การขนส่งนิวตรอน (หรือที่เรียกว่านิวโทรนิกส์ ) คือการศึกษาการเคลื่อนที่และปฏิสัมพันธ์ของนิวตรอนกับวัสดุต่างๆสมการการขนส่งนิวตรอนจำลองการถ่ายโอนรังสีของนิวตรอน และมักใช้เพื่อกำหนดพฤติกรรมของ แกน เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์และลำแสง นิวตรอนในการทดลองหรือ ใน อุตสาหกรรม

การขนส่งนิวตรอนมีรากฐานมาจากสมการโบลต์ซมันน์ซึ่งถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 19 เพื่อศึกษาทฤษฎีจลน์ของก๊าซแต่การพัฒนาในวงกว้างนั้นเกิดขึ้นหลังจากการประดิษฐ์เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์แบบปฏิกิริยาลูกโซ่ในทศวรรษที่ 1940 เมื่อการกระจายตัวของนิวตรอนได้รับการตรวจสอบอย่างละเอียด จึงได้พบวิธีการประมาณค่าที่สวยงามและวิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ในรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย อย่างไรก็ตาม เมื่อกำลังการคำนวณเพิ่มขึ้น วิธีการเชิงตัวเลขในการขนส่งนิวตรอนก็แพร่หลายมากขึ้น โดยใช้ คอมพิวเตอร์ แบบขนานขนาดใหญ่การขนส่งนิวตรอนยังคงได้รับการพัฒนาอย่างต่อเนื่องในสถาบันการศึกษาและสถาบันวิจัยทั่วโลก การคำนวณมีความท้าทายเนื่องจากขึ้นอยู่กับเวลาและมิติสามมิติของพื้นที่ และตัวแปรของพลังงานครอบคลุมหลายอันดับ (ตั้งแต่เศษส่วนของMeVไปจนถึงหลาย MeV) วิธีการแก้ปัญหาในปัจจุบันใช้ลำดับแบบไม่ต่อเนื่องวิธีมอนเตคาร์โลหรือการผสมผสานทั้งสองวิธี

สมการการขนส่งนิวตรอนเป็นข้อความสมดุลที่อนุรักษ์นิวตรอน แต่ละเทอมแสดงถึงการได้มาหรือการสูญเสียของนิวตรอน และโดยพื้นฐานแล้วสมดุลนี้กล่าวว่านิวตรอนที่ได้มาเท่ากับนิวตรอนที่สูญเสียไป มีสูตรดังนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \left({\frac {1}{v(E)}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {\hat {\Omega }} \cdot \nabla +\Sigma _{t}(\mathbf {r} ,E,t)\right)\psi (\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)=\รูปสี่เหลี่ยม }$${\displaystyle \quad {\frac {\chi _{p}\left({\mathbf {r}},E\right)}{4\pi }}\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\nu _{p}\left({\mathbf {r}},E^{\prime }\right)\Sigma _{f}\left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)\phi \left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)}$

${\displaystyle \quad +\sum _{i=1}^{N}{\frac {\chi _{di}\left({\mathbf {r}},E\right)}{4\pi }}\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)\quad }$

${\displaystyle \quad +\int _{4\pi }\mathrm {d} \Omega ^{\prime }\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\,\Sigma _{s}\!\!\left(\mathbf {r} ,E^{\prime }\rightarrow E,\mathbf {\hat {\Omega }} ^{\prime }\rightarrow \mathbf {\hat {\Omega }} ,t\right)\psi (\mathbf {r} ,E^{\prime },\mathbf {{\hat {\Omega }}^{\prime }} ,t)}$

${\displaystyle \quad +s(\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\โอเมก้า }} ,t)}$

โดยสมการสำหรับสารตั้งต้นของนิวตรอนที่ล่าช้ามีดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial C_{i}}{\partial t}}({\mathbf {r}},t)dt={\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})\int _{0}^{\infty }dE\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)-\lambda _{i}({\mathbf {r}})C_{i}({\mathbf {r}},t),}$

${\displaystyle \quad i=1,...,N}$

สัญลักษณ์ทั้งหมดมีดังต่อไปนี้:

เครื่องหมาย	ความหมาย	ความคิดเห็น
${\displaystyle \mathbf {r} }$	เวกเตอร์ตำแหน่ง (เช่น x, y, z)
${\displaystyle E}$	พลังงาน
${\displaystyle \mathbf {\hat {\Omega }} ={\frac {\mathbf {v} (E)}{|\mathbf {v} (E)|}}={\frac {\mathbf {v} (E)}{v(E)}}}$	เวกเตอร์หน่วย ( มุมตัน ) ในทิศทางการเคลื่อนที่
${\displaystyle t}$	เวลา
${\displaystyle \mathbf {v} (E)}$	เวกเตอร์ความเร็วของนิวตรอน
${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \!E\,\mathrm {d} \Omega }$	ฟลักซ์นิวตรอนเชิงมุมปริมาณความยาวของร่องรอยนิวตรอนในปริมาตรเชิงอนุพันธ์ประมาณ ที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคที่มีพลังงานเชิงอนุพันธ์ประมาณเคลื่อนที่ในมุมตันเชิงอนุพันธ์ประมาณณ เวลา t${\displaystyle \mathrm {d} r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {d} E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$${\displaystyle \mathbf {\hat {\Omega }} ,}$${\displaystyle t.}$	โปรดทราบว่าการอินทิเกรตเหนือทุกมุมจะให้ค่าฟลักซ์นิวตรอนแบบสเกลาร์${\displaystyle \phi \ =\ \int _{4\pi }\mathrm {d} \Omega \psi }$
${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,E,t)\mathrm {d} r\,\mathrm {d} E}$	ฟลักซ์นิวตรอนสเกลาร์ ปริมาณความยาวของร่องรอยนิวตรอนในปริมาตรเชิงอนุพันธ์ประมาณ ที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคที่มีพลังงานเชิงอนุพันธ์ประมาณณ เวลา${\displaystyle \mathrm {d} r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {d} E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle t.}$
${\displaystyle \nu _{p}({\mathbf {r}},E)}$	จำนวนนิวตรอนเฉลี่ยที่ผลิตต่อการแตกตัว ณ จุดที่มีพลังงาน E รวมทั้งนิวตรอนแบบทันทีและแบบหน่วงเวลา เช่น มีค่า 2.43 สำหรับนิวตรอนความร้อน (0.0253 eV) ใน U-235 ที่ 293 K [ 3 ]${\displaystyle r}$
${\displaystyle \chi _{p}(E)}$	ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับนิวตรอนที่มีพลังงานขาออกจากนิวตรอนทั้งหมดที่เกิดจากการแตกตัวของนิวเคลียส ${\displaystyle E}$
${\displaystyle \chi _{di}(E)}$	ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับนิวตรอนที่มีพลังงานขาออกจากนิวตรอนทั้งหมดที่ผลิตโดยสารตั้งต้นนิวตรอนหน่วง ${\displaystyle E}$
${\displaystyle \Sigma _{t}(\mathbf {r} ,E,t)}$	พื้นที่หน้าตัดรวมระดับมหภาคซึ่งรวมถึงปฏิสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
${\displaystyle \Sigma _{f}(\mathbf {r} ,E^{\prime },t)}$	ภาคตัดขวางการแตกตัวแบบมหภาคซึ่งรวมถึงปฏิกิริยาการแตกตัวทั้งหมดประมาณ${\displaystyle \mathrm {d} E^{\prime }}$${\displaystyle E^{\prime }}$
${\displaystyle \Sigma _{s}\!\!\left(\mathbf {r} ,E'\rightarrow E,\mathbf {\hat {\Omega }} '\rightarrow \mathbf {\hat {\Omega }} ,t\right)\mathrm {d} E^{\prime }\mathrm {d} \Omega ^{\prime }}$	ภาคตัดขวางการกระเจิงแบบดิฟเฟอเรนเชียลคู่อธิบายลักษณะการกระเจิงของนิวตรอนจากพลังงานตกกระทบและทิศทางหนึ่งไปยังพลังงาน และทิศทาง สุดท้าย${\displaystyle E^{\prime }}$${\displaystyle \mathrm {d} E^{\prime }}$${\displaystyle \mathbf {{\hat {\Omega }}^{\prime }} }$${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{\prime }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {\hat {\Omega }} .}$
${\displaystyle N}$	จำนวนสารตั้งต้นนิวตรอนหน่วง
${\displaystyle \lambda _{i}}$	ค่าคงที่การสลายตัวสำหรับสารตั้งต้นi
${\displaystyle C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)}$	จำนวนสารตั้งต้นทั้งหมดiในเวลา${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$
${\displaystyle s(\mathbf {r} ,E,\mathbf {\hat {\Omega }} ,t)}$	คำศัพท์แหล่งที่มา
${\displaystyle {\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})}$	ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของนิวตรอนหน่วง:${\displaystyle {\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})={\frac {\int _{0}^{\infty }\beta _{i}({\mathbf {r}},E)\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E)\phi ({\mathbf {r}},E)dE}{\int _{0}^{\infty }\nu _{p}({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E)\phi ({\mathbf {r}},E)dE}}}$ สัดส่วนของนิวตรอนหน่วงที่ปล่อยออกมาจากสารตั้งต้นที่อยู่ในกลุ่มที่ผลิตโดยนิวตรอนที่มีพลังงานอยู่ที่ใด${\displaystyle \beta _{i}({\mathbf {r}},E)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle E}$
${\displaystyle {\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})}$	${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\tilde {\beta }}_{i}({\mathbf {r}})}$

สมการการขนส่งสามารถนำไปใช้กับส่วนใดส่วนหนึ่งของปริภูมิเฟส (เวลาtพลังงานEตำแหน่งและทิศทางการเคลื่อนที่) พจน์แรกแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของนิวตรอนในระบบเมื่อเทียบกับเวลา พจน์ที่สองอธิบายถึงการเคลื่อนที่ของนิวตรอนเข้าหรือออกจากปริมาตรของปริภูมิที่สนใจ พจน์ที่สามแสดงถึงนิวตรอนทั้งหมดที่เกิดการชนกันในปริภูมิเฟสนั้น พจน์แรกทางด้านขวามือคือการผลิตนิวตรอนในปริภูมิเฟสนี้เนื่องจากการแตกตัว ในขณะที่พจน์ที่สองทางด้านขวามือคือการผลิตนิวตรอนในปริภูมิเฟสนี้เนื่องจากสารตั้งต้นนิวตรอนหน่วง (เช่น นิวเคลียสที่ไม่เสถียรซึ่งเกิดการสลายตัวเป็นนิวตรอน) พจน์ที่สามทางด้านขวามือคือการกระเจิงเข้า ซึ่งเป็นนิวตรอนที่เข้ามาในบริเวณนี้ของปริภูมิเฟสอันเป็นผลมาจากการปฏิสัมพันธ์แบบกระเจิงในอีกปริภูมิหนึ่ง พจน์ที่สี่ทางด้านขวามือคือแหล่งกำเนิดทั่วไป โดยปกติแล้วสมการนี้จะถูกแก้เพื่อหาค่าเนื่องจากจะช่วยให้สามารถคำนวณอัตราการเกิดปฏิกิริยา ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาเกี่ยวกับการป้องกันรังสีและการวัดปริมาณรังสี ${\displaystyle \mathbf {r} ,}$${\displaystyle \mathbf {\hat {\Omega }} .}$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,E),}$

ในฟิสิกส์ของเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์สมการการขนส่งนิวตรอนมักถูกประมาณด้วยสมการการแพร่ของนิวตรอนเมื่อทำการคำนวณแกนกลางแบบ 3 มิติ สมการการแพร่ของนิวตรอนได้มาจากสมการการขนส่งนิวตรอนโดยการ ขยาย อนุกรมฮาร์มอนิกทรงกลมของฟลักซ์นิวตรอนเชิงมุม และโดยการสมมติว่า

• พหุ นามเลอจองเดอร์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของทิศทางนิวตรอนจะมีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1${\displaystyle {\mathbf {\hat {\Omega }}}}$
• แหล่งกำเนิดนิวตรอนเป็นแบบไอโซโทรปิก
• อัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้านั้นน้อยกว่าความถี่ของการชนกันมาก${\displaystyle {\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E,t)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\Sigma _{s1}({\mathbf {r}},E'\to E,t){\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E',t)dE'=\int _{0}^{\infty }\Sigma _{s1}({\mathbf {r}},E\to E',t){\mathbf {J}}({\mathbf {r}},E,t)dE'}$โดยที่สัมประสิทธิ์การขยายพหุนามเลอจองเดอร์มีลำดับตามภาคตัดขวางการกระเจิงระดับมหภาค^{[ 2 ] [ 4 ]}${\displaystyle \Sigma _{sl}({\mathbf {r}},E'\to E,t)}$${\displaystyle l}$

นอกจากนี้ หากสมมติว่าความเร็วของนิวตรอนไม่ขึ้นอยู่กับพลังงาน สมการการแพร่กระจายของนิวตรอนความเร็วเดียวจะเป็นดังนี้: ^{[ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{v}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi ({\mathbf {r}},E,t)={\mathbf {\nabla }}\cdot D({\mathbf {r}},E){\mathbf {\nabla }}\phi ({\mathbf {r}},E,t)-\Sigma _{t}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)+\int _{0}^{\infty }dE'\Sigma _{s0}({\mathbf {r}},E'\to E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$${\displaystyle \qquad +\chi _{p}\left({\mathbf {r}},E\right)\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E^{\prime }\nu _{p}\left({\mathbf {r}},E^{\prime }\right)\Sigma _{f}\left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)\phi \left(\mathbf {r} ,E^{\prime },t\right)+\sum _{i=1}^{N}\chi _{di}\left({\mathbf {r}},E\right)\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)+s(\mathbf {r} ,E,t)}$

ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายอยู่ ที่ไหน สมการสำหรับสารตั้งต้นของนิวตรอนหน่วงและสัญลักษณ์อื่นๆ ทั้งหมดได้ถูกกำหนดไว้ข้างต้นแล้ว${\displaystyle D({\mathbf {r}},E)}$

สมการการแพร่กระจายแบบหลายกลุ่มสามารถหาได้โดยการแบ่งโดเมนพลังงานนิวตรอนออกเป็นส่วนย่อย: ^{[ 2 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{v_{g}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)={\mathbf {\nabla }}\cdot D_{g}({\mathbf {r}}){\mathbf {\nabla }}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)-\Sigma _{t,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)+\sum _{g'=1}^{G}\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}$${\displaystyle \qquad +\chi _{p,g}\left({\mathbf {r}}\right)\left[1-{\tilde {\beta }}({\mathbf {r}})\right]\sum _{g'=1}^{G}\left(\nu \Sigma \right)_{f,g'}\left(\mathbf {r} ,t\right)\phi _{g'}\left(\mathbf {r} ,t\right)+\sum _{i=1}^{N}\chi _{di,g}\left({\mathbf {r}}\right)\lambda _{i}C_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)+s_{g}(\mathbf {r} ,t)}$

ที่ไหน:

${\displaystyle \phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{v_{g}}}={\frac {1}{\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}}\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE{\frac {\phi ({\mathbf {r}},E,t)}{v(E)}}}$

${\displaystyle {\mathbf {\nabla }}\cdot D_{g}({\mathbf {r}}){\mathbf {\nabla }}\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE{\mathbf {\nabla }}\cdot D({\mathbf {r}},E){\mathbf {\nabla }}\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle \Sigma _{t,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\Sigma _{t}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle \Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\Sigma _{s0,g'\to g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)}$

${\displaystyle \chi _{p,g}({\mathbf {r}})=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\chi _{p}({\mathbf {r}},E)}$

${\displaystyle \left(\nu \Sigma \right)_{f,g}({\mathbf {r}},t)\phi _{g}({\mathbf {r}},t)=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\nu ({\mathbf {r}},E)\Sigma _{f}({\mathbf {r}},E,t)\phi ({\mathbf {r}},E,t)}$

${\displaystyle \chi _{di,g}({\mathbf {r}})=\int _{E_{g}}^{E_{g-1}}dE\chi _{di}({\mathbf {r}},E)}$

${\displaystyle G}$คือจำนวนกลุ่มพลังงาน และคือกลุ่มพลังงาน กลุ่มพลังงาน เรียง ลำดับดังนี้${\displaystyle E_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E_{g}<E_{g-1}}$

ปัญหาเกี่ยวกับการขนส่งนิวตรอนมีหลายประเภทพื้นฐาน ขึ้นอยู่กับประเภทของปัญหาที่กำลังแก้ไข

การคำนวณแหล่งกำเนิดคงที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดแหล่งกำเนิดนิวตรอนที่ทราบค่าให้กับตัวกลาง และการหาการกระจายตัวของนิวตรอนที่เกิดขึ้นทั่วทั้งปัญหา การคำนวณประเภทนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณการป้องกันรังสี ซึ่งผู้ออกแบบต้องการลดปริมาณรังสีนิวตรอนภายนอกเกราะป้องกันให้น้อยที่สุด ในขณะที่ใช้ปริมาณวัสดุป้องกันรังสีให้น้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น ถังบรรจุเชื้อเพลิงนิวเคลียร์ใช้แล้วจำเป็นต้องมีการคำนวณการป้องกันรังสีเพื่อกำหนดปริมาณคอนกรีตและเหล็กที่จำเป็นในการปกป้องคนขับรถบรรทุกที่ขนส่งถังดังกล่าวได้อย่างปลอดภัย

ฟิชชันคือกระบวนการที่นิวเคลียสแตกตัวออกเป็นอะตอมขนาดเล็ก (โดยทั่วไปคือสองอะตอม) หากเกิดฟิชชันขึ้น มักเป็นที่น่าสนใจที่จะทราบพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของระบบ เครื่องปฏิกรณ์จะถูกเรียกว่า "วิกฤต" หากปฏิกิริยาลูกโซ่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องและไม่ขึ้นกับเวลา หากระบบไม่อยู่ในสภาวะสมดุล การกระจายตัวของนิวตรอนเชิงอะซิมโทติก หรือโหมดพื้นฐาน จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเมื่อเวลาผ่านไป

การคำนวณภาวะวิกฤตใช้ในการวิเคราะห์ตัวกลางการเพิ่มจำนวนแบบสภาวะคงที่ (ตัวกลางการเพิ่มจำนวนสามารถเกิดการแตกตัวได้) เช่น เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์วิกฤต ส่วนประกอบของการสูญเสีย (การดูดซับ การกระเจิงออก และการรั่วไหล) และส่วนประกอบของแหล่งกำเนิด (การกระเจิงเข้าและการแตกตัว) เป็นสัดส่วนกับฟลักซ์นิวตรอน ซึ่งแตกต่างจากปัญหาแหล่งกำเนิดคงที่ที่แหล่งกำเนิดไม่ขึ้นอยู่กับฟลักซ์ ในการคำนวณเหล่านี้ ข้อสันนิษฐานเรื่องความไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาทำให้การผลิตนิวตรอนเท่ากับการสูญเสียนิวตรอนอย่างแม่นยำ

เนื่องจากสภาวะวิกฤตนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อมีการปรับแต่งรูปทรงเรขาคณิตอย่างละเอียดมาก (โดยทั่วไปผ่านแท่งควบคุมในเครื่องปฏิกรณ์) จึงไม่น่าเป็นไปได้ที่รูปทรงเรขาคณิตที่จำลองขึ้นจะอยู่ในสภาวะวิกฤตอย่างแท้จริง เพื่อให้มีความยืดหยุ่นในการตั้งค่าแบบจำลอง ปัญหาเหล่านี้จึงถูกกำหนดให้เป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ โดยที่พารามิเตอร์หนึ่งตัวจะถูกปรับเปลี่ยนอย่างประดิษฐ์จนกว่าจะถึงสภาวะวิกฤต รูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดคือค่าลักษณะเฉพาะของการดูดซับเวลาและการคูณ หรือที่เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะอัลฟาและเค อัลฟาและเคเป็นปริมาณที่สามารถปรับค่าได้

ปัญหาค่าไอเกน K เป็นปัญหาที่พบได้บ่อยที่สุดในการวิเคราะห์เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ จำนวนนิวตรอนที่ผลิตได้ต่อการแตกตัวแต่ละครั้งจะถูกปรับเปลี่ยนแบบทวีคูณโดยค่าไอเกนที่เด่นที่สุด ค่าไอเกนที่ได้นี้จะสะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นของนิวตรอนในตัวกลางที่เกิดการทวีคูณตามเวลา

• k _eff < 1, ภาวะวิกฤตย่อย: ความหนาแน่นของนิวตรอนลดลงเมื่อเวลาผ่านไป
• k _eff = 1 สภาวะวิกฤต: ความหนาแน่นของนิวตรอนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง และ
• k _eff > 1, สภาวะวิกฤตยิ่งยวด: ความหนาแน่นของนิวตรอนเพิ่มขึ้นตามเวลา

ในกรณีของเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ฟลักซ์นิวตรอนและความหนาแน่นของพลังงานมีความสัมพันธ์กัน ดังนั้นในช่วงเริ่มต้นการทำงานของเครื่องปฏิกรณ์k _eff > 1 ในช่วงการทำงานของเครื่องปฏิกรณ์k _eff = 1 และk _eff < 1 ในช่วงปิดเครื่องปฏิกรณ์

ทั้งการคำนวณแหล่งกำเนิดคงที่และการคำนวณภาวะวิกฤตสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการเชิงกำหนดหรือวิธีการเชิงสุ่มในวิธีการเชิงกำหนด สมการการขนส่ง (หรือการประมาณค่า เช่นทฤษฎีการแพร่ ) จะถูกแก้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ในวิธีการเชิงสุ่ม เช่นมอนเตคาร์โลประวัติของอนุภาคแบบไม่ต่อเนื่องจะถูกติดตามและหาค่าเฉลี่ยในการเดินแบบสุ่มที่กำหนดทิศทางโดยความน่าจะเป็นของการปฏิสัมพันธ์ที่วัดได้ วิธีการเชิงกำหนดมักเกี่ยวข้องกับวิธีการแบบหลายกลุ่ม ในขณะที่มอนเตคาร์โลสามารถทำงานกับไลบรารีภาคตัดขวางพลังงานแบบหลายกลุ่มและแบบต่อเนื่องได้ การคำนวณแบบหลายกลุ่มมักเป็นแบบวนซ้ำ เนื่องจากค่าคงที่ของกลุ่มจะถูกคำนวณโดยใช้โปรไฟล์ฟลักซ์-พลังงาน ซึ่งกำหนดขึ้นจากผลของการคำนวณการขนส่งนิวตรอน

ในการแก้สมการการขนส่งโดยใช้สมการพีชคณิตบนคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องแบ่งตัวแปรเชิงพื้นที่ เชิงมุม พลังงาน และเวลาออกเป็นตัวแปรไม่ต่อเนื่อง

• โดยทั่วไป ตัวแปรเชิงพื้นที่จะถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องโดยการแบ่งรูปทรงเรขาคณิตออกเป็นบริเวณเล็กๆ จำนวนมากบนตาข่าย จากนั้นจึงสามารถหาค่าสมดุลได้ที่แต่ละจุดบนตาข่ายโดยใช้ วิธี ผลต่างจำกัดหรือวิธีโหนด
• ตัวแปรเชิงมุมสามารถทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้โดยใช้พิกัดแบบไม่ต่อเนื่องและเซตการถ่วง น้ำหนักเชิงปริพันธ์ (ซึ่งนำไปสู่วิธีS _N ) หรือโดยวิธีการขยายฟังก์ชันด้วยฮาร์มอนิกทรงกลม (ซึ่งนำไปสู่วิธี P _N )
• โดยทั่วไป ตัวแปรพลังงานจะถูกแบ่งเป็นช่วงๆ ด้วยวิธีหลายกลุ่ม ซึ่งแต่ละกลุ่มพลังงานจะแทนค่าพลังงานคงที่หนึ่งค่า สำหรับปัญหา เครื่องปฏิกรณ์ความร้อนบางประเภท การใช้เพียง 2 กลุ่มก็อาจเพียงพอแต่ การคำนวณ เครื่องปฏิกรณ์แบบเร็วอาจต้องใช้กลุ่มพลังงานมากกว่านั้นมาก
• ตัวแปรเวลาถูกแบ่งออกเป็นช่วงเวลาย่อยๆ โดยแทนที่อนุพันธ์เทียบกับเวลาด้วยสูตรผลต่าง

• COG -รหัส Monte Carlo ที่พัฒนาโดย LLNL สำหรับการวิเคราะห์ความปลอดภัยเชิงวิกฤตและการขนส่งรังสีทั่วไป (http://cog.llnl.gov)
• MCBEND ^{[ 5 ]} – รหัส Monte Carlo สำหรับการขนส่งรังสีทั่วไปที่พัฒนาและสนับสนุนโดย ANSWERS Software Service ^{[ 6 ]}
• MCNP – รหัส Monte Carlo ที่พัฒนาโดย LANLสำหรับการขนส่งรังสีทั่วไป
• MC21 ^{[ 7 ]} – โค้ด 3D Monte Carlo เอนกประสงค์ที่พัฒนาขึ้นที่NNL
• MCS – รหัส Monte Carlo MCS ได้รับการพัฒนาตั้งแต่ปี 2013 ที่สถาบันวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีแห่งชาติอุลซาน (UNIST) สาธารณรัฐเกาหลี^{[ 8 ]}
• ปรอท – รหัสการขนส่งอนุภาค Monte Carlo ที่พัฒนาโดยLLNL ^{[ 9 ]}
• MONK ^{[ 10 ]} – รหัส Monte Carlo สำหรับการวิเคราะห์ความปลอดภัยเชิงวิกฤตและฟิสิกส์ของเครื่องปฏิกรณ์ที่พัฒนาและสนับสนุนโดยบริการซอฟต์แวร์ ANSWERS ^{[ 6 ]}
• MORET – รหัส Monte-Carlo สำหรับการประเมินความเสี่ยงวิกฤตในโรงงานนิวเคลียร์ที่พัฒนาโดย IRSN ประเทศฝรั่งเศส^{[ 11 ]}
• OpenMC – โค้ด Monte Carlo แบบโอเพนซอร์สที่พัฒนาโดยชุมชน^{[ 12 ]}
• RMC – รหัส Monte Carlo ที่พัฒนาขึ้นโดยภาควิชาวิศวกรรมฟิสิกส์มหาวิทยาลัยชิงหัว สำหรับการขนส่งรังสีทั่วไป
• SCONE – เครื่องคำนวณสุ่มของสมการการขนส่งนิวตรอนซึ่งเป็นโค้ดMonte Carlo แบบโอเพนซอร์สที่พัฒนาขึ้นที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์^{[ 13 ]}
• Serpent –​​รหัสการขนส่งอนุภาค Monte Carlo ที่พัฒนาโดยศูนย์วิจัยทางเทคนิค VTT ของฟินแลนด์^{[ 14 ]}
• Shift/KENO – ORNLได้พัฒนาโค้ด Monte Carlo สำหรับการวิเคราะห์การขนส่งรังสีทั่วไปและการวิเคราะห์ภาวะวิกฤต
• TRIPOLI – รหัสการขนส่ง Monte Carlo พลังงานต่อเนื่องอเนกประสงค์ 3 มิติที่พัฒนาโดย CEA ประเทศฝรั่งเศส^{[ 15 ]}
• UCN - รหัสการขนส่งมอนเตคาร์โลสำหรับการจำลองการทดลองด้วยนิวตรอนเย็นยิ่งยวดที่พัฒนาขึ้นที่ PNPI, Gatchina ^{[ 16 ]}

• AGREE - รหัสจำลองก๊าซอุณหภูมิสูงแบบเทอร์โมนิวโทรนิกส์ที่พัฒนาโดยมหาวิทยาลัยมิชิแกน
• Ardra – รหัสการขนส่งอนุภาคกลางของ LLNL ^{[ 17 ]}
• อัตติลา – รหัสการขนส่งเชิงพาณิชย์
• DRAGON – โค้ดฟิสิกส์โครงสร้างตาข่ายแบบโอเพนซอร์ส
• PHOENIX/ANC – ชุดซอฟต์แวร์เฉพาะของWestinghouse Electric ที่ใช้สำหรับการคำนวณทางฟิสิกส์ของโครงสร้างผลึกและการแพร่กระจายทั่วโลก
• PARTISN – รหัสการขนส่งที่พัฒนาโดย LANLโดยอิงตามวิธีการลำดับแยก^{[ 18 ]}
• NEWT – รหัส_N 2-DS ที่พัฒนาโดยORNL ^{[ 19 ]}
• DIF3D/VARIANT – รหัส 3 มิติที่พัฒนาโดยห้องปฏิบัติการแห่งชาติอาร์กอน ซึ่งเดิมพัฒนาขึ้นสำหรับเครื่องปฏิกรณ์เร็ว^{[ 20 ]}
• DENOVO – รหัสการขนส่งแบบขนานขนาดใหญ่ที่อยู่ระหว่างการพัฒนาโดยORNL ^{[ 19 ] [ 21 ]}
• Jaguar – รหัสการขนส่งแบบขนาน 3 มิติSlice Balanceสำหรับกริดโพลีโทปแบบใดก็ได้ที่พัฒนาที่NNL ^{[ 22 ]}
• แดนท์ซิส
• RAMA – รหัส ลักษณะเฉพาะ แบบ 3 มิติที่เป็นกรรมสิทธิ์ พร้อมการสร้างแบบจำลองเรขาคณิตตามอำเภอใจ ซึ่งพัฒนาขึ้นสำหรับEPRIโดย TransWare Enterprises Inc. ^{[ 23 ]}
• RAPTOR-M3G – รหัสการขนส่งรังสีแบบขนานที่เป็นกรรมสิทธิ์ซึ่งพัฒนาโดยบริษัท Westinghouse Electric Company
• OpenMOC – วิธีการ ขนานแบบโอเพนซอร์สที่พัฒนาโดยMIT สำหรับรหัส ลักษณะเฉพาะ ^{[ 24 ]}
• MPACT – รหัส วิธีลักษณะ เฉพาะแบบ 3 มิติคู่ขนาน ที่อยู่ระหว่างการพัฒนาโดยห้องปฏิบัติการแห่งชาติโอ๊คริดจ์และมหาวิทยาลัยมิชิแกน
• DORT – การขนส่งแบบแยกส่วนตามพิกัด
• APOLLO – รหัสฟิสิกส์แลตติสที่ใช้โดยCEA , EDFและAreva ^{[ 25 ]}
• CASMO/SIMULATE – ชุดโค้ดฟิสิกส์แลตติสและการแพร่กระจายที่เป็นกรรมสิทธิ์ซึ่งพัฒนาโดยStudsvikสำหรับ การวิเคราะห์ LWRรวมถึงแลตติสสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม^{[ 26 ]}
• HELIOS – รหัสฟิสิกส์แลตติสที่เป็นกรรมสิทธิ์พร้อมเรขาคณิตทั่วไปที่พัฒนาโดยStudsvikสำหรับการวิเคราะห์LWR ^{[ 27 ]}
• milonga – รหัสวิเคราะห์แกนเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ฟรี^{[ 28 ]}
• STREAM – รหัสวิเคราะห์การขนส่งนิวตรอน STREAM (รหัสวิเคราะห์เครื่องปฏิกรณ์แบบสภาวะคงที่และแบบชั่วคราวพร้อมวิธีลักษณะเฉพาะ) ได้รับการพัฒนาตั้งแต่ปี 2013 ที่สถาบันวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีแห่งชาติอุลซาน (UNIST) สาธารณรัฐเกาหลี^{[ 29 ]}
• TINTE – รหัสการแพร่กระจายแบบสองกลุ่มสำหรับการศึกษาพฤติกรรมนิวเคลียร์และความร้อนของเครื่องปฏิกรณ์อุณหภูมิสูง ซึ่งพัฒนาโดยForschungszentrum Jülichในประเทศเยอรมนี^{[ 30 ]}

• เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์
• สมการโบลต์ซมันน์
• การกระเจิงของนิวตรอน
• รหัสการขนส่งอนุภาค N ของมอนเตคาร์โล

• เว็บไซต์บริการซอฟต์แวร์ ANSWERS
• เว็บไซต์ LANL MCNP6
• เว็บไซต์ LANL MCNPX
• เว็บไซต์ VTT Serpent
• เว็บไซต์ OpenMC
• เว็บไซต์ MIT CRPG OpenMOC
• เว็บไซต์ TRIPOLI-4