ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของนิเวนซึ่งตั้งชื่อตามอีวาน นิเวน ระบุว่าค่า ตรรกยะเพียงค่าเดียวของθในช่วง0° ≤ θ ≤ 90°ซึ่งไซน์ของ องศา θ  ก็เป็นจำนวนตรรกยะด้วย ได้แก่: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}$

ในหน่วยเรเดียนจะต้องมีเงื่อนไขว่า0 ≤ x ≤ π /2 , x / πต้องเป็นจำนวนตรรกยะ และsin( x )ต้องเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นข้อสรุปก็คือ ค่าที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือsin(0) = 0 , sin( π /6) = 1/2และsin( π /2) = 1

ทฤษฎีบทนี้ปรากฏเป็นบทสรุปที่ 3.12 ในหนังสือของ Niven เกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบทนี้ขยายไปถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ อื่นๆ ด้วยเช่นกัน^{[ 2 ]}สำหรับค่าตรรกยะของθค่าตรรกยะเพียงค่าเดียวของไซน์หรือโคไซน์ (กล่าวคือจำนวนตรีโกณมิติตรรก ยะเพียงค่าเดียว ) คือ0 , ±1/2และ±1ค่าตรรกยะเพียงค่าเดียวของซีแคนต์หรือโคซีแคนต์คือ±1และ±2และค่าตรรกยะเพียงค่าเดียวของแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์คือ 0และ± 1 ^{[ 3 ]}

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Niven ปรากฏอยู่ในหนังสือIrrational Numbers ของเขา ก่อนหน้านี้ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยDH Lehmerและ JMH Olmstead ^{[ 2 ]} ในบทความปี 1933 ของเขา Lehmer ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับโคไซน์โดยการพิสูจน์ผลลัพธ์ทั่วไปมากขึ้น กล่าวคือ Lehmer แสดงให้เห็นว่าสำหรับจำนวนเต็มkและn ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ โดยที่n > 2จำนวน2 cos(2 πk / n )เป็นจำนวนพีชคณิตที่มีดีกรีφ ( n )/2โดยที่φหมายถึงฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์เนื่องจากจำนวนตรรกยะมีดีกรี 1 เราจึงต้องมีn ≤ 2หรือφ ( n ) = 2และด้วยเหตุนี้ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือn = 1, 2, 3, 4, 6 ต่อมา เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับไซน์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติsin( θ ) = cos( θ − π /2) ^{[ 4 ]} ในปี พ.ศ. 2499 นิเวนได้ขยายผลลัพธ์ของเลห์เมอร์ไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ^{[ 2 ]} นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ให้การพิสูจน์ใหม่ในหลายปีต่อมา^{[ 3 ]}

• ชุด ตัวเลขพีทาโกเรียนก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีค่าเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ แม้ว่ามุมแหลมจะไม่ใช่จำนวนตรรกยะก็ตาม

• Olmsted, JMH (1945). "ค่าตรรกยะของฟังก์ชันตรีโกณมิติ" The American Mathematical Monthly . 52 (9): 507– 508. doi : 10.2307/2304540 . JSTOR  2304540 .
• Jahnel, Jörg (2010). "เมื่อใดที่ (โค)ไซน์ของมุมตรรกยะเท่ากับจำนวนตรรกยะ?" arXiv : 1006.2938 [ math.HO ]

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของนิเวน" . แมทเวิลด์ .