ในทฤษฎีจำนวน ผลรวมของ กำลังสาม n ตัว แรก คือกำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่nนั่นคือ

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.}$

สมการเดียวกันนี้สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับการหาผลรวม :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$

เอกลักษณ์นี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของนิโคมาคัสตามชื่อของนิโคมาคัสแห่งเกราซา ( ประมาณค.ศ. 60 – 120 )

นิโคมาคัส ในตอนท้ายของบทที่ 20 ในหนังสือ Introduction to Arithmetic ของเขา ชี้ให้เห็นว่า ถ้าเราเขียนรายการของจำนวนคี่ จำนวนแรกจะเป็นกำลังสามของ 1 ผลรวมของสองจำนวนถัดไปจะเป็นกำลังสามของ 2 ผลรวมของสามจำนวนถัดไปจะเป็นกำลังสามของ 3 และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป เขาไม่ได้อธิบายไปมากกว่านี้ แต่จากนี้ก็สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมของจำนวนแรก...${\displaystyle n}$ลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของตัวแรก${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$เลขคี่ นั่นคือเลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง${\displaystyle n(n+1)-1}$ค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าคือ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$และมีอยู่${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$ของพวกเขา ดังนั้นผลรวมของพวกเขาคือ${\displaystyle \left({\tfrac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$.

นักคณิตศาสตร์ยุคแรกหลายคนได้ศึกษาและพิสูจน์ทฤษฎีบทของนิโคมาคัสสโตรเกอร์ (1995)อ้างว่า "นักศึกษาทฤษฎีจำนวนทุกคนต้องประหลาดใจกับข้อเท็จจริงอันน่าอัศจรรย์นี้อย่างแน่นอน" ^{[ 1 ]}เพนเจลลีย์ (2002)พบการอ้างอิงถึงเอกลักษณ์นี้ไม่เพียงแต่ในงานของนิโคมาคัสในสิ่งที่ปัจจุบันคือจอร์แดนในศตวรรษที่ 1 เท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานของอารยาภัตตาในอินเดียในศตวรรษที่ 5 และในงานของอัล-คาราจี ประมาณ ปี 1000ในเปอร์เซียด้วย^{[ 2 ]}เบรสซูด (2004)กล่าวถึงงานคณิตศาสตร์ยุคแรกเพิ่มเติมอีกหลายชิ้นเกี่ยวกับสูตรนี้ โดยอัล-กาบิซี (ศตวรรษที่ 10 ในอาระเบีย) เกอร์โซนิเดส ( ประมาณปี1300ในฝรั่งเศส) และนิลากันธา โสมยาจี ( ประมาณปี1500ในอินเดีย) เขายังได้จำลองการพิสูจน์ด้วยภาพของนิลากันธาด้วย^{[ 3 ]}

ลำดับของจำนวนสามเหลี่ยมกำลังสองคือ

ตัวเลขเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นตัวเลขเชิงรูปทรงซึ่งเป็นการขยายความแบบไฮเปอร์พีระมิดในมิติสี่ของตัวเลขสามเหลี่ยมและตัวเลขพีระมิดสี่เหลี่ยม

ดังที่Stein (1971)สังเกตไว้ ตัวเลขเหล่านี้ยังนับจำนวนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านแนวนอนและด้านแนวตั้งที่เกิดขึ้นด้วย${\displaystyle n\times n}$ตารางกริดตัวอย่างเช่น จุดต่างๆ ของ${\displaystyle 4\times 4}$ตาราง (หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก 3 สี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละด้าน) สามารถสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ 36 แบบที่แตกต่างกัน จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะนับในทำนองเดียวกันโดยใช้จำนวนพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 4 ]}

เอกลักษณ์นี้ยังยอมรับการตีความเชิงความน่าจะเป็นตามธรรมชาติได้ดังต่อไปนี้ ให้${\displaystyle X,Y,Z,W}$เป็นจำนวนเต็มสี่จำนวนที่ถูกเลือกแบบสุ่มอย่างอิสระและสม่ำเสมอระหว่าง 1 และ 2${\displaystyle n}$จากนั้น ความน่าจะเป็นที่${\displaystyle W}$จำนวนที่มากที่สุดในสี่จำนวนนั้นเท่ากับความน่าจะเป็นที่${\displaystyle Y}$มีขนาดใหญ่อย่างน้อยเท่ากับ${\displaystyle X}$และนั่น${\displaystyle W}$มีขนาดใหญ่อย่างน้อยเท่ากับ${\displaystyle Z}$นั่นคือ$${\displaystyle \Pr[\max(X,Y,Z)\leq W]=\Pr[X\leq Y\wedge Z\leq W].}$$สำหรับค่าใดค่าหนึ่งของ${\displaystyle W}$การรวมกันของ${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$, และ${\displaystyle Z}$ที่ทำให้${\displaystyle W}$รูปทรงที่ใหญ่ที่สุดคือลูกบาศก์${\displaystyle 1\leq X,Y,Z\leq n}$ดังนั้น (การเพิ่มขนาดของลูกบาศก์นี้เหนือตัวเลือกทั้งหมด)${\displaystyle W}$จำนวนชุดค่าผสมของ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ซึ่ง${\displaystyle W}$ค่าที่มากที่สุดคือผลรวมของลูกบาศก์ ซึ่งเป็นด้านซ้ายของเอกลักษณ์นิโคมาคัส เซตของคู่${\displaystyle (X,Y)}$กับ${\displaystyle X\leq Y}$และของคู่${\displaystyle (Z,W)}$กับ${\displaystyle Z\leq W}$ก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว และเซตที่นับโดยด้านขวามือของสมการความน่าจะเป็นคือผลคูณคาร์ทีเซียนของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้ ดังนั้นขนาดของเซตจึงเป็นกำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยมทางด้านขวามือของเอกลักษณ์นิโคมาคัส ความน่าจะเป็นเองนั้นคือด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นิโคมาคัสตามลำดับ ซึ่งถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยการหารทั้งสองข้างด้วย${\displaystyle n^{4}}$.

ชาร์ลส์วีทสโตน( 1854 )ได้เสนอการพิสูจน์ที่ง่ายเป็นพิเศษ โดยการขยายลูกบาศก์แต่ละตัวในผลรวมออกเป็นชุดของจำนวนคี่ที่เรียงลำดับกัน เขาเริ่มต้นด้วยการให้เอกลักษณ์  $${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ เลขคี่ที่เรียงกัน}}}.}$$ เอกลักษณ์นั้นเกี่ยวข้องกับจำนวนสามเหลี่ยม${\displaystyle T_{n}}$ด้วยวิธีดังต่อไปนี้: $${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$$ และด้วยเหตุนี้จึงได้ผลลัพธ์เป็นส่วนประกอบที่ประกอบกันขึ้น${\displaystyle n^{3}}$เริ่มต้นหลังจากที่ค่าก่อนหน้าทั้งหมดถูกสร้างขึ้นแล้ว${\displaystyle 1^{3}}$มากถึง${\displaystyle (n-1)^{3}}$โดยการนำคุณสมบัตินี้มาใช้ร่วมกับเอกลักษณ์ที่รู้จักกันดีอีกประการหนึ่ง: $${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$$ สร้างอนุพันธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Row (1893)ได้รับการพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งโดยการรวมตัวเลขในตารางการคูณ กำลัง สองในสองวิธีที่แตกต่างกัน ผลรวมของ แถวที่ iคือiคูณกับจำนวนสามเหลี่ยม จากนั้นจึงสรุปได้ว่าผลรวมของทุกแถวคือกำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยม อีกวิธีหนึ่งคือสามารถแยกตารางออกเป็นลำดับของgnomon ที่ซ้อนกัน โดยแต่ละ gnomon ประกอบด้วยผลคูณซึ่งพจน์ที่มากกว่าของสองพจน์นั้นมีค่าคงที่ ผลรวมภายใน gnomon แต่ละตัวคือลูกบาศก์ ดังนั้นผลรวมของตารางทั้งหมดจึงเป็นผลรวมของลูกบาศก์^{[ 6 ]}

ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ที่ใหม่กว่าEdmonds (1957)ได้ให้การพิสูจน์โดยใช้ ผลรวม โดยส่วน^{[ 7 ]} Stein (1971)ใช้การตีความการนับสี่เหลี่ยมของตัวเลขเหล่านี้เพื่อสร้างการพิสูจน์ทางเรขาคณิตของเอกลักษณ์^{[ 8 ]} Stein สังเกตว่าอาจพิสูจน์ได้ง่าย (แต่ไม่มีข้อมูล) โดยการอุปนัย และระบุว่าToeplitz (1963)ให้ "การพิสูจน์ภาษาอาหรับแบบเก่าที่น่าสนใจ" ^{[ 4 ]} Kanim (2004)ให้การพิสูจน์ด้วยภาพล้วนๆ^{[ 9 ]} Benjamin & Orrison (2002)ให้การพิสูจน์เพิ่มเติมอีกสองแบบ^{[ 10 ]}และNelsen (1993)ให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตเจ็ดแบบ^{[ 11 ]}

ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันกับทฤษฎีบทของนิโคมาคัสใช้ได้กับผลรวมกำลัง ทั้งหมด กล่าวคือ ผลรวมกำลังคี่ (ผลรวมของกำลังคี่) เป็นพหุนามในจำนวนสามเหลี่ยม สิ่งเหล่านี้เรียกว่าพหุนามฟอลฮาเบอร์ซึ่งผลรวมของกำลังสามเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและสง่างามที่สุด อย่างไรก็ตาม ในกรณีอื่น ๆ ผลรวมกำลังหนึ่งจะไม่เป็นกำลังสองของผลรวมกำลังอื่น^{[ 7 ]}

Stroeker (1995)ศึกษาเงื่อนไขทั่วไปเพิ่มเติมที่ผลรวมของลำดับลูกบาศก์ที่ต่อเนื่องกันก่อให้เกิดกำลังสอง^{[ 1 ]} Garrett & Hummel (2004)และWarnaar (2004)ศึกษาอนาล็อกพหุนามของสูตรจำนวนสามเหลี่ยมกำลังสอง ซึ่งอนุกรมของพหุนามบวกกับกำลังสองของพหุนามอื่น^{[ 12 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ทฤษฎีบทของนิโคมาคัส" , MathWorld
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทของนิโคมาคัสด้วยภาพ(เก็บถาวรเมื่อ 2019-10-19 ที่Wayback Machine)