ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ไม่มีสัญลักษณ์มาตรฐานเดียวสำหรับการหาอนุพันธ์ แต่นักคณิตศาสตร์หลายท่าน เช่น ไลบ์นิซนิวตันลากรองจ์และอาร์โบแกสต์ได้เสนอสัญลักษณ์หลายแบบสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือตัวแปรตาม ประโยชน์ของแต่ละสัญลักษณ์ขึ้นอยู่กับบริบทที่ใช้ และบางครั้งการใช้สัญลักษณ์มากกว่าหนึ่งแบบในบริบทเดียวกันก็อาจเป็นประโยชน์ สำหรับกรณีเฉพาะทาง เช่นอนุพันธ์ย่อยในแคลคูลัส หลายตัวแปร การวิเคราะห์เทนเซอร์หรือแคลคูลัสเวกเตอร์มักใช้สัญลักษณ์อื่น เช่น สัญลักษณ์ตัวห้อย หรือ ตัวดำเนินการ ∇สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการหาอนุพันธ์ (และการดำเนินการตรงข้าม คือการหาอนุพันธ์ผกผันหรือการอินทิเกรตแบบไม่จำกัด ) มีดังต่อไปนี้

สัญกรณ์ดั้งเดิมที่Gottfried Leibniz ใช้ ถูกนำมาใช้ทั่วทั้งคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสมการy = f ( x )ถือเป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตามyและxสัญกรณ์ของ Leibniz ทำให้ความสัมพันธ์นี้ชัดเจนโดยการเขียนอนุพันธ์ดังนี้: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$$ นอกจากนี้ อนุพันธ์ของfที่xจึงเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ หรือ }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ หรือ }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$$

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าเขียนได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$$ นี่เป็นวิธีการเขียนเชิงสัญลักษณ์ที่ชวนให้คิด ซึ่งมาจากการดัดแปลงสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการ เช่น ในประโยคที่ว่า $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

ค่าของอนุพันธ์ของyที่จุดx = aสามารถแสดงได้สองวิธีโดยใช้สัญลักษณ์ของไลบ์นิซ: $${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ หรือ }}{\frac {dy}{dx}}(a).}$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรสำหรับการหาอนุพันธ์ (ในตัวส่วน) ได้ ซึ่งเป็นประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อพิจารณาอนุพันธ์ย่อย นอกจากนี้ ยังทำให้กฎลูกโซ่จำและเข้าใจได้ง่าย อีกด้วย$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับการหาอนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องกำหนดความหมายให้กับสัญลักษณ์ เช่นdxหรือdy (ซึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ ) ในตัวของมันเอง และผู้เขียนบางคนก็ไม่ได้พยายามกำหนดความหมายให้กับสัญลักษณ์เหล่านี้^{[ 1 ]} ไลบ์นิซถือว่าสัญลักษณ์เหล่านี้เป็นอนันต์เล็ก ๆผู้เขียนรุ่นหลังได้กำหนดความหมายอื่นให้กับสัญลักษณ์เหล่านี้ เช่น อนันต์เล็ก ๆ ในการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานหรืออนุพันธ์ภายนอกโดยทั่วไปdxจะไม่ถูกกำหนดหรือเทียบเท่ากับ${\displaystyle \Delta x}$ในขณะที่ dyถูกกำหนดความหมายในแง่ของdxผ่านสมการ

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

ซึ่งอาจเขียนได้อีกแบบหนึ่ง เช่น

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(ดูด้านล่าง ) สมการดังกล่าวทำให้เกิดศัพท์เฉพาะที่พบในตำราบางเล่ม ซึ่งอนุพันธ์จะถูกเรียกว่า "สัมประสิทธิ์เชิงอนุพันธ์" ( สัมประสิทธิ์ของdx )

ผู้เขียนและวารสารบางแห่งใช้ ตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวเอียงสำหรับสัญลักษณ์แสดงความแตกต่าง: d x คู่มือการจัดรูปแบบทางวิทยาศาสตร์ ISO /IEC 80000แนะนำให้ใช้รูปแบบนี้

หนึ่งในสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบันสำหรับการหาอนุพันธ์นั้น ตั้งชื่อตามโจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วออยเลอร์ เป็นผู้คิดค้น และลากรองจ์เป็นผู้ทำให้เป็นที่นิยมก็ตาม ในสัญลักษณ์ของลากรองจ์เครื่องหมายไพรม์ (')แทนอนุพันธ์ – ดังนั้นบางครั้งจึงเรียกว่าสัญลักษณ์ไพรม์ (' ) ถ้าfเป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นที่ค่า xจะเขียนได้ ว่า f = f(x)

${\displaystyle f'(x).}$

ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2392 ^{[ 3 ]}

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าจะแสดงด้วยเครื่องหมายไพรม์เพิ่มเติม เช่น${\displaystyle f''(x)}$สำหรับอนุพันธ์อันดับสองและ${\displaystyle f'''(x)}$สำหรับอนุพันธ์อันดับสามการใช้เครื่องหมายไพรม์ซ้ำๆ ในที่สุดก็กลายเป็นเรื่องยุ่งยาก ผู้เขียนบางคนจึงใช้ตัวเลขโรมัน ต่อไป โดยปกติจะเป็นตัวพิมพ์เล็ก^{[ 4 ] [ 5 ]}ดังเช่นใน

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

เพื่อแสดงอนุพันธ์อันดับที่สี่ ห้า หก และอันดับที่สูงกว่านั้น ผู้เขียนบางท่านใช้ตัวเลขอาหรับในวงเล็บ ดังเช่นใน

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

สัญลักษณ์นี้ยังช่วยให้สามารถอธิบาย อนุพันธ์อันดับที่ n ได้ โดยที่nเป็นตัวแปร ซึ่งเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

อักขระยูนิโค้ดที่เกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ของลากรองจ์ ได้แก่

• U+2032 ◌ ′ไพรม์(อนุพันธ์)
• U+2033 ◌ ″ดับเบิลไพรม์(อนุพันธ์คู่)
• U+2034 ◌ ‴ทริปเปิลไพรม์(อนุพันธ์อันดับสาม)
• U+2057 ◌ ⁗จำนวนเฉพาะควอดรูเพิล(อนุพันธ์อันดับสี่)

เมื่อฟังก์ชันมีตัวแปรอิสระสองตัว${\displaystyle f(x,y)}$บางครั้งมีการใช้สัญลักษณ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

บางครั้งสัญลักษณ์นี้เรียกว่าแม้ว่า สัญลักษณ์ของออยเลอร์จะถูกนำเสนอโดยหลุยส์ ฟรองซัวส์ อองตวน อาร์โบกาสต์[ ^{8 ] และ}ดูเหมือนว่าเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ไม่ได้ใช้สัญลักษณ์นี้

สัญกรณ์นี้ใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่แสดงด้วยD ( ตัวดำเนินการ D ) ^{[ 9 ]}หรือD̃ ( ตัวดำเนินการนิวตัน-ไลบ์นิซ ) ^{[ 10 ]} เมื่อนำไปใช้กับฟังก์ชันf ( x )จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าจะถูกระบุเป็น "กำลัง" ของD (โดยที่ตัวยกแสดงถึงการประกอบ ซ้ำ ของD ) ดังใน^{[ 6 ]}

${\displaystyle D^{2}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับสอง

${\displaystyle D^{3}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับสาม และ

${\displaystyle D^{n}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับที่n

สัญกรณ์ D ละเว้นตัวแปรที่ใช้ในการหาอนุพันธ์โดยปริยาย อย่างไรก็ตาม ตัวแปรนี้สามารถทำให้ชัดเจนได้โดยการใส่ชื่อเป็นตัวห้อย: ถ้าfเป็นฟังก์ชันของตัวแปรxจะทำได้โดยการเขียน^{[ 6 ]}

${\displaystyle D_{x}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับแรก

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับสอง

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับสาม และ

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$สำหรับอนุพันธ์อันดับที่n

เมื่อfเป็นฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว มักจะใช้ " ∂ " ซึ่งเป็นตัว d ตัวเล็กแบบเขียนหวัด แทนที่จะใช้ " D " ดังที่กล่าวมาข้างต้น ตัวห้อยแสดงถึงอนุพันธ์ที่กำลังหา ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน${\displaystyle f(x,y)}$ได้แก่: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

ดูหัวข้อ§  อนุพันธ์ย่อย

สัญกรณ์ D มีประโยชน์ในการศึกษาเกี่ยวกับ สมการ เชิงอนุพันธ์และพีชคณิตเชิงอนุพันธ์

สัญลักษณ์ของไอแซค นิวตัน สำหรับการหาอนุพันธ์ (เรียกอีกอย่างว่า สัญลักษณ์จุด สัญลักษณ์ฟลักซ์ชันหรือบางครั้งเรียกอย่างหยาบๆ ว่าสัญลักษณ์จุดเล็กๆ^{[ 12 ]}สำหรับการหาอนุพันธ์) จะวางจุดไว้เหนือตัวแปรตาม นั่นคือ ถ้าyเป็นฟังก์ชันของtแล้วอนุพันธ์ของyเทียบกับtคือ

${\displaystyle {\dot {y}}}$

อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงด้วยจุดหลายจุด ดังเช่นในตัวอย่างนี้

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

นิวตันได้ขยายแนวคิดนี้ออกไปไกลมาก: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

อักขระยูนิโค้ดที่เกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ของนิวตัน ได้แก่:

• U+0307 ◌ ̇ COMBINING DOT ABOVE (derivative)
• U+0308 ◌ ̈การรวมไดอะรีซิส(อนุพันธ์คู่)
• U+20DB ◌ ⃛การรวมจุดสามจุดด้านบน(อนุพันธ์อันดับสาม) ← แทนที่ด้วย "การรวมไดแอรีซิส" + "การรวมจุดด้านบน"
• U+20DC ◌ ⃜การรวมจุดสี่จุดข้างต้น(อนุพันธ์อันดับสี่) ← แทนที่ด้วย "การรวมไดแอรีซิส" สองครั้ง
• U+030D ◌ ̍การรวมเส้นแนวตั้งด้านบน(อินทิกรัล)
• U+030E ◌ ̎การรวมเส้นแนวตั้งคู่ด้านบน(อินทิกรัลที่สอง)
• U+25AD ▭สี่เหลี่ยมผืนผ้าสีขาว(อินทิกรัล)
• U+20DE ◌ ⃞การรวมสี่เหลี่ยมจัตุรัสล้อมรอบ(อินทิกรัล)
• U+1DE0 ◌ ᷠการรวมตัวอักษรละตินตัวเล็ก N ( อนุพันธ์ลำดับที่ n )

โดยทั่วไปแล้วจะใช้สัญลักษณ์ของนิวตันเมื่อตัวแปรอิสระหมายถึงเวลาถ้าตำแหน่งyเป็นฟังก์ชันของtแล้ว${\displaystyle {\dot {y}}}$แสดงถึงความเร็ว^{[ 14 ]}และ${\displaystyle {\ddot {y}}}$แสดงถึงความเร่ง[ ^{15 ] สั}ญกรณ์นี้เป็นที่นิยมในฟิสิกส์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ยังปรากฏในสาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ ฟิสิกส์เช่นสมการเชิงอนุพันธ์

เมื่อทำการหาอนุพันธ์ของตัวแปรตามy = f ( x ) จะมีสัญลักษณ์ทางเลือกอื่นดังนี้: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

นิวตันพัฒนาตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยต่อไปนี้โดยใช้จุดด้านข้างบนเส้นโค้ง X ( ⵋ ) คำจำกัดความที่ไวท์ไซด์ให้ไว้มีดังต่อไปนี้: ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

เมื่อจำเป็นต้องใช้การหาอนุพันธ์ในรูปแบบที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น เช่น ในแคลคูลัสหลายตัวแปรหรือการวิเคราะห์เทนเซอร์มักใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ

สำหรับฟังก์ชันfที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวคือxเราสามารถแสดงอนุพันธ์โดยใช้ดัชนีของตัวแปรอิสระได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

สัญลักษณ์ประเภทนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันที่มีหลายตัวแปร

โดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์ย่อยจะแตกต่างจากอนุพันธ์ธรรมดาโดยการแทนที่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์dด้วยสัญลักษณ์ " ∂ " ตัวอย่างเช่น เราสามารถระบุอนุพันธ์ย่อยของf ( x , y , z )เทียบกับxแต่ไม่ใช่เทียบกับyหรือzได้หลายวิธี:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

สิ่งที่ทำให้ความแตกต่างนี้มีความสำคัญคือ อนุพันธ์ที่ไม่ใช่อนุพันธ์ย่อย เช่น${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$อาจตีความได้ว่าเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลง ขึ้นอยู่กับบริบท${\displaystyle f}$เมื่อเทียบกับ${\displaystyle x}$เมื่อตัวแปรทั้งหมดสามารถเปลี่ยนแปลงได้พร้อมกัน ในขณะที่การใช้ค่าอนุพันธ์ย่อย เช่น${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ระบุไว้อย่างชัดเจนว่าควรมีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงได้

สัญลักษณ์อื่นๆ สามารถพบได้ในสาขาย่อยต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์ ตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์ของแม็กซ์เวลล์ในอุณหพลศาสตร์สัญลักษณ์${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$คืออนุพันธ์ของอุณหภูมิTเทียบกับปริมาตรVโดยคงค่าเอนโทรปี (ตัวห้อย) S ให้คงที่ ในขณะที่${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$คืออนุพันธ์ของอุณหภูมิเทียบกับปริมาตร โดยคงความดันP ไว้คง ที่ สิ่งนี้จำเป็นในสถานการณ์ที่จำนวนตัวแปรเกินจำนวนองศาอิสระ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเลือกตัวแปรอื่นๆ ที่จะคงไว้ให้คงที่

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูงเทียบกับตัวแปรเดียวแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

และอื่นๆ อนุพันธ์ย่อยแบบผสมสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}.}$

ในกรณีสุดท้ายนี้ ตัวแปรจะถูกเขียนในลำดับผกผันระหว่างสัญลักษณ์ทั้งสองแบบ ซึ่งอธิบายได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

สัญกรณ์แบบดัชนีหลายตัว (multi-index notation)ที่เรียกว่านี้ใช้ในกรณีที่สัญกรณ์ข้างต้นยุ่งยากหรือไม่ชัดเจนเพียงพอ เช่น เมื่อพิจารณาฟังก์ชันบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เรากำหนดให้ดัชนีหลายรายการเป็นรายการเรียงลำดับของ${\displaystyle n}$จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ:${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$จากนั้นเราจึงกำหนดนิยามสำหรับ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$สัญลักษณ์

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

ด้วยวิธีนี้ ผลลัพธ์บางอย่าง (เช่นกฎของไลบ์นิซ ) ที่เขียนยากด้วยวิธีอื่น สามารถแสดงออกมาได้อย่างกระชับ — ตัวอย่างบางส่วนสามารถพบได้ใน บทความเกี่ยวกับ ดัชนีหลายตัว^{[ 20 ]}

แคลคูลัสเวกเตอร์เกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ของฟิลด์เวกเตอร์หรือ ฟิลด์สเกลาร์ มีสัญลักษณ์เฉพาะหลายอย่างที่ใช้กันทั่วไปในกรณีของปริภูมิยูคลิด สามมิติ

สมมติว่า( x , y , z )เป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ที่กำหนด และAเป็นสนามเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})}$และว่า${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$เป็นฟิลด์สเกลาร์

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน นำเสนอ ซึ่งเขียนแทนด้วย∇และเรียกว่าdelหรือ nabla นั้น ถูกกำหนดในเชิงสัญลักษณ์ในรูปแบบของเวกเตอร์

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

โดยที่คำศัพท์ดัง กล่าวสะท้อนให้เห็น ในเชิงสัญลักษณ์ว่า ตัวดำเนินการ ∇ จะถูกมองว่าเป็นเวกเตอร์ธรรมดาเช่นกัน

• การไล่ระดับสี : การไล่ระดับสี${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$ของสนามสเกลาร์${\displaystyle \varphi }$เป็นเวกเตอร์ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์โดยการคูณ ∇ กับฟิลด์สเกลาร์${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• ความแตกต่าง : ความแตกต่าง${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$ของสนามเวกเตอร์Aเป็นสเกลาร์ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ผลคูณดอทของ ∇ และเวกเตอร์A

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• ชาวลาปลาเซียน : ชาวลาปลาเซียน${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ของสนามสเกลาร์${\displaystyle \varphi }$เป็นปริมาณส เกลาร์ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์โดยการคูณสเกลาร์ของ ∇ ²และฟิลด์สเกลาร์φ

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• การหมุน : การหมุน${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$, หรือ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$ของสนามเวกเตอร์Aคือเวกเตอร์ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ผลคูณไขว้ของ ∇ และเวกเตอร์A

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

การดำเนินการเชิงสัญลักษณ์หลายอย่างของอนุพันธ์สามารถสรุปได้ในลักษณะที่ตรงไปตรงมาโดยใช้ตัวดำเนินการเกรเดียนต์ในพิกัดคาร์ทีเซียน ตัวอย่างเช่นกฎการคูณ ตัวแปรเดียว มีสิ่งที่เทียบเคียงได้โดยตรงในการคูณฟิลด์สเกลาร์โดยการใช้ตัวดำเนินการเกรเดียนต์ ดังเช่นใน

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

กฎอื่นๆ อีกมากมายจากแคลคูลัสตัวแปรเดียวมีสิ่งที่เทียบเคียงได้ในแคลคูลัสเวกเตอร์เช่น เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และลาปลาเซียน

มีการพัฒนาสัญลักษณ์เพิ่มเติมสำหรับปริภูมิประเภทที่แปลกใหม่กว่า สำหรับการคำนวณในปริภูมิ Minkowskiตัวดำเนินการ d'Alembertหรือที่เรียกว่า d'Alembertian, ตัวดำเนินการคลื่น หรือตัวดำเนินการกล่อง จะถูกแทนด้วย${\displaystyle \Box }$หรือเช่น${\displaystyle \Delta }$เมื่อไม่ขัดแย้งกับสัญลักษณ์ของชาวลาปลาเซียน

• สมาคมวิเคราะห์ (Analytical Society) – องค์กรของอังกฤษในศตวรรษที่ 19 เพื่อส่งเสริมแคลคูลัสของไลบ์นิซ 
• อนุพันธ์– อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที (คณิตศาสตร์) 
• ฟลักชัน– แนวคิดทางคณิตศาสตร์ในอดีต; รูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์ 
• เมทริกซ์เฮสเซียน– เมทริกซ์ของอนุพันธ์อันดับสอง 
• เมทริกซ์จาโคเบียน– เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเวกเตอร์หน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• รายชื่อสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แยกตามหัวข้อ
• แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

• การใช้สัญลักษณ์ในแคลคูลัสในยุคแรกสุดรวบรวมโดย เจฟฟ์ มิลเลอร์ ( เก็บถาวรเมื่อวันที่ 26 กรกฎาคม 2020 ที่Wayback Machine )