซิมเพล็กซ์ 1 สำหรับแต่ละมอร์ฟิซึมf  : x → yในCสมมติว่าf : x → yและg : y → zเป็นมอร์ฟิซึมในCแล้วเราก็มีการประกอบกันของมอร์ฟิซึมทั้งสองนี้คือgf : x → z            

แผนภาพนี้แสดงให้เห็นถึงแนวทางการดำเนินการของเรา: เพิ่ม 2-ซิมเพล็กซ์ให้กับสามเหลี่ยมสลับที่นี้ 2-ซิมเพล็กซ์ทุกตัวของN ( C ) มาจากคู่ของมอร์ฟิซึมที่ประกอบกันได้ในลักษณะนี้ การเพิ่ม 2-ซิมเพล็กซ์เหล่านี้ไม่ได้ลบหรือละเลยมอร์ฟิซึมที่ได้มาจากการประกอบกันแต่อย่างใด เพียงแต่จดจำว่ามอร์ฟิซึมเหล่านั้นเกิดขึ้นมาด้วยวิธีนี้

โดยทั่วไปN ( C ) ประกอบด้วยk -tuple ของมอร์ฟิซึมที่สามารถประกอบกันได้

${\displaystyle A_{0}\to A_{1}\to A_{2}\to \cdots \to A_{k-1}\to A_{k}}$

ของCเพื่อทำให้คำจำกัดความของN ( C ) ในฐานะเซตเชิงซิมพลิเชียลสมบูรณ์ เราต้องระบุแผนที่หน้าและแผนที่ความเสื่อมด้วย ซึ่งสิ่งเหล่านี้ก็มีให้เราโดยโครงสร้างของCในฐานะหมวดหมู่ แผนที่หน้า

${\displaystyle d_{i}\colon N(C)_{k}\to N(C)_{k-1}}$

ได้รับจากการประกอบมอร์ฟิซึมที่ วัตถุที่ i (หรือการลบ วัตถุที่ iออกจากลำดับ เมื่อiเป็น 0 หรือk ) ^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าd ส่งทูเปิลk

${\displaystyle A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}}$

ไปยังทูเพิล ( k  −  1)

${\displaystyle A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}.}$

กล่าวคือ แผนที่d จะประกอบมอร์ฟิซึมA → A และA → A เข้าด้วยกันเป็นมอร์ฟิซึมA → A ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ( k − 1)-tuple สำหรับทุกk -tuple  

ในทำนองเดียวกัน แผนที่ความเสื่อม

${\displaystyle s_{i}:N(C)_{k}\to N(C)_{k+1}}$

กำหนดโดยการแทรกมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ที่วัตถุA

เซตเชิงซิมพลิเชียลอาจถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันΔ ^op → Setโดยที่Δคือหมวดหมู่ของเซตจำกัดที่มีลำดับสมบูรณ์และมอร์ฟิซึมที่รักษาลำดับ เซตที่มีลำดับบางส่วนP ทุกเซต จะให้หมวดหมู่ (ขนาดเล็ก) i ( P ) ที่มีวัตถุเป็นสมาชิกของPและมีมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันจากpไปยังqเมื่อใดก็ตามที่p ≤ qในPดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันiจากหมวดหมู่Δไปยังหมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็กตอนนี้เราสามารถอธิบายแกนกลางของหมวดหมู่Cเป็นฟังก์ชันΔ ^op → Set ได้แล้ว    

${\displaystyle N(C)(\_)=\mathrm {Fun} (i(\_),C).\,}$

คำอธิบายเกี่ยวกับเส้นประสาทนี้ทำให้ความเป็นฟังก์ชันชัดเจนขึ้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ขนาดเล็กCและDเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลN ( C ) → N ( D ) ยิ่งไปกว่านั้น การแปลงตามธรรมชาติระหว่างฟังก์ชันดังกล่าวสองตัวเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมโทปีระหว่างแผนที่ที่เหนี่ยวนำ การสังเกตนี้สามารถถือได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของหลักการหนึ่งของทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูงเป็นผล ให้ ฟังก์ชันผกผันเหนี่ยวนำให้เกิดความสมมูลของโฮโมโทปีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าCมี วัตถุ เริ่มต้นหรือวัตถุสุดท้ายเส้นประสาทของมันก็หดตัวได้

ตัวอย่างดั้งเดิมคือปริภูมิจำแนกประเภทของกลุ่มดิสครีตGเราถือว่าGเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุหนึ่งชิ้นซึ่งเอนโดมอร์ฟิซึมคือสมาชิกของGจากนั้นk-ซิมเพล็กซ์ของN ( G ) ก็คือk-ทูเปิลของสมาชิกของGแผนที่หน้าทำงานโดยการคูณ และแผนที่ความเสื่อมทำงานโดยการแทรกสมาชิกเอกลักษณ์ถ้าGเป็นกลุ่มที่มีสองสมาชิก จะมีk- ซิมเพล็กซ์ที่ไม่เสื่อมเพียงหนึ่งเดียวสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ kแต่ละตัวซึ่งสอดคล้องกับk-ทูเปิลของสมาชิกของGที่ไม่ซ้ำกันซึ่งไม่มีเอกลักษณ์ หลังจากเปลี่ยนไปสู่การสร้างทางเรขาคณิตk-ทูเปิลนี้สามารถระบุได้กับk- เซลล์ที่ไม่ซ้ำกันในโครงสร้าง CWปกติ บน ปริภูมิโปรเจคทีฟจริงมิติอนันต์ซึ่งเป็นแบบจำลองที่ได้รับความนิยมมากที่สุดสำหรับปริภูมิจำแนกประเภทของกลุ่มที่มีสองสมาชิก ดู (Segal 1968) สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมและความสัมพันธ์ของข้างต้นกับการสร้างแบบรวมของ Milnor ของBG

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นผลงานของโกรเทนดีค

ดูเพิ่มเติม: ปริภูมิเซกัล , หมวดหมู่โฮโมโทปีของหมวดหมู่อนันต์

เช่นเดียวกับฟังก์ชันประสาท แต่โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันประสาทที่สอดคล้องกันของโฮโมโทปีจะเชื่อมโยงเซตซิมพลิเชียลกับหมวดหมู่ที่เสริมด้วยซิมพลิเชียล กล่าวคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle N^{hc}:{\textbf {sSetCat}}\to {\textbf {sSet}}.}$

ตัวอย่างเช่นเส้นประสาท Duskinซึ่งจัดอยู่ในประเภท 2 อย่างเคร่งครัด เป็นกรณีพิเศษของเรื่องนี้

สามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่หน้า nLab ที่เกี่ยวข้อง